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INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS
INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK
SERlE INTERNATIONAL£ D'ANALYSE NUMERIQUE
Editors:
Ch. Blanc, Lausanne; A. Ghizetti, Roma; P. Henrici, Zurich; A. Ostrowski, Montagnola;
J. Todd, Pasadena; A. van Wijngaarden, Amsterdam
VOL. 25
Linear Operators and Approximation II
Proceedings of the Conference
held at the Oberwolfach Mathematical Research Institute, Black Forest,
March 30-April 6, 1974
Edited by
P.L. BuTZER and B. SzoKEFALVI-NAGY
Lineare Operatoren und Approximation II
Abhandlungen zur Tagung
im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach, Schwarzwald,
vom 30. Miirz his 6. April I 974
Herausgegeben von
P.L. BuTZER und B. SzoKEFALVI-NAGY
1974
SPRINGER BASEL AG
Nachdruck verboten
Aile Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen
und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1974
UrsprOnglich erschienen bei Birkhlluser Verlag Basel1974
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1974
ISBN 978-3-0348-5992-9 ISBN 978-3-0348-5991-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5991-2
PREFACE
These Proceedings contain 41 lectures held at the Oberwolfach Conference on
Linear Operators and Approximation II on March 30 to April 6, 1974, a
special section on new and unsolved problems submitted during and after the
conference, as well as articles by B.S. Mitjagin, Moscow, G.l. Suhouchi,
Sendai, who were unable to participate, and F. Feher. Many of the papers not
only describe fundamental advances in the field but also provide a framework
within which the reader may follow future developments; many of them are
survey papers.
In view of the evolving research interests of the organizers and their
research groups and collaborators, it was once again deemed desirable to
include colleagues who had not yet attended one or the other ofo ur Oberwolfach
conferences on approximation theory and related topics, in order to remain in
contact with new ideas and other directions of related research. Consequently
the lectures were not chosen from one special field within the wide area of
approximation theory and linear operators, but were instead broadly based.
The breadth of coverage proved to be fortunate - 'just so large that one could
still understand each other', as one of the participants remarked. Regrettably
on this occasion the Russian school on constructive theory of functions was not
represented since S.M. Nikolskii, S. A. Teljakovskii, B.S. Mitjagin, all from
Moscow, as well as R.G. Mamedov, Baku, were unable to attend at the last
moment.
The papers have been classified according to subject matter into nine
chapters, it needing little emphasis that such thematic groupings are necessarily
somewhat arbitrary. Thus Chapter I on Operator Theory is concerned with
semigroups, fractional powers of generators, injection of shifts, the approxi
mation problem. Chapter II on Function Algebras includes papers on operator
valued representations, divisibility problems and Riesz-type representation
theorems. Chapter III deals with rearrangement invariant spaces and inter
polation, and Chapter IV with various topics in harmonic analysis, including
extensions of Bochner's theorem, almost everywhere and strong approximation
and representations of positive-definite functions. While Chapter V contains
papers on various orthogonal expansions and weighted approximation,
Chapter VI is devoted to several aspects of best approximation, including
Jackson-and Miintz-type theorems. Chapter VII treats Korovkin-type theorems
as well as saturation problems. Chapter VIII ranges from differential equations
to Birkhoff interpolation and splines and, finally, Chapter IX deals with
summability theory and a theorem of Banach and Saks.
The editors' particular thanks are due to Jean-Pierre Kahane for collecting
the new and unsolved problems; to F. Feher and H.J. Wagner, for their com
petent handling of the larger part of the general editorial work connected with
these proceedings; to the secretaries in Aachen, particularly Miss A. Griinig,
who not only retyped ten papers to have a perfect original for the photographic
reproduction process but also performed all other secretarial tasks connected
with these proceedings; to Mr. C. Einsele of Birkhiiuser publishers, for again
making it possible for the proceedings to appear in their series ISNM.
