Les nombres : secrets d’hier et d’aujourd’hui

157 Pages·2008·18.263 MB·French

by  Philippe Boulanger, collectif

lotheoue
Les
N o m
d'aujourd'hui
Secrets d'hier et
EDITIONS HS n° 33
POLE
ISSN 0987-0806
Bibliothèque
Taft^
L'aventuremaicrterrria-tique
Tangente Hors-série n° 33
Les nombres
Secrets d'hier et d'auleurd'hui
Sous la direction de Philippe Boulanger
EDITIONS
POLE
© EditionsPOLE - Paris2008
Toutereprésentation, traduction, adaptation, publication ou reproduction, même partielle, partous
procédésetsurtoussupports,entouspays,faitesansautorisationpréalable,estilliciteetexposerait
lecontrevenantàdes poursuitesjudiciaires.Référence:loidu 11mars 1957.
ISBN : 9782848840864 ISSN : 0987-0806 Commission paritaire : 1011 K 80883
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dans la Bibliothèque Tangente
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POLE
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Les nombres
Sommaire
l'apparition desnombres
DOSSIER
Quandnousavonsimaginélesnombres,ilyaenvironun
million d'années, nous avons ouvert les portes d'une
caverneauxtrésors mystérieuxetdepuis cettecréation,
lesnombresmènentleurexistencepropreindépendam
ment de leur créateur. Leurs propriétés sont d'autant
plus étonnantes qu'elles sont parfois inconsciemment
exploitées par les pratiquants des arts divinatoires et
reconnues ensuite.
Les maths dansles sociétés sans écriture
Nommer et écrire les nombres
dans les différentes langues
Les naissances multiples du zéro
La découverte de lanumérationCentauréenne
DOSSIER Les nombres dans tous leurs états
Ilexistetouteunefaunedenombresquiontétéinventés
à mesure que les mathématiciens exploraientla nature
dumondedel'abstraction. Chaquetypede nombreena
engendréde nouveaux
Les corps ultimes
Lalente émergence des nombres négatifs
Lagenèse des imaginaires
La découverte des quaternions
La répartition des nombres premiers
Une sotie surles nombres parfaits
La découverte des nombres transcendants
Unetranche de vie
Hors-série n° 33. Les nouveaux secrets des n mbres Ta
DOSSIER Les uisionnaires des nombres
Certains mathématiciens ont une telle intimité avec
les nombres qu'ils en découvrent des propriétés à la
fois extraordinaire etlogique. Ces visionnaires asso
cient deux qualités réputées antagonistes, la rigueur
etl'imagination.
Tripletspythagoriciens
Le nombre Oméga
Erdôs, l'homme qui adoraitles nombres
Les nombres de Ramsey
Kaprekar oula passion des nombres
DOSSIER Les calculs
Un calcul n'est pas un automatisme, mais une
réflexion sur les hypothèses utilisées et la manière
optimale d'obtenir un résultat. Au cours du calcul,
des surprises montrent de nouvelles facettes des
nombres.
L'hypothèse du continu
Les partitions de nombres
Les nombres calculésparHorner
Les carpettes de Conway
Surune blague de Martin Gardner
Suites de Fareyet cercles de Ford
Lesvaleurs de Jt
Les nombres univers
L'intuitiontrompée
Les racines emboîtées
En bref
Problèmes
Solutions
Tangen±e Hors-série n°33. Les nouveaux se
Lesmaths dans les sociétéssans écriture
nommer et écrire les nombres
dans lesdifférenteslangues
iLes naissancesmultiplesduzéro
[ladécouuerte de la numération Centauréenne
l a p p o r i t i o n
s
Quand nous avons imagine les
nombres, il y a environ un mil
lion d'années, nous avons
ouvertles portesd'unecaverneauxtré
sorsmystérieuxetdepuiscettecréation,
les nombres mènent leur existence
propre indépendamment de leur créa
teur. Leurs propriétés sont d'autant
plus étonnantes qu'elles sont parfois
(cid:127)ïii
inconsciemment exploitées par les pra-
tiqnants des arts divinatoires et recon
nues ensuite.
Hors-série n° 33. Les nouveaux secrets des nombres Tangente
HISTOIRES par Marc Chemillier
Les mathématiques
dans les sociétés sans écriture
Les mathématiques dans les sociétés sans écriture ne sontpas
formalisées, mais certaines activités spécifiques comme les
arts décoratifs du Vanuatu, la divination à Madagascar ou les
polyrythmies africaines, sont assimilables à des mathéma
tiques « naturelles ».
