Lie-Algebra Kohomologie [Lecture notes]

50 Pages·2010·0.346 MB·German

by  Dietrich Burde

Lie-Algebra Kohomologie
Dietrich Burde
Lecture Notes 2005

Contents
Historische Einleitung 1
Chapter 1. Die Definition von Lie-Algebra Kohomologie mittels Korandoperator 3
1.1. Die Kohomologiegruppen Hn(g,M) 3
1.2. Interpretation von H1(g,M) 10
1.3. Interpretation von H2(g,M) 15
1.4. Interpretation von H3(g,M) 23
Chapter 2. Die funktorielle Definition von Lie-Algebra Kohomologie 27
2.1. Kategorien und Funktoren 27
2.2. Die allgemeine Definition 33
2.3. Die Definition im Spezialfall fu¨r Lie-Algebren 34
Chapter 3. Anwendungen von Lie-Algebra Kohomologie 37
3.1. Relative Lie-Algebra Kohomologie 37
3.2. Totale Lie-Algebra Kohomologie 38
3.3. Kohomologische Dimension 39
3.4. Betti-Zahlen nilpotenter Lie-Algebren 41
Bibliography 47
iii
Historische Einleitung
Homologie-undKohomologie-TheoriehabenihrenUrsprunginderTopologiedesneunzehn-
ten Jahrhunderts. Sie wurde begonnen unter anderem mit den Arbeiten von Riemann (1857),
Betti (1871) und Poincar´e (1895) u¨ber “Homologiezahlen” von Mannigfaltigkeiten. In der Zeit
von 1940 − 1955 kam der Aufstieg algebraischer Methoden mit der homologischen Algebra.
Die Homologie und Kohomologie von mehreren algebraischen Systemen wurde definiert und
studiert: Tor und Ext von algebraischen Gruppen, Homologie und Kohomologie von Gruppen
und Lie-Algebren, Kohomologie von assoziativen Algebren, und Garbenkohomologie. Das Buch
von Cartan und Eilenberg ([5] 1956) vereint alle bis dahin vereinzelt auftretenden Homologi-
etheorien, indem systematisch derivierte Funktoren verwendet werden, sowie projektive und
injektive Auflo¨sungen von Moduln. Es hatte einen enormen Einfluß auf die weitere Entwick-
lung der homologischen Algebra. Viele neue Theorien entstanden: K-Theorie, Galois Theorie,
´etale Kohomologie, Galois Kohomologie und so weiter.
Lie-Algebra Kohomologie wurde von Elie Cartan, Claude Chevalley und Samuel Eilenberg er-
funden, um die de Rham Kohomologie einer kompakten Lie Gruppe zu berechnen. Cartan
hatte gezeigt, daß die Kohomologie von Lie Gruppen auf die von kompakten Lie Gruppen
zuru¨ckgefu¨hrt werden kann. Chevalley und Eilenberg definierten in ihrer Arbeit [9] zuna¨chst
die Lie-Algebra Kohomologie Hn(g,R) mit dem trivialem Modul R, indem sie die de Rham Ko-
homologie Hn (G,R) fu¨r eine kompakte zusammenha¨ngende Lie Gruppe G auf Lie-Algebren
dR
u¨bertrugen. Dann erh¨alt man einen Isomorphismus Hn (G,R) ∼= Hn(g,R), wobei g die Lie-
dR
Algebra von G ist. Um auch die Kohomologie Hn(G/H,R) der homogenen R¨aume G/H von G
studieren zu k¨onnen, definierten Chevalley und Eilenberg die Kohomologie Hn(g,M) fu¨r einen
beliebigen g-Modul M. Die Arbeit [9] entha¨lt auch schon die Interpretation von H2(g,M)
als Lie-Algebra Erweiterungen von g durch M, sowie die Deutung der Whitehead Lemmata
als H1(g,M) = H2(g,M) = 0 fu¨r endlich-dimensionale halbeinfache Lie-Algebren u¨ber einem
Ko¨rper der Charakteristik Null, und endlich-dimensionalem g-Modul M.
Dieses Skript ist als Erga¨nzung zu einer Grundvorlesung Lie-Algebren und Darstellungstheorie
gedacht. Es soll eine elementare Einfu¨hrung in die Kohomologie von Lie-Algebren geben. Die
funktorielle Definition von Kohomologie ist nur u¨bersichtsartig dargestellt. Es wird deshalb oft
auf Einzelheiten und Beweise verzichtet. Diese kann man aber in der Standardliteratur nach-
lesen. In Kapitel 3 fehlen natu¨rlich noch viele Anwendungen und Resultate von Lie-Algebra
Kohomologie.