August 1974
P. L. BuTZER, Aachen, B. Sz.-NAGY, Szeged
CONTENTS
Zur Tagung ....... . XI
List of participants . . . . . XIII
Wissenschaftliches Programm XVII
I Operator Theory
H. F. TROTTER: Approximation and perturbation of semigroups 3
U. WESTPHAL: Gebrochene Potenzen abgeschlossener Operatoren, defi-
niert mit Hilfe gebrochener Potenzen . . . . . . . . . . . 23
B. Sz.-NAGY, C. FOIA~: Injection of shifts into strict contractions 29
J.T. MARTI: Approximation mit Polynomoperatoren . . . . . . 39
II Function Algebras
W. MLAK: Operator-valued representations of function algebras 49
I. Sucm: Functional models for positive maps on C (X) 81
G. K. BRAGARD, R. J. NESSEL: On the comparison of approximation
processes in Banach algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 97
J. BoMAN: On comparison theorems for generalized moduli of conti-
nuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
H. GONZLER: Stonean lattices, measures and completeness . . . . . 113
III Rearrangement Invariant Spaces and Interpolation
C. BENNETT: Banach function spaces and interpolation methods II.
Interpolation of weak-type operators . . . . . . . . . . 129
J. E. GILBERT: Counter-examples in interpolation space theory from
harmonic analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Y. SAGHER: Norm inequalities on Fourier coefficients and interpolation
theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
D. GA~PAR, H. JoHNEN: Uber eine Klasse von Rearrangement-inva-
rianten Banach-Riiumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
F. FEHER: Approximationssiitze auf Rearrangement-invarianten Banach-
Riiumen iiber dem Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
R. SHARPLEY: Characterization of intermediate spaces of M '~' spaces 205
IV Harmonic Analysis
P.R. MASANI, M. RosENBERG: The multiplication operator in .C2 over
a localizable space and Bochner's theorem . . . . . . . . . . . . 217
R.A. HuNT.: Comments on Lusin's conjecture and Carleson's proof for
.C Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
2
F. HoLLAND: Square-summable positive-definite functions on the real
line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
L. LEINDLER: On unimprovable results concerning strong approximation
of Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . 259
V Orthogonal Expansions and Weighted Approximation
B. MucKENHOUPT: Weighted norm inequalities for classical operators 265
G. FREUD: On the theory of one-sided weighted .C1-approximation by
polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
R. ASKEY: Positive Jacobi polynomial sums, Ill . . . . . 305
K. TANDORI: Ober die Konvergenz von Funktionenreihen . 313
VI Best Approximation
J .~P. KAHANE: Les operateurs de Treplitz et la meilleure approximation 323
W. DAHMEN, E. G6RLICH: Asymptotically optimal linear approximation
processes and a conjecture of Golomb . . . . . . . . 327
R. DEVORE: Degree of monotone approximation . . . . . . . . . 337
D. LEVIATAN: The Miintz-Jackson approximation theorem 353
A. ScHONHAGE: Optimal quadrature formulae for periodic functions 363
VII Korovkin-Type Theorems and Saturation
H. BERENS, G. G. LoRENTZ: Korovkin theorems for sequences of
contractions on .Cv-spaces . . . . . . . . . . . . 367
D. KERSHAw: Regular and convergent Korovkin sequences . . 377
S. STADLER: Ober !-positive lineare Operatoren . . . . . . . 391
J. SzABADOS: Convergence and saturation problems of discrete linear
operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
G. SuNOUCHI: Local saturation of trigonometric operators 421
VIII Differential Equations and Other Applications
J. L. B. CooPER: Fourier transform methods for solution of differential
equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
G. DAPRATO: Sums of linear operators . . . . . . . . . . . . . . 461
R.P. GILBERT, R.J. WEINACHT: Reproducing kernels for elliptic
systems in divergence form . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
G. G. LORENTZ: The Birkhoff interpolation problem: New methods and
results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
J.W. JEROME, L. L. SCHUMAKER: On the distance to a class of generalized
splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
A. OsTROWSKI: Partielle Differentiation singuliirer Integrate . . . . 519
B.S. MITJAGIN: Divergenz von Spektralentwicklungen in .Cv-Riiumen 521
IX Sequences and Summability Theory
G. M. PETERSEN: Topology of subsets of the bounded sequences 533
K. ISHIGURO, W. MEYER-KONIG: Uber das Vertriiglichkeitsproblem bei
den Kreisverfahren der Limitierungstheorie . . . . . . . . 547
W. BEEKMANN, K. ZELLER: Positive Operatoren in der Limitierung 559
S.D. CHATTERJI: On a theorem of Banach and Saks 565
New and Unsolved Problems 579
Alphabetical List of Papers . 587
ZUR TAGUNG
Die Reihe der Oberwolfach-Tagungen, die von Aachen und Szeged aus geleitet
werden, wurde mit einer Tagung tiber lineare Operatoren und Approximation
II fortgesetzt. Der Termin, 30.3.-6.4. 1974, wurde dabei wegen der im Herbst
stattfindenden lnternationalen Mathematikertagung in Vancouver, Kanada,
auf das Frtihjahr vorverlegt. Urn so mehr waren die Tagungsleiter erfreut, dass
trotz der ungtinstigen Zeit so viele Mathematiker teilgenommen und zum Teil
weite Reisen (und grosse Kosten) fi.ir diese Tagung auf sich genommen haben.
