Les angles sous tous les angles : Deux mille ans de géométrie

172 Pages·2015·55.68 MB·French

by  Collectif

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Bibliothèque
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L'aventure nsathé.,..atique
Tangente Hors-série n° 53
les angles
sous tous les angles
ËDITIONS.
POLE
© Éditions POLE - Paris - Mars 2015
Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tout procédé, sur
quelque support que ce soit, en tout pays, faites sans autorisation préalable, est illicite et exposerait le
contrevenant à des poursuites judiciaires (loi du 11 mars l 957).
ISBN : 9782848841854 ISSN : 2263-4908 Commission paritaire : 1016K80883
Prochaine ntent
dans la Bibliothèque Tangente
EDITIONS.
POLE
les angles
Angles corniculaires et de demi-cercle chez Euclide
D'Euclide à Hilbert
Les multiples personnalités de l'angle
L'angle, un concept ambivalent
Quelques inégalités angulaires
Dans le triangle
Les angles opposés par le sommet
l •X•f} 1 ia ,1
les angles en géométrie classique
Chacun de nous les a rencontrés à l'école et pense tout
savoir d'eux, qu'ils soient exprimés en grades, degrés
ou radians. Les outils qui permettent de les construire
sont connus de tous : règle, compas, rapporteur. ..
Pourtant, la notion d'angle n'est pas si simple, à
commencer par sa définition !
Le théorème de l'angle inscrit
Les rotations et symétries,
des transformations qui tournent bien
Tous les triangles sont-ils équilatéraux ?
Le billard, une affaire à rebondissements
Sous l'angle des symétries
Angles et lunules quarrables
L'exponentielle complexe
Courbes orthoptiques et friandises géométriques
Les transformations conformes
DOSSIER la tri onométrle
La trigonométrie n'a pas toujours bonne presse. Elle
est pourtant d'une importance capitale pour se
repérer, tant en mer que dans l'espace. L'approche
géométrique des nombres complexes lui a donné ses
lettres de noblesse.
Du théorème de Pythagore
à une formule de trigonométrie
Le théorème des sinus
Angles, fonctions hyperboliques et génie électrique
Angles, produit scalaire et orthogonalité
L'astronomie, grande consommatrice de trigonométrie
(suite du sommaire au verso)
Hors-série n° 53. Le
l •X•t}i i4 , 1
mesurer les an les
Le plus simple pour mesurer un angle est de prendre
son rapporteur. Très bien, mais comment mesurer des
angles sur le terrain, entre des éléments de paysage ?
Ou en mécanique de précision ? Ces questions
nécessitent de revenir au sens physique de l'angle.
D'où nous viennent les degrés
La mesure des angles
L'arc de sinus, d'al-Khawarizmi à Apian
Le dos de l'astrolabe, alidade et carré des ombres
L'astrolabe planisphérique
Faisons le point. ..
Des angles dans tous nos outils
Des phases qui nous font tourner la tête !
.l.•. .X ..• .1. :}. .:.1. 1 1111.4._.; l.. __ ___~ L~a~g~é~o~métrie dans l'espace
Dans l'espace, la notion d'angle solide s'inspire de celle
d'angle du plan. A la différence près que si les rotations
du plan sont aisées à comprendre, leurs homologues en
trois dimensions ne se laissent pas appréhender de la
même manière ...
L'angle solide
Les systèmes élémentaires de coordonnées
Des géométries sous un nouvel angle
Les coordonnées géographiques
Toutes latitudes
Les rotations, si simples avec les quaternions !
Quand les atomes s'organisent
Une notion d'angle
même dans des espaces très abstraits
En bref
Le dictionnaire des angles
Note de lecture
Références
Problèmes
Solutions
Tangente Hors-série n• 53. Les angles
par B. Hauchecorne et H. Lehning EN BREF
le Petit Rilpporteur /dus ab angulo
Rapporteur: outil de mesure d'angles connu
pour son côté délateur ...