1

CHAPTER 1
Die Definition von Lie-Algebra Kohomologie mittels
Korandoperator
Lie-Algebra Kohomologie wurde zuerst mittels Korandoperator definiert, d.h., durch eine
explizite Formel, siehe [9] oder [18]. Im Gegensatz dazu steht die allgemeine Definition, die
Lie Algebra Kohomologie als rechts-derivierten Funktor des links-exakten Invariantenfunktors
M → Mg definiert.
1.1. Die Kohomologiegruppen Hn(g,M)
Definition 1.1.1. Sei M ein g-Modul. Dann heißt
Mg = {m ∈ M | x m = 0 ∀x ∈ g}
•
= H0(g,M)
derInvarianten-UntermodulvonM bzw. dienullteKohomologiegruppevongmitKoeffizienten
in M.
SeienV undW Vektorr¨aume. Wirerinnerndaran,daßeinemultilineareAbbildungf: Vp →
W alternierend heißt, falls f(v ,...v ) = 0 gilt, sobald v = v fu¨r ein Indexpaar i < j gilt. Ist
1 p i j
σ ∈ S , so folgt
p
f(v ,...,v ) = sgn(σ)·f(v ,...,v )
σ1 σp 1 p
Es bezeichne Alt(Vn,W) den Vektorraum aller alternierenden Multilinearformen f: Vn → W.
Es gilt
Hom(Λn(V),W) ∼= Alt(Vn,W)
Definition 1.1.2. Sei g eine Lie-Algebra der Dimension n u¨ber einem K¨orper K. Sei M ein
g-Modul mit der Operation g×M → M, (x,m) (cid:55)→ x m. Dann ist der Raum der p–Koketten
•
definiert durch
(cid:40)
Hom (Λpg,M) if p > 0,
Cp(g,M) = K
0 if p < 0.
Wir setzen zudem
C0(g,M) = M
∞
(cid:77)
C(g,M) = Ck(g,M)
k=0
Den Raum der p–Koketten ko¨nnen wir auch als Alt(gp,M) interpretieren.
3
4 1. DIE DEFINITION VON LIE-ALGEBRA KOHOMOLOGIE MITTELS KORANDOPERATOR
Definition 1.1.3. Die Korand Operatoren d : Cp(g,M) → Cp+1(g,M) sind lineare Abbil-
p
dungen, die definiert sind durch
(cid:88)
(d ω)(x ∧···∧x ) = (−1)r+sω([x ,x ]∧x ∧···∧x ∧···∧x ∧···∧x )
p 0 p r s 0 (cid:98)r (cid:98)s p
0≤r<s≤p
p
(cid:88)
+ (−1)tx ω(x ∧···∧x ∧···∧x ),
t • 0 (cid:98)t p
t=0
fu¨r p ≥ 0 und ω ∈ Cp(g,M). Fu¨r p < 0 setzen wir d = 0. Die Abbildungen d induzieren auch
p p
eine lineare Abbildung
d: C(g,M) → C(g,M)
Man beachte, daß d (ω) tats¨achlich ein Element von Cp+1(g,M) ist.
p
Definition 1.1.4. Die Elemente des Unterraumes Zp(g,M) = kerd heißen p–Kozykeln,
p
und die des Unterraumes Bp(g,M) = imd heißen p–Kor¨ander.
p−1
Wir werden bald zeigen, daß d ◦d = 0 gilt, d.h., Bp(g,M) ⊆ Zp(g,M). Deshalb macht
p p−1
folgende Definition Sinn.
Definition 1.1.5. Der Quotientenraum
Hp(g,M) = Zp(g,M)/Bp(g,M)
heißt p-te Kohomologiegruppe von g mit Koeffizienten in dem g–Modul M.
Bemerkung 1.1.6. Die Sequenz
0 → C0(g,M) −d→0 C1(g,M) −d→1 C2(g,M) → ···
bildet einen Komplex. Er heißt der Standard-Kokettenkomplex und wird mit {C•(g,M),d}
bezeichnet [18].
