Licence de mathématiques: Cours d’Algèbre 2 2012--2013

44 Pages·2013·0.324 MB·French

by  Luis Paris

Licence de math´ematiques
Cours d’Alg`ebre 2
2012–2013
Luis Paris
1 Formes bilin´eaires et formes sym´etriques
1.1 Formes bilin´eaires sym´etriques
Dans ce chapitre K d´esignera le corps Q des nombres rationnels, le corps R des nombres
r´eels, ou le corps C des nombres complexes.
D´efinition. Soit E un espace vectoriel sur K. On appelle forme bilin´eaire sur E une
application b de E ×E dans K telle que
(a) b(x +λx ,y) = b(x ,y)+λb(x ,y) pour tous x ,x ,y ∈ E et λ ∈ K ;
1 2 1 2 1 2
(b) b(x,y +λy ) = b(x,y )+λb(x,y ) pour tous x,y ,y ∈ E et λ ∈ K.
1 2 1 2 1 2
On dit que cette forme est sym´etrique si, de plus,
(c) b(x,y) = b(y,x) pour tous x,y ∈ E.
Exemple 1. Posons E = Rn. Soit b : E ×E → R d´efinie par
b((x ,...,x ),(y ,...,y )) = x y +···+x y .
1 n 1 n 1 1 n n
Alors b est une forme bilin´eaire sym´etrique sur E.
Exemple 2. Soit E = R3. Soit b : E ×E → R l’application d´efinie par
b((x ,x ,x ),(y ,y ,y )) = x y −2x y .
1 2 3 1 2 3 1 2 2 2
Alors b est une forme bilin´eaire sym´etrique.
Exemple 3. Soit E = C0([0,1]) l’espace des applications continues de l’intervalle [0,1]
dans R. Soit b : E ×E → R d´efinie par
(cid:90) 1
b(f,g) = f(t)g(t)dt.
0
Alors b est une forme bilin´eaire sym´etrique.
1
Exemple 4. Soit E = M (K) l’espace des matrices carr´ees `a n lignes et n colonnes. Soit
n
b : E ×E → K d´efinie par
b(A,B) = Tr(AB).
Alors b est une forme bilin´eaire sym´etrique sur E.
Exemple 5. Soient E un espace vectoriel et (cid:96) ,(cid:96) : E → K deux formes lin´eaires. Soit
1 2
b : E ×E → K d´efinie par
b(u,v) = (cid:96) (u)(cid:96) (v).
1 2
Alors b est une forme bilin´eaire. Elle n’est pas en g´en´eral sym´etrique.
D´efinition. On suppose que E est de dimension finie, n. Soient b une forme bilin´eaire
sur E et B = {e ,...,e } une base (ordonn´ee) de E. On appelle matrice de b dans B la
1 n
matrice
M (b) = (b(e ,e )) ∈ M (K).
B i j 1≤i,j≤n n
Exemple. Soient E = R3 et b : E ×E → R d´efinie par
b((x ,x ,x ),(y ,y ,y )) = x y −2x y +3x y .
1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 3 3
Alors b est une forme bilin´eaire sym´etrique et sa matrice dans la base canonique est
 
1 −2 0
−2 0 0 .
0 0 3
Lemme 1.1. Soient b : E×E → K une forme bilin´eaire, B une base de E et M = M (b)
B
la matrice de b dans la base B. Soient x,y ∈ E et X,Y les composantes de x,y dans la
base B, respectivement. Alors
b(x,y) = XtMY .
 
x
1
.
D´emonstration. On pose B = {e1,...,en}, M = (ai,j)1≤i,j≤n, X =  ..  et Y =
x
n
 
y
1
 ... . On a ai,j = b(ei,ej) pour tous i,j ∈ {1,...,n}, x = (cid:80)ni=1xiei et y = (cid:80)ni=1yiei.
y
n
Alors
(cid:32) (cid:33)
n n n n n n
(cid:88) (cid:88) (cid:88)(cid:88) (cid:88)(cid:88)
b(x,y) = b x e , y e = x b(e ,e )y = x a y = XtMY .
i i j j i i j j i i,j j
i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1
2
D´efinition. Une matrice carr´ee M ∈ M (K) est sym´etrique si Mt = M.
n
Lemme 1.2. Soient b : E×E → K une forme bilin´eaire, B une base de E et M = M (b)
B
la matrice de b dans la base B. Alors b est sym´etrique si et seulement si M est sym´etrique.
