Les Mathematiques pour l'agregation

680 Pages·2002·3.4 MB·French

by  Antonini et al.

Les Mathématiques pour
l’Agrégation
C.Antonini
J.-F.Quint
P.Borgnat
J.Bérard
E.Lebeau
E.Souche
A.Chateau
O.Teytaud
21mai2002
Table des matières
1 Notationsetdéfinitionsusuelles 15
2 Ensemblesordonnés 17
3 Graphes 21
4 Théorie des ensembles - autres systèmes axiomatiques - construction des
ensemblesusuels 26
4.1 LesaxiomesdelathéoriedesensemblesdeZermelo-Fraenkel . . . . 26
4.2 La"taille"desensembles:ordinaux,cardinaux . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1 Lesordinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.2 Lescardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 L’axiomed’accessibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 L’hypothèseducontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 L’axiomedefondation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6 Résumédethéoriedesensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Topologie 40
5.1 Espacestopologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.1 Casleplusgénérald’espacetopologique . . . . . . . . . . . 40
5.1.2 Espacesmétriquesetespacesnormés . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.3 Notiondevoisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.4 Fermeture,intérieur,extérieur,frontière . . . . . . . . . . . . 45
5.1.5 Based’ouvertsetbasedevoisinages . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.6 Continuitéetlimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.7 Espaceséparé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.8 Continuitéetlimitedanslesespacesmétriquesounormés . . 54
5.1.9 Valeurd’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Constructiondetopologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.1 Topologiequotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.2 Topologiesurunespaced’applicationslinéaires. . . . . . . . 60
5.2.3 Topologiedéfinieparunefamilledepartiesd’unensemble . . 60
5.2.4 Topologiedéfinieparunefamilled’applications. . . . . . . . 61
5.2.5 Topologieproduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Compacité-liensentrecomplétudeetcompacité . . . . . . . . . . . 64
5.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.2 LethéorèmedeTykhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.3 Applicationauxespacesvectorielsnormés . . . . . . . . . . 70
1
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5.3.4 Espacesmétriquescompacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.1 SuitesdeCauchy.Espacecomplet . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.2 Complétéd’unespacemétrique . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.6 Zoologiedelatopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6.1 Séparationdeferméspardesouvertsdansunmétrique . . . . 87
5.6.2 ThéorèmedeBaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6.3 Distanced’unpointàunepartie . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.6.4 Approximationd’ouvertspardescompacts . . . . . . . . . . 92
5.6.5 Homéomorphismeentreunebouleferméeetuncompactconvexe
d’intérieurnonvide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6.6 Intersectionvided’unesuitedécroissantedefermésconvexes
nonvidesbornésd’unespacevectorielnormé . . . . . . . . 93
5.6.7 Valeursd’adhérence(cid:54)=limitesdesuitesextraites . . . . . . . 94
5.6.8 Lesespacesprojectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6.9 LecubedeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6.10 Fonction non continue vérifiant la propriété des valeurs inter-
médiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.6.11 TouslesfermésdeRn s’exprimentcommezérosdefonctions
indéfinimentdérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.6.12 Lecompactifiéd’Alexandrov. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.6.13 LecantorK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3
5.6.14 Une distance sur les sous-espaces vectoriels d’un espace vec-
torieldedimensionfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.6.15 Topologieetapproximationdefonctionscaractéristiques . . . 104
5.6.16 Pointsfixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.6.17 Casparticulierdesespacesvectorielsnormésdedimensionfinie106
5.6.18 f : R → RestC∞ et∀x∃n/f(n)(x) = 0,alorsf estpolyno-
miale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.6.19 Lesbillardsstrictementconvexes . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.6.20 Deuxjoliesinégalitésgéométriques . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6.21 Inégalitéisopérimétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6.22 Inégalitéisodiamétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.6.23 Triangulations d’un simplexe - Lemme de Sperner - consé-
quences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 Intégration 118
6.1 σ-algèbre,mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.1.1 Définitions,généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.1.2 σ-algèbreengendrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.3 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2 Π-systèmes,d-systèmes,etthéorèmedeCarathéodory . . . . . . . . 125
6.3 Partiesnonmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4 Exercicessurlesσ-algèbreetlesmesures . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.5 Fonctionsmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.6 Suitesdefonctionsmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.7 Intégration-théorèmedeconvergencedominéedeLebesgue . . . . . 130
6.7.1 Fonctionsétagéesetfonctionssimples . . . . . . . . . . . . . 130
