Lexikon der Mathematik: Band 3: Inp bis Mon

477 Pages·2017·8.53 MB·German

by  Guido Walz (eds.)

Lexikon der
Mathematik
Band 3
Inp bis Mon
Lexikon der Mathematik: Band 3
Guido Walz
(Hrsg.)
Lexikon der Mathematik:
Band 3
Inp bis Mon
2. Auflage
Herausgeber
Guido Walz
Mannheim, Deutschland
ISBN 978-3-662-53501-1 ISBN 978-3-662-53502-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-53502-8
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VI
HinweisefürdieBenutzer
Gemäß der Tradition aller Großlexika ist auch das vorliegende Werk streng alphabe-
tisch sortiert. Die Art der Alphabetisierung entspricht den gewohnten Standards, auf
folgende Besonderheiten sei aber noch explizit hingewiesen: Umlaute werden zu ih-
ren Stammlauten sortiert, so steht also das „ä“ in der Reihe des „a“ (nicht aber das
„ae“!);entsprechendfindetman„ß“bei„ss“.GriechischeBuchstabenundSonderzei-
chen werden entsprechend ihrer deutschen Transkription einsortiert. So findet man
beispielsweise das α unter „alpha“. Ein Freizeichen („Blank“) wird nicht überlesen,
sondern gilt als „Wortende“: So steht also beispielsweise „a priori“ vor „Abakus“.
ImGegensatzdazuwerdenSonderzeicheninnerhalbderWorte,insbesonderederBin-
destrich, „überlesen“, also bei der Alphabetisierung behandelt, als wären sie nicht
vorhanden.Schließlichistnochzuerwähnen,daßExponentenebensowieIndizesbei
derAlphabetisierungignoriertwerden.
VII
integrablesHamiltonschesSystem
input,EingabevonDaten. für die Überlebenswahrscheinlichkeit, siehe auch
Zur automatischen Verarbeitung von Daten ist ®Ausfallwahrscheinlichkeit.
es nötig, die Daten einem Rechner zur Verfügung Integer-Programmierung, andere Bezeichnung
zu stellen. Die Übertragung von Informationen in fürdie® ganzzahligeOptimierung.
einenRechnernenntmaninput. Integrabilität,EigenschafteinerFunktion.
inputlayer,®Eingabeschicht. IntegrabilitäteinerineineroffenenMengeD⊂C
inputneuron,®Eingabe-Neuron. stetigen Funktion f: D → C bedeutet beispiels-
Instabilitätszone, nach Arnold diejenige Teil- weise, daß f eine Stammfunktion F in D besitzt,
mengeeiner®Energiehyperflächeeinesgestörten d.h. F ist eine in D ®holomorphe Funktion mit
integrablenSystems,dieaußerhalbderinvarianten F(cid:4)(z) = f(z) für alle z ∈ D. In diesem Fall nennt
Tori(®invarianterTorus,Satzüber)liegt. man f integrabelinD.
FallsderPhasenraumdesSystemsvierdimensio- EsgiltdasfolgendeIntegrabilitätskriterium.
nal ist, so verbleibt jede Integralkurve in der In- Es sei D ⊂ C eine offene Menge und f: D → C
stabilitätszonezwischenzweiinvariantenTori.Für eine in D stetige Funktion. Dann sind folgende
höherdimensionalePhasenräumeistdiesjedochim Aussagenäquivalent:
allgemeinennichtmehrderFall. (a)Esist f integrabelinD.
InstituteforAdvancedStudy,eineprivateInsti- (a)Für jeden in D(cid:2)rektifizierbaren, ®geschlosse-
tution, die die Förderung und Unterstützung der nenWegγ gilt γf(z)dz=0.
GrundlagenforschungzurAufgabehat. Ist f integrabel in D, so ist f holomorph in D.
Das Institut ist in Princeton beheimatet und Jedoch ist nicht jede in D holomorphe Funktion
wurde 1930 gegründet. Es hat kein formales Aus- integrabel in D. Zum Beispiel ist f(z) = 1 holo-
bildungsprogramm, keinen vorgeschriebenen Vor- morphinD=C\{0},abernichtintegrabeliznD.Ist
lesungszyklusundkeineLaboratorienbzw.andere D=Geineinfachzusammenhängendes®Gebiet,
Experimentiereinrichtungen. Es bietet hervorra-
so ist jede in G holomorphe Funktion integrabel
genden Wissenschaftlern aus aller Welt die Mög-
inG.
lichkeit,freivonanderenVerpflichtungenihreFor-
Integrabilitätsbedingung für ein Hyperebenen-
schungen durchzuführen. Deshalb gibt es weder
feld,die®FrobeniusscheIntegrabilitätsbedingung
vertraglich gebundene Forschungsaufträge noch
für das Unterbündel der Kodimension 1 des Tan-
formaleBindungenanandereBildungseinrichtun-
gentialbündels einer differenzierbaren Mannigfal-
gen. Jedoch bestehen sehr gute Beziehungen zur
tigkeit,dasdurchein®Hyperebenenfelddefiniert
Universität Princeton und einigen nahe gelegenen
wird.