D´emonstration. On pose B = {e ,...,e } et M = (a ) . Supposons que b est
1 n i,j 1≤i,j≤n
sym´etrique. Alors, pour tous i,j ∈ {1,...,n}, on a a = b(e ,e ) = b(e ,e ) = a ,
i,j i j j i j,i
donc M est sym´etrique. Supposons que M est sym´etrique. Soient x,y ∈ E et X,Y les
composantes de x,y dans la base B, respectivement. Alors
b(x,y) = b(x,y)t = (XtMY)t = YtMtX = YtMX = b(y,x).
Ceci montre que b est sym´etrique.
D´efinition. Soient b ,b deux formes bilin´eaires. La somme de b et b , not´ee b +b , est
1 2 1 2 1 2
la forme bilin´eaire sur E d´efinie par
(b +b )(x,y) = b (x,y)+b (x,y).
1 2 1 2
Soient b une forme bilin´eaire sur E et λ ∈ K. Le produit de b par λ, not´e λb est la forme
bilin´eaire sur E d´efinie par
(λb)(x,y) = λb(x,y).
On note L (E) l’ensemble des formes bilin´eaires sur E. On v´erifie facilement que L (E)
2 2
muni de la somme et la multiplication est un espace vectoriel sur K.
Proposition 1.3. Soit E un espace vectoriel de dimension n.
(1) L’espace L (E) des formes bilin´eaires sur E est de dimension n2.
2
(2) L’ensemble S (E) des formes bilin´eaires sym´etriques est un sous-espace vectoriel de
2
dimension n(n+1).
2
D´emonstration. On se donne une base B = {e ,...,e } de E. Pour i,j ∈ {1,...,n},
1 n
on note D la matrice dont le coefficient a` la i-`eme ligne et j-`eme colonne est 1 et dont
i,j
tous les autres coefficients sont nuls. Remarquez que, si M = (a ) ∈ M (K), alors
i,j n
M = (cid:80)n (cid:80)n a D . Pour tous i,j ∈ {1,...,n}, on note δ la forme bilin´eaire telle
i=1 j=1 i,j i,j i,j
que M (δ ) = D . Soient x,y ∈ E et X,Y les composantes de x,y dans la base B,
B i,j i,j
respectivement. Alors
δ (x,y) = XtD Y .
i,j i,j
On va montrer que {δ | i,j ∈ {1,...,n}} est une base de L (E). Ceci implique que
i,j 2
L (E) est de dimension n2.
2
3
Soit b ∈ L (E). Soit M = (a ) la matrice de b dans la base B. Soient x,y ∈ E et X,Y
2 i,j
les composantes de x,y dans la base B, respectivement. Alors
(cid:32) (cid:33)
n n n n
(cid:88)(cid:88) (cid:88)(cid:88)
b(x,y) = XtMY = Xt a D Y = a XtD Y
i,j i,j i,j i,j
i=1 j=1 i=1 j=1
n n
(cid:88)(cid:88)
= a δ (x,y).
i,j i,j
i=1 j=1
Ceci implique que
n n
(cid:88)(cid:88)
b = a δ .
i,j i,j
i=1 j=1
On se donne une collection {a | i,j ∈ {1,...,n}} de scalaires et on suppose que
i,j
n n
(cid:88)(cid:88)
a δ = 0
i,j i,j
i=1 j=1
On observe que, pour i,j,k,(cid:96) ∈ {1,...,n}, on a
(cid:26)
1 si (i,j) = (k,l)
δ (e ,e ) =
i,j k (cid:96) 0 sinon
Alors, pour k,(cid:96) ∈ {1,...,n} on a
(cid:32) (cid:33)
n n n n
(cid:88)(cid:88) (cid:88)(cid:88)
0 = a δ (e ,e ) = a δ (e ,e ) = a .
i,j i,j k (cid:96) i,j i,j k (cid:96) k,(cid:96)
i=1 j=1 i=1 j=1
Soit Π : L (E) → L (E) l’application d´efinie par
2 2
1
Π(b)(x,y) = (b(x,y)+b(y,x)).