Les mathématiques dans lescivi
lever le doigt et sans repasser sur un
lisations sans écriture mettent sillondéjàtracé,conditionquin'estrien
en œuvredes « traces » (sillons d'autre que celle définissant un chemin
creusés sur le sable, graines disposées eulérien dans un graphe. On sait
sur le sol, etc.) sur lesquelles s'appuie qu'Euler (1707-1783) avait énoncé une
la spéculation abstraite. L'étude des condition nécessaire et suffisante pour
mathématiques contenues dans ces qu'un tel chemin existe : le nombre
activitésdépassel'analysedes traces et d'arcs à chaque sommet doit être pair,
examine les formes de rationalité qui saufdeux par lesquels le chemin com
leurontdonné naissance. mence et finit. Ce théorème explique
pourquoi on peut tracer une « enve
Lesdessinssur lesabledu Uanuatu loppe »d'un seulcoup de crayon.
L'ancienMuséedesArtsAfricains Les dessins sur le sable sont pratiqués
etOcéaniens àParis avait proposé dans plusieurs régions du
en 1997 une magnifique exposi monde. En Angola, ilexiste
tion surles arts duVanuatu, archi une famille de dessins
peldu Pacifiqueoù l'onvoyait des appelés « coq en
photographies de belles formes fuite ». Lacontrainte
éphémères tracées sur le sable est plus stricte celle
(voir photographieci-contre) d'un chemin eulé
rien : non seulement
La tradition raconte que ces un segment déjà
formes doivent être tracées sans tracé ne doit pas être
Tangervte Hors-série n°33. Les nouveaux secrets des nombres
DOSSIER : IMAGINER LES NOMBRES
réutilisé,maisleslignesnedoiventpas La propriété mathématique d'asy-
se touchersans croisement. métrie de cette séquence apparaît
quand on la représente sur un
cercle (le rythme est répété
indéfiniment en boucle). ,
Si l'on essaie de cou-
per le cercle en 2
deux à l'endroit
Dans ces dessins, leréseau sous-jacent des notes, on s'aperçoit
de points doit avoir un nombre qu'on ne peut le faire 2
impair de lignes et un nombre pair en deux parties de j
de colonnes. Le dessin ci-dessus à mêmes durées, car il * 1
5ligneset6colonnesestmonolinéaire manque toujours une ^i
(tracé avec une seule courbe), mais unité quel que soit le ^
celui à5 lignes et 10colonnes nel'est pointde partagechoisi.
pas. Pourquoi ? Le mathématicien Cette propriété remar- 2
Paulus Gerdes amontré que siledes- quable est vérifiée par plu- ^
sin arespectivement 2m-r 1lignes et sieursrythmesd'Afriquecentrale. /
2n colonnes, alors le nombre de Dans les rythmes de la région, le
courbes indépendantes nécessaires nombre d'unités du cercle n'est divi-
pour le tracer est le plus grand com- sible que par une puissance de 2 et
mundiviseur (pgcd)de (m-1-1,nH-1). éventuellement par 3, ce qui donne
Ainsi, le dessin de gauche est bien 8, 12,16,24 (au-delà de24,laséquen-
monolinéaire, pgcd(3, 4) = 1, mais ce est trop longue). Tous ces rythmes
celui de droite est trilinéaire, asymétriques (sauf 1)sont utilisés chez
pgcd(3, 6) = 3. Les artistes angolais les populations de la région (voir
sont-ilsconscients deces propriétés ? tableau) ce qui suggère qu'une inten
tion a suscité leurapparition.
Les rythmesasymétriques
d'HfrIque centrale niusique etcombinatoire des mots
Les musiques des Ces rythmes sont des suites de 2 et
Pygmées Aka, un de 3, c'est-à-dire des mots sur
peuple de chas- l'alphabetA = {2, 3}. La combina
seurs-cueilleurs toire des mots s'est développée
vivant dans la sous l'impulsion de Marcel-Paul
forêt tropicale au Schiitzenberger(1920-1996).
Sud-Ouest de la Les rythmes asymétriques africains
République cen forment une partiede A*, ensemble
trafricaine, sont d'extraordinaires des mots sur A. On note e le mot
enchevêtrements polyrythmiques vide et a, b deux fonctions de
connus grâce aux travaux de A* XA* dansA* xA* définies par :
l'ethnomusico-logue Simha Arom. a{u, v) = (3m,3v) et b(u, v) = (v, 2m).
Elles sont souvent construites sur une L'ensemble des rythmes asymétriques
structure rythmique asymétriquejouée estexactementl'ensembledes mots uv
par des lames entrechoquées de ou VM tels que (m, v) est obtenu en
machettes en fer. appliquantau couple(e, e)une succes-
Hors-série n° 33. Les nouveaux secrets desnombres Tangen-te '1 7 il
HISTOIRES Les mathématiques...
sion dea etde è àcondition que b soit La diuination à IDadagascar
appliquéun nombreimpairdefois. Par
exemple, la succession abbb donne le ÀMadagascar,ledevinappelémpisiki-
rythme 32322 : dy ou ombiasy, est à la fois celui qui
abbb(E,e)=abb{e,2)=ab{2,2)=a{2,22) préditl'aveniret celui quiguérit etqui
=(32, 322). résout les problèmes.
