Lie-Gruppen und Lie-Algebren - Ein Crashkurs [Lecture notes]

41 Pages·2006·0.436 MB·German

by  Ralf Gerkmann

Ralf Gerkmann
Lie-Gruppen und Lie-Algebren
(cid:21) Ein Crashkurs (cid:21)
28. April 2006
Zusammenfassung
Das folgende Pamphlet gibt eine Einf(cid:252)hrung in die Theorie der Lie-Gruppen und Lie-
Algebren. Verarbeitet wurden dabei Ausz(cid:252)ge der B(cid:252)cher von Humphreys, Hilgert/Neeb und
Hall. Die Abschnitte (cid:159)1-3 stellen die Grundbegri(cid:27)e zur Theorie der Lie-Algebren bereit. Die
Paragraphen(cid:159)5-7behandelndiegrundlegendeStrukturtheorie;HauptzielistderSatz,da(cid:255)jede
Lie-Algebra sich in einen au(cid:29)(cid:246)sbaren und einen halbeinfachen Teil zerlegen l(cid:228)(cid:255)t. Im (cid:159)8 wird
Lie-Algebren-Kohomologie eingef(cid:252)hrt und zur Vervollst(cid:228)ndigung einiger Beweise genutzt. In
(cid:159)9-13 wird die Strukturtheorie allgemeiner halbeinfacher Lie-Algebren behandelt, wobei der
Begri(cid:27)derCartan-AlgebraunddiedurchsieinduzierteWurzelraumzerlegungimVordergrund
steht. In (cid:159)14-17 konzentrieren wir uns dann auf komplexe halbeinfache Lie-Algebren. Es wird
erkl(cid:228)rt,aufwelcheWeisejedersolchenLie-AlgebraeinWurzelsystemzugeordnetwerdenkann,
dieBeweisevonExistenz-undEindeutigkeitssatzwerdenskizziert.EinewichtigeRollespielen
dabeidieDarstellungendersl(2,C);aufihnenbasiertauchdieDarstellungstheorieallgemeiner
halbeinfacher komplexer Lie-Algebren, mit der wir uns in (cid:159)18 besch(cid:228)ftigen.
Im zweiten Teil wenden wir uns der Theorie der Lie-Gruppen zu. In den Paragraphen
(cid:159)19-23 behandeln wir den Begri(cid:27) der Lie-Gruppe mit wachsender Allgemeinheit: Wir fangen
mit den wohlbekannten abgeschlossenen Untergruppen von GL(n,K) an und arbeiten uns
(cid:252)ber die analytischen Untergruppen, die linearen und die lokal-linearen Lie-Gruppen zu den
allgemeinen Lie-Gruppen (analytische Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur) hoch. Dabei
behaltenwirstetsdenZusammenhangmitderKategoriederLie-AlgebrenimAuge.In(cid:159)24-27
behandeln wir dann die Strukturtheorie der Lie-Gruppen, wobei wir uns an der Struktur der
Lie-Algebren orientieren, so wie sie im ersten Teil vorgestellt wurde.
Achtung: Dieser Text ist keine zuverl(cid:228)ssige Quelle. Da der Autor selbst zuvor auf diesem
Gebietnichtgearbeitethat,sindFehlerundMi(cid:255)verst(cid:228)ndnissevonseinerSeitemehralswahr-
scheinlich.S(cid:228)mtlicheBeweisesindunvollst(cid:228)ndig;lediglichdieDe(cid:28)nitionundS(cid:228)tzesolltennach
M(cid:246)glichkeit genau wiedergegeben werden. Der Text soll kein Ersatz f(cid:252)r eine Vorlesung oder
einLehrbuchsein,sonderndeminteressiertenLeser(einschlie(cid:255)lichdemAutorselbst)lediglich
einen schnellen (cid:220)berblick (cid:252)ber die wichtigsten Grundideen der Theorie geben.
(cid:159) 1 Die Kategorie der Lie-Algebren
ImgesamtenTextbezeichnenwirmitKeinenderbeidenK(cid:246)rperRoderC.EineLie-Algebra(cid:252)ber
K ist ein K-Vektorraum g ausgestattet mit einer K-bilinearen Abbildung [ , ]:g×g→K, so da(cid:255)
[Y,X]=−[X,Y] und [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0 ∀ X,Y,Z ∈g
gilt. Die zweite Gleichung wird h(cid:228)u(cid:28)g als Jacobi-Identit(cid:228)t bezeichnet.
Ist (A,+,◦) eine assoziative K-Algebra, dann erh(cid:228)lt man eine Lie-Algebrenstruktur auf A durch
[f,g]:=f ◦g−g◦f f(cid:252)r f,g ∈A
Handelt es sich zum Beispiel bei A und die K-Algebra End(V) der linearen Endomorphismen
auf einem K-Vektorraum V, dann bezeichnet man die zugeordnete K-Lie-Algebra mit gl(V). Ist
V =Kn, dann schreibt man auch gl(n,K).
1
Ein Homomorphismus zwischen K-Lie-Algebren g,h ist eine K-lineare Abbildung α : g → h, so
da(cid:255) α(XY) = [α(X),α(Y)] f(cid:252)r alle X,Y ∈ g gilt. Ein Isomorphismus ist ein Homomorphismus
α:g→h, der zugleich eine mengentheoretische Bijektion zwischen g und h liefert. In diesem Fall
ist die Umkehrabbildung α−1 automatisch ebenfalls ein Lie-Algebren-Homomorphismus.
Ist V ein R-Vektorraum, dann erh(cid:228)lt man durch VC := V ⊗R C auf nat(cid:252)rliche Weise einen C-
Vektorraum, die sog. Komplexi(cid:28)zierung von V. Handelt es sich nun bei V = g um eine reelle
Lie-Algebra, dann kann die Verkn(cid:252)pfung [ , ]:g×g→R bilinear auf gC fortgesetzt werden. Man
erh(cid:228)lt so eine C-Lie-Algebra, die man ebenfalls als Komplexi(cid:28)zierung von g bezeichnet. Eine R-
Lie-Algebra g wird reelle Form einer C-Lie-Algebra h genannt, wenn gC als komplexe Lie-Algebra
isomorph zu h ist. Eine komplexe Lie-Algebra besitzt im allgemeinen mehrere reelle Formen, die
als R-Lie-Algebren nicht zueinander isomorph sind. Wir werden daf(cid:252)r im n(cid:228)chsten Abschnitt ein
Beispiel angeben.