2
On v´erifie facilement que Π est une application lin´eaire. De plus, on a Π(b) ∈ S (E) pour
2
tout b ∈ L (E) et Π(b) = b pour tout b ∈ S (E). Ceci montre que Π est une projection
2 2
lin´eaire et S (E) = Im(Π). En particulier, S (E) est un sous-espace vectoriel de L (E).
2 2 2
Pour i,j ∈ {1,...,n}, i < j, on pose δ˜ = 1(δ + δ ). On pose B˜ = {δ | 1 ≤ i ≤
i,j 2 i,j j,i S i,i
˜
n}∪{δ | 1 ≤ i < j ≤ n}. On a
i,j
Π(δ ) = δ pour 1 ≤ i ≤ n
i,i i,i
˜
Π(δ ) = δ pour 1 ≤ i < j ≤ n
i,j i,j
˜
Π(δ ) = δ pour 1 ≤ i < j ≤ n
j,i i,j
4
˜
Comme {δ | 1 ≤ i,j ≤ n} engendre L (E), ces ´egalit´es impliquent que B engendre
i,j 2 S
˜ ˜
S (E). On v´erifie facilement que B est libre. Donc, B est une base de S (E) et la
2 S S 2
dimension de S (E) est |B˜ | = n(n+1).
2 S 2
Exemple. On pose E = R2 et on note B la base canonique de E. Alors L (E) est de
2
dimension 4. La base de L (E) est donn´ee par les formes bilin´eaires suivantes.
2
δ : ((x ,x ),(y ,y )) (cid:55)→ x y
1,1 1 2 1 2 1 1
δ : ((x ,x ),(y ,y )) (cid:55)→ x y
1,2 1 2 1 2 1 2
δ : ((x ,x ),(y ,y )) (cid:55)→ x y
2,1 1 2 1 2 2 1
δ : ((x ,x ),(y ,y )) (cid:55)→ x y
2,2 1 2 1 2 2 2
En particulier, toute forme bilin´eaire est de la forme
((x ,x ),(y ,y )) (cid:55)→ a x y +a x y +a x y +a x y .
1 2 1 2 1,1 1 1 1,2 1 2 2,1 2 1 2,2 2 2
L’espace S (E) est de dimension 3. La base de S (E) est donn´ee par les formes suivantes
2 2
δ : ((x ,x ),(y ,y )) (cid:55)→ x y
1,1 1 2 1 2 1 1
δ : ((x ,x ),(y ,y )) (cid:55)→ x y
2,2 1 2 1 2 2 2
1
˜
δ : ((x ,x ),(y ,y )) (cid:55)→ (x y +x y )
1,2 1 2 1 2 1 2 2 1
2
En particulier, toute forme bilin´eaire sym´etrique est de la forme
b
((x ,x ),(y ,y )) (cid:55)→ a x y +a x y + (x y +x y ).
1 2 1 2 1,1 1 1 2,2 2 2 1 2 2 1
2
D´efinition. SoientE unespacevectorieldedimensionfinie,etB,B(cid:48) deuxbasesordonn´ees
de E. Alors M(Id ,B(cid:48),B) s’appelle la matrice de passage de la base B `a la base B(cid:48).
E
Proposition 1.4 (sans d´emonstration). Soient E un espace vectoriel de dimension finie,
B,B(cid:48) deux bases ordonn´ees de E, et f : E → E une application lin´eaire. On note A la
matrice de f dans la base B, A(cid:48) la matrice de f dans la base B(cid:48) et P la matrice de passage
de B `a B(cid:48). Alors A(cid:48) = P−1AP.
Proposition 1.5. Soient E un espace vectoriel de dimension finie, B,B(cid:48) deux bases
ordonn´ees de E, et b : E×E → K une forme bilin´eaire. On note M la matrice de b dans
la base B, M(cid:48) la matrice de b dans la base B(cid:48) et P la matrice de passage de B `a B(cid:48). Alors
M(cid:48) = PtMP.
