Linear Algebra 1

460 Pages·2019·13.607 MB·Hebrew

by  Dr. Elad Paran, Prof. Daniela Leibowitz

9
0
1
0
2
תיראניל הרבגלא
1
א
ל
ג
ב
ר
ה
א ךרכ

ל
י
נ
א
ר
י
ת

1

| א ךרכ

כ
ר תויראניל תואוושמ תוכרעמ 1 קרפ
ך F n בחרמה 2 קרפ

א תוצירטמ 3 קרפ
תוטננימרטד 4 קרפ

ב ךרכ

םייפוס תודש 5 קרפ

םיבכורמה םירפסמה הדש 6 קרפ

םייראניל םיבחרמ 7 קרפ

דממה תרותו םיסיסב 8 קרפ

ג ךרכ

תויראניל תוקתעה 9 קרפ

תוצירטמ תועצמאב תוקתעה גוציי 10 קרפ

םיימצע םיכרע 11 קרפ

תירלקסה הלפכמה 12 קרפ
ה
א
ו
נ
י
ב
ר
Untitled Page 1 of 1
ס
י
ט
ה

ה
פ
ת
ו
ח
ה
0 020820 109219
208-2010921 דוקאנאד
20109-2012 ט"קמ
ISBN 978-965-06-1584-0 ב"תסמ
http://our.openu.ac.il/pls/ora9-web/erp_new_forms.print_danacode?in_barcode=2082010... 17/01/2019

תיראניל הרבגלא
1
א ךרכ
1 תיראניל הרבגלא
ii
Linear Algebra 1
Volume I
Dr. Elad Paran
Prof. Daniela Leibowitz (Chapter 1)

סרוקה תווצ

היינש הרודהמ

ןראפ דעלא ר"ד :הביתכ
(1 קרפ תביתכב הפתתשה) ץיבוביל הלאינד 'פורפ
רגרב יפיצ ר"ד :תיטמתמ הכירע
טהנורג רתסא :תיטנטסיסא
טסור םירמ ר"ד ,ןולא ליג ר"ד ,ןרה ןד 'פורפ ,ץיבוביל הלאינד 'פורפ :םיצעוי

רמייהנגוג תידוהי :תכרוע

רמש תימולש :הפיטע בוציע
קודצ בניע ,ץיברומ החונמ :דומיעו רדס
ןהוי הנורש ,ןאמ ילט :סופדל האבהו הנקתה
אלרוב תינור :םירויא

:הפיטעה תנומת
Shutterstock\DivinHX

הנושאר הרודהמ

,ןוריל ירוא 'פורפ ,ןייטשנרוא םהרבא 'פורפ ,ץיבוביל הלאינד 'פורפ ,ןיול ילא 'פורפ :הביתכ
יקסבוטיפ רמתיא 'פורפ ,טמס בד 'פורפ
רלשמ לאכימ 'פורפ ,יקסבומיקי ןונמא 'פורפ ,גרובזניג םהרבא 'פורפ :ם יצעוי

20109-2012 ט"קמ
978-965-06-1584-0 ב"תסמ
ISBN

.החותפה הטיסרבינואל תורומש תויוכזה לכ .2019–ט"עשת 
,808 ד"ת ,1 הטיסרבינואה ךרד ,דלישטור הד יתורוד ש"ע הירקה ,החותפה הטיסרבינואה לש רואל האצוהה תיב
.4353701 הננער
The Open University of Israel, The Dorothy de Rothschild Campus, 1 University Road, P.O.Box 808,
Raanana 4353701.
Printed in Israel.
יעצמא לכב וא ךרד לכב טולקל וא רדשל ,עדימ רגאמב ןסחאל ,םגרתל ,טילקהל ,םלצל ,קיתעהל ,לפכשל ןיא
רוסא הז רפסב לולכה רמוחב ירחסמ שומיש .הז רפסבש רמוחהמ אוהש קלח לכ רחא וא ינכמ ,יטפוא ,ינורטקלא
.החותפה הטיסרבינואה לש םירצוי תויוכז רודממ בתכבו תשרופמ תושרב אלא ,טלחהב
יללכ םיניינע ןכות
iii
יללכ םיניינע ןכות