(cid:159) 2 Unteralgebren und Ideale
Sei g eine K-Lie-Algebra. Eine (Lie-)Unteralgebra von g ist ein K-Unterraum mit der Eigenschaft
[X,Y] ∈ h f(cid:252)r alle X,Y ∈ h. Gilt [X,Y] ∈ h sogar f(cid:252)r alle X ∈ g und Y ∈ h, dann spricht man
von einem Ideal. Man schreibt h < g, wenn h eine Unteralgebra und h/g, wenn h ein Ideal in g
ist. Wichtige Unteralgebren von gl(n,K) sind zum Beispiel gegeben durch
sl(n,K) = {X ∈gl(n,K) | tr(X)=0}
o(n,K) = {X ∈gl(n,K) | X =−tX}
u(n) = {X ∈gl(n,C) | X =−tX¯}
wobei tX die transponierte Matrix bezeichnet und die Schreibweise X¯ bedeutet, da(cid:255) die Matri-
xeintr(cid:228)ge durch die komplex konjugierten Eintr(cid:228)ge ersetzt werden. Man beachte, da(cid:255) es sich bei
allen drei Teilmengen lediglich um R-Unteralgebren handelt, obwohl die umgebende Lie-Algebra
in der dritten Zeile (cid:252)ber C de(cid:28)niert ist.
AndieserStellek(cid:246)nnenwirdasversprocheneBeispielf(cid:252)rnicht-isomorphereelleFormeneinergege-
benen komplexen Lie-Algebra nachliefern. Die Algebren sl(2,R) und so(3,R):=o(3,R)∩sl(3,R)
sind beides reelle Formen von sl(2,C), wie man an Hand geeignet gew(cid:228)hlter Basen nachrechnen
kann. Dies ist m(cid:246)glich, da die Lie-Klammer auf einer beliebigen Lie-Algebra durch die Bilder der
Basiselementefestgelegtist.Andererseitsistsl(2,R)alsR-Lie-Algebranichtisomorphzuso(3,R),
da erstere im Gegensatz zur letzteren keine zweidimensionalen Unteralgebren besitzt.
Sei V ein K-Unterraum einer K-Lie-Algebra g. Dann erh(cid:228)lt man durch die Teilmenge
N (V)={X ∈g | [X,Y]∈V ∀ Y ∈g}
g
eine Unteralgebra von g, den sogenannten Normalisator von V. Es handelt sich dabei um die
kleinste Unteralgebra von g, die den Raum V enth(cid:228)lt. Wichtiges Beispiel f(cid:252)r ein Ideal in einer
Lie-Algebra g ist das Zentrum de(cid:28)niert durch
Z(g)={X ∈g | [X,Y]=0 ∀ Y ∈g}
Man kann leicht zeigen: Sind g < g, h < h und α : g → h ein Homomorphismus von Lie-
1 1
Algebren, dann folgt α(g ) < h und α−1(h ) < g. Ist dar(cid:252)ber hinaus h ein Ideal in h, dann gilt
1 1 1
sogar α−1(h )/g. Ist n(cid:228)mlich X ∈ α−1(h ), Y ∈ g, dann folgt α(X) ∈ h und α(Y) ∈ h, also
1 1 1
α([X,Y])=[α(X),α(Y)]∈h und somit [X,Y]∈α−1(h ).
1 1
2
Ist allgemein h/g ein Ideal in einer K-Lie-Algebra, dann erh(cid:228)lt man die Struktur einer K-Lie-
Algebra auf dem Quotientenraum g/h durch
[X +h,Y +h]:=[X,Y]+h f(cid:252)r X,Y ∈g
Manrechnetunmittelbarnach,da(cid:255)dieseDe(cid:28)nitionunabh(cid:228)ngigvonderWahlderRepr(cid:228)sentanten
X,Y ist.DieselbenHomomorphies(cid:228)tze,dief(cid:252)rabelscheGruppenundRingegelten,kannmanauch
in der Kategorie der Lie-Algebren beweisen.
Lemma 2.1 (i) Seien g,h Lie-Algebren (cid:252)ber K und α:g→h ein Homomorphismus.
(ii) Seien i,j/g Ideale mit i ⊆ j. Dann ist die Unteralgebra j/i von g/i ebenfalls ein Ideal,
und es existiert ein nat(cid:252)rlicher Isomorphismus (g/i)/(j/i)∼=g/j.
(iii) Sind i,j/g Ideale, dann auch i+j und i∩j, und es gilt i/(i∩j)∼=(i+j)/j.
Da sich die Beweise dieser Aussagen von denen in der gruppen- oder ringtheoretischen Situation
kaum unterscheiden, verzichten wir auf die Ausf(cid:252)hrung.
Einen Homomorphismus der Gestalt ρ : g → gl(V) mit einem K-Vektorraum V bezeichnet man
auch als Darstellung von g auf V, in Analogie zum Darstellungsbegri(cid:27) f(cid:252)r Gruppen. Zur Ver-
einfachung der Notation bietet es sich h(cid:228)u(cid:28)g an, statt einer Darstellung den Begri(cid:27) des Moduls
zu verwenden. Ein g-Modul ist ein K-Vektorraum V ausgestattet mit einer bilinearen Abbildung
· :g×V →V, so da(cid:255)
[X,Y]·v =X ·(Y ·v)−Y ·(X ·v) f(cid:252)r X,Y ∈g und v ∈V
gilt. Ist ρ : g → V eine Darstellung, dann erh(cid:228)lt man durch X · v := ρ(X)v einen g-Modul.
Umgekehrt liefert jeder g-Modul (V, · ) durch ρ(X)v := X · v eine Darstellung. F(cid:252)r eine fest
gew(cid:228)hlte Lie-Algebra g ist also die Kategorie der Darstellungen von g isomorph zur Kategorie der
g-Moduln.JedeLie-AlgebragbesitzteineDarstellungaufsichselbst,aufgefa(cid:255)talsK-Vektorraum.
