Les Courants Résiduels Associés à une Forme Méromorphe

220 Pages·1978·3.313 MB·French

by  Nicolas R. Coleff, Miguel E. Herrera (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited yb .A Dold and .B Eckmann
336
Nicolas .R Coleff
Miguel .E Herrera
seL Courants sleudis6R seicossA
& enu Forme M6romorphe
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New York 1978
Authors
Nicolas .R Coleff
University of Washington
Seattle, WA 98195/USA
Miguel .E Herrera
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional
de Buenos Aires
1425 Buenos Aires/Argentinia
AMS Subject Classifications (1970): 14C25, 14C30, 14F25, 32A25,
32 C30, 32F10, 32J25
ISBN 3-540-08651-X Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-387-08651-X Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin
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012345-0413/0412
ERIAMM05
INTRODUCTION
CHAPITRE I : Enonce des r~sultets princlpaux . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Homologle ~e Borel-Moore . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Cha~nes semlan~ivtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . G
1.3 Intersection des cha~nes semlan~ivtiRues . . . . . . . . . g
1.6 Image inverse des cherries semi~nalytiguee ........ 13
1.5 Conventions d'orient~tlon . . . . . . . . . . . . . . . . Ig
1.5 Formes et courants sur lee esp~ces ~nalytiques ...... 2?
].7 Enonc~ des r~sultats princlpaux. Le cas absolu ...... )5
I.~ Le cas rel~tif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.g Le r~siOu logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
CHAPITRE II : Lee r~sidus multiples dens les crolsements normaux . . 54
CHAPITRE III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3. I Sur la dimension Qes tubes . . . . . . . . . . . . . . . . 117
).2 L'intersection essentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3 D~monstratlonduth~or~med,existsnce 1.7.2 . . . . . . . . 821
3.4 Propri~t~s de RPP p+I et R p+l d~ns le cas gene~el .... 136
3.5 R~sultsts addltionnels sur PPR 1+p . . . . . . . . . . . . 441
G.3 eL r~miQu iogsrithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
ERTIPAHC IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B51
4.1 eL r~siOu Donctuml . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951
4.2 La f@nction r~sidu fibr~ . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
~.3 Calcul ds RP~;~ par ls rdsidu fibr~ . . . . . . . . . . 581
4.4 Propri~t~s Oss coursnts r~siOue18 Osns lee intmrsectlon~
completes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ig)
REFERENCE5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
LIST OF NOTATIONS • • • , . . . . • • . • . , • • , • • • • • • • • ZIO
SUBJECT INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • • • ° • • • • 211
INTRODUCTION
Nous pr~sentons dens ce travail une th~orie des r~sidus des formes
m~romorphes en codimension quelconque, qui esilar'en~eg les d~finitions en
codimension un de Dolbeault ( [9] et [10~ ) , Bungart ( non-puhlle ) S et
Hsrrera-Lieberman ( [25~ ) , et lea r~eldus de Grothendieck pour lea inter-
sections compl~tee ( [19] et ~2] ) .
Le but initial de cette th~orie ~talt de fournir une immersion du
complexe dualisent de Rsmis-Auget ([39]) dane lea courants. Carte immer-
sion est construite dans [39a] , et utilis~e pour ~tudler is cohe~rencs des
images dlrectes des faisceaux cohe~renta par dee morphismes p-convexee, en
~me~t~nt certslnes stet'eirporp dee courants re'eiduels qui sont de~montr~ee
Ici.
Comma example d'une autre application, nous donnonsau no. 1.8.1
une tr~s courte preuve d'une g~neralisatlon du r~sultst r~cent de P.Grlffiths
(L17]) sur la somme dee reeidus pon~uelm d'une forms * meCromorphe.
La situation generale que nous conslderons est is sulvante: on prend
une famille ~ = YI ~ ''''' Yp+1~ de p+1 hypersurfaces complexes, p~O ,
en g~n~ral singult~res , dane une varlets I s analytique complexe ( ou un eepece
complexe r~dult ) X de dimension n ; on ne felt pas d'hypoth~se de trene-
versalite ~ sur l'intersection ~/ ~ = ~ ( Vl : 1 -~i~p+l) de catte famll-
Is.
On choislt une q-forms meromorphe ~ sur X avec pBles sur al
~umDn LS )~ = L}( Yi : 1 ~- i • p+l) de ~ . hocalement sur X p on voudrsit
Des applications concretes au calcul de la trace dana la dualit& de
Serfs seront present&es dans un autre article.