Instituten. Die Finanzierung erfolgt vor allem aus
DieHyperebenenfelder,dieeiner®Kontaktman-
privaten Stiftungen und Spenden sowie aus staat-
nigfaltigkeitMzugrundeliegen,erfüllendieIntegra-
lichen Zuschüssen. Das Institut besteht zur Zeit
bilitätsbedingungnicht.
ausfünfAbteilungen(Schulen):fürhistorischeStu-
integrabler geodätischer Fluß, ein geodätischer
dien,fürMathematik,fürNaturwissenschaften,für
Fluß, der ein ®integrables Hamiltonsches System
SozialwissenschaftenundfürtheoretischeBiologie.
aufdem®KotangentialbündeleinerRiemannschen
Jede Abteilung verfügt über einen kleinen Stamm
Mannigfaltigkeitbildet.
von fest angestellten Mitgliedern und über etwa
integrablesHamiltonschesSystem,zurVerdeutli-
180 zeitweilige Mitglieder, die meist für ein Jahr
chung auch vollständig integrables Hamiltonsches
an das Institut berufen werden. Unter ihnen be-
System genannt, ein ®Hamiltonsches System auf
fanden sich zahlreiche Nobelpreisträger bzw. Trä-
einer ®symplektischen Mannigfaltigkeit M der
ger der ®Fields-Medaille und anderer hoher wis-
Dimension 2n, für das es n funktional unabhän-
senschaftlicher Auszeichnungen. Das Institute for gige ®Integrale der Bewegung F1,...,Fn gibt, die
AdvancedStudyistwegenseinereinzigartigenFor-
untereinanderallebzgl.derPoisson-Klammerkom-
schungsatmosphäre und der Möglichkeit zur Zu-
mutieren.
sammenarbeit mit zahlreichen bedeutenden Ge- Für gegebene reelle Zahlen a1,...,an ist dann
lehrten als eine führende Forschungseinrichtung
jedeNiveaufläche
in aller Welt sehr geschätzt. Gegenwärtig (2000)
gehörenE.Bombieri,J.Bourgain,P.Deligne,R.P.
Langlands,R.D.MacPherson,T.SpencerundA.A. {m∈M|F1(m)=a1,...,Fn(m)=an}
WigdersonsowieA.SelbergundA.BorelalsEmeriti
dermathematischenAbteilungalsständigeMitglie- invariant unter den Flüssen des Systems und der
deran. ®Hamilton-Felder der Integrale der Bewegung. In
Intaktwahrscheinlichkeit, Begriff aus der ®Zu- derNähejederregulärenNiveauflächelassensich
verlässigkeitstheorie. die n Integrale lokal zu ®Darboux-Koordinaten
Die Intaktwahrscheinlichkeit ist ein Synonym (Q1,...,Qn,F1,...,Fn) ergänzen, in denen die
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G. Walz (Hrsg.), Lexikon der Mathematik: Band 3,
DOI 10.1007/978-3-662-53502-8_1
integrablesUnterbündel
DynamikdesHamilton-FeldesdieeinfacheForm Integralfortsetzung bzgl. (cid:13)(cid:13) führt zum Integral
S
von Regelfunktionen, bzgl. (cid:13)(cid:13) zum Riemann-
dQi = ∂H(F), dFi =0 Integralundbzgl.(cid:13)(cid:13)L zumLebeRsgue-Integral,die
dt ∂Fi dt sich auf ähnliche Weise auch in wesentlich allge-
meinerenAusgangssituationeneinführenlassen.
annimmt.
Integralcosinus,®Integralcosinusfunktion.
