Les algèbres de Hopf des arbres enracinés décorés, I

34 Pages·2008·0.5 MB·French

Les algèbres de Hopf des arbres enracinés décorés, I
L. Foissy ∗
Laboratoire de Mathématiques - UMR6056, Université de Reims
Moulin de la Housse - BP 1039 - 51687 REIMS Cedex 2, France
e-mail : [email protected]
RESUME.-NousintroduisonsunealgèbredeHopfd’arbresenracinésplansdécorésHD ,noncommuta-
P,R
tive et non cocommutative, généralisant la construction de l’algèbre des arbres enracinés HD de Connes-
R
Kreimer. Nous montrons que HD vérifie une propriété universelle en cohomologie de Hochschild et
P,R
nous en déduisons qu’elle est auto-duale. Nous construisons ses endomorphismes de cogèbre et d’algèbre
de Hopf et nous montrons que la surjection canonique de HD sur HD permet de déterminer tous les
P,R R
éléments primitifs de HD, en réponse à une question de D. Kreimer.
R
ABSTRACT. - HOPF ALGEBRAS OF DECORATED ROOTED TREES, I - We introduce a Hopf
algebra of planar decorated rooted trees HD which is non commutative and non cocommutative and
P,R
generalizes the Hopf algebra of rooted trees HD of Connes and Kreimer. We show that HD satisfies a
R P,R
universal property in Hochschild cohomology and deduce that it is self-dual. We construct its coalgebra
and Hopf algebra endomorphisms and show that the canonical epimorphism from HD to HD leads to
P,R R
the determination of the space of primitive elements of HD, answering a question by D. Kreimer.
R
Introduction
Dans [4, 8, 9, 10], Connes et Kreimer introduisent une algèbre de Hopf d’arbres enracinés (éventuelle-
ment décorés) HD dans le but d’étudier un problème de renormalisation. Cette algèbre de Hopf est
R
graduée, commutative et non cocommutative. On montre que le dual gradué de cette algèbre de Hopf
est l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie des arbres enracinés LD. L’un des problèmes posés par
1
Kreimer dans [1] est de trouver tous les éléments primitifs de HD. En effet, ils permettent par exemple
R
de construire et de classifier les comodules de dimension finie ou les endomorphismes d’algèbre de Hopf
de HD (voir [5]).
R
Dans ce papier, comme il était suggéré dans [4], nous introduisons une algèbre de Hopf d’arbres
enracinés plans HD , généralisant la construction de HD. Cette algèbre de Hopf est graduée, non
P,R R
commutative,noncocommutativeetvérifieunepropriétéuniverselleencohomologiedeHochschild. Nous
montrons que cette algèbre est auto-duale. Cette propriété entraine l’existence d’un couplage de Hopf
non dégénéré (,) entre HD et elle-même ; en particulier, la base duale de la base des forêts permet de
P,R
trouver une base de l’espace des éléments primitifs de HD , puis de trouver tous les éléments primitifs
P,R
de HD par passage au quotient.
R
Dans la seconde partie de cet article, nous établirons le lien entre HD et d’autres algèbres de Hopf
P,R
d’arbrestellesquel’algèbredesarbresbinairesplanairesintroduiteparBrouderetFrabettidans[2]dans
le cadre de l’électrodynamique quantique, l’algèbre dendriforme libre de Loday et Ronco ([12, 16, 17]),
la quantification de HD de Moerdijk et van der Laan ([11, 15]), et l’algèbre de Grossman-Larson ([6,
P,R
7]). Nous considérerons également la cohomologie de Hochschild de HD et montrerons que pour tout
P,R
bicomodule B, Hn(HD ,B)=(0) si n≥2.
∗ P,R
Ce papier est organisé de la manière suivante : les quatre premières sections sont consacrées à des
préliminaires sur les algèbres de Hopf graduées. Nous précisons tout d’abord la notion de dual gradué
; nous établissons ensuite des liens entre l’algèbre de Lie des éléments primitifs d’une algèbre de Hopf
graduée connexe A, sa cogèbre de Lie et l’algèbre de Lie des éléments primitifs de son abélianisée A .
ab
∗AMS classification : 16W30, 05C05, 81T15.
Mots-clés : algèbres de Hopf, arbres, renormalisation, cohomologie de Hochschild, éléments primitifs.
1
Nousdonnonségalementunrésultatdestructuresurlescomodulesetlesbicomodulesd’unetellealgèbre
de Hopf.
Lesquatresectionssuivantes(sections5à8)sontdévoluesàlaconstructiondeHD etàlapropriété
P,R
d’auto-dualité. Nous montrons que HD vérifie une propriété universelle en cohomologie de Hochschild
P,R
quenousutiliseronspourconstruirelecouplage(,). Nousmontronsquelabaseduale(e )delabasedes
F
forêts est une Z-base du sous-anneau de HD engendré par les arbres plans enracinés, et nous donnons
P,R
une expression combinatoire de (F,G) pour F et G deux forêts.