Fu¨r n = 0,1,2,3 haben wir insbesondere, mit der Interpretation als alternierende Abbil-
dungen:
(d ω)(x ) = x ω
0 0 0 •
(d ω)(x ,x ) = x ω(x )−x ω(x )−ω([x ,x ])
1 0 1 0 • 1 1 • 0 0 1
(d ω)(x ,x ,x ) = x ω(x ,x )−x ω(x ,x )+x ω(x ,x )
2 0 1 2 0 • 1 2 1 • 0 2 2 • 0 1
−ω([x ,x ],x )+ω([x ,x ],x )−ω([x ,x ],x )
0 1 2 0 2 1 1 2 0
(d ω)(x ,x ,x ,x ) = x ω(x ,x ,x )−x ω(x ,x ,x )
3 0 1 2 3 0 • 1 2 3 1 • 0 2 3
+x ω(x ,x ,x )−x ω(x ,x ,x )
2 • 0 1 3 3 • 0 1 2
−ω([x ,x ],x ,x )+ω([x ,x ],x ,x )
0 1 2 3 0 2 1 3
−ω([x ,x ],x ,x )−ω([x ,x ],x ,x )
0 3 1 2 1 2 0 3
+ω([x ,x ],x ,x )−ω([x ,x ],x ,x )
1 3 0 2 2 3 0 1
n = 0: Wir haben B0(g,M) = 0. Also ist
H0(g,M) = Z0(g,M) = {m ∈ M | x m = 0 ∀x ∈ g}
•
= Mg
1.1. DIE KOHOMOLOGIEGRUPPEN Hn(g,M) 5
tatsa¨chlich der Modul der Invarianten.
n = 1: Der Raum der 1–Kozykeln and 1–Kor¨ander ist gegeben durch
Z1(g,M) = {ω ∈ Hom(g,M) | ω([x,y]) = x ω(y)−y ω(x)}
• •
B1(g,M) = {ω ∈ Hom(g,M) | ω(x) = x m fu¨r ein m ∈ M}
•
Angenommen M ist der triviale g–Modul K. Dann ist d = 0 und (d ω)(x,y) = ω([y,x]). Also
0 1
erha¨lt man
H1(g,K) = {ω ∈ g∗ | ω([g,g]) = 0}
∼= (g/[g,g])∗
Ist M ein trivialer g-Modul, so gilt allgemeiner
H1(g,M) ∼= Hom(g/[g,g]),M)
Falls M = g der adjungierte g–Modul ist, so ist H1(g,g) = Der(g)/ad(g) der Raum der a¨ußeren
Derivationen von g. Dabei ist ad(g) = {adx | x ∈ g} der Raum der inneren Derivationen von
g.
n := 2 Der Raum der 2–Kozykel und 2–Kor¨ander ist gegeben durch
Z2(g,M) = {ω ∈ Alt(g2,M) | x ω(x ,x )−x ω(x ,x )+x ω(x ,x )
1 • 2 3 2 • 1 3 3 • 1 2
−ω([x ,x ],x )+ω([x ,x ],x )−ω([x ,x ],x ) = 0}
1 2 3 1 3 2 2 3 1
B2(g,M) = {ω ∈ Alt(g2,M) | ω(x ,x ) = x f(x )−x f(x )−f([x ,x ])
1 2 1 • 2 2 • 1 1 2
fu¨r ein f ∈ Hom(g,M)}
Wenn wir M = K als trivialen g–Modul w¨ahlen, erhalten wir als Spezialfall:
Z2(g,K) = {ω ∈ Alt(g2,K) | ω([x ,x ],x )−ω([x ,x ],x )
1 2 3 1 3 2
+ω([x ,x ],x ) = 0}
2 3 1
B2(g,K) = {ω ∈ Alt(g2,K) | ω(x ,x ) = f([x ,x ])
1 2 1 2
fu¨r ein f ∈ Hom(g,K)}
Definition 1.1.7. Sei i(x): Cp(g,M) → Cp−1(g,M) die lineare Abbildung, die fu¨r x ∈ g
definiert ist durch
(i(x)ω)(x ,...,x ) = ω(x,x ,...,x )
1 p−1 1 p−1
Sie heißt Einfu¨gungsabbildung. Man definiert i(x) als Null auf C0(g,M).
Definition 1.1.8. Sei ρ: g → gl(Cp(g,M)), x (cid:55)→ ρ(x) die lineare Abbildung, die definiert
ist durch
p
(cid:88)
(ρ(x)ω)(x ,...,x ) = − ω(x ,...,[x,x ],...,x )
1 p 1 i p
i=1
+x ω(x ,...,x )
• 1 p
p
(cid:88)
= (−1)iω([x,x ],x ,...,x ,...,x )
i 1 (cid:98)i p
i=1
+x ω(x ,...,x )
• 1 p
6 1. DIE DEFINITION VON LIE-ALGEBRA KOHOMOLOGIE MITTELS KORANDOPERATOR
Satz 1.1.9. Die induzierte Abbildung ρ: g → gl(C(g,M)) ist eine Lie-Algebra Darstellung,
fu¨r die die sogenannte Cartan-Formel gilt:
(1.1) ρ(x) = d ◦i(x)+i(x)◦d
p−1 p
Bemerkung 1.1.10. Wir lassen bei den Abbildungen d manchmal die Indizes weg, d.h.,
p
schreiben nur ρ(x) = d◦i(x)+i(x)◦d.