6.7.2 Fonctionspositives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
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6.7.3 Lecasgénéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.7.4 Fonctionsvectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.7.5 ThéorèmedelaconvergencedominéedeLebesgue.Corollaires 136
6.8 Intégrationdanslesespacesproduits.Changementdevariable . . . . 139
6.9 MesurabilitéetmesurabilitéausensdeLebesgue . . . . . . . . . . . 143
6.10 Fonctionsdéfiniespardesintégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.10.1 Continuité,dérivabilitésouslesigne . . . . . . . . . . . . 145
(cid:82)
6.10.2 Fonctionsholomorphessouslesigne . . . . . . . . . . . . 146
(cid:82)
6.10.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.11 Zoologiedelamesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.11.1 Approfondissementssurlesmesurescomplexes . . . . . . . . 147
6.11.2 Presquerecouvrementd’unouvertdeRnpardespetitesboules 148
7 Produitdeconvolution 150
7.1 Définitionsetgénéralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.2 Zoologiedelaconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2.1 Convoluéed’unpolynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2.2 UnefonctionFONDAMENTALEpourlaconvolution . . . . 153
8 EspacesLpetespacesLp 154
8.1 Quelquesrésultatsutiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2 EspacesLpetLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.3 ThéorèmessurlesLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.4 ZoologiedesespacesLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.4.1 Espacelp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.4.2 EspaceL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9 Approximationdefonctions 162
9.1 Topologieetapproximationdefonctionscaractéristiques . . . . . . . 162
9.1.1 Intercalation d’ouverts relativement compacts entre un ouvert
etuncompact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.1.2 Séparationd’uncompactetd’unfermé . . . . . . . . . . . . 163
9.1.3 Approximationd’unensemblemesurableparunefonctionC∞ 165
9.1.4 Lemmed’Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.1.5 PartitionC∞del’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.2 Approximationdefonctionscontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.3 Approximationdefonctionsmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.4 Approximationdefonctionsmesurablesbornées . . . . . . . . . . . . 171
9.5 DanslesespacesCk ouLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.5.1 DensitédesfonctionsCk àsupportcompactdansCk(Rn) . . 172
9.5.2 Densitédel’ensembledesfonctionscontinuesàsupportcom-
pactdansLp(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.5.3 Densité de l’ensemble des fonctions C∞ à support compact
dansCk(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.5.4 Densité de l’ensemble des fonctions C∞ à support compact
dansLp(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.6 Autreapproche,danslesespacesLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.6.1 ApproximationdansL1pardesfonctionssemi-continues. . . 174
9.6.2 ApproximationdansLp pourp < ∞pardesfonctionsenes-
calieràsupportcompact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3
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9.6.3 ApproximationdansLp pourp < ∞pardesfonctionsC∞ à
supportcompact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.6.4 Approximation de fonctions tendant vers 0 en ±∞ dans L∞
pardesfonctionsC∞àsupportcompact . . . . . . . . . . . 176
10 Fourier 177
10.1 Sériestrigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.2 SériesdeFourierd’unefonctionpériodique . . . . . . . . . . . . . . 178
10.3 TransformationdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.4 ApplicationsdessériesdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.4.1 Calculde ∞ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
(cid:80)n=0 n2
10.4.2 ExemplededéveloppementensériedeFourier:fonctioncré-
neau,fonctionidentitéparmorceaux . . . . . . . . . . . . . . 184
11 Calculdifférentiel 185
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.1.2 Applications à valeurs dans un produit d’espaces vectoriels
normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.1.3 Applicationsdeplusieursvariablesetdérivéespartielles . . . 189
11.2 Lethéorèmedesaccroissementsfinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.2.1 Résultatsprincipaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.2.2 Applications:interversiondelimiteetdedérivation . . . . . 193
11.2.3 Applications:dérivéespartiellesetdérivées . . . . . . . . . . 194
11.3 Théorèmed’inversionlocaleetfonctionsimplicites . . . . . . . . . . 196
11.3.1 Théorèmed’inversionglobale . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.3.2 Théorèmed’inversionlocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
11.3.3 Théorèmedesfonctionsimplicites . . . . . . . . . . . . . . . 200
11.4 Dérivéesd’ordresupérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.4.2 Dérivéessecondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.4.3 Généralisationsàladérivéen-ième . . . . . . . . . . . . . . 203
11.5 Zoologieducalculdifférentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.5.1 Fonctionsconvexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.5.2 Fonctioncontinuepartoutdérivablenullepart . . . . . . . . . 204
11.5.3 Fonctiondérivabledanstouteslesdirectionsmaisnoncontinue 206
11.5.4 VariétésdeRn,théorèmedeJordan . . . . . . . . . . . . . . 207