Dazu de(cid:28)niert man
ad:g→gl(g) , ad(X)(Y):=[X,Y] f(cid:252)r X,Y ∈g
Es handelt sich um die sogenannte adjungierte Darstellung der Lie-Algebra g. Wir werden weiter
unten auf die allgemeine Strukturtheorie der Darstellungen von Lie-Algebren ausf(cid:252)hrlicher einge-
hen.
(cid:159) 3 Derivationen und semidirekte Produkte
EineDerivationaufeinerLie-AlgebragisteineK-lineareAbbildungδ :g→gmitderEigenschaft
δ([X,Y])=[δ(X),Y]+[X,δ(Y)] f(cid:252)r X,Y ∈g
Die Menge der(g) der Derivationen auf g bildet zusammen mit der Komposition eine Unteralgebra
der (assoziativen) Algebra End(g) der Endomorphismen auf g als K-Vektorraum. Durch
[δ ,δ ]:=δ ◦δ −δ ◦δ f(cid:252)r δ ,δ ∈der(g)
1 2 1 2 2 1 1 2
kann sie somit auch als Lie-Unteralgebra von gl(g) aufgefa(cid:255)t werden.
Die Abbildung ad(X) liefert f(cid:252)r alle X ∈ g eine Derivation von g, wie man mit Hilfe der Jacobi-
Identit(cid:228)t schnell nachrechnet. Die Derivationen dieser Bauart werden als innere Derivationen von
g bezeichnet, und ad de(cid:28)niert einen Lie-Algebren-Homomorphismus g→der(g)<gl(g). Der Kern
von ad ist genau das Zentrum von g, und das Bild besteht aus den inneren Derivationen.
3
Seien nun n und h Lie-Algebren (cid:252)ber K und α : h → der(n) ein Lie-Algebren-Homomorphismus.
Dann ist auf der direkten Summe n⊕h von K-Vektorr(cid:228)umen durch
[(X,Y),(X0,Y0)]:=(α(Y)X0−α(Y0)X +[X,X0],[Y,Y0]) X,X ∈n , Y,Y0 ∈h
eineLie-Algebren-Strukturde(cid:28)niert,diesemidirektes Produktvonnundhgenanntundmitno h
α
bezeichnet wird. Wir werden sp(cid:228)ter sehen, da(cid:255) das semidirekte Produkt von Lie-Algebren eng
mit dem semidirekten Produkt von Lie-Gruppen zusammenh(cid:228)ngt. Hier geben wir zur Illustration
zun(cid:228)chst nur ein einfaches Beispiel f(cid:252)r ein semidirektes Produkt an. Sei n=RX +RY +RE mit
der Lie-Klammer
[X,Y]=E , [X,E]=[Y,E]=0
DiesistdiesogenannteHeisenberg-Algebra.Nunseih:=RH eineeindimensionaleLie-Algebramit
[H,H]=0 und α:h→der(n) der durch
α(H)(X)=Y , α(H)(Y)=−X , α(H)(E)=0
de(cid:28)nierte Homomorphismus. Die Oszillator-Algebra ist nun de(cid:28)niert als das semidirekte Produkt
von n und h mittels α. Zum Beispiel ist
[H,X]=[(0,H),(X,0)]=(α(H)(X),0)=Y
und ebenso erh(cid:228)lt man [X,Y]=E sowie [H,Y]=−X. Da die Elemente X,Y,E und H eine Basis
der Oszillator-Algebra bilden, ist die Lie-Algebren-Struktur dadurch eindeutig festgelegt.
(cid:159) 4 Nilpotente Lie-Algebren
Sei g eine Lie-Algebra. Dann k(cid:246)nnen wir induktiv durch
g1 :=[g,g] und gn :=[g,gn−1] f(cid:252)r n≥2
eine absteigende Folge g = g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ··· von Unterr(cid:228)umen de(cid:28)nieren. Man rechnet leicht
nach, da(cid:255) es sich bei allen gn um Ideale von g handelt. Die absteigende Folge bezeichnet man als
die Zentralreihe der Lie-Algebra g. Eine Lie-Algebra wird nilpotent genannt, wenn diese Folge bis
zum Nullraum hinunterreicht, wenn also ein n∈N existiert, so da(cid:255) gn =0 gilt.
Diese Eigenschaft der Nilpotenz (cid:252)bertr(cid:228)gt sich auf Unteralgebren, homomorphe Bilder und Sum-
men. Insbesondere existiert in jeder Lie-Algebra g eine maximale nilpotente Unteralgebra, da(cid:255)
sogenannte Nilradikal von g. Ist a/g ein Ideal im Zentrum Z(g) und g/a nilpotent, dann auch g.
Die Heisenberg-Algebra ist ein Beispiel f(cid:252)r eine nilpotente Lie-Algebra. Eine Lie-Algebra g nennt
man abelsch hei(cid:255)t abelsch, wenn [X,Y] = 0 f(cid:252)r alle X,Y ∈ g gilt; dies ist o(cid:27)enbar (cid:228)quivalent zu
g=Z(g). Nach De(cid:28)nition ist jede abelsche Lie-Algebra nilpotent.
Wir versuchen, den Begri(cid:27) der Nilpotenz einer Lie-Algebra konkreter zu fassen. Folgendes Lemma
ist dabei hilfreich.
Lemma 4.1 Ist V ein nichttrivialer K-Vektorraum und g eine Unteralgebra von gl(V) mit der
Eigeschaft, da(cid:255) alle X ∈g (als Endomorphismen von V) nilpotent sind, dann gibt es einen Vektor
06=v ∈V mit X(v )=0 f(cid:252)r alle X ∈g.
0 0
Der Beweis des Lemmas wird durch vollst(cid:228)ndige Induktion (cid:252)ber dimKg gef(cid:252)hrt, wobei der Fall
dimKg = 1 unmittelbar klar ist. Mit Hilfe des Lemmas kann dann gezeigt werden: Ist g < gl(V)
f(cid:252)r einen Vektorraum V und sind alle X ∈g nilpotent, dann ist auch g nilpotent. Ferner existiert
4
eine Fahne {V } in V, so da(cid:255) X(V ) ⊆ V f(cid:252)r 1 ≤ k ≤ n = dim(V) und alle X ∈ g gilt. (Eine
k k k−1
Fahne in V ist eine Folge 0 = V < V < ··· < V mit k = dim(V ) f(cid:252)r 0 ≤ k ≤ n.) Dies ist
0 1 n k
gleichbedeutend mit der Existenz einer Basis von V, so da(cid:255) die Darstellungsmatrizen aller X ∈g
bez(cid:252)glich dieser Basis strikte obere Dreiecksmatrizen sind.