Danslasection9, nousmontronsqueHD , (HD ) etHD sontdescogèbrestensorielles; cecinous
P,R P,R ab R
permet de construire et classifier les endomorphismes de cogèbre et d’algèbre de Hopf de HD , ainsi que
P,R
ses comodules de dimension finie (section 10).
Enfin, la dernière section explicite la relation entre HD et HD. Nous montrons que la surjection
P,R R
canonique Φ : HD 7−→ HD vérifie Φ(Prim(HD )) = Prim(HD) et nous donnons une description du
P,R R P,R R
dual gradué de HD comme sous-algèbre de HD .
R P,R
Dans tout le texte, K désigne un corps commutatif de caractéristique nulle.
1 Dual gradué
1.1 Cas d’un espace vectoriel
Soit V un K-espace vectoriel. On suppose V muni d’une graduation (Vn)n∈N, telle que dim(Vn) soit
finie pour tout n. Pour tout x∈V, x6=0, on pose poids(x)=min{n/x∈V ⊕...⊕V }.
0 n
On identifie V∗ avec {f ∈ V∗/f(V ) = (0) si k 6= n} ⊆ V∗, et on pose V∗g = LV∗ = {f ∈
n k n
V∗/∃ n ,f(V )=(0) si n≥n } ; V∗g est un espace gradué, avec (V∗g) =V∗.
0 n 0 n n
Les quatre résultats suivants sont des adaptations de résultats classiques en dimension finie :
Lemme 1 Soit (e ) une base de V formée d’éléments homogènes. Pour i∈I, on définit f ∈V∗ par
i i∈I i
f (e )=δ , où δ est le symbole de Kronecker. Alors (f ) est une base de V∗g.
i j i,j i i∈I
Lemme 2 Soient V et W deux espaces gradués et soit γ :V 7−→W, homogène de degré k ∈Z. Alors il
existe une unique application γ∗g :W∗g 7−→V∗g, telle que :
γ∗g(f)(x)=f(γ(x)) ∀f ∈W∗g, ∀x∈V.
De plus, γ∗g est homogène de degré −k.
X
On munit V ⊗V d’une graduation donnée par (V ⊗V) = V ⊗V .
n k l
k+l=n
Lemme 3 On considère l’application suivante :
θ :V∗g⊗V∗g 7−→ (V ⊗V)∗g
V
(cid:26)
V ⊗V 7−→ K
f ⊗g 7−→
x⊗y 7−→ f(x)g(y).
Alors θ est un isomorphisme d’espaces gradués.
V
Soit V un espace gradué, et W un sous-espace de V. On dira que W est un sous-espace gradué de V
L
si W = (W ∩V ).
n
Lemme 4 Soit W un sous-espace gradué de V. Alors W⊥⊥ =W.
1.2 Cas d’une algèbre de Hopf
Soit(A,m,η,∆,ε,S)uneK-algèbredeHopfgraduée,c’est-à-direqu’ilexisteunegraduation(An)n∈N
de l’espace vectoriel A, avec :
m(A ⊗A ) ⊆ A , ∀n,m∈N,
n m n+m
X
∆(A ) ⊆ A ⊗A , ∀n∈N.
n k l
k+l=n
(C’est-à-dire que m et ∆ sont homogènes de degré 0).
En utilisant les lemmes 2 et 3, on montre, comme dans le cas où A est de dimension finie :
2
Théorème 5 A∗g est muni d’une structure d’algèbre de Hopf graduée donnée par :
1. ∀f,g ∈A∗g, ∀x∈A, (fg)(x)=(f ⊗g)(∆(x)) ;
2. 1 =ε ;
A∗g
3. ∀f ∈A∗g, ∀x,y ∈A, ∆(f)(x⊗y)=f(xy) ;
4. ∀f ∈A∗g, ε(f)=f(1) ;
5. ∀f ∈A∗g, ∀x∈A, (S(f))(x)=f(S(x)) ;
6. (A∗g) =A∗.
n n
Proposition 6 1. (A∗g)∗g et A sont isomorphes comme algèbres de Hopf graduées.
2. Soit M =Ker(ε) l’idéal d’augmentation de A. Soit Prim(A∗g)={f ∈A∗g/∆(f)=1⊗f+f⊗1}.
Alors dans la dualité entre A et A∗g, Prim(A∗g)⊥ =(1)⊕M2.
Preuve :
1. Preuve semblable au cas de la dimension finie.
2. (1)⊆Prim(A∗g)⊥ : soit p∈Prim(A∗g). Alors p(1)=ε(p)=0.
M2 ⊆ Prim(A∗g)⊥ : soit m ∈ M2. On peut supposer m = m m , ε(m ) = ε(m ) = 0. Soit p ∈
1 2 1 2
Prim(A∗g). On a :
p(m m ) = ∆(p)(m ⊗m )
1 2 1 2
= (1⊗p+p⊗1)(m ⊗m )
1 2
= ε(m )p(m )+p(m )ε(m )
1 2 1 2
= 0.