א ךרכ
תויראניל תואוושמ תוכרעמ 1 קרפ
Fn בחרמה 2 קרפ
תוצירטמ 3 קרפ
תוטננימרטד 4 קרפ
א ךרכב םיטפשמהו תורדגהה

ב ךרכ
םייפוס תודש 5 קרפ
םיבכורמה םירפסמה הדש 6 קרפ
םייראניל םיבחרמ 7 קרפ
דממה תרותו םיסיסב 8 קרפ
ב ךרכב םיטפשמהו תורדגהה

ג ךרכ
תויראניל תוקתעה 9 קרפ
תוצירטמ תועצמאב תוקתעה גוציי 10 קרפ
םיימצע םיכרע 11 קרפ
תירלקסה הלפכמה 12 קרפ
ג ךרכב םיטפשמהו תורדגהה
1 תיראניל הרבגלא
iv
א ךרכ לש םיניינעה ןכות
v
א ךרכ לש םיניינעה ןכות

1 אובמ

11 תויראניל תואוושמ תוכרעמ :1 קרפ
13 הצובק לע תולועפ 1.1
23 תודש 1.2
37 ת וֹי(cid:28) 1.3
n
44 םייסיסב םיגשומ – תויראניל תואוושמ 1.4
54 תויראניל תוכרעמ 1.5
60 תיראניל תכרעמ לש םימדקמה תצירטמ 1.6
63 תולוקש תויראניל תוכרעמ 1.7
69 הרוש(cid:28)תולוקש תוצירטמ 1.8
72 תונושאר תואמגוד – ץוליחה תטיש 1.9
79 תוגרדמ תוצירטמ 1.10
92 הצירטמ לש תינונקה הגצהה 1.11
98 תיראניל תכרעמ לש תונורתפה תומכ 1.12
103 תוינגומוה תוכרעמ 1.13
105 רדסמ תוכרעמ 1.14
nn
115 1 קרפב תולאשל תובושת

141 Fn בחרמה :2 קרפ
143 ירבגלא טבמ – Fn בחרמה 2.1
145 ירטמואיג טבמ – (cid:28)ו םיבחרמה 2.2
3 2
159 (cid:28)ו םיבחרמב תוירטמרפ תוגצה 2.3
3 2
173 בחרמה 2.4
Fn
175 םייראניל םיפוריצ 2.5
182 תיראניל תולת 2.6
191 Fn(cid:28)ל םיסיסב 2.7
203 2 קרפב תולאשל תובושת

225 תוצירטמ :3 קרפ
227 ןהיביכרו תוצירטמ ןומיס 3.1
230 תודומעו תורוש לע 3.2
235 רלקסב הצירטמ לפכו תוצירטמ רוביח 3.3
242 תוצירטמ לפכ 3.4
250 תוצירטמ לפכ לש תונוכת 3.5
257 תויעוביר תוצירטמ 3.6
1 תיראניל הרבגלא
vi
269 תויראניל תואוושמ תוכרעמ לש ירוטקו ביתכ 3.7
273 תוכיפה תוצירטמ 3.8
280 תוירטנמלא תוצירטמ 3.9
292 תוכיפה תוצירטמ לש םיפסונ םינויפא 3.10
299 3 קרפב תולאשל תובושת

333 תוטננימרטד :4 קרפ
335 הטננימרטדה תרדגה 4.1
341 חותיפה טפשמ 4.2
345 הטננימרטדה תונוכת 4.3
360 הטננימרטדה תוספאתה 4.4
362 תוצירטמ תלפכמ לש הטננימרטדה 4.5
366 רמרק ללכ 4.6
370 תפרוצמה הצירטמה 4.7
374 תורומת 4.8
380 חפנ תייצקנופכ הטננימרטדה 4.9
393 4 קרפב תולאשל תובושת

421 א ךרכב םיטפשמהו תורדגהה
1 אובמ
אובמ
תא םינפהל וסנ – םיטרפב וקמעתתש ךרוצ ןיא (סרוקה ךשמהב ומכ אלש) הז אובמב ןויעה ךלהמב
.םירבדה חור

לכמ תויעב לש הקיטמתמה תפשל םוגרתה ןה ,רתוי וא תחא האוושמ תוללוכה ,תואוושמ לש תוכרעמ
.הרוהט תיטמתמ הלאשל ךפוה הנורתפ ,תואוושמ תכרעמ תועצמאב תגצומ היעב רשאכ .עדמה ימוחת
,םיוסמ גוסמ תואוושמ לש תוכרעמ רקחב קוסיעה ךותמ חמצ הרבגלא הנוכמה הקיטמתמה לש ףנעה
.תואמגוד המכב ןנובתנש רחאל ראתנ ותואש