Die Umkehrung dieser Aussage ist allerdings falsch: Eine Unteralgebra g < gl(V) kann nilpotent
sein,ohneda(cid:255)diesf(cid:252)ralleElementeinggilt.ZumBeispielbildendieVielfachenderEinheitsmatrix
eine Lie-Unteralgebra, die abelsch, also insbesondere nilpotent ist.
Allgemeine nilpotente Lie-Algebren k(cid:246)nnen mit dem Satz von Engels charakterisiert werden: Eine
Lie-Algebra g ist genau dann nilpotent, wenn die Endomorphismen ad(X) des K-Vektorraums g
f(cid:252)r alle X ∈g nilpotent sind. Die Nilpotenz von ad(X) ist klar, denn f(cid:252)r alle Y ∈g ist
ad(X)n(Y)=[X,[X,...,[X,Y]]]∈gn =0 f(cid:252)r n hinreichend gro(cid:255).
Sind umgekehrt alle X ∈ ad(g) als Endomorphismen des Vektorraum V := g nilpotent, ist ad(g)
als Lie-Unteralgebra von gl(g) nilpotent. Der Kern des Lie-Algebren-Homomorphismus ad ist das
Zentrum, somit ist ad(g) ∼= g/Z(g). Mit ad(g) und Z(g) ist nach dem oben Gesagten auch g
nilpotent.
(cid:159) 5 Au(cid:29)(cid:246)sbare Lie-Algebren
Die au(cid:29)(cid:246)sbaren Lie-Algebren besitzen nach den abelschen und nilpotenten die n(cid:228)chsth(cid:246)here Kom-
plexit(cid:228)t. F(cid:252)r eine Lie-Algebra g de(cid:28)nieren wir rekursiv
g(1) :=g1 =[g,g] und g(n) :=[g(n−1),g(n−1)] f(cid:252)r n≥2.
Man erh(cid:228)lt auf diese Weise die sogenannte abgeleitete Reihe g=g(0) ⊇g(1) ⊇··· der Lie-Algebra
g.EineLie-Algebraghei(cid:255)tau(cid:29)(cid:246)sbar,wenng(n) =0f(cid:252)reinn∈Ngilt.O(cid:27)enbarsindnilpotenteLie-
Algebren au(cid:29)(cid:246)sbar. (Die Umkehrung gilt nat(cid:252)rlich nicht, sonst w(cid:228)re der neue Begri(cid:27) (cid:252)ber(cid:29)(cid:252)ssig.)
Neben der Nilpotenz (cid:252)bertr(cid:228)gt sich auch die Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit einer Lie-Algebra auf Unteralgebren,
homomorpheBilderundSummen.Diemaximaleau(cid:29)(cid:246)sbareUnteralgebraeinerLie-Algebragwird
das Radikal von g genannt und mit rad(g) bezeichnet. Ist a ein Ideal von g und sowohl a als
auchg/aau(cid:29)(cid:246)sbar,danngiltdasselbef(cid:252)rg.Wirerinnerndaran,da(cid:255)beinilpotentenLie-Algebren
entsprechendes im allgemeinen nur dann richtig ist, wenn a im Zentrum von g liegt.
WiebeidennilpotentenLie-Algebrenbeweistmanauchhierzun(cid:228)chsteintechnischesLemma,das
es erlaubt, den Begri(cid:27) der Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit auf (cid:18)anschauliche(cid:16) Weise zu verstehen.
Lemma 5.1 Ist V 6=0 ein C-Vektorraum und g<gl(V) au(cid:29)(cid:246)sbar, dann existiert ein 06=v ∈V
0
mit g(v )⊆Cv .
0 0
Die Einschr(cid:228)nkung auf den Grundk(cid:246)rper C ist darauf zur(cid:252)ckzuf(cid:252)hren, da(cid:255) nur hier beliebige En-
domorphismen trigonalisiert werden k(cid:246)nnen.
EineunmittelbareFolgerungausdemLemmaistderfolgendeSatzvonLie:IstV einC-Vektorraum
undg<gl(V)au(cid:29)(cid:246)sbar,danngibteseineg-invarianteFahne.DieDarstellungsmatrizenderX ∈g
sind also obere Dreiecksmatrizen bez(cid:252)glich einer einheitlich gew(cid:228)hlten Basis.
Der Satz von Lie erm(cid:246)glicht es, die Beziehung zwischen den Eigenschaften (cid:18)nilpotent(cid:16) und (cid:18)au(cid:29)(cid:246)s-
bar(cid:16) besser zu verstehen: Eine K-Lie-Algebra g ist genau dann au(cid:29)(cid:246)sbar, wenn [g,g] nilpotent ist.
DieRichung(cid:18)⇐(cid:16) folgtdabeiunmittelbarausunsererobengetro(cid:27)enenFeststellung,da(cid:255)nilpotente
Lie-Algebren au(cid:29)(cid:246)sbar sind. F(cid:252)r (cid:18)⇒(cid:16) reduziert man die Aussage zun(cid:228)chst auf den Grundk(cid:246)rper
5
C. Daf(cid:252)r mu(cid:255) gezeigt werden, da(cid:255) jede reelle Lie-Algebra g genau dann nilpotent bzw. au(cid:29)(cid:246)sbar
ist,wenndiesf(cid:252)rihreKomplexi(cid:28)zierunggC zutri(cid:27)t.Dieswiederumfolgtaus[gC,gC]=[g,g]C,was
mandirektnachrechnenkann.IstnundieC-Lie-Algebragau(cid:29)(cid:246)sbar,dannbestehtad(g)nachdem
Satz von Lie aus oberen Dreiecksmatrizen. Dies wiederum bedeutet, da(cid:255) ad([g,g])=[ad(g),ad(g)]
aus strikten oberen Dreiecksmatrizen besteht, nach dem Satz von Engel also nilpotent ist.