(cid:0)(1)⊕M2(cid:1)⊥ ⊆ Prim(A∗g) : soit f ∈ (cid:0)(1)⊕M2(cid:1)⊥. Il s’agit de montrer : ∀x,y ∈ A, ∆(f)(x⊗y) =
(f ⊗1+1⊗f)(x⊗y), c’est-à-dire : f(xy)=f(x)ε(y)+ε(x)f(y). Comme A=(1)⊕Ker(ε), il suffit de
considérer les trois cas suivants :
1. x=y =1 : il faut montrer f(1)=2f(1), ce qui est vrai car f ∈(1)⊥ ;
2. x=1, ε(y)=0 ou ε(x)=0, y =1 : évident ;
3. ε(x)=ε(y)=0 : alors xy ∈M2, et donc f(xy)=0.
Onamontré(1)⊕M2 ⊆Prim(A∗g)⊥ et(cid:0)(1)⊕M2(cid:1)⊥ ⊆Prim(A∗g). CommeAetA∗g sontdesalgèbres
de Hopf graduées, Prim(A∗g) et M2 sont des sous-espaces gradués. On obtient donc les inclusions
réciproques par passage à l’orthogonal en utilisant le lemme 4. 2
1.3 Algèbres de Hopf graduées cocommutatives
On suppose désormais les deux conditions suivantes :
(C ) A est connexe, c’est-à-dire dim(A )=1 ;
1 0
(C ) les A sont de dimension finie.
2 n
L
On a alors A =(1). D’après [3], proposition III.3.5, on a Ker(ε)= A .
0 n≥1 n
On rappelle le théorème de Cartier-Milnor-Moore-Quillen (voir [14]) :
Théorème 7 (Cartier-Milnor-Moore-Quillen) Soit A une algèbre de Hopf cocommutative graduée
vérifiant (C ). Alors A est isomorphe à U(Prim(A)) comme algèbre de Hopf graduée.
1
3
2 Eléments primitifs d’une algèbre de Hopf graduée
2.1 Eléments symétriques
Définition 8 Soit A une algèbre de Hopf ; on note S(A) la plus grande sous-cogèbre cocommutative de
A.
P
Si (C ) est une famille de sous-cogèbres cocommutatives de A, alors C est encore une sous-
i i∈I i
cogèbre cocommutative de A. Donc S(A) existe.
Proposition 9 S(A) est une sous-algèbre de Hopf de A. De plus, si A est graduée, S(A) est une sous-
algèbre de Hopf graduée de A.
Preuve: l’algèbreengendréeparS(A)estencoreunesous-cogèbrecocommutativedeA,etdoncestincluse
dans S(A). par suite, S(A) est une sous-bigèbre de A. Comme l’antipode S est un antimorphisme de
A
cogèbres, on a S (S(A))⊆S(A), donc S(A) est une sous-algèbre de Hopf de A.
A
Supposons A graduée. Considérons S0(A)=LS(A)∩A . On montre facilement que S0(A) est une
n
sous-cogèbre cocommutative, donc incluse dans S(A), ce qui montre que S(A) est graduée. 2
Proposition 10 Supposons A graduée en dimension finie et connexe. Alors S(A) est isomorphe comme
algèbre de Hopf graduée à U(Prim(A)). De plus, S(A)∗g est isomorphe comme algèbre de Hopf graduée
à l’abélianisée (A∗g) de A∗g.
ab
Preuve : d’après le théorème de Milnor-Moore, S(A) est isomorphe à U(Prim(S(A))). Il suffit donc
de montrer que Prim(A) ⊂ S(A) : Prim(A)+(1) est une sous-cogèbre cocommutative de A, et donc
Prim(A)+(1)⊂A.
On note I l’idéal abélianisateur de A∗g. Par définition de S(A), S(A)⊥ est le plus petit idéal
A∗g
bilatère de A∗g, tel que le quotient par cet idéal soit commutatif : il s’agit donc de I . Comme S(A)∗g
A∗g
s’identifie au quotient de A∗g par S(A)⊥, on a le résultat annoncé. 2
Remarque : on peut montrer que S(A) = {x ∈ A/σ.∆n−1(x) = ∆n−1(x), ∀n ∈ N∗,∀σ ∈ S }, où S
n n
agit sur A⊗n de la manière suivante : σ.(a ⊗...⊗a )=a ⊗...⊗a .
1 n σ(1) σ(n)
2.2 Cogèbre de Lie
Proposition 11 SoitAunealgèbredeHopfgraduéeendimensionfinie. SoitM sonidéald’augmentation.
A
Alors MA est muni d’une structure de cogèbre de Lie donnée par :
M2
A
δ(π (x))=(π ⊗π )(∆(x)−∆op(x)), ∀x∈M ,
A A A A
(cid:16) (cid:17)∗g
où πA : MA 7−→ MMA2 est la surjection canonique. De plus, MMA2 est isomorphe à Prim(A∗g) comme
A A
algèbre de Lie graduée.
Preuve : Prim(A∗g)∗g s’identifie à A = A ≈ MA. La structure de cogèbre de Lie induite
Prim(A∗g)⊥ 1⊕M2 M2
A A
sur MA entransposantlastructured’algèbredeLiedePrim(A∗g)estcelledécritedanslaproposition. 2
M2
A
(cid:26) (cid:27)
M
On note P(A)= x∈ A/δ(x)=0 .