.(תחא האוושמ תב תכרעמ וא) תדדוב האוושמ איה 2x  4 .א
םיארקנ הב םיעיפומה (cid:28)ו םיעובקה םירפסמה .םלענ וא הנתשמ ןייצמ הב עיפומה למסה
4 2 x
הנתשמה םוקמב םתבצה רשא םיירפסמ םיכרע אוצמל ועמשמ האוושמה תא רותפל .םימדקמ
רפסמהש םג רמול רשפא . – דיחי ןורתפ שי ונינפלש האוושמלש רורב .ןויווש הבינמ
x  2
.התוא םייקמה דיחיה ךרעה אוהשו ,האוושמה תא (רתופ וא) םייקמ
x  2

.y(cid:28)ו x ,םינתשמ ינשב האוושמ איה 2x  y  1 .ב
2
1 1 (cid:28)ו 1 תובצהה ידמצ םג .ןויווש לבקנ 1 ביצנ םא
x  , y   x  , y  0 x  0, y 
2 2 4 2
חכוויהל לק .וניארש הלא ןוגכ ,םירפסמ לש תוגוז םה וז האוושמ לש תונורתפה .תונויווש םיבינמ
.תונורתפ ףוסניא הל שי רמולכ ,האוושמה תא םימייקמש םירפסמ לש םינוש תוגוז ףוסניא שיש
(?יהשלכ הרוצב םלוכ תא ןייפאל ולכות םאה)

.x דיחיה הנתשמב האוושמ איה x2 5x 4  0 .ג
:תונורתפ ינש קוידב שי וז האוושמלש עבונ תויעוביר תואוושמ ןורתפל תרכומה החסונהמ
.x  1, x  4

ןהב שיש תוכרעמ םיגדנ תעכ ."תכרעמ" חנומל ונקקזנ אל ןכל ,תחא האוושמ תונב ןה ג-א תוכרעמה
.תחא האוושממ רתוי

.(םינתשמ וא) םימלענ ינשב תואוושמ יתש תב תכרעמ איה x y  3 .ד

x2y  5
.תחאכ תכרעמה לש תואוושמה לכ תא רתופש ,םירפסמ גוז אוה םימלענ ינשב תכרעמ לש ןורתפ
םילבקתמ לש םימיוסמ םיכרע רובעש חיננ ,ןכא .דיחי ןורתפ שי ןאכ תמגדומה תכרעמל
x, y
תעבוק הנושארה האוושמהש רחאמו , בייחתמ היינשה האוושמהמ .תונויווש
(x  y) y  5
חרכהבש לבקנו (cid:28)ב ביצנ . חרכהב ןכלו , לבקנ , (cid:28)ש
x  y  3 y  2 y  2 3 y  5 x  y  3
ןמסנ ותואש , אוה תכרעמה תא רותפל יושעש דיחיה םיכרעה גוז ,ןכ םא .
x 1, y  2 x 1
ונעציבש םידעצהו ,ןורתפ הווהמה גוז םייקש החנהה ךותמ ונאצי ,בל ומיש . רוציקב
(x,y) (1,2)
דיחיה דמעומה גוזה אוה (cid:28)ש רמולכ , חרכהבש הנקסמל ונתוא וליבוה
(1,2) x 1, y  2
1 תיראניל הרבגלא 2
ונייהד) םוקמב םיביצמ םאש רמולכ ,ןורתפ םנמא והזש אדוול רתונ .ןורתפל
(x,y) (1,2)
הקידב ועצב .תונוכנ ןויווש תונעטל תוכפוה תכרעמה לש תואוושמה יתש ,( םיביצמ
x 1, y  2
!וז

x y  3 .ה
x4y  5
ןיב דיחיה לדבהה .םינתשמ ינשב תואוושמ יתש תב איה םג .ד תכרעמל דואמ המוד וז תכרעמ
תא ונרתפ הבש וזל המוד ךרדב ,ואדו אנא .היינשה האוושמב לש םדֵּ קַמְ בַּ אוה תוכרעמה יתש
y
גוזה רמולכ , 7 2 אוה תאזה תכרעמה לש דיחיה ןורתפהש ,תמדוקה תכרעמה
x  , y 
3 3
.7 2
 , 
3 3