Au(cid:29)(cid:246)sbare Unteralgebren von gl(V) werden durch das Cartan-Kriterium charakterisiert werden:
SeiV einK-Vektorraumundg<gl(V).IndiesemFallistgau(cid:29)(cid:246)sbargenaudann,wenntr(XY)=0
f(cid:252)r alle X ∈ [g,g] und Y ∈ g gilt. Dabei bezeichnet tr(φ) die Spur eines Endomorphismus φ von
V. Die Richtung ist (cid:18)⇒(cid:16) eine direkte Konsequenz aus dem oben beschriebenen Zusammenhang
zwischen Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit und Nilpotenz. Ist n(cid:228)mlich g au(cid:29)(cid:246)sbar, dann ist [g,g] nilpotent. Nach dem
SatzvonLieexistierteineBasisvonV,soda(cid:255)gausoberenDreiecksmatrizenbesteht.Dannenth(cid:228)lt
[g,g] ausschlie(cid:255)lich strikte obere Dreiecksmatrizen. Ist nun X ∈ [g,g] und Y ∈ g, dann ist XY
wiederum eine strikte obere Dreiecksmatrix, und diese hat Spur Null. Der Beweis der Umkehrung
(cid:18)⇐(cid:16) ist relativ technisch, deshalb soll er hier nicht ausgef(cid:252)hrt werden.
Das Cartan-Kriterium kann mit der adjungierten Darstellung auf allgemeine Lie-Algebren (cid:252)ber-
tragen werden und lautet hier: Eine K-Lie-Algebra g ist genau dann au(cid:29)(cid:246)sbar, wenn
tr(ad(X)ad(Y))=0 f(cid:252)r alle X ∈[g,g] und Y ∈g gilt.
Ist n(cid:228)mlich g au(cid:29)(cid:246)sbar, dann auch ad(g) < gl(g), und wir k(cid:246)nnen das urspr(cid:252)ngliche Cartan-
Kriterium anwenden. Ist nun umgekehrt tr(ad(X)ad(Y)) = 0 f(cid:252)r alle X ∈ [g,g] und Y ∈ g, dann
folgt aus dem Cartan-Kriterium, da(cid:255) ad(g) ∼= g/Z(g) au(cid:29)(cid:246)sbar ist. Das Ideal Z(g) ist au(cid:29)(cid:246)sbar,
da abelsch, also ist auch g au(cid:29)(cid:246)sbar.
(cid:159) 6 Halbeinfache Lie-Algebren
Eine K-Lie-Algebra g wird halbeinfach genannt, wenn ihr Radikal rad(g) verschwindet. Von einer
einfachen Lie-Algebra spricht man, wenn sie nicht abelsch ist und keine Ideale au(cid:255)er g und 0
besitzt. Eine einfache Algebra kann nicht au(cid:29)(cid:246)sbar sein, da nach Voraussetzung [g,g] = g gelten
mu(cid:255).
Wichtige Invariante einer Lie-Algebra ist ihre Killing-Form. Dabei handelt es sich um eine sym-
metrische Bilinearform auf g de(cid:28)niert durch
κ :g×g→K , (X,Y)7→tr(ad(X)ad(Y))
g
Eine wichtige Eigenschaft der Killing-Form neben der Bilinearit(cid:228)t ist ihre Invarianz, d.h. es gilt
κ (X,[Y,Z])=κ ([X,Y],Z) f(cid:252)r alle X,Y,Z ∈g.
g g
Das Cartan-Kriterium besagt, da(cid:255) eine Lie-Algebra genau dann au(cid:29)(cid:246)sbar ist, wenn ihre Killing-
FormidentischNullist.HalbeinfacheLie-Algebrendagegensinddadurchgekennzeichnet,da(cid:255)ihre
Killing-Form nicht ausgeartet ist. Mit anderen Worten: Das Radikal rad(κ ) := g⊥, d.h. der auf
g
ganz g bez(cid:252)glich κ senkrecht stehende Teilraum von g ist der Nullraum. Sei n(cid:228)mlich g 6= 0 eine
g
halbeinfache Lie-Algebra. Wir zeigen zun(cid:228)chst, da(cid:255) f(cid:252)r jedes Ideal j/g der Durchschnitt j∩j⊥ im
Radikal rad(g) enthalten ist. Zun(cid:228)chst einmal ist j⊥ auch ein Ideal in g. Ist n(cid:228)mlich Z ∈ j⊥ und
Y ∈g, dann gilt κ (X,[Y,Z])=κ ([X,Y],Z)=0 f(cid:252)r alle X ∈j, d.h. [Y,Z] steht auf j senkrecht.
g g
Somit ist auch i:=j∩j⊥ ein Ideal von g. Die Einschr(cid:228)nkung κ =κ |i×i verschwindet identisch,
i g
es ist also rad(i) = i. Somit ist i, aufgefa(cid:255)t als Unteralgebra von g, au(cid:29)(cid:246)sbar, also im Radikal
enthalten. Insbesondere ist g∩g⊥ in rad(g) enthalten, im halbeinfachen Fall handelt es sich also
um das Nullideal.
6
Nehmenwirnunan,esistr:=rad(g)6=0.Danngibteseinn∈N,soda(cid:255)r(n) =0,h:=r(n−1) aber
6=0 ist. Sei nun 06=X ∈h und Y,Z ∈g beliebig. Eine kurze Rechnung zeigt (ad(X)ad(Y))2(Z)=
0. Es ist ad(X)ad(Y) also ein nilpotentes Element in gl(g) und hat als solches Spur Null. Wir
haben somit ein nichttriviales Element in rad(κ ) gefunden.