M2
A
Lemme 12 π (Prim(A))=π (S(A))⊆P(A).
A A
Preuve : d’après le théorème de Poincaré-Birkhof-Witt, M =Prim(A)+M2 ; de plus, M2 ⊆
S(A) S(A) S(A)
M2, donc tout x ∈ M peut s’écrire x = p+m, p ∈ Prim(A), m ∈ M2. Par suite, π (x) = π (p),
A S(A) A A A
d’où la première égalité.
Soitp∈Prim(A). Alorsδ(π (p))=(π ⊗π )(p⊗1+1⊗p−1⊗p−p⊗1)=0,d’oùπ (Prim(A))⊆
A A A A
P(A). 2
Proposition 13 Soit A une algèbre de Hopf graduée connexe. Soit $ : A 7−→ A la surjection
A ab
canonique. Alors $ induit un isomorphisme de cogèbres de Lie graduées :
A
M M
$ : A 7−→ Aab.
A M2 M2
A Aab
4
Preuve : $(M ) ⊆ M , donc $(M2) ⊆ M . Par suite, $ est bien définie. Comme $ est un
A Aab A A2ab A A
morphisme de cogèbres, $ est un morphisme de cogèbres de Lie.
A
$ est injectif : Ker($ ) = I , où I est l’idéal abélianisateur de A. Par suite, si x ∈ Ker($ ),
A A A A A
alors x∈I +M2. Comme I ⊆M2, alors x∈M2, et donc x=0.
A A A A A
$ est surjectif car $ l’est. 2
A A
SoitAunealgèbredeHopfgraduée. Comme$ estunmorphismed’algèbresdeHopf,$ (Prim(A))⊆
A A
Prim(A ), et $ : Prim(A) 7−→ Prim(A ) est un morphisme d’algèbres de Lie. Comme Prim(A )
ab A ab ab
est une algèbre de Lie abélienne (car A est commutative), on a alors un morphisme :
ab
φ :Prim(A) 7−→ Prim(A )
A ab ab
p+[Prim(A),Prim(A)] 7−→ p+I .
A
De plus, [Prim(A),Prim(A)]⊆M2. D’après le lemme 12, on a donc une application linéaire :
A
ψ :Prim(A) 7−→ P(A)
A ab
p+[Prim(A),Prim(A)] 7−→ p+M2.
A
Remarque : le dual gradué de Prim(A) est identifié à MA∗g. On a alors :
MA2∗g
[Prim(A),Prim(A)]⊥ =Im([,])⊥ =Ker([,]∗g)=Ker(δ)=P(A∗g).
Le dual gradué de Prim(A) s’identifie donc à P(A∗g). Par dualité, le dual gradué de P(A) s’identifie
ab
à Prim(A∗g) . On a alors :
ab
ψ∗g :Prim(A∗g) 7−→ P(A∗g)
A ab
p+[Prim(A∗g),Prim(A∗g)] 7−→ p+I .
A∗g
Par suite, ψ∗g =ψ .
A A∗g
2.3 Les cas cocommutatifs ou commutatifs
Théorème 14 Soit A une algèbre de Hopf cocommutative, graduée et connexe. Alors φ et ψ sont des
A A
bijections. De plus, Prim(A)∩M2 =Prim(A)∩I =[Prim(A),Prim(A)].
A A
Preuve : d’après le théorème de Milnor-Moore, A est isomorphe à U(g), où g = Prim(A). Montrons
d’abord que g∩M2 =g∩I =[g,g].
A A
Supposons d’abord A commutative. Alors g∩I = [g,g] = (0). De plus, A est isomorphe à une
A
algèbre S(V), avec V un espace vectoriel gradué, muni du coproduit donné par ∆(v) = v⊗1+1⊗v,
∀v ∈ V. Or Prim(S(V)) = V, et M2 = S2(V) ⊕ .... Donc Prim(S(V)) ∩ M2 = (0), d’où
S(V) S(V)
g∩M2 =(0).
A
Cas général : soit F :U(g)7−→U(g ) induit par la surjection canonique g7−→g . Comme U(g )
1 ab ab ab
est commutative, on a un morphisme d’algèbres de Hopf induit :
F :U(g) 7−→ U(g )
1 ab ab
p+I 7−→ p+[g,g], ∀p∈g.
U(g)
On a un morphisme d’algèbres de Lie g 7−→ Prim(U(g) ), induit par la surjection canonique de U(g)
ab
surU(g) . CommePrim(U(g) )estabélienne, onaunmorphismed’algèbresdeLieinduitdeg dans
ab ab ab
Prim(U(g) ), et donc un morphisme d’algèbres de Hopf :
ab
F :U(g ) 7−→ U(Prim(U(g) ))
2 ab ab
p+[g,g] 7−→ p+I , ∀p∈g.