11.5.5 Espacesvectorielsnormésdedimensionfinie . . . . . . . . . 209
12 Extrema 211
12.1 Cadreetdéfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.2 Résultatsliésàlacompacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.3 Résultatsdecalculdifférentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
12.3.1 Résultatsaupremierordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
12.3.2 Résultatsdusecondordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
12.4 Laconvexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.5 Pourallerplusloin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
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13 Equationsdifférentielles 214
13.1 Lemmespréliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
13.2 Equationsdifférentiellesd’ordre1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.2.1 Avecdeshypothèsessympathiquessurf . . . . . . . . . . . 215
13.2.2 Sanshypothèsesympathiquesurf . . . . . . . . . . . . . . . 218
13.3 Equationdifférentielled’ordren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
13.4 Zoologiedeséquationsdifférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
13.4.1 Equationdifférentiellelinéairedupremierordre. . . . . . . . 220
13.4.2 Equationsdifférentiellesautonomes . . . . . . . . . . . . . . 225
13.4.3 Equationdelachaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.4.4 Equationsàvariablesséparées . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.4.5 EquationdeBernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.4.6 EquationdeRicatti(polynômeàcoefficientsdépendantdetde
degré2enx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.4.7 Equationshomogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13.4.8 EquationdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
14 Formesdifférentielles 230
14.1 Généralités,rappelssurlesapplicationsmultilinéaires . . . . . . . . . 230
14.1.1 Définitiond’uneformedifférentielle . . . . . . . . . . . . . . 230
14.1.2 Propriétésdesapplicationsmultilinéaires . . . . . . . . . . . 231
14.1.3 Applicationdetoutçaauxformesdifférentielles . . . . . . . 232
15 Quelquesrappelsetcomplémentsd’analyse 233
15.1 Rappelssurlecorpsdesréels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
15.2 Lesnombrescomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
15.3 Définitiondel’intégrationausensdeRiemann. . . . . . . . . . . . . 235
15.4 LienentreintégraledeRiemannetintégraledeLebesgue . . . . . . . 238
15.5 Suitesetséries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
15.5.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
15.5.2 Suitesréelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
15.5.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
15.6 DuthéorèmedeRolleauxformulesdeTaylor . . . . . . . . . . . . . 246
15.7 Latrigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
15.8 Pratiqueducalculdeprimitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
15.8.1 Primitivesdefractionsrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 253
15.8.2 PrimitivesdeP(cos(x),sin(x)) . . . . . . . . . . . . . . . . 253
15.8.3 PrimitivesdeG(x)=F(cos(x),sin(x)) . . . . . . . . . . . 253
15.8.4 PrimitivesdeH(x)=F(ch(x),sh(x)) . . . . . . . . . . . . 254
15.8.5 Primitivesabéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
15.9 Zoologiedeladérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
15.9.1 UneapplicationduthéorèmedeRolle . . . . . . . . . . . . . 256
15.10Zoologiedel’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
15.10.1IntégralesdeWallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
15.10.2Primitivesdef, f(cid:48) =a/x+o(1/x) . . . . . . . . . . . . . . 257
f
15.10.3MéthodedeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
15.11Zoologiedessuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
15.11.1MoyennedeCésaro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
15.11.2ConstanteΓd’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
15.12Zoologiedesséries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5
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15.12.1Constructiondesériesdivergentespositivestoujourspluspetites262
15.12.2Sommedesinversesdesnombrespremiers . . . . . . . . . . 263
15.12.3Groupementdetermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
15.12.4Exponentielled’unendomorphisme . . . . . . . . . . . . . . 264
15.12.5Transformationd’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
15.12.6Produitdeconvolutiondedeuxséries . . . . . . . . . . . . . 267
15.12.7TransformationdeToeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
16 Développementslimités-comparaisondefonctions 272
16.1 Définitionsdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
16.2 Opérationssurleséquivalentsetlesdéveloppementslimités . . . . . 275
16.3 Développementsasymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
16.4 Zoologiedescomparaisonsdeséries,defonctions . . . . . . . . . . . 281
16.4.1 EquivalentdelasuitedessommespartiellesU = n u . 281
x n (cid:80)k=0 k
16.4.2 EquivalentdeF(x)= f(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . . 282
16.4.3 Comparaisonséries-int(cid:82)éagrales,cas f(cid:48) convergent . . . . . . . 282
f
16.5 Zoologiedesdéveloppementslimités. . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
17 Interversions 284
17.1 Interversiondelimitesetdedérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
17.2 Interversiondelimitesetdelimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
17.3 Interversiond’unelimiteetd’uneintégrale. . . . . . . . . . . . . . . 285
18 Sériesentières 287