g
DieBezeichnung(cid:18)halbeinfach(cid:16) f(cid:252)reineLie-AlgebrawirddurchfolgendeEigenschaftgerechtfertigt:
In jeder halbeinfachen Lie-Algebra g gibt es einfache Ideale g ,...,g , so da(cid:255) g als direkte Sum-
1 n
me g ⊕···⊕g dargestellt werden kann. Dies beweist man durch vollst(cid:228)ndige Induktion (cid:252)ber
1 n
die Dimension von g. Sei j/g ein nichttriviales Ideal. Dann ist zun(cid:228)chst j∩j⊥ ⊆ rad(g) = 0,
woran man erkennt, da(cid:255) die Einschr(cid:228)nkung der Killing-Form auf j nicht ausgeartet und j,j⊥ so-
mit selbst halbeinfache Unteralgebren sind. Au(cid:255)erdem gilt j+j⊥ = g, denn ist {X ,...,X } eine
1 m
Orthonormalbasis von j und X ∈g, dann folgt
m
X −X κg(X,Xi)X ∈j⊥
κ (X ,X ) i
g i i
i=1
Also ist g direkte Summe von j und j⊥, und wir k(cid:246)nnen die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Aus dieser Zerlegungseigenschaft folgt, da(cid:255) [g,g] = g f(cid:252)r jede halbeinfache Lie-Algebra gilt. Sei
P
n(cid:228)mlich g = g eine Zerlegung in einfache Unteralgebren. Da alle g nicht abelsch und einfach
j j
sind, es sich bei [g ,g ] aber um ein Ideal handelt, kann nur [g ,g ]=g gelten. Dann folgt aber
j j j j j
X X X
[g,g]= [g ,g ]= [g ,g ]= g =g
i j j j j
i,j
Wir haben bereits vorhin im Beweis festgestellt, da(cid:255) alle Ideale einer halbeinfachen Lie-Algebra g
wiederhalbeinfachsind.Dasselbegiltauchf(cid:252)rhomomorpheBildervonhalbeinfachenLie-Algebren.
Denn ist h ein solches Bild, dann gilt nach dem Homomorphiesatz h∼=g/n f(cid:252)r ein geeignetes Ideal
n/g,undesistg/n∼=n⊥;dieLie-Algebran⊥istaber,wieimBeweisgezeigtwurde,nichtausgeartet.
(cid:159) 7 Erweiterung von Lie-Algebren, Levi-Zerlegung
Seien h,i Lie-Algebren. Eine Erweiterung von h mit i ist eine kurze exakte Sequenz
ι π
0→i→g→h→0
Zwei Erweiterungen g,g0 werden (cid:228)quivalent genannt, wenn ein Isomorphismus φ:g→g0 existiert
mit φ◦ι = ι0 und π = π0 ◦φ. Man sagt, da(cid:255) die Erweiterung zerf(cid:228)llt, wenn ein Lie-Algebren-
Homomorphismus ψ :h→g mit π◦ψ =id existiert.
h
Man kann leicht nachrechnen, da(cid:255) eine zerfallende Erweiterung stets als semidirektes Produkt
geschrieben werden kann. Zun(cid:228)chst de(cid:28)niert man einen Vektorraum-Isomorphismus Φ:i⊕h→g
durch (X,Y)7→ι(X)+ψ(Y). Dann benutzt man diesen, um die Lie-Algebren-Struktur von g auf
i⊕h zu (cid:252)bertragen.
[(X,Y),(X0,Y0)]:=Φ−1([ι(X)+ψ(Y),ι(X0)+ψ(Y0)])
Anschlie(cid:255)end (cid:252)berpr(cid:252)ft man, da(cid:255) der Homomorphismus α(Y)(X) := ι−1([ψ(Y),ι(X)]) von h in
die Derivationen auf i die Gleichung
[(X,Y),(X0,Y0)]=(α(Y)(X0)−α(Y0)(X)+[X,X0],[Y,Y0]) f(cid:252)r X ∈ι, Y ∈h
so da(cid:255) g also tats(cid:228)chlich das semidirekte Produkt von h und i bez(cid:252)glich α ist.
7
Wir kommen nun zu einem der zentralen S(cid:228)tze in der Strukturtheorie der Lie-Algebren. Der Satz
von Levi besagt, da(cid:255) in jeder Lie-Algebra g eine halbeinfache Unteralgebra s existiert mit s+
rad(g) = g und s∩rad(g) = {0}. Man nennt s das Levi-Komplement von rad(g) und die direkte
Summenzerlegung g=s⊕rad(g) die Levi-Zerlegung. Wir skizzieren den Beweis dieses Satzes. Im
folgenden Abschnitt werden wir mit kohomologischen Mitteln zeigen: Ist g eine Erweiterung von h
mit i und ist h halbeinfach und i abelsch, dann zerf(cid:228)llt diese Erweiterung. Daraus folgert man: Ist
g eine Lie-Algebra und r=rad(g), dann zerf(cid:228)llt
0→r→g→g/r→0
Dies ist ein relativ technischer Induktionsbeweis (cid:252)ber die Dimension von r, den wir hier nicht
vollst(cid:228)ndig ausf(cid:252)hren. F(cid:252)r dim(r) = 0 ist nichts zu zeigen, und der Fall dim(r) = 1 ist bereits
erledigt, da eindimensionale Lie-Algebren stets abelsch sind. Ist r nicht abelsch, dann ist [r,r]6=0.
Sei α : g → g/[r,r] =: h die Quotientenabbildung. Man kann leicht zeigen, da(cid:255) α(r) das Radikal
von h ist, und dieses besitzt eine echt kleinere Dimension. Also kann die Induktionsvoraussetzung
auf α(r)⊆h angewendet werden.
Kehren wir zur(cid:252)ck zum Beweis des Satzes von Levi. Sei ψ : g/r → g der Lie-Algebren-Homo-
morphismus, der die kurze exakte Sequenz aus dem vorigen Lemma zum Zerfallen bringt. Man
de(cid:28)niert nun s := ψ(g/r). Diese Lie-Algebra ist o(cid:27)enbar halbeinfach und erf(cid:252)llt die Bedingungen
s+rad(g)=g sowie s∩rad(g)={0}.
(cid:159) 8 Lie-Algebren-Kohomologie und Anwendungen
IndiesemAbschnittwerdenwirdieGrundbegri(cid:27)ederLie-Algebren-Kohomologieeinf(cid:252)hren.Au(cid:255)er-
dem soll erkl(cid:228)rt werden, wie aus kohomologischen Resultaten die beiden Ergebnisse folgen, deren
Beweis wir bisher o(cid:27)en lassen mu(cid:255)ten: den Satz von Weyl (cid:252)ber die vollst(cid:228)ndige Reduzibilit(cid:228)t von
Lie-Algebren-Darstellungen und das Lemma (cid:252)ber Erweiterungen abelscher Lie-Algebren, das zum
Beweis des Satzes von Levi gebraucht wurde.