U(g)
L’injection canonique de Prim(U(g) ) dans U(g) induit un morphisme d’algèbres de Hopf :
ab ab
F :U(Prim(U(g) )) 7−→ U(g)
3 ab ab
p+I 7−→ p+I , ∀p∈g.
U(g) U(g)
OndéduitalorsfacilementqueF ◦F estl’inversedeF ,etdoncF estunebijection. Parsuite,lenoyau
3 2 1 1
deF estI . Deplus,F estlasurjectioncanoniquedegsurg ,doncKer(F )=I ∩g=[g,g].
1 U(g) 1|g ab 1|g U(g)
5
Deplus,F (M2 ∩g)⊆M2 ∩Prim(U(g) )=(0)d’aprèslepremiercas. DoncM2 ∩g⊆I ∩g.
1 U(g) U(g)ab ab U(g) U(g)
L’inclusion réciproque est évidente.
L’isomorphisme F :U(g) 7−→U(g ) restreint aux éléments primitifs induit φ , et donc φ est un
1 ab ab A A
isomorphisme.
De plus, P(A) = MMA2 car A est cocommutative. Comme Prim(A)+MA2 = A, ψA est surjective.
A
Enfin, Ker(π )=Prim(A)∩M2 =[Prim(A),Prim(A)], donc ψ est injective. 2
A|Prim(A) A A
Corollaire 15 SoitAunealgèbredeHopfcommutative,graduéeendimensionfinieetconnexe. Alorsφ
A
et ψ sont des isomorphismes. De plus, Prim(A)∩M2 =Prim(A)∩I =[Prim(A),Prim(A)]=(0).
A A A
Preuve : on a [Prim(A),Prim(A)] = (0), et I = (0) car A est commutative. Donc φ : Prim(A) 7−→
A A
Prim(A) est l’identité. Posons B = A∗g, alors B est une algèbre de Hopf cocommutative graduée
connexe. D’après le résultat précédent, ψ est une bijection. Par suite, ψ∗g = ψ est une bijection.
B B A
Donc Ker(π )∩Prim(A)=M2 ∩Prim(A)=[Prim(A),Prim(A)]. On a alors (0)⊆Prim(A)∩I ⊆
A A A
Prim(A)∩M2 =[Prim(A),Prim(A)]=(0), et donc Prim(A)∩I =(0). 2
A A
Corollaire 16 Soit A une algèbre de Hopf graduée en dimension finie et connexe. Alors :
[Prim(A),Prim(A)]⊆Prim(A)∩M2 =Prim(A)∩I .
A A
Preuve : on a immédiatement [Prim(A),Prim(A)] ⊆ Prim(A) ∩ I ⊆ Prim(A) ∩ M2. Soit x ∈
A A
Prim(A)∩M2. Alorsx+I ∈Prim(A )∩M2 . D’aprèslecorollaireprécédent, x+I =0dansA ,
et donc x∈PArim(A)∩I .A2 ab Aab A ab
A
2.4 cas général
Proposition 17 Soit A algèbre de Hopf graduée connexe. Les conditions suivantes sont équivalentes :
1. φ est injectif. 2. ψ est injectif.
A A
3. φ est surjectif. 4. ψ est surjectif.
A∗g A∗g
5. Prim(A)∩M2 =[Prim(A),Prim(A)]. 6. S(A)∩M2 =M2 .
A A S(A)
Preuve :
1 ⇔ 5 : φ est injectif si, et seulement si, Ker($ ) ∩ Prim(A) = [Prim(A),Prim(A)]. Or
A A
Ker($ ) = I , donc Ker($ )∩Prim(A) = I ∩Prim(A) = M2 ∩Prim(A) d’après le corollaire
A A A A A
16.
5⇒6: S(A)étantunealgèbreenveloppante,onaM =Prim(A)+M2 . Deplus,M2 ⊆M2,
S(A) S(A) S(A) A
donc S(A)∩M2 = Prim(A)∩M2 +M2 = [Prim(A),Prim(A)]+M2 ⊆ M2 . L’inclusion
A A S(A) S(A) S(A)
réciproque est évidente.
6 ⇒ 5 : on a alors Prim(A)∩M2 ⊆ Prim(A)∩M2 = [Prim(A),Prim(A)] d’après le théorème
A S(A)
14. L’inclusion réciproque est évidente.
1 ⇔ 2 : Ker(π ) = Prim(A) ∩ M2 et Ker($ ) = Prim(A) ∩ I . D’après le
A|Prim(A) A A|Prim(A) A
corollaire 16, Ker(π )=Ker($ ). On a donc :
A|Prim(A) A|Prim(A)
φ est injectif ⇔ Ker($ )=[Prim(A),Prim(A)]
A A|Prim(A)
⇔ Ker(π )=[Prim(A),Prim(A)]
A|Prim(A)
⇔ ψ est injectif.