]V
d~finir 18. courents (p+l)-r~.Idu R; [~] st p-r;etdu-velsur principals
RP~] d. ~ comme los limits.
R~] : ~c ~ mil ~ ^ ~ ~o
S-o T~÷I(~ )
(I)
)T(I+~0
"
ou:
(2) = (L~I ,..., ~p+1 ) , et lee ~j sent des fonctlons holo-
morphee cur un ouvsrt W C x tsllee que V(L?j) = w~ Yj ,
<-1 J~ p+l .
(3) ~ " ( I~ '''" ~p+1 E ) ~+I mot un multlrsyon ~ composontes
positives.
Iddelement de dimension r~elle 2n-p-1 , orlente" ~e ?.~on con-
sos.oil ~ (71 ""' ~p) "
(5) st ~ sent des ?ormes Oiff~rentielles ~ our t W
support compeer, ed dimsnilons 2n-p-q-1 st 2n-p-q reap.c-
tlvsmsnt.
llV
Noue ne sevons eep el lee llmitee cl-deseue existent, em~m dene Is
sac reeeurent d'une intersection complete: mid C A~ = n-p-1 . Si dlm£ h~>
> n-p-1 , lee dimensions eed tubes T~+I(~) st D~+I(~) peuvent erdnepdd
de ~ , et lee limitee (1) peuvent d~pendre encore dee ~quetlone pertl-
cullbres de YI ''''' Yp+l ' comme on le v~ri?le dane l'exemple YI =
= (z1.z 2 = 0) , Y2 = (z2 = 0) en £2 .
N~anmoins, voici lee r~sultats principaux de la th~orie:
(6) eeL limites (1) existent, en tnednep~d eap ud oholx eed ~j,
I ~ J( 1+p , et tnednep~d contin~ment ed o/ et ~ , sl l'on
prend ~ selon une trajectoire admis..s.!ble : ~-~ Oet ~j/ ~+1--~ O
pour tout q ~ 0 , 1 ~j~p . nO en rett poe de restrictions cur le dimen-
sion de ~ .
(?) nO peut attBcher a '~( nu elbmesne anelytlque complexe
~/e(O ~) C N~ , l',inte, rsection eseenttelle de c9:, qui eet
de codtmeneton pure p+l ou vide, tel que le support de R~ C~] sott
contenu dens %(~) . S1 X eat llsse, oe support set e'ga] ~ la Te'un~o~
de quelques composentes de
Ve(~) •
(8) Dens le eec Ou Clmid n ~ = n-p-1 on e Ve(~) = (~c:~ ,
et le coursnt R~ E~ d~pend de fegon altern~e de l'ordre
de a1 ?emtlle ~ :
pour touts permutation ~ ed Of.
IIIV
Cette propri~t~ ne oe v~rlfie pas, en g~n~ral, si mid CA~ n-p-l;
dane l'exemple ant~rieur on a en effet
R[Yl,Y2 } [~1 Ca) = (21ri) 2. ,,-~2(01
R{v2,Vl ] [~ (a) = o ,
2
si ]'on prend ~ = dzl^dz 2 / Zl.Z 2
Des r~sultats analogues ~ ceux de (7) et (8) aont valides pour
~PR ~ . ~R [~ et $PR E~ aont appalls ael atnaruoc sleudle~er -ea
socie's ~ ~ et ~c . Nous e'non~one =T~el propri~tds eux no. 1.7 st 1.8 ,
lee demonstrations correspondantas ~t~nt donn~es aux Ch.2, 3 at 4 selon le ~:.~:'
plan auivent: on s'occupe au chapitre 2 du cos ou L)~ n's qua des croi-
sements normaux; le cab general / t eat aborde / au chapitre 3 ten Be remenant
aux croleements normaux a l'aide d'une deslngularlsatlon de la fonctlon
IT( ~j : 1-<J.<p+l) . Dane le chapitre ~ nous de'veloppone is notion du
"fibrage de courants re'siduele" , et l'utillsone pour obtenir is proprle'te
(?) sur is "puret~" du support de R ~ . On de'montre ausel dane ce
chapitre le proprie~te fondomentale d'entieym~trie (8) .
carte notion de fibrege correspond su "slicing" des courents geo-
mstriquos ou O-oontlnus su eerie de Fedderar ( [1~] ) . En felt, noue uti-
lleons ael rersulteta de tdraH ([18]) , Polv ([3'7]) uO Oubeon ( non-publi~ )
sur le fibrsgo de che~nes semi-analyttques.