Sei g eine K-Lie-Algebra und π : g → gl(V) eine Darstellung. Eine k-Kokette ist eine K-lineare,
alternierende Abbildung
c:g×···×g→V
wobei rechts das k-fache direkte Produkt des Vektorraums g steht. Die 0-Kokette sind einfach die
Elemente der Vektorraums V.
Nun de(cid:28)nieren wir einen geeigneten Randoperator δ :Ck →Ck+1 durch
k π π
k
(δ c)(X ,...,X )=X(−1)iπ(X )c(X ,...,Xˆ ,...,X )+X(−1)i+jc([X ,X ],X ,...,Xˆ ,...,Xˆ ,...,X )
k 0 k i 0 i k i j 0 i j k
i=0 i<j
Manrechnetunmittelbarnach,da(cid:255)δ ◦δ =0ist.Eink-KozykelisteinElementinZk :=ker(δ ),
k+1 k π k
eink-KorandeinElementinBk :δ (Ck−1).Diek-teLie-Algebren-Kohomologie(oderChevalley-
π k−1 π
Kohomologie) ist nun de(cid:28)niert durch Hk :=Zk/Bk.
π π π
Wahrscheinlich h(cid:228)tte man die Lie-Algebren-Kohomologie alternativ auch als Rechtsableitung des
Vergi(cid:255)funktors von der Kategorie der g-Moduln in die Kategorie der K-Vektorr(cid:228)ume de(cid:28)nieren
k(cid:246)nnen,undderangegebeneKettenkomplexistdieStandardau(cid:29)(cid:246)sungeinesvorgegebenenModuls
V. Auf die Schnelle habe ich aber keinen Hinweis in dieser Richtung (cid:28)nden k(cid:246)nnen.
Wir zeigen nun : Ist H1 = {0} f(cid:252)r jede Darstellung π einer Lie-Algebra g, dann zerf(cid:228)llt jede
π
Erweiterung von g-Moduln. Sei
ι φ
0→W →V →W →0
8
eine solche Erweiterung und E :=Hom(W0,W). Dann erh(cid:228)lt man eine Darstellung π :g→gl(E)
durch (π(X)f)(w0) := X ·f(w0)−f(X ·w0). Unser Plan sieht nun folgenderma(cid:255)en aus: Einer
beliebigen linearen Abbildung ψ : W0 → V mit φ◦ψ = id (nicht notwendig (cid:228)quivariant!) kann
W0
auf nat(cid:252)rliche Weise eine 1-Kokette c mit Werten in E zugeordnet werden. Ist diese auch ein
ψ
Korand, dann kann ψ zu einer (cid:228)quivarianten Abbildung umgewandelt werden, was bedeutet, da(cid:255)
die kurze exakte Sequenz zerf(cid:228)llt.
Sehen wir uns nun diese Zuordnung genauer an. Gegeben eine lineare Abbildung ψ mit den ge-
nannten Eigenschaften, de(cid:28)nieren wir
c (X)(w0):=X ·ψ(w0)−ψ(X ·w0) (X ∈g, w0 ∈W0)
ψ
Es gilt φ(c (X)(w0)) = φ(X ·ψ(w0))−φ◦ψ(X ·w0) = X ·w0−X ·w0 = 0. Also ist c (X) nicht
ψ ψ
nur eine Abbildung mit Werten in V, sondern in W. Somit de(cid:28)niert c : g → E eine Kokette
ψ
mit Werten in E. Durch eine l(cid:228)ngere Rechnung veri(cid:28)ziert man, da(cid:255) es sich bei c sogar um einen
ψ
Kozykel handelt.
Verschwindet nun die erste Kohomologie, dann mu(cid:255) c ein Korand sein. Es gibt also ein f ∈ E
ψ
mit c (X) = δ f(X). Man kann jetzt nachrechnen, da(cid:255) ψ−ι◦f ein g-Modul-Homomorphismus
ψ 0
ist und φ◦(ψ−ι◦f)=φ◦ψ =id gilt.
W0
Auch die zweite Lie-Algebren-Kohomologie besitzt eine wichtige konkrete Bedeutung: Ist h eine
K-Lie-AlgebramitderEigenschaft,da(cid:255)H2 f(cid:252)rjedeDarstellungρverschwindet,dannzerf(cid:228)lltjede
ρ
Erweiterung von h mit einer abelschen Lie-Algebra. Sei n(cid:228)mlich
ι π
0→i→g→h→0
eine solche Erweiterung und ψ : h → g eine lineare Abbildung, die diese kurze exakte Sequenz
in der Kategorie der Vektorr(cid:228)ume zerfallen l(cid:228)(cid:255)t. Das Beweisschema ist dasselbe wie zuvor in der
ersten Kohomologie: Man ordnet ψ einen geeigneten 2-Kozykel mit Werten in V := i zu. Wenn
es sich dabei auch um einen 2-Korand handelt, kann ψ zu einem Lie-Algebren-Homomorphismus
abge(cid:228)ndert werden.
Sei ψ :h→g eine lineare Abbildung mit der geforderten Zerf(cid:228)llungseigenschaft. Zun(cid:228)chst m(cid:252)ssen
wir eine zu Grunde liegende Darstellung de(cid:28)nieren. Dazu setzen wir ρ (X)(v) := [ψ(X),ι(v)] f(cid:252)r
ψ
X ∈hundv ∈i.Da(cid:255)essichdabeitats(cid:228)chlichumeineDarstellungvonhhandeltistgew(cid:228)hrleistet,
weil i abelsch ist. Nun de(cid:28)nieren wir die lineare Abbildung
c :h×h→g , (X,Y)7→ψ([X,Y])−[ψ(X),ψ(Y)]
ψ
Wegen π ◦c (X,Y) = 0 nimmt diese alle Werte in i ⊆ g an. Au(cid:255)erdem rechnet man nach, da(cid:255)
ψ
(δ c )(X,Y,Z) = 0 f(cid:252)r alle X,Y,Z ∈ h ist. Also ist durch c ein 2-Kozykel mit Werten in i
2 ψ ψ
de(cid:28)niert.