A
3⇔4 : posons B =A∗g. Le diagramme suivant est commutatif :
B −−$−B−→ B
ab
 
πBy yπBab
MB −−−∼−→ MBab
M2 M2
B Bab
On en déduit la commutativité du diagramme suivant :
Prim(B) −−$−B−→ Prim(B )
ab
 
πBy yπBab
(cid:16) (cid:17) (cid:18) (cid:19)
P MB −−−∼−→ P MBab
M2 M2
B Bab
6
On en déduit par passage au quotient la commutativité du diagramme suivant :
Prim(B) −−φ−B−→ Prim(B )
[Prim(B),Prim(B)] ab
 
ψBy yψBab
(cid:16) (cid:17) (cid:18) (cid:19)
P MB −−−∼−→ P MBab
M2 M2
B Bab
Comme B est commutative, ψ est bijectif. Donc ψ est surjectif si, et seulement si, φ l’est.
ab Bab B B
2⇔4 : car ψ =ψ∗g. 2
A∗g A
3 Comodules et bicomodules
Dans cette section, C désigne une cogèbre graduée en dimension finie, non nécessairement connexe.
Les C-comodules à gauche seront simplement appelés comodules ou C-comodules.
3.1 Comodules libres
Soit I un ensemble non vide. On note :
( )
a Y
C = (x ) ∈ C/∃n ∈N, ∀i∈I, poids(x )≤n .
i i∈I 0 i 0
i∈I i∈I
‘
Proposition 18 Pour tout ensemble non vide I, C est muni d’une structure de comodule telle que
i∈I
pour tout j ∈I, les applications suivantes soient des morphismes de comodules :
‘ ‘
α :C 7−→ C et β : C 7−→ C
j i∈I j i∈I
x 7−→ (xδ ) , (x ) 7−→ x .
i,j i∈I i i∈I j
Preuve : on note C ={x∈C/poids(x)≤n}, de sorte que :
≤n
!
a [ Y
C = C .
≤n
i∈I n∈N i∈I
Soit n∈N. On considère l’application suivante :
!
Y Y
Θ :C ⊗ C 7−→ (C ⊗C )
n ≤n ≤n ≤n ≤n
i∈I i∈I
x(1)⊗(x(2)) 7−→ (x(1)⊗x(2)) .
i i∈I i i∈I
Θ est évidemment injective ; montrons qu’elle est surjective. Soit (e ) une base de C . Tout
n k k≤N ≤n
Q
élément y de (C ⊗C ) peut s’écrire :
≤n ≤n
 
y = X λ(ik,l)ek⊗el , λ(ik,l) ∈K.
k,l≤N
i∈I
On a alors :
   
y =ΘnX ek⊗Xλ(ik,l)el .
k≤N l≤N
i∈I
‘ Q
Soit alors (x ) ∈ C. Choisissons n, tel que (x ) ∈ C . Pour tout i∈I, ∆(x )∈C ⊗C .
i i∈I i i∈I ≤n i ≤n ≤n
On pose alors :
!
a
∆((x ) )=Θ−1((∆(x )) )∈C⊗ C .
i i∈I n i i∈I
i∈I
La commutativité du diagramme suivant montre que ∆((x ) ) ne dépend pas du choix de n :
i i∈I
7
C ⊗(cid:0)Q C (cid:1) −−Θ−−n→ Q (C ⊗C )
≤n i∈I ≤n i∈I ≤n ≤n
 
 
y y
C ⊗(cid:0)Q C (cid:1) −Θ−n−+−m→ Q (C ⊗C )
≤n+m i∈I ≤n+m i∈I ≤n+m ≤n+m
(les flèches verticales sont les injections canoniques).
Il est alors clair que ∆ vérifie toutes les conditions voulues. 2
Théorème 19 Soit B un C-comodule quelconque. Alors il existe un ensemble non vide I, tel que B soit
‘
isomorphe à un sous-comodule de C.
i∈I
Preuve : soitB uncomodulequelconque. AlorsB∗ estunA-module,oùAdésignel’algèbreC∗g. Onsait
qu’il existe un ensemble non vide I, tel qu’on ait une surjection π : L A 7−→ B∗. En dualisant, on a
i∈I
donc une injection π∗ :B ⊆B∗∗ 7−→Q A∗. Soit b∈B. Posons π∗(b)=(f ) , avec f ∈A∗, ∀i∈I.
i∈I i i∈I i
Soit n∈N, tel que ∆ (b)∈C ⊗B. Montrons que pour tout i∈I et pour tout m≥n, f (A )=(0),
B ≤n i m
ce qui prouvera que pour tout i ∈ I, f ∈ A∗g = C, avec poids(f ) ≤ n. Soit 1 = δ 1 , ∀j ∈ I ; alors
i i j i,j A
L
(1 ) ∈ A.
j j∈J i∈I
f (A ) = π∗(b)(A .(1 ) )
i m m j j∈I
= π(A .(1 ) )(b)
m j j∈I
= A .π((1 ) )(b)
m j j∈I
⊆ (A ⊗π((1 ) ))(C ⊗B)
m j j∈J ≤n
⊆ (0).