D´emonstration. On pose B = {e ,...,e } et B(cid:48) = {e(cid:48),...,e(cid:48) }. On pose M = (a ),
1 n 1 n i,j
M(cid:48) = (a(cid:48) ) et P = (p ). Soient i,j ∈ {1,...,n}. Alors
i,j i,j
(cid:32) (cid:33)
n n n n
(cid:88) (cid:88) (cid:88)(cid:88)
a(cid:48) = b(e(cid:48),e(cid:48)) = b p e , p e = p p b(e ,e )
i,j i j k,i k (cid:96),j (cid:96) k,i (cid:96),j k (cid:96)
k=1 (cid:96)=1 k=1 (cid:96)=1
n n
(cid:88)(cid:88)
= p a p .
k,i k,(cid:96) (cid:96),j
k=1 (cid:96)=1
5
Ceci montre que M(cid:48) = PtMP.
D´efinition. Soit b : E × E → K une forme bilin´eaire. On se donne x ∈ E et on note
ϕ (x) : E → K l’application d´efinie par
b
ϕ(b)(x)(y) = b(y,x), pour y ∈ E.
On observe que ϕ (x) est une forme lin´eaire.
b
Proposition 1.6. Soit b : E×E → K une forme bilin´eaire. Alors l’application ϕ : E →
b
E∗,x (cid:55)→ ϕ (x), est une application lin´eaire. Soient B une base de E et B∗ la base duale
b
de B. Alors M (b) est la matrice de ϕ relativement aux bases B et B∗.
B
D´emonstration. Soients x ,x ,∈ E et λ ,λ ∈ K. Pour tout y ∈ E on a
1 2 1 2
ϕ (λ x +λ x )(y) = b(y,λ x +λ x ) = λ b(y,x )+λ b(y,x )
b 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
= λ ϕ (x )(y)+λ ϕ (x )(y) = (λ ϕ (x )+λ ϕ (x ))(y),
1 b 1 2 b 2 1 b 1 2 b 2
donc ϕ (λ x +λ x ) = λ ϕ (x )+λ ϕ (x ). Ceci montre que ϕ est lin´eaire.
b 1 1 2 2 1 b 1 2 b 2 b
Posons M (b) = (a ). Soient i,j ∈ {1,...,n}. On a
B i,j
(cid:104)e ,ϕ (e )(cid:105) = ϕ (e )(e ) = b(e ,e ) = a ,
i b j b j i i j i,j
donc
n n
(cid:88) (cid:88)
ϕ (e ) = (cid:104)e ,ϕ (e )(cid:105)e = a e .
b j i b j i i,j i
i=1 i=1
Ceci montre que la matrice de ϕ relativement aux bases B et B∗ est M (b).
b B
Rappelons que, si E,F sont deux espaces vectoriels, L(E,F) d´esigne l’espace des appli-
cations lin´eaires de E dans F.
Proposition 1.7. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. L’application Φ :
L (E) → L(E,E∗), b (cid:55)→ ϕ est un isomorphisme.
2 b
D´emonstration. Notons n la dimension de E. Comme dim(L (E)) = dim(L(E,E∗) =
2
n2,ilsuffitdemontrerqueΦestsurjective. OnsedonneunebaseB deE. Soitf : E → E∗
une application lin´eaire. Notons M la matrice de f relativement aux bases B et B∗. On
d´efinit une forme bilin´eaire b sur E comme suit. Soient x,y ∈ E et X,Y les composantes
de x,y dans la base B, respectivement. Alors
b(x,y) = XtMY .
On a M (b) = M, donc la matrice de ϕ = Φ(b) relativement aux bases B et B∗ est M,
B b
donc Φ(b) = f.
6
D´efinition. Soit b : E × E → K une forme bilin´eaire. On appelle noyau (a` droite)
l’ensemble
Ker(b) = {x ∈ E | b(y,x) = 0 pour tout y ∈ E}.
On dit que la forme est non d´eg´en´er´ee quand Ker(b) = {0}.
Lemme 1.8. Soit b : E ×E → K une forme bilin´eaire. Alors Ker(b) = Ker(ϕ ).
b
D´emonstration.