Insgesamt waren 54 Mathematiker aus 16 Landern wahrend der ganzen
Dauer der Tagung anwesend sowie eine Reihe weiterer Besucher flir ein bis
zwei Tage, u.a. W. Beekmann (Ttibingen), J. Boos (Ttibingen), H. Fast (Detroit),
H. Johnen (Bielefeld) und A. Steiner (Solothurn). Rund 40 Teilnahmewtinsche
konnten wegen der begrenzten Kapazitiit des Oberwolfacher Instituts Ieider
nicht berticksichtigt werden.
Die einzelnen Sitzungen wurden strenger als friiher speziellen Themen
kreisen gewidmet, so z.B. harmonische Analysis, Orthogonalentwicklungen,
Siitze vom Korovkin-Typ, Halbgruppen von Operatoren, Funktionenalgebren
und abstrakte Operator-Theorie. Ergiinzt wurden diese durch Vortriige a us
Gebieten der klassischen und der angewandten Approximationstheorie. Ausser
dein fanden zwei Spezialsitzungen iiber Interpolation, insbesondere auf
Rearrangement-invarianten Raumen sowie eine tiber Limitierungstheorie statt.
Der Dank der Tagungsleiter gilt allen Teilnehmern, die durch ihre Vortrage
und Diskussionen wesentlich zum Erfolg der Tagung beigetragen haben.
Das wissenschaftliche Programm wurde erganzt durch einen Ausflugs
nachmittag sowie am Abend durch ein gemtitliches Beisammensein bei einem
Glas Wein. An diesem Treffen nahm traditionsgemass auch Herr Direktor
Einsele vom Birkhauser Verlag, Basel, tei1, der u.a. wegen der Aufnahme des
vierten von Aachen aus redigierten Oberwolfacher Tagungsbuches* in die
Serie ISNM anwesend war.
Die Tagungsleiter sind den Damen und Herren des Oberwolfacher
Instituts und insbesondere Herrn H. G. Forstendorf sehr dankbar, dass es
ihnen gelungen ist, trotz des derzeitigen baulichen Engpasses alle Teilnehmer
perfekt unterzubringen und fi.ir die gewohnte, herzliche Atmosphiire zu sorgen.
Besonders danken sie dem Institutsdirektor, Prof. Dr. M. Barner, fiir seine
stets wohlwollende Untersttitzung.
P.L. BUTZER (Aachen), B. Sz.-NAGY (Szeged), Tagungsleiter
* Die friiheren Biinde sind:
On Approximation Theory (Oberwolfach Conference, August 4-10, 1963), ed. P. L. Butzer
and J. Korevaar. ISNM, Vol. 5, Birkhiiuser, Basel 1964 (Seconded. 1972).
Abstract Spaces and Approximation (Oberwolfach Conference, July 18-27, 1968), ed. P. L. But
zer and B. Sz.-Nagy. ISNM, Vol. 10, Birkhiiuser, Basel 1969.
Linear Operators and Approximation (Oberwolfach Conference, August 14-22, 1971), ed.
P.L. Butzer, J.-P. Kahane and B. Sz.-Nagy. ISNM, Vol. 20, Birkhiiuser, Basel 1972.