ילנויצר רפסמ) םיילנויצרה םירפסמה םלועל םיכייש ונקדבש תונורחאה תוכרעמה יתשב םימדקמה
.םיילנויצר םירפסמ גוזמ בכרומש ןורתפ ונאצמ ןהמ תחא לכלו ,(םימלש םירפסמ ינש לש הנמ אוה
ךא ,םימלשה םירפסמה לש רתוי םצמוצמה םלועל םיכייש תואוושמה יתשב םימדקמה ,ןכ לע רתי
ירהש ,םימלשב ןורתפ ןיא ה תכרעמל .םימלשה םלועב ןורתפ שי – ד תכרעמה – ןהמ תחאל קר
ןמוגרתש תויעבה םא ,ךכיפל .םימלש םירפסמ לש גוז וניא – 7 2 גוזה – הלש דיחיה ןורתפה
 , 
3 3
םה םינתשמה יכרע םא ,לשמל) םימלש םירפסמב תונורתפ תובייחמ ה(cid:28)ו ד תכרעמה ןה יטמתמה
.ןיא – תרחאלו ןורתפ שי ןהמ תחאלש ירה ,(םייח ילעב לש תויומכ

םלוע הזיאב – הלאשל תעדה תא אופא תתל שי תואוושמ תוכרעמל תונורתפ שפחל םיליחתמש ינפל
ונא ובש םלוע ותואל וכייתשי תכרעמה לש םימדקמהש שורדל לכונ ,לשמל .ןתוא רותפל םיסנמ ונא
לכ םהש) םיישממה םירפסמהו םיילנויצרה םירפסמה ,םימלשה םירפסמה .תונורתפ הל םישפחמ
תומלוע השולש םה (רפסה(cid:28)תיב ידומילמ םכל רכומה םירפסמה ריצ לע תודוקנ םיגציימה םירפסמה
רפסמ אוה ילנויצר רפסמ לכ) םיילנויצרה םלוע תא שממ(cid:28)ליכמ םיישממה םירפסמה םלוע :םינוש
שממ(cid:28)ליכמ םיילנויצרה םירפסמה םלוע – המוד ןפואבו ,(ילנויצר אוה ישממ רפסמ לכ אל ךא ,ישממ
םיבכורמה םירפסמה םלוע ;ןכ טלחהב ?םיפסונ תומלוע שי םאה .םימלשה םירפסמה םלוע תא
םלוע אוה (ךשמהב הבחרהב ותוא ראתנ ןפוא לכבו ,םימדוקה םכידומילב וב םתלקתנ רבכש ןכתיי)
תומלועה לכמ ןיטולחל םידרפנ ,םיפסונ תומלוע םג שי .םימדוקה תומלועה תשולש תא שממ ליכמש
.הז סרוקב ודמלת םקלח לעו ,הכ דע ורכזנש

.x3  y3  z3 האוושמב ןנובתנ ,תונורתפהו םימדקמה םלוע תלאש תובישח לש תפסונ השחמהל
ןורתפה – (וילאמ רורב ןורתפ רמולכ) ילאיווירט ןורתפ שי ,םימלש הימדקמש ,וז האוושמל
.םתוא םישפחמ ובש םלועב היולת הבושתה ,ןאכ םג ?םיפסונ תונורתפ הל שי םאה .
x  y  z  0
18(cid:28)ה האמב החכוהש ,תילאיווירט אל הדבוע יהוז) 1ןורתפ האוושמל ןיא םייעבטה םירפסמה םלועב

הלש םינוש תונורתפ ףוסניא תולגל לק םיישממה םירפסמה םלועב ,תאז תמועל 2.(רליוא ידי(cid:28)לע
.(!וסנ)

– האוושמל דיחי ןורתפ םייעבטה םירפסמה םלועב שיש ורמאי ךכ םירידגמה .יעבט רפסמכ תא םירידגמה שי 1
0
.ילאיווירטה ןורתפה
.םינמזה לכב םיאקיטמתמה ילודגמ ,ירציווש יאקיטמתמ ,( ) רליוא דרנואיל 2
Leonhard Euler, 1707-1783