Nous dédions notre définition à la mémoire
de Pierre Desproges ( 1939-1988), qui aurait
pu en être l'auteur, et dont le nom reste atta
ché au Petit Rapporteur, une émission culte
des années 1970. Cette émission traitait de
l'actualité sous l'angle pervers du petit bout Les Romain utilisèrent angulus, mot signifiant coin pour
de la lorgnette. Malgré ce point, son rap traduire le grec gonia de même sen mai utilisé en
port avec les angles et les mathématiques peut mathématique pour désigner un angle. Le Vatican a
sembler anecdotique. récemment repris ce en premier en dénommant ictus
ab angulo le coup provenant du coin, oit le coup de
pied de coin en football, plus connu sous son nom
anglais de corner.
Ce mot angulus se rattache à une racine indoeuro
péenne « ang », qui signifie serré, étroit. On la retrouve
dan les mots « angine » et« angoi se», faisant allu
sion à la sen ation de gorge serrée. Devenu « angle »
en français médiéval, il conserve son ens latin de coin
et l'on pouvait parler par exemple d'un « angle de
mer» ; l'expression « à l'angle de la rue » en e tune
survivance. Au XIII0 siècle, Johannes Campanus de
La devise du Petit Rapporteur fait Novare (il écrivait bien sûr en latin) s'intéresse à l'angle
référence à celle du Figaro : d'une courbe avec sa tangente, preuve d'un sens plus
« Sans la liberté de blâmer, il n'est point général que de nos jours. Il remarque d'ailleurs que
d'éloge flatteur. » celui-ci est toujours inférieur à l'angle de deux droites
écantes. «Angle», en français, ne retrouve on sen
Cependant, l'humour du Petit Rapporteur mathématique qu'à l'époque de Descartes alors que renaît
évoque bien celui des mathématiciens, qui l'intérêt pour la géométrie. Le nom « triangle » est
frôle toujours l'absurde. On s'en convain repris sur le latin triangulus, lui-même traduction du
cra au travers de quelques pièces d'an grec trigonos. « Rectangle » est calqué sur le latin
thologie accessibles sur Internet, en médiéval rectangulus ; c'est d'abord un adjectif, qua
particulier de la fameuse interview de lifiant toute figure ayant un angle droit. Au XVIIe
Françoise Sagan par Desproges et de la siècle, le parallélogramme rectangle devient un
bataille de boudin blanc entre Desproges rectangle mais l'adjectif se conserve dans l'expres
et Daniel Prévost, sans parler de la visite sion « triangle rectangle ».
à Montcuq du même Prévost. ..
Hors-série n• 53. Les angles Tangente
HISTOIRES par J. Bair et V. Henry
Hngles corniculaires
et de demi-cercle
chez Euclide
On a tous une idée de ce qu'est un angle formé par deux demi
droites. On connaît moins les angles mixtilignes, en
particulier les angles corniculaires ou les angles de demi
cercle. Et pourtant, ces concepts datent del'A ntiquité : ils sont
par exemple présents chez Euclide.
L e concept d'angle est sans aucun les angles mlxtlllgnes
doute fondamental en géomé
Eudide trie, mais il est des plus com Examinons comment Euclide pré ente
Les
plexes. D'ailleurs, il est absent des la notion d'angle, en nous restreignant
Éléments
............... premiers écrits mathématiques connus, au cas du plan, puis à ce qu'il expose à
VOLU M 1 1
1.Jm,WV à savoir des textes mésopotamiens et propos d'angles qualifiés de mixtilignes.