Ker(b) = {x ∈ E | b(y,x) = 0 pour tout y ∈ E}
= {x ∈ E | ϕ (x)(y) = 0 pour tout y ∈ E} = {x ∈ E | ϕ (x) = 0} = Ker(ϕ ).
b b b
Lemme 1.9. Soient E un espace vectoriel de dimension finie et b : E × E → K une
forme bilin´eaire non d´eg´en´er´ee. Alors, ϕ : E → E∗ est un isomorphisme.
b
D´emonstration. Si b est non d´eg´en´er´ee, alors Ker(ϕ ) = {0}, donc ϕ : E → E∗ est un
b b
isomorphisme car dim(E) = dim(E∗).
A partir de maintenant on suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie, n,
et b est une forme bilin´eaire sym´etrique sur E.
D´efinition (Rappel). L’orthogonal d’un sous-ensemble X de E est
X⊥ = {α ∈ E∗ | (cid:104)α,x(cid:105) = 0 pour tout x ∈ X}.
L’orthogonal d’une partie Y de E∗ est
Y = {x ∈ E | (cid:104)α,x(cid:105) = 0 pour tout α ∈ Y}.
⊥
D´efinition. Soit X une partie de E. L’orthogonal de X relativement a` la forme b est
X⊥b = {y ∈ E | b(y,x) = 0}.
Lemme 1.10. Soit X une partie de E.
(1) X⊥b = (Vec(X))⊥b.
(2) X⊥b = (ϕ (X)) .
b ⊥
7
D´emonstration. Soit y ∈ X⊥b. Soit x ∈ Vec(X). Il existe k ∈ N, x ,...,x ∈ X et
1 k
λ ,...,λ ∈ K tels que x = λ x +···+λ x . Alors
1 k 1 1 k k
b(y,x) = b(y,λ x +···+λ x ) = λ b(y,x )+···+λ b(y,x ) = 0.
1 1 k k 1 1 k k
On en d´eduit que y ∈ (Vec(X))⊥b. Soit y ∈ (Vec(X))⊥b. Pour tout x ∈ X on a x ∈
Vec(X),doncb(y,x) = 0. Onend´eduitquey ∈ X⊥b. CecimontrequeX⊥b = (Vec(X))⊥b.
On a
X⊥b = {y ∈ E | b(y,x) = 0 pour tout x ∈ X}
= {y ∈ E | (cid:104)ϕ (x),y(cid:105) = 0 pour tout x ∈ X} = (ϕ (X)) .
b b ⊥
Proposition 1.11 (sans d´emonstration). Soit F(cid:48) un sous-espace vectoriel de E∗. Alors
dim(F(cid:48) ) = dim(E)−dim(F(cid:48)).
⊥
Proposition 1.12. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors
dim(F⊥b) = dim(E)−dim(F)+dim(F ∩Ker(b)).
D´emonstration. On consid`ere la restriction de ϕ a` F, ϕ | : F → ϕ (F). Si x ∈
b b F b
Ker(ϕ | ), alors x ∈ Ker(ϕ ) = Ker(b) et x ∈ F, donc x ∈ (F ∩Ker(b)). R´eciproquement,
b F b
si x ∈ (F ∩ Ker(b)), alors x ∈ Ker(ϕ | ). On en d´eduit que Ker(ϕ | ) = F ∩ (Ker(b)).
b F b F
On a donc la suite exacte courte
0 → (F ∩Ker(b)) → F → ϕ (F) → 0.
b
Celle-ci implique que dim(ϕ (F)) = dim(F)−dim(F ∩Ker(b)). On en conclue que
b
dim(F⊥b) = dim((ϕ (F)) ) = dim(E)−dim(ϕ (F))
b ⊥ b
= dim(E)−dim(F)+dim(F ∩Ker(b)).
Corollaire 1.13. Supposons que b est non d´eg´en´er´ee. Soit F un sous-espace vectoriel de
E. Alors
dim(F⊥b) = dim(E)−dim(F).
8
1.2 Formes quadratiques
Rappelons que K d´esigne l’un des trois corps suivants : Q, R ou C. Dans ce chapitre on
supposera que E = Kn. Les formes bilin´eaires consid´er´ees seront toutes sym´etriques.