Pour conetruire le fibrags des courente r~slduels II deviant no'cos-
/
ssire ds consld~rer dee formas meromorphes de'flnlsa non eeulement our lee
XI
eepeces, mels sur lee cycles complexes ~ : ~ n .i [Xi] , 0O lee [X~
i
sont des eepaces complexes irr~ductiblee orlente% par see classes fsndsmsn-
tales, at lea i n sont dee antlers ~ 0 . te consequence / prstlque eat que
dens is d6flnltion (I) on sous-entend
i " _~ i '
-
TP+1- -
~o ~ (~)i eat le tube construit sur l'espece i X .
suoN BJoutons euq l'orlentetlon eed tubes TP+I(~P) our nu espace
slnguller X pose certmlns probl~-mee ed definition. nO veut auq ces tubes
solent homologues, pour dlffe~rentee vsleurs de ~ , et que dens lecas d'une
immersion ferm6e Y--* X on slt T%+I(~o).. Y = TP+I(~I )Y , blen que
l'Intereection dee cvcles ne solt pes touJoure d~flnle Bur l'espece slngu-
liar X . CaB questions sont regl~es / sux psrsgrephes 1.3 , 1.4 et 1.5 .
Des r~sultBts prellmlnelres ' Bur lee courente residuals ont e'te' snon-
e'ec ~ Metz (C22]) , Poitiers ( [230 ) et Wllliemetoun ([7]) . II exists
une interpretation P cohomologlque de cee courents pour leces dee intereec-
E25]
tlons completes • ( [22] ) , qul generellee / I cells donner dana en codl-
mension un .
Outre lee articles mentlonn6e eu d~but, nous rappelons lea travaux
classiques de Lerev [31] @t Dolbeeult [B] , et l'expos~ de Norgust [36~.
On trouve des contriOutions su suJet plus r~oentes dens Sorenl [43] ,
Robin [&O] , Shih [&2] , V Herve [20] , King [27] st 6293 , Po1V C373 te~W
1E Zein [12] , ~o l'on eborde lee r6eidue ud point de vue de ls g6om6trie
slg~brlque, et [13] .
Gordon;L.G. [67]
Nous voulons exprimer notre reconnaissance ~ S.P.Ramis et G.Ruget
pour 'i interet ^ ~ et la comfiance Qu'ils ont mls dams ce tr~vE~il, sinai qua
pour les nombreuses discussions que nous avons menses Bur le suJet, en
France et en Argentine. Le second euteur voudrait aussi fairs mention de
l'etmosph6re amicsle et stimulants dont il s joul pendant Is preparation
d'une partie Oe cet article, a i'Univerait~ Louis Pasteur de Strasbourg et
l'Institut dee Hautea Etudes Sclemtifiques.
CHAPITRE I
E nonc~ des reaultats princlpaux
Noua ~non~ons dens oe ohepltre lee d~finltlons et propri~t~s g~ne-
rales d~s courants r~sidueis (of. Io7 , 1.8 et Io9) , et fixons les conven-
tions d'orlentstlon des tubes qu'on utilise ( 145 ) o
Bref~ le tube T~(~) associ~ au morphlsme ~: X--, ~P de l'es-
pace complexe X eat, au signs prim, la chains eemianalytiQue ~I-I[~3
image inverse du point ~ m~ par l'appllcstion I~I = (I~II~.o-, i~pl) :
• X---~ ~ .
Nous groupons au no° 1.4 lea propri~tes de cette op~ratlon d'image
inverse dee cha~nes Qu'on utilisera dens la suits, et qui me r~duit ~ l'op~-
ration classlque quand X eat sans singularltee.
Ii faut d~finlr aussl un prodult (o/, ~) ~ c~. ~ d'inte~sec-
tlon des cha~ne~ semlsnalvtiouea de l'espace (slnguller) X , qul v~rlfle la
formula ~(o~o ) = ~ ~o ~ ~ ~o ~ Noua decrlvons ce prodult au
no° 1.5 , ~n demand~qt qua l'une des cherries ~ ou ~ salt "cohomologi-
oue" ~ c~ qul aufflt pour nos basolnSo Dams le caa o~ × eat liese on ob-
tlent le produit O~flnl par Pal V ~37] (et aussi Dubson, non publiC) pour
lee cha~nea sous-analvtlqueso
Finalement~ nous resumons p au no. !.6 les general~tes .. . ! sur les for-
mes differemtialles et lea courants des espaces complexes, en aJoutant lea
corrections ~ certalnes erreurs de signs dens lea r~f~rencee~