18.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
18.2 L’indispensable:lelemmed’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
18.3 Al’intérieurdudisquedeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
18.4 Alalimitedudisquedeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
18.5 Commentdéterminerunrayondeconvergence? . . . . . . . . . . . . 290
18.5.1 Formuled’Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
18.6 Dérivationdessériesentières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
18.7 Produitdesériesentières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
18.8 Développementensérieentière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
18.9 Zoologiedessériesentières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
18.9.1 L’exponentiellecomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
18.10Sériesformellesetsériegénératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
19 Fonctionsholomorphes 296
19.1 Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
19.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
19.3 VerslethéorèmedeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
19.4 TopologiedeH(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
19.5 Zoologiedesapplicationsholomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 308
19.5.1 ThéorèmedeMontel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
19.5.2 Fonctionsholomorphesmajoréesparunpolynôme . . . . . . 309
19.5.3 Fonctionsholomorphestendantversl’infinienl’infini . . . . 309
19.5.4 SphèredeRiemannC-FonctionsholomorphessurC. . . . . 310
(cid:98) (cid:98)
6
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20 Analysefonctionnelle 313
20.1 Résultatsfondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
20.1.1 Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
20.1.2 LethéorèmedeBaireetsesconséquences . . . . . . . . . . . 318
20.1.3 Autresdéfinitionsetpropriétésindispensables . . . . . . . . . 320
20.1.4 Quelquesconvergencesdanslesespacesdefonctions . . . . . 321
20.2 Théorèmesd’Ascolietconséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
20.2.1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
20.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
20.3 LahiérarchiedesCk(Ω),avecΩouvertdeRn . . . . . . . . . . . . . 331
20.4 Latopologiefaible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
20.5 Liensentretopologiefaibleettopologieforte . . . . . . . . . . . . . 336
20.5.1 Endimensionfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
20.5.2 Danslecasgénéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
20.6 EspacesdeHölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
20.6.1 EspacesLip (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
α
20.6.2 EspacesCk,α(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
20.7 Zoologiedel’analysefonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
20.7.1 La topologie faible n’est pas la topologie forte en dimension
infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
20.8 LestopologiessurE(cid:48) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
20.8.1 Latopologiefaible-* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
20.8.2 Unrésultatutilisantlethéorèmed’isomorphismedeBanach,le
théorèmed’AscolietlethéorèmedeRiesz. . . . . . . . . . . 342
21 Théoriedesgroupes 345
21.1 Lesbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
21.1.1 Définitiond’ungroupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
21.1.2 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
21.1.3 Homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
21.1.4 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
21.1.5 Sous-groupeengendré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
21.2 Groupequotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
21.2.1 Rappel:ensemblequotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
21.2.2 Lecasdesgroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
21.2.3 LethéorèmedeLagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
21.3 Opérationd’ungroupesurunensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 352
21.4 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
21.4.1 Produitdirect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
21.4.2 Produitsemi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
21.4.3 Identifierunproduitdirectousemi-direct . . . . . . . . . . . 357
21.4.4 Quelquesremarquespouréviterlesgaffes . . . . . . . . . . . 358
21.5 ThéorèmesdeSylow.GroupesdeSylow . . . . . . . . . . . . . . . . 359
21.6 ApplicationsdesgroupesdeSylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
21.6.1 Démontrer qu’un groupe n’est pas simple juste au vu de son
cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
21.7 Groupesabéliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
21.8 Exercicessurlesgroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
21.8.1 Exemplesdegroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
21.8.2 Conditionsréduitespourungroupe . . . . . . . . . . . . . . 365
7
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21.8.3 Conditionssuffisantesdecommutativité . . . . . . . . . . . . 365
21.8.4 Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
21.8.5 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
21.8.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
21.9 Zoologiedesopérationsd’ungroupesurunensemble . . . . . . . . . 367
21.9.1 Opérationd’ungroupeGsurlui-mêmepartranslationàgauche 367
21.9.2 Opérationd’ungroupeGsurlegroupeG/H partranslationà
gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