Wenn die zweite Kohomologie verschwindet, ist c auch ein 2-Korand. Es existiert also eine 1-
ψ
Kokette c mit δ c=c . Ausgeschrieben bedeutet das
1 ψ
ψ([X,Y])−[ψ(X),ψ(Y)]=[ψ(X),ι◦c(Y)]−[ψ(Y),ι◦c(X)]−c([X,Y]).
Nunde(cid:28)nierenwirψ0 :=ψ+ι◦c.Danngilt[ψ0(X),ψ0(Y)]=ψ([X,Y])+c([X,Y]),also[ψ0(X),ψ0(Y)]−
ψ0([X,Y]) = 0. Also handelt es sich bei ψ0 um einen Lie-Algebren-Homomorphismus. In der Ka-
tegorie der Vektorr(cid:228)ume l(cid:228)(cid:255)t ψ0 die kurze exakte Sequenz weiterhin zerfallen, also auch in der
Kategorie der Lie-Algebren.
9
Sei g nun eine halbeinfache Lie-Algebra und ρ : g → gl(V) eine Darstellung. Die Lemmata von
Whitehead (erstes und zweites Lemma) besagen, da(cid:255) dann die Kohomologier(cid:228)ume H1 und H2
ρ ρ
beide verschwinden. Wir verzichten hier auf den Beweis und stellen lediglich fest, da(cid:255) die Beweise
der S(cid:228)tze von Weyl und Levi damit abgeschlossen sind. (Der Satz von Weyl kann alternativ auch
(cid:252)ber das Schurs Lemma bewiesen werden, wie z.B. in Humphreys Buch gezeigt wird.)
(cid:159) 9 Gewichtszerlegung einer Darstellung
In den folgenden Abschnitten soll die Struktur halbeinfacher Lie-Algebren genauer untersucht
werden, wobei auch die Darstellungstheorie eine wichtige Rolle spielt. Wir wiederholen zun(cid:228)chst
einigeGrundbegri(cid:27)eausderlinearenAlgebra.SeiφeinEndomorphismusaufeinemK-Vektorraum
V und λ∈K. Dann ist der Hauptraum zum Wert λ de(cid:28)niert durch
[
Hau(φ,λ):= ker(φ−λid)n
n∈N
Man nennt einen Endomorphismus zerfallend, wenn V in Hauptr(cid:228)ume zu verschiedenen Werten
λ zerf(cid:228)llt. Dies ist gleichwertig damit, da(cid:255) φ eine Darstellung als Summe φ +φ besitzt, wobei
S N
φ halbeinfach und φ nilpotent ist. Aus der lineare Algebra ist bekannt, da(cid:255) f(cid:252)r K = C jeder
S N
Endomorphismus diese Eigenschaft besitzt.
EineDarstellungπ :g→gl(V)wirdzerfallendgenannt,wennalleEndomorphismenπ(X)mitX ∈
g zerfallen. Zum Beispiel ist jede Darstellung (cid:252)ber C zerfallend. Die adjungierte Darstellung einer
Unteralgebra g < gl(V) zerf(cid:228)llt genau dann, wenn jedes X ∈ g als Vektorraum-Endomorphismus
zerf(cid:228)llt. F(cid:252)r den halbeinfachen und den nilpotenten Anteil gilt dann ad(X) = ad(X ) und
S S
ad(X) =ad(X ).
N N
Seig∗ derK-VektorraumderLinearformenaufg.Dannde(cid:28)nierenwirjedesλ∈g∗ denUnterraum
\
V (π):= Hau(π(X),λ(X))
λ
X∈g
derjenigen Vektoren, die f(cid:252)r alle X ∈ g im π(X)-Hauptraum zum Wert λ(X) liegen. Man nennt
λ ein Gewicht von π, wenn V 6= 0 ist und nennt V in diesem Fall einen Gewichtsraum. Die
λ λ
Dimension dimV wird die Vielfachheit des Gewichts λ genannt.
λ
Es liegt nun nahe zu fragen, wann der Vektorraum V direkte Summe seiner Gewichtsunterr(cid:228)ume
ist. Eine hinreichende Bedingung daf(cid:252)r ist, da(cid:255) die Darstellung π zerf(cid:228)llt und g nilpotent ist. Wir
skizzieren den Beweis, vor allem um nachzuvollziehen, inwiefern die Eigenschaft (cid:18)nilpotent(cid:16) dort
eingeht. Zun(cid:228)chst stellen wir fest, da(cid:255) bei der De(cid:28)nition der Gewichtsr(cid:228)ume nur das Bild π(g) in
gl(V) eine Rolle spielt, so da(cid:255) wir direkt g < gl(V) annehmen k(cid:246)nnen. Da g eine Unteralgebra
von gl(V) ist, l(cid:228)(cid:255)t ad(H) f(cid:252)r alle X ∈ g den Unterraum g invariant. Dann wird g auch von
ad(X ) invariant gelassen. Denn allgemein gilt f(cid:252)r einen linearen Endomorphismus φ auf einem
S
K-Vektorraum V: Sind V ⊆ V Unterr(cid:228)ume mit φ(V ) ⊆ V , dann gilt φ (V ) ⊆ V f(cid:252)r den
2 1 1 2 S 1 1
halbeinfachenundφ (V )⊂V f(cid:252)rdennilpotentenAnteil.Etwasweiterobenhattenwirerw(cid:228)hnt,
N 1 2
da(cid:255) ad(X ) der halbeinfache und ad(X ) der nilpotente Anteil des Endormorphismus φ=ad(X)
S N
ist.
Dagnilpotentist,sindnachdemSatzvonEngelsdieBilderunterderadjungiertenDarstellungnil-
potent. Insbesondere gilt ad(X) =ad(X )=0 f(cid:252)r alle X ∈g, also [X ,Y]=ad(X )(Y)=0 f(cid:252)r
S S S S
alle X,Y ∈g. Als Endomorphismus von V ist X also mit jedem Y ∈g vertauschbar. Wir unter-
S
scheidennunzweiF(cid:228)lle.Zun(cid:228)chstnehmenwiran,da(cid:255)jedesX alsEndomorphismusaufV genau
S
einenEigenwertµ(X )besitzt.WireineLinearformaufgdurchλ(X)=µ(X )=dim(V)−1tr(X).
S S
10