FastalleHamiltonschenSystemesindnichtinte-
Integralcosinusfunktion,Integralcosinus,diefür
grabel. Trotzdem bilden bestimmte integrable Sy-
x>0durch
steme wie das ®Kepler-System in der Himmels-
mechanikoderder®HarmonischeOszillatoreine (cid:6)∞
cost
wichtige Grundlage für Näherungen (®Kolmogo- Ci(x) = − dt
t
row-Arnold-Moser,Satzvon).
x
integrables Unterbündel, ® Frobeniussche Inte- (cid:6)x
1−cost
grabilitätsbedingung. = γ +lnx− dt
Integral, ®Existenz des Integrals, ®Integrabili- t
0
tät,®Integralrechnung,®IntegrationvonFunktio-
nen,®Integrationsregeln,®Integrationstheorie. definierte Funktion Ci:(0,∞)→R, wobei γ die
Integral der Bewegung, für ein gegebenes dyna- ®EulerscheKonstanteist.
∞
mischesSystemjedereellwertigeC -Funktion,die
längs der Integralkurven des dem System zugrun-
deliegendenVektorfeldeskonstantist. 1 Ci′(x) =cos x
Integral von Regelfunktionen, ®Regelfunktio- x
nen,Integralvon. π π
Integralabschätzung, Abschätzung des Betrags 32 72
(bzw. der Norm) eines Integrals nach oben durch π2 5π2 9π2
eine Funktion des Integrationswegs und des In-
tegranden, etwa beim ®Kurvenintegral durch das –1 Ci(x)
Produkt aus der Kurvenlänge und dem Maximum
desIntegrandenaufdemTrägerderKurve.
Integralcosinusfunktion
Speziell spricht man auch von Integralabschät-
zung bei einer Abschätzung des Integrals durch
eine„Norm“desIntegranden,d.h.(untergeeigne-
Fürx>0gilt
ten Vo(cid:2)raussetzungen) einer Ungleichung der Ge-
stalt | f(x)dx|≤(cid:13)f(cid:13) für integrierbare Funktio- (cid:7)∞ (−1)n
Ci(x) = γ +lnx+ x2n.
nen f (®Integralnorm). Eine solche Abschätzung (2n)(2n)!
zeigt,daßdasIntegralalslineareFunktiondesIn- n=1
tegranden bzgl. (cid:13)(cid:13) stetig ist, und ihre Gültigkeit Die Funktion Ci ist zu einer in der geschlitzten
für„einfacheFunktionen“ f (z.B.Treppenfunktio- EbeneC−=C\(−∞,0]®holomorphenFunktion
nen) ist Grundlage der ®Integralfortsetzung. Die fortsetzbar. Bezeichnet Log den Hauptzweig des
Dreiecksungleichung für Integrale liefert z.B. für Logarithmus, so ist Ciz−Logz zu einer ®ganz
−∞<a<b<∞unddenRaumEderreellwerti- transzendenten Funktion fortsetzbar. Für z ∈ C−
genTreppenfunktionenauf[a,b]mitdemelemen- gilt
tarenIntegrali:E→R (cid:6)z
1−cost
|i(h)| ≤ i(|h|) = (cid:13)h(cid:13)L = (cid:13)h(cid:13)R ≤ (cid:13)h(cid:13)S Ci(z) = γ +Logz− t dt
0
für h∈E mit der (skalierten) Supremumsnorm (cid:7)∞ (−1)n
(cid:13)(cid:13) , der Riemann-Norm (cid:13)(cid:13) und der Lebesgue- = γ +Logz+ z2n.
S R 2n·(2n)!
Norm (cid:13)(cid:13) . Diese sind für f :[a,b]→R wie folgt n=1
L
definiert:
(cid:3) (cid:4) (cid:5) Integraldarstellung der Beta-Funktion, ® Beta-
(cid:13)f(cid:13) = (b−a)sup |f(x)|(cid:4)x∈[a,b] , Funktion.
S
(cid:3) (cid:4) (cid:5) integrale Bezier-Fläche, veraltete Bezeichnung
(cid:13)f(cid:13)R= inf i(h)(cid:4)E(cid:15)h≥|f| (inf∅=∞), für eine polynomiale (also nicht rationale)
(cid:3) (cid:4) (cid:5)
(cid:13)f(cid:13)L= inf snu∈Npi(hn)(cid:4)E+(cid:15)hn↑≥|f| ®iBnétzeigerra-lFeläBcehzeie.r-Kurve,veralteteBezeichnungfür
(d.h.0≤h1≤h2≤···≤suphn≥|f|). eine polynomiale (also nicht rationale) ®Bézier-
n∈N Kurve.