égyptiens datant des deuxième et troi Comme les Éléments ont fait l'objet de
sième millénaires avant notre ère. En multiples traductions (en arabe, latin,
fait, il est apparu sous l'impulsion de anglais, français ... ), avec éventuelle
grands mathématiciens et philosophes ment l'ajout de Commentaires donnés par
de l 'Antiquité grecque, spécialement, des historiens, dont Proclus, il faut pré
comme c'est souvent le cas en géomé ciser de quelle version on parle. IJ s'agira
trie de base, dans les Éléments d'Eu ici des Éléments d'Euclide, volume 1,
clide (voit l'encadré). Ce livres Introduction générale par Maurice
rassemblent toutes les connaissances Caveing, Livres 1-IV : Géométrie plane
géométriques et numériques connues à (traduction et commentaires par Ber
l'époque de leur rédaction ; ils présen nard Vitrac, Presses universitaires de
tent les bases de la géométrie de manière France, 1990).
déductive, en partant de définitions et Attardons-nous en premier lieu sur le
d'axiomes. Ce modèle a ensuite été tout début de la géométrie plane. Panant
adopté par tous les mathématiciens et de rien, Euclide commence, dans son
sera à la base de l'enseignement mathé Livre 1, par définir plusieurs concepts fon
matique pendant plus de vingt siècles. damentaux. Voici, dans leur version ori
ginale (y compris en ce qui concerne la
numérotation), les premières définitions:
Tangente Hors-série n°53. Les angles
...,. ...
ll'CLl'DI - AIGAIEA~ Euclide et ses lléments,
Proclus et son Commentaire
Il est rapide de réaliser une biographie d'Euclide ...
car on ne connaît presque rien sur ce mathématicien
de la Grèce antique, si ce n'est peut-être qu'il se situe
aux alentours de 300 avant notre ère. Certains histo
riens émettent même l'hypothèse que ses écrits n'au
raient peut-être pas été rédigés par un seul auteur
mais par un collectif ( un peu comme les ouvrages
contemporains dus à Bourbaki). Toujours est-il que
1. Un point est ce dont il n'y a aucune l'œuvre majeure qui lui est attribuée s'intitule les Élé
partie. ments et se compose de treize livres : les quatre pre
2. Une ligne est une longueur sans lar miers sont consacrés à la géométrie plane, les six
geur. suivants aux proportions, et les trois derniers à la géo
3. Les limites d'une ligne sont des points. métrie dans l'espace. Ces écrits ont influencé de façon
décisive les mathématiques, notamment grâce à leur
Euclide paraît peut-être assez« vague» présentation axiomatico-déductive.
au niveau de ces premières définitions, Par exemple, le premier livre se compose essentielle
mai on peut supposer qu'il voulait ment de vingt-trois définitions, de cinq demandes qui
prendre ce point de départ avec un mini sont en fait les cinq postulats bien connus de la géo
mum de connaissances, et notamment en métrie, de neuf notions communes, c'est-à-dire des
ne se référant pas explicitement à des axiomes, et de quarante-huit propositions.
objets issus du monde sensible. Pour Ce livre I des Éléments a été com
lui, une ligne dé igne une droite ou une menté par divers auteurs. Le com
courbe, ou bien encore une portion de mentaire le plus connu et aussi
celles-ci. Mais il considère dans son peut-être le plus riche, notamment
œuvre principalement deux types de en informations historiques, est dû
lignes, à savoir la ligne droite et la cir au philosophe grec Proclus. Ce der
conférence ; en effet, il se préoccupera nier est né à Constantinople aux
surtout de problèmes qui peuvent être réso environs de 412 et mort à Athènes
Iu s, comme on le dit aujourd'hui,« à la vers 485. Son Commentaire est
règle et au compa ». Voici comment il abondamment exploité dans la traduction française à
définit ces notions : laquelle l'article se réfère.
14. Une ligne droite est celle qui est pla
cée de manjère égale par rapport aux 16. Et le point est appelé centre du cercle.
points qui sont sur elle. 17. Et un diamètre du cercle est n' im
15. Un cercle est une figure plane conte porte quelle droite menée par le
nue par une ligne unique [appelée centre, limitée de chaque côté par
circonférence] par rapport à laquelle la circonférence du cercle, laquelle
toutes les droites menées à sa rencontre coupe le cercle en deux parties.