Par suite, π∗ : B 7−→ ‘ C. Comme π est un morphisme de A-modules, π∗ est un morphisme de
i∈I
comodules. 2
Remarques :
‘
1. On peut montrer que C est un comodule injectif pour tout I.
i∈I
‘ L
2. Si I est fini, alors les deux comodules C et C sont égaux.
i∈I i∈I
Q
3. Si I n’est pas fini et si C n’est pas de dimension finie, alors C n’est pas un C-comodule.
i∈I
3.2 Structure des comodules
Proposition 20 Soit B un C-comodule quelconque. Alors il existe B ⊆ B ⊆ ... ⊆ B ⊆ ... des
0 1 n
sous-comodules de B tels que :
S
1. B = B ;
n∈N n
2. B est un comodule trivial ;
0
3. ∀n∈N, Bn+1 est un comodule trivial.
Bn
a
Preuve : supposons d’abord B de la forme C. On pose alors :
i∈I
Y
B = C .
n ≤n
i∈I
Comme ∆(C ) ⊆ C ⊗ C , ce sont des sous-comodules. On a immédiatement le premier et le
≤n ≤n ≤n
deuxième point. De plus, pour tout c ∈ C , ∆(c) = 1⊗c+C ⊗C , donc C≤n+1 est un comodule
≤n+1 ≤n C≤n
trivial ; par suite, Bn+1 est un comodule trivial.
Casgénéral: soBitnB0 delaformeprécédente,telqueB s’identifieàunsous-comoduledeB0. Onpose
B =B∩B0. Lepremierpointestalorsvérifié. B estunsous-comoduledeB0, doncc’estuncomodule
n n 0 0
trivial. De même, Bn+1 = Bn0+1∩B s’injecte dans Bn0+1, et donc est trivial. 2
Bn Bn0∩B Bn0
Corollaire 21 Soit B un C-comodule quelconque.
8
1. On pose B(0) ={b∈B /∆ (b)=1⊗b}. Alors B(0) est un sous-comodule de B, non nul si B est
B
non nul.
2. On définit B(i) par récurrence de la manière suivante :
B(i+1) (cid:18) B (cid:19)(0)
B(i) ⊆B(i+1) ; = .
B(i) B(i)
Alors B =S B(n).
n∈N
Preuve : ilestévidentqueB(0) estunsous-comoduledeB. Unerécurrencesimplemontreque(B(n))n∈N
est une suite croissante de sous-comodules.
Soit (Bn)n∈N une seconde suite croissante de sous-comodules, obtenue par la proposition précédente.
Si B est non nul, quitte à supprimer les premiers termes, on peut supposer que B 6=(0). Montrons par
0
récurrence sur n que B ⊆ B(n), ce qui prouvera que B(0) 6= (0) si B 6= (0), et que SB(n) = B. Si
n
n = 0, comme B est trivial, B ⊆ B(0) par définition de B(0). Supposons B ⊆ B(n−1). On a alors
0 0 n−1
un morphisme canonique de comodules : Bn 7−→ B . Comme Bn est un comodule trivial, son
Bn−1 B(n−1) Bn−1
imageestégalementuncomoduletrivial,doncestinclusedans B(n) . Onendéduitimmédiatementque
B(n−1)
B ⊆B(n). 2
n
Remarque : on a un résultat analogue pour les C-comodules à droite.
Corollaire 22 Soit B un C-comodule de dimension finie. Alors B admet un drapeau complet de sous-
comodules, c’est-à-dire : il existe des sous-comodules B ⊆ B ⊆ ... ⊆ B = B, tels que B soit de
0 1 n i
dimension i.
Preuve : on complète la suite de sous-comodules B(0) ⊆ ... ⊆ B(k) = B en un drapeau de sous-
espaces B ⊆ ... ⊆ B = B. Montrons que B est un sous-comodule. Il existe j ∈ {0,...,k}, tel que
0 n i
B(j−1) ⊆Bi ⊆B(j),aveclaconventionB(−1) =(0). Ilsuffitdemontrerque B(Bj−i1) estunsous-comodule
de B(j) . Ce dernier étant trivial, tous ses sous-espaces sont des sous-comodules. 2
B(j−1)
3.3 Structure des bicomodules
Soit (B,∆ ,∆ ) un C-bicomodule, c’est-à-dire :
G D
1. B =(B,∆ ) est un C-comodule à gauche ;
G G
2. B =(B,∆ ) est un C-comodule à droite ;
D D
3. (∆ ⊗Id)◦∆ =(Id⊗∆ )◦∆ .
G D D G
Proposition 23 Soit B un C-bicomodule. Pour tout i ∈ N, B(i) est un sous-bicomodule de B. Pour
G
tout j ∈ N, B(j) est un sous-bicomodule de B. De plus, (B(i))(j) = (B(j))(i) = B(i) ∩B(j), pour tous
D G D D G G D
i,j ∈N.
Preuve : montrons B(0) est un sous-bicomodule de B. On sait déjà qu’il s’agit d’un sous-comodule à
G
gauche. Soit x ∈ B(0). Alors ∆ (x) = 1⊗x. On pose ∆ (x) = P x0 ⊗x00, les x00 ∈ C, linéairement
G G D k k k k
indépendants. On a alors :
X X
(∆ ⊗Id)◦∆ (x)= ∆ (x0)⊗x00 =(Id⊗∆ )◦∆ (x)= 1⊗x0 ⊗x00.