21.9.3 Opérationd’ungroupesurlui-mêmeparautomorphismesinté-
rieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
21.10Zoologiedesgroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
21.10.1Lesp-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
21.10.2Groupelinéaireetgroupespéciallinéaire . . . . . . . . . . . 369
21.10.3Groupeorthogonaletgroupespécialorthogonal . . . . . . . . 370
21.10.4Groupeorthogonalréeletgroupespécialorthogonalréel . . . 373
21.10.5Groupeaffined’unespaceaffine . . . . . . . . . . . . . . . . 374
21.10.6Groupeprojectifd’unespacevectorieldedimensionfinie . . 375
21.10.7Groupeunitaireetgroupespécialunitaired’unespacehermitien376
21.10.8Groupeunitairecomplexed’ordrenetgroupespécialunitaire
complexed’ordren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
21.10.9Groupedessimilitudesd’unespaceeuclidien . . . . . . . . . 377
21.10.10Groupedesquaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
21.10.11Groupesymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
21.10.12Groupesengéométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
21.11Applicationdesgroupesàlagéométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
22 Anneaux 387
22.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
22.2 Idéaux,anneauxquotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
22.3 Décompositiond’unhomomorphismed’anneauxetutilisationdesidéaux394
22.4 Anneauxcommutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
22.4.1 Anneauxeuclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
22.4.2 Anneauxnoethériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
22.4.3 Anneauxintègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
22.4.4 Anneauxfactoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
22.4.5 Anneauxprincipaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
22.5 Zoologiedesanneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
22.5.1 Nilpotence(d’unesommededeuxélémentsnilpotentsquicom-
mutent) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
22.5.2 Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
22.5.3 Idéauxétrangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
23 Corps 406
23.1 Définitionsdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
23.2 Extensionsdecorps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
23.3 Corpsfinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
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24 Quelquesrésultatssupplémentairesd’arithmétiqueetthéoriedesnombres410
24.1 Sous-groupesadditifsdeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
24.2 Représentationp-adiquedesréels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
24.3 Fractionscontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
24.4 Cryptographieàclérévélée:RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
25 Polynômesàuneindéterminée 415
25.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
25.2 Divisioneuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
25.3 Fonctionassociée,racinesd’unpolynôme . . . . . . . . . . . . . . . 417
25.4 CasoùA=Kestuncorps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
25.5 Zoologiedespolynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
25.5.1 Relationsentrelesracinesetlescoefficientsd’unpolynôme-
localisationdesracinesd’unpolynôme . . . . . . . . . . . . 419
25.5.2 Polynômesirréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
25.5.3 Résultant.Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
25.5.4 Divisionsuivantlespuissancescroissantes . . . . . . . . . . 422
25.5.5 Polynômesorthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
25.5.6 PolynômesdeTchebycheffdepremièreespèce . . . . . . . . 423
25.5.7 Toutpolynômepositifestsommededeuxcarrés . . . . . . . 424
26 Polynômesàplusieursindéterminées 425
26.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
26.2 SiAestuncorpsK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
26.3 Zoologiedespolynômesàplusieursindéterminées . . . . . . . . . . 427
26.3.1 Polynômessymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
27 Algèbrelinéaire 429
27.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
27.2 Applicationslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
27.3 Sommedesous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
27.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
27.3.2 Espacessupplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
27.4 Espacevectorielquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
27.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
27.4.2 Applicationauxapplicationslinéaires . . . . . . . . . . . . . 438
27.5 Translations-espacesaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
27.6 Familleslibres.Famillesgénératrices.Bases . . . . . . . . . . . . . . 440
27.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
27.6.2 Applicationsauxapplicationslinéaires . . . . . . . . . . . . 441
27.6.3 Applicationsauxsous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . 441
27.7 Dualité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
27.7.1 Définitionsetpremièrespropriétés.Ledualetlebidual . . . . 442
27.7.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
27.8 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
27.9 K-algèbres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
27.9.1 Définitionsetgénéralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
27.10Résultatsd’algèbrelinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
27.11Exercicesd’algèbrelinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
9