Table Of ContentLa cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
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CALOGERO VINti
LEZIONI DI
ANALISI MATEMATICA
(Con Esercizi svolti e proposti)
Parte I I
EDIZIONE 1981
Galmo Editria
via Pinturicchio 55, Perugia
ul. 07 5 - 28655
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
EDIZIONE 1981
Copq!Ught I98I
by GALENO EDITRICE Perugia
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tipo offset cornicchia - ponte san giovanni - perugia
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
Capitolo IX" -1-
INFINITESI~1I E INFINITI
Infinitesimi .
.......
Sia A un sottoinsieme di R e ~ R un punto di accu-
mulazione per A
'[L : J3J
Un 'applicazione A la diremo un infinitesimo per
--t
x che tende a x quando f tencte a zero per x che tende
_:_:a_
Siano f A --t R g A --t R entrambi infinitesimi
per X che ten de a X ( in tal ca~o f e g si chiamano
infinitesimi simultanei ) Spesso interessa conoscere la ra-
,.... "':.::::::=--
pidita del rimpjccol imento dj tm jofjnitesimo risoetto aiJ:"d::-"
~.
tro e a guesto scopo si pongona Je segqenti defjnjzjonj\.
Supponiamo che esista un intorno l(x ) del punto x tale
0 0
che per ogni x E I(x ) con x i= x , risulti
0 0
9(x) ::/: 0 Ha senso allora considerare per 09ni x E I(x ),
0
con x i= x0 i 1 rapport_o_ _- r-
.......
e se esiste in R i 1 1 i mite di ta 1 e rapporto quando X ten
-
de a xo si possono presenta re i seguenti tre casi
If (X )I If (X )I
1 0 ) i m = 0 zo) 1 i m = +CO
)I
X --t x0 19 (X X --t xo 19 (X) I
It )I
(X
17>:9]
30) l i m =
)I
X
--t xo 19 (X
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Nel primo caso diremo che f e un infinitesimo d'ordine su
periore rispetto a g ; nel secondo caso che f e un in-
finitesimo d'ordine inferiore rispetto a g nel terzoche
f e g sono dello stesso .
ord~ne
Quando il limite, non esiste diremo
che f e g sono infinitesimi non confrontabili
Se f A -tR g A -tR h A -t R
so no tre infinitesimi simultanei per X che tende a xo ' fa-
cilmente si vede che:
Se f e dello stesso or:dj oe dj g e g e dello stesso o~:dj-
ne di h risulta f dello stesso ordine di h
'
Se f e dello stesso ordine di g e q e d'or:djne superio-
(inferiore) rispetto ad h risulta f d'ordine superio
~
re (inferiore) ri spetto ad h
Se f e d'ordine superiore (inferiore) rispetto a g e g
e dello stesso ordine di h , risulta f d'ordine superiore
(inferiore) rispetto ad h
Se f e d'ordine superiore (inferiore) rispetto a g e g
e
d'ordine superiore (inferiore) rispetto ad h risulta f
~'ord~--s_u_p_e~r~i-o_r_e~(~in~f~e-r~i~o-r-e~)~r~,s-p-e~t~t~o--a-d~~h------------~
e sJne e
Se f = g h , f il prodotto di due infinitesi
mi, risulta f d'ordine superiore rispetto ad uno dei fatto
ri · f , g se questo fatt0re e di verso da zero per ogni x
di un intorno di x , ad eccezione al piu di x
0 0
Peril confrontd degli infinitesimi simultanei e importante
la seguente proposizione .
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1 . (principia della sostituzione degli infinitesimi) .
Nel passare al limite nel rapporto di due infinitesimi simul
tanei, possono aggiungersi , sia a1 numeratore che a1 denomi -
"
natore, deg1i infinitesimi di ordine rispettivamente
}~~Jj.9-
re, e possono tog1iersi , sia a1 numeratore che a1 denominate
~=-
re, deg1i infinitesimi che nei confronti dei rimanenti sono
pure rispettivamente di ordine superiore .
La dimostrazione e semp1ice. Siano infatti f ' g , n , h
deg1i infinitesimi per X che tende a X e per ogni X di
0
un i ntorno I ( x ) di X con X t= X risulti
0 0 ' 0
f(x) t= 0 , g(x) t= 0
Si ponga
' h)
f = f +rf h 91 = g + g .
1
Ovviamente e g sono infinitesimi simu1tanei per x
1
che tende a x e ino1tre f.h e d'ordine superiore rispet
0
to a f e g . h e d'ordine superiore rispetto a g
Si ha per ogni x con X =f= X
0
f1(x) f(x) + f(x). h(x) f(x) + h(x)
-- - =
g (x) g(x) + g(x).n(x) g(x) + n( x)
1
+ h(x)
e da questa, poiche 1 i m = segue
X -t X 1 + h( x)
0
f 1 (X) f(x)
che se uno dei due rapporti ammette 1i
91 (X) g(x)
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mite quando x tend e a x anche 1 'a ltro ammette 1 i mite per
0
x che tende a x e risulta
0
f(x)
= 1 i m
X ----+ X g(x)
0
cioe 1 'asserto
Osservazione Siano f , g infinitesimi simultanei per x
che tende a x Si suol dire che f e di ordine arispe_!
0
to a g , con a E R + , quando f e dello stesso ordine
di ga
Si suol dire che f e d'ordine maggiore o uguale ad a (mi-
nore o uguale ad a ) ri spetto a 9 con a E R + quan-
' '
do f e d'ordine maggiore o uguale di ga (minore o uguale
di ga
Esempi
l ) Le applicazioni x ---.sin x
X ----+ X
X ----+ l - COS X x ----.. x sin sono infinitesimi per x
X
che tendo a zero
l l
2) Le applicazioni X ---+ - X---+ x2 X ---+
X log x
so no infinitesimi per X che tende a + co
3) Le applicazioni X ---+X X - Sin X so no i nfi ni
tes i mi dello stesso ordine quando X tend e a zero.
Sappiamo infatti Cap. VI o , n. 9 che
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sin x
l i m =
X -+ 0 X
4) Per x che tende a zero l'infinitesimo X-+ S i n2 X
d'ordine superi ore rispetto a
X
Basta osservare che sin2x = sin sin x e d'ordine
X
superiore rispetto a sin x e sin x e un infinitesimo
della stesso ordine di
X
-
5) Siano f e g le applicazioni definite da f(x) = a xn
m
g ( x) = b x , n, m. E lN , a, b E R , con a -=1= 0 , b -=/= 0
Esse sono infinitesimi simultanei per x che tende a zero.
Se e n > m ri s u lta f d ' -i-A·e---stlfle..ri are ri s pe...tio a g.
perche e
a n-m
D
X
a n-m
ed b X e un infinitesimo per X che tende a zero
__
Ovviamente~s~e~e~~n~=~mL-_fL ~e--Yg~~~Li~~
stesso ordine
6) Le applicazioni f e g con f(x) = x sin e
X
g(x) = x sono infinitesimi non paragonabili quando
X
tende a zero
i
--x sin
- I X ~~
Infatti i l rapporto X
=
'X sin
.......
non ammette limite in R quando x tende a zero
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