Beweis. Wir zeigen zuerst, daß
(1.2) ρ([x,y]) = [ρ(x),ρ(y)]
gilt. Dazu berechnen wir
ρ(x)ρ(y)ω(x ,...,x ) = x (y ω(x ,...,x ))
1 p • • 1 p
p
(cid:88)
− y ω(x ,...,[x,x ],...,x )
• 1 i p
i=1
p
(cid:88)
− x ω(x ,...,[y,x ],...,x )
• 1 i p
i=1
p
(cid:88)
+ ω(x ,...,[y,x ],...,[x,x ],...,x )
1 i j p
i,j=1,i(cid:54)=j
p
(cid:88)
+ ω(x ,...,[y,[x,x ]],...,x )
1 i p
i=1
Daraus folgt dann, mit der Jacobi Identita¨t
[ρ(x),ρ(y)]ω(x ,...,x ) = [x,y] ω(x ,...,x )
1 p • 1 p
p
(cid:88)
− ω(x ,...,[[x,y],x ],...,x )
1 i p
i=1
= ρ([x,y])ω(x ,...,x ).
1 p
Um die Cartan-Formel einzusehen, schreiben wir die Formel fu¨r den Korandoperator mit Hilfe
der Abbildung i(x ) wie folgt um:
0
p−1
(cid:88)
d(i(x )ω)(x ,...,x ) = x (i(x )ω)(x ,...,x ,...,x )
0 1 p (cid:96) • 0 1 (cid:98)(cid:96) p
(cid:96)=0
(cid:88)
+ (−1)(cid:96)+k(i(x )ω)([x ,x ],x ,...,x ,...,x ,...,x ).
0 (cid:96) k 1 (cid:98)(cid:96) (cid:98)k p
0≤(cid:96)<k≤p−1
Mit ω(x ,[x ,x ],...,x ) = −ω([x ,x ],x ,...x ) folgt dann
0 i j p i j 0 p
1.1. DIE KOHOMOLOGIEGRUPPEN Hn(g,M) 7
(i(x )dω)(x ,...,x ) = (dω)(x ,x ,...,x )
0 1 p 0 1 p
= (−1)0x ω(x ,...,x )
0 • 1 p
p
(cid:88)
+ (−1)jx ω(x ,...,x ,...,x )
j • 0 (cid:98)j p
j=1
+(−1)0+jω([x ,x ],x ,...,x ,...,x )
0 j 1 (cid:98)j p
(cid:88)
+ (−1)i+jω([x ,x ],x ,...,x ,...,x ,...,x )
i j 0 (cid:98)i (cid:98)j p
1≤i<j≤p
= (ρ(x )ω)(x ,...,x )
0 1 p
p
(cid:88)
− (−1)j−1x (i(x )ω)(x ,...,x ,...,x )
j • 0 0 (cid:98)j p
j=1
(cid:88)
− (−1)i+j(i(x )ω)([x ,x ],x ,...,x ,...,x ,...,x )
0 i j 1 (cid:98)i (cid:98)j p
1≤i<j≤p
= (ρ(x )ω)(x ,...,x )−d(i(x )ω)(x ,...,x ),
0 1 p 0 1 p
und das ergibt die Behauptung. (cid:3)
Satz 1.1.11. Es gelten die folgenden Formeln, fu¨r alle x,y ∈ g:
(1.3) i([x,y]) = [i(x),ρ(y)]
(1.4) [ρ(x),d] = 0
Beweis. Wir zeigen zuerst (1.3). Es ist
(i(x )ρ(y)ω)(x ,...,x ) = (ρ(y)ω)(x ,...,x )
1 2 p 1 p
p
(cid:88)
= y ω(x ,...,x )− ω(x ,...,[y,x ],...,x ).
• 1 p 1 j p
j=1
Andererseits ist
ρ(y)(i(x )ω)(x ,...,x ) = y (i(x )ω)(x ,...,x )
1 2 p • 1 2 p
p
(cid:88)
− (i(x )ω)(x ,...,[y,x ],...,x )
1 2 j p
j=2
p
(cid:88)
= y ω(x ,...,x )− ω(x ,x ,...,[y,x ],...,x ).
• 1 p 1 2 j p
j=2
Die Differenz der beiden Terme, also i(x )ρ(y)ω −ρ(y)i(x )ω, entspricht der rechten Seite von
1 1
(1.3): sie ist gleich dem Summanden fu¨r j = 1 in der ersten Summe, n¨amlich
−ω([y,x ],x ,...,x ) = (i([x ,y])ω)(x ,...,x ).
1 2 p 1 2 p