2
Integralfortsetzung
integrale B-Splinefläche, veraltete Bezeichnung Integralfläche, lokale Untermannigfaltigkeit F
für eine polynomiale (also nicht rationale) ®B- einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, deren
Splinefläche. Tangentialräume mit vorgegebenen Unterräumen
integrale B-Splinekurve, veraltete Bezeichnung desTangentialbündelsvonMübereinstimmen.
für eine polynomiale (also nicht rationale) ®B- Jede Integralkurve eines dynamischen Systems
Splinekurve. ist ein Beispiel einer eindimensionalen Integral-
Integralexponentialfunktion, die für x∈R\{0} fläche.BlätterungenvonMinIntegralflächenwer-
durch den oft durch integrable Unterbündel des Tan-
(cid:6)x et (cid:6)∞e−t gentialbündelsvonMerzeugt,vgl.®Frobeniussche
Ei(x) = dt = − dt Integrabilitätsbedingung.
t t Integral-Flow-Theorem,® Netzwerkfluß.
−∞ −x
IntegralformelvonGauß-Bonnet,eineBeziehung
d(cid:2)efinierte Funktion Ei:R\{0}→R. Für x>0 ist zwischender®GesamtkrümmungeinerFlächeF,
−x∞ ett dt als der Cauchy-Hauptwert des Integrals der®geodätischenKrümmungκgihrerRandkurve
zuverstehen,also C,undihremGeschlechtg.
 
(cid:6)−ε (cid:6)x Das Geschlecht g einer geschlossenen Fläche F
Ei(x) = lim et dt+ et dt. läßt sich anschaulich als Anzahl der ‚Löcher‘ von
ε↓0 t t F beschreiben.Damitgilt:
−∞ ε
Es sei F eine reguläre Fläche des R3 mit einer
glattenRandkurveC,dOihrOberflächenelement
(®Flächeninhalt) und ds das Bogenelement von
4 Ei′(x) =ex C.Danngilt
x (cid:6) (cid:12)
c 3
2 kdO+ κgds = 2π.
1 F C
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Als Folgerung daraus erhält man für eine ge-
Ei(x) schlosseneFlächevonGeschlechtg:
(cid:6)
–2
–3 kdO = 2π(1−g).
Ei′(x) =ex –4 F
x
DabeiistC beimBerechnendesKurvenintegrals
Integralexponentialfunktion sozudurchlaufen,daßdieFlächezurLinkenliegt.
DiesesResultatwurdezuerstimJahre1848von
Fürx∈R\{0}gilt O.Bonnet publiziert. Vermutlich kannte es Gauß
aberschonvorher.
Ei(x) = γ +ln|x|+(cid:7)∞ xn , Integralfortsetzung,Erweiterungeinesaufeiner
n=1n·n! Teilmenge Eeines Funktionenraums Fgegebenen
elementaren Integrals i unter Beibehaltung von
wobeiγ die®EulerscheKonstanteist.Fürx→∞
EigenschaftenwieLinearitätund(inSpezialfällen)
hatmandieasymptotischeDarstellung
MonotonieaufeinengrößerenBereichintegrierba-
e−x (cid:7)∞ n! rer Funktionen I⊂F, der möglichst E als dichte
Ei(−x) ≈ (−1)n .
x xn Teilmengeenthaltensoll.
n=0 Die Menge E, auch Menge der einfachen Funk-
Die Integralexponentialfunktion ist durch tionen genannt, kann beispielweise ein Raum von
Ei(x)=Li(ex) für x<0 bzw. Ei(lnx)=Li(x) Treppenfunktionen oder ein Raum stetiger Funk-
für 0<x<1 mit der ®Integrallogarithmusfunk- tionen mit kompaktem Träger sein. Eine einheit-
tionLiverbunden. licheundeleganteBehandlungauchsehrallgemei-
Die Funktion Ei ist zu einer in der geschlitzten nerFälleistmöglich,wennmansolcheineErwei-
Ebene C− = C \(−∞,0] ®holomorphen Funk- terungalsstetigeFortsetzungvonibezüglicheiner
tion fortsetzbar. Bezeichnet Log den Hauptzweig aufFgegebenen(bzw.geeignetdefinierten)Norm-
desLogarithmus,soistEiz−Logzzueiner®ganz ähnlichen Abbildung (cid:13)(cid:13):F→[0,∞] betrachtet
transzendenten Funktion fortsetzbar. Für z ∈ C− (®Integralnorm,®Integrationstheorie),wobeifol-
giltdieReihenentwicklung gender Fortsetzungssatz bzw. einfache Verallge-
(cid:7)∞ zn meinerungen desselben benutzt werden können:
Eiz = γ +Logz+ . Ist F ein Vektorraum und (cid:13)(cid:13):F→[0,∞] eine
n=1n·n! Pseudonorm (d.h. (cid:13)(cid:13) hat die Eigenschaften einer
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