Une difficulté apparaît dans Il maîtrise une technique de calcul
rénumération des rythmes asymé consistant à disposer sur le sol des
triques, car ils sont répétés indéfini tableaux de graines selon des règles
ment en boucle, donc il n'y a pas de précises.
raison de distinguerceux qui sedédui
sent par une permutation circulaire.
Les mots de Lyndon surmontent cette
difficulté : parmi les permutations cir
culaires d'un mot, on prend la premiè
re dans l'ordre alphabétique. Par
exemple, abbb est le mot de Lydon
associé à abbb, bbba, bbab, babb. On
obtient ainsi des solutions uniques « à
une permutation circulaireprès ».
Il reste que le calcul « à une permuta
tion circulaireprès »doit être faitsur la
séquence de 2 et de 3, et non sur celle
de a etde b. Oron a lachance d'avoir
cette propriété surprenante:lespermu
tations circulaires d'un rythme asymé
trique sont exactement les rythmes
obtenus avec les permutations circu
m
laires de la suite de a et de è qui l'a
engendré. Par exemple, le rythme
22323 (permutation circulaire de
32322) s'obtient avec bbba (permuta
tion circulaire de abbb) :
Rythmes
bbba{t, e) = bbbO, 3) = bbO, 23)
asymétriques
= bi23, 23) = (23, 223). Les tableaux sont formés d'éléments
dansles régions
valant 1graineou 2graines.La matrice
d'Afrique
mère est la partie supé
Nombrede3 Somme Transformation Rythme Groupeethnique rieure du tableau, un
8 ah 332 Zande carré de 4 lignes et
2 12 abbb 32322 Aka,Gbaya.Nzakara 4 colonnes. Les colonnes
16 abhbb 3223222 Gbaya,Ngbaka fdles sont la partie
24 abbbbbbbbb 32222322222 Aka inférieure du tableau :
4 16, 24 impossible
8 colonnes de 4 éléments
24 aaabbh 333233322 non utilisé calculés à partir de la
6 24 aababb 333233232 Aka(mokongo)
matrice mère en appli
24 aabbab 333232332 rétrogradedelaprécédente
quantlarègled'addition:
8 Tangente Hors-série n°33. Les nouveaux secrets des nombres
DOSSIER : IMAGINER LES NOMBRES
1 + 1= 2 + 2 = 2, 1+2 = 2+1 = 1. Nord = 1222, 2212, 1112, 1212 ;
L'ordre de génération des filles est Ouest = 2221, 1211, 1221, 2121,
celui du tableau ci-dessous avec un 2111 ; =2122,2211,2112
vocabulaireadapté : Sud =2222, 1111, 1122, 1121.
Une autre population, les
Antemoro, utilise un classe
mentdifférent.
Génération1
P=P+P Génération2
Générations3et4
12 10 14
Lespositionssontles4colonnesP^,P^, La tradition arabe, dont dérive la géo
f3, P4etles4lignesfj, Pg,Py,Pgdela mancie malgache, comporte aussi des
matrice mère, ainsi que les 8 colonnes répartitions des seize figures en quatre
filles,soient 16positions (leslignessont classes, appelées tasakîn. Voici un
lues dedroite àgauche, c'est-à-direque classement arabe en
lapremièrelignePj ci-dessusest2211). points cardinaux datant
Les figures sont les suites de quatre du XV® siècle (schéma
éléments que l'on peut former avec ci-contre).
I graineou2graines, ilyena2^*=16,
mais les 16 possibilités ne sont pas Certainstableauxappelés
toutes obtenues dans un tableau. toka ou fohatse ont un
II est très remarquable que les devins grand pouvoirsur leplan
soient capables de construire les filles symbolique : Toka (ou
mentalement (sans les matérialiser tokan-tsikidy) sont les
avec lesgraines)et, de plus,ils peuvent tableaux dans lesquels -
l'undespointscardinaux ^
le faire sans respecter l'ordre de géné
ration des filles, parexemple de droite n'est représenté qu'une seule fois
à gauche, c'est-à-dire en commençant parmi les seizepositions du tableau.
par celle de quatrième génération. Fohatse sontles tableauxdans lesquels
Commentfont-ils ce calcul ? l'unedes figures estrépétée unnombre
Différents classements des figures defois supérieur à 8. Le tableau plus
interviennent dans l'activité du devin- haut estfohatse avec 2211
guérisseur ; répété neuffois (2 lignes et
Princes, esclaves:Les 8figuresavec un 2colonnesmère,5colonnes
nombre pair de graines sont appelées fille).
«princes », les 8autres «esclaves ». Le devin construit ces
Points cardinaux : Il existe plusieurs tableaux sur la natte, puis
classifications des figures en points isole les figures qui les ren
cardinaux. La suivante est pratiquée dent toka ou fohatse et les
chez les Antandroy, l'une des popula recouvre d'une poudre qui
tions de Madagascar ; serviraensuitede talisman. photo©LantoRaonlzanany
Hors-série n° 33. Les nouveaux secrets des nombres Tangente