D´efinition. Un polynˆome homog`ene de degr´e 2 en les variables X ,...,X est un
1 n
polynoˆme de la forme
(cid:88)
P = a X X .
i,j i j
1≤i≤j≤n
La forme quadratique associ´ee a` P est l’application polynomiale associ´ee a` P. Elle est
d´efinie par
q = q : E → K
P
(cid:80)
(x ,...,x ) (cid:55)→ a x x
1 n 1≤i≤j≤n i,j i j
Exemple 1. Supposons que E = R. Alors R → R, x (cid:55)→ x2 est une forme quadratique.
Exemple 2. Soit E = R2. Alors l’application E → R, (x,y) (cid:55)→ x2 −2xy +3y2 est une
forme quadratique.
Exemple 3. Soit E = Rn. Alors l’application E → R, (x ,...,x ) (cid:55)→ x2 +···+x2 est
1 n 1 n
une forme quadratique.
Lemme 1.14. Soit b : E × E → K une forme bilin´eaire sym´etrique. Soit q : E → K
l’application d´efinie par q(x) = b(x,x) pour tout x ∈ E. Alors q est une forme quadratique.
D´emonstration. Soit B = {e ,...,e } la base canonique de E = Kn. Pour i ∈
1 n
{1,...,n} on pose a = b(e ,e ). Pour i,j ∈ {1,...,n} avec i < j on pose a =
i,i i i i,j
2b(e ,e ) = 2b(e ,e ) = b(e ,e )+b(e ,e ). On consid`ere la forme quadratique q : E → K
i j j i i j j i
d´efinie par
(cid:88)
q(x ,...,x ) = a x x .
1 n i,j i j
1≤i≤j≤n
Soit x = (x ,...,x ) ∈ E. Alors
1 n
(cid:32) (cid:33)
n n n n
(cid:88) (cid:88) (cid:88)(cid:88)
b(x,x) = b x e , x e = b(e ,e )x x
i i j j i j i j
i=1 j=1 i=1 j=1
n
(cid:88) (cid:88)
= b(e ,e )x2 + (b(e ,e )+b(e e ))x x
i i i i j j i i j
i=1 1≤i<j≤n
n
(cid:88) (cid:88)
= a x2 + a x x = q(x).
i,i i i,j i j
i=1 1≤i<j≤n
9
D´efinition. La forme quadratique q du lemme 1.14 s’appelle la forme quadratique as-
soci´ee a` b.
Lemme 1.15. Soient b : E ×E → K une forme bilin´eaire sym´etrique et q : E → K la
forme quadratique associ´ee. Alors, pour tous x,y ∈ E,
1 1
b(x,y) = (q(x+y)−q(x)−q(y)) = (q(x+y)−q(x−y)).
2 4
D´emonstration. Soient x,y ∈ E. Alors
1 1
(q(x+y)−q(x)−q(y)) = (b(x+y,x+y)−b(x,x)−b(y,y))
2 2
1
= (b(x,x)+b(y,y)+2b(x,y)−b(x,x)−b(y,y)) = b(x,y).
2
1 1
(q(x+y)−q(x−y)) = (b(x+y,x+y)−b(x−y,x−y))
4 4
1
= (b(x,x),+b(y,y)+2b(x,y)−b(x,x)−b(y,y)+2b(x,y)) = b(x,y).
4
Proposition 1.16. Soit q : E → K une forme quadratique. Il existe une unique forme
bilin´eaire sym´etrique b : E ×E → K telle que q(x) = b(x,x) pour tout x ∈ E.
D´emonstration. Supposons que q s’´ecrit
(cid:88)
q(x) = a x x .
i,j i j
1≤i≤j≤n
Soit b : E ×E → K la forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie par
n
(cid:88) (cid:88) 1
b(x,y) = a x y + a (x y +x y ).
i,i i i i,j i j j i
2
i=1 1≤i<j≤n
Alors b(x,x) = q(x) pour tout x ∈ E.
Soient b ,b deux formes bilin´eaires sym´etriques telles que b (x,x) = b (x,x) = q(x) pour
1 2 1 2
tout x ∈ E. Par le lemme 1.15, on a
1
b (x,y) = (q(x+y)−q(x)−q(y)) = b (x,y)
1 2
2
pour tous x,y ∈ E, donc b = b .
1 2
10