à partir d'un unique point parmi ceux 18. Un demi-cercle est la figure conte
qui sont placés à l'intérieur de la nue par le diamètre et la circonférence
figure, sont uusqu'à la circonférence découpée par lui ; le centre du demi
du cercle] égales entre elles. cercle est le même que celui du cercle.
Hors-série n• 53. Les angles Tangente
HISTOIRES Angles corniculaires ...
la propriété d'Archimède grand qu'un droit.
12. Un angle aigu est celui qui est plus
petit qu'un droit.
Selon le principe archimédien, quels que soient les La définition principale, numérotée 8, ne
nombres réels strictement positifs a et b, on peut tou précise pas ce qui est entendu exactement
jours trouver un entier n tel que na > b. Dans le par le mot « inclinaison » ni par l'ex
contexte de l'article, toute division d'un angle rectiligne pression« se touchent l'une l'autre». De
fournit un nouvel angle rectiligne et reste, de ce fait, plus, elle ne mentionne qu'implicite
« supérieure » à tout angle comiculaire. Ainsi, tout ment la présence d'un sommet (sans
« nombre » associé à un angle corniculaire est stric d'ailleurs citer ce mot) ; elle exclut
tement positif et inférieur à tout réel strictement posi encore l'idée d'un angle plat. Les défi
tif: c'est un hyperrél infiniment petit. nitions suivantes, de la 9 à la 12, se réfè
rent à des angles dont les lignes, que
nous appelons aujourd'hui des côtés,
Observons le souci de précision et du sont en ligne droite: de tels angles sont
détail chez l'auteur, mais aussi la diffi nommés dès lor rectilignes (définition
culté de définir« rigoureusement» des 9). Ce sont ces dernier qui sont essen
concepts de manière abstraite, san faire tiellement étudié dans la uite des Élé
référence à une stylisation d'objets réels. ments (angles alternes-internes, angles
D'ailleurs, une ligne droite est pour d'un triangle ... ) et les euls qui géné
Euclide ce que l'on appelle maintenant ralement sont mentionnés lors d'un ensei
un segment de droite (l'auteur consi gnement de base en géométrie.
dère par la suite la possibilité de pro Toutefois, la définition 8 donne la pos-
longer celui-ci indéfiniment de part et ibilité de considérer des angles dont
d'autre), ainsi que la distinction entre l'un des deux côtés n'est pas en ligne droite
cercle et circonférence (cette dernière mais est courbe, plus précisément est
étant ce que l'on appelle de nos jours circulaire, conformément à la tradition
la« frontière» de celui-là). euclidienne de privilégier le cercles.
Entre les définitions 4 et 15, les Élé À deux reprises seulement, dans les Pro
ments introduisent l'angle plan en géné positions 16 et 31 du Livre Ill des Élé
ral, puis donnent quelques exemple de ments, Euclide fait explicitement appel
cas particuliers. à des angles mixtilignes, c'est-à-dire à
8. Un angle plane t l'inclinaison, l'une des angles dont un côté est rectiligne et
sur l'autre, dans un plan, de deux l'autre est une circonférence ou une por
lignes qui se touchent l'une l'autre et tion de circonférence. Voici la première
ne sont pas placées en ligne droite. mention par l'auteur d'angles plans non
9. Et quand les lignes contenant l'angle rectiligne (Proposition 16 du Livre ill) :
sont droites, l'angle est appelé recti La droite menée à angles droits avec le
ligne. diamètre du cercle à partir d'une extré
10. Et quand une droite, ayant été éle mité tombera à l'extérieur du cercle, et
vée ur une droite, fait les angles dans le lieu compris entre la droite et la
adjacents égaux entre eux, chacun de circonférence, une autre droite ne sera
ces angles égaux est droit, et la droite pas intercalée ; en outre, d'une part
qui a été élevée est appelée perpen l'angle du demi-cercle est plus grand
diculaire à celle sur laquelle elle a que tout angle rectiligne aigu, et d'autre
été élevée. part l'angle re tant est plus petit que
11. Un angle obtus est celui qui est plus tout angle rectiligne aigu.
Tangente Hors-série n°53. Les angles