G D G k k D G k k
k k
Les x00 étant linéairement indépendants, on a ∆ (x0) = 1⊗x0, et donc ∆ (B(0)) ⊆ B(0) ⊗C. Une
k G k k D G G
récurrence simple montre que B(i) est un sous-bicomodule de B. La preuve est analogue pour B(j).
G D
(B(i))(j) ⊆ B(i)∩B(j) : récurrence sur j. C’est évident pour j = 0. Supposons l’inclusion vraie au
G D G D
rang j −1. On a un morphisme canonique de bicomodules : (BG(i))D(j) 7−→ B . Le bicomodule de
(B(i))(j−1) B(j−1)
G D D
B(j)
départ étant trivial à droite, son image l’est également, et donc est inclus dans D . On en déduit que
B(j−1)
D
(B(i))(j) ⊆B(j), d’où le résultat.
G D D
9
B(i)∩B(j) ⊆ (B(i))(j) : récurrence sur j. C’est évident pour j = 0. Supposons l’inclusion vraie au
G D G D
B(i)∩B(j) B(j) B(i)∩B(j)
rang j −1. On a une inclusion de bicomodules G D 7−→ D , et donc G D est trivial à
B(i)∩B(j−1) B(j−1) B(i)∩B(j−1)
G D D G D
B(i)∩B(j) B(i)
droite. Par suite, l’image du morphisme canonique de comodules G D 7−→ G est incluse
B(i)∩B(j−1) (B(i))(j−1)
G D G D
(B(i))(j)
dans G D , d’où l’inclusion recherchée.
(B(i))(j−1)
G D
On démontre de manière analogue que (B(j))(i) =B(j)∩B(i). 2
D G D G
Proposition 24 Soit B un C-bicomodule quelconque. Alors il existe B ⊆ B ⊆ ... ⊆ B ⊆ ... des
0 1 n
sous-bicomodules de B tels que :
S
1. B = B ;
n∈N n
2. B est un bicomodule trivial ;
0
3. ∀n∈N, Bn+1 est un bicomodule trivial.
Bn
Preuve : on prend B = X (B(i))(j). On vérifie facilement toutes les propriétés demandées. 2
n G D
i+j=n
Proposition 25 Soit B un C-bicomodule quelconque.
1. On pose B(0) ={b∈B /∆ (b)=1⊗b, ∆ (b)=b⊗1}. Alors B(0) est un sous-bicomodule de B,
G D
non nul si B est non nul.
2. On définit B(i) par récurrence de la manière suivante :
B(i+1) (cid:18) B (cid:19)(0)
B(i) ⊆B(i+1) ; = .
B(i) B(i)
Alors B =S B(n).
n∈N
Preuve : analogue au cas des comodules. 2
Corollaire 26 Soit B un C-bicomodule de dimension finie. Alors B admet un drapeau complet de sous-
bicomodules, c’est-à-dire : il existe des sous-bicomodules B ⊆ B ⊆ ... ⊆ B = B, tels que B soit de
0 1 n i
dimension i.
Preuve : analogue au cas des comodules. 2
4 Cohomologie de Hochschild des cogèbres
On dualise la notion de cohomologie de Hochschild à valeurs dans un bimodule (voir [13]). Soit C
une cogèbre, et soit (B,∆ ,∆ ) un C-bicomodule. On pose D = L(B,C⊗n). Soit b : D 7−→ D
G D n n n n+1
définie par :
n
X
b (L)(b)=(Id⊗L)(∆ (b))+ (−1)i∆ (L(b))+(−1)n+1(L⊗Id)(∆ (b)),
n G (i) D
i=1
où ∆ : C⊗n 7−→ C⊗(n+1) est défini par ∆ (c ⊗...⊗c ) = c ⊗...⊗∆(c )⊗...⊗c . On obtient
(i) (i) 1 n 1 i n
alors un complexe D 7−b→0 D 7−b→1 D 7−b→2 ...b7−n→−1 D 7−b→n .... Les groupes de cohomologie du complexe
0 1 2 n
ainsi obtenu sont notés Hn(C,B).
∗
Soient σ ,σ deux endomorphismes de cogèbres de C. On considère le bicomodule suivant : comme
1 2
espace vectoriel, B =C, et pour tout b∈B :
∆ (b)=(σ ⊗Id)◦∆(b), ∆ (b)=(Id⊗σ )◦∆(b).
G 1 D 2
On notera Hn(C,σ ,σ ) plutôt que Hn(C,B). L’espace des n-cocycles sera noté Zn(C,σ ,σ ). En par-
∗ 1 2 ∗ ∗ 1 2
ticulier, Z1(C,σ ,σ )={L:C 7−→C/∆◦L=(σ ⊗L+L⊗σ )◦∆}.
∗ 1 2 1 2
Supposons maintenant que C est une algèbre de Hopf. On peut alors prendre σ = Id, σ = η◦ε.
1 2
On notera Z1(C) plutôt que Z1(C,Id,η◦ε). On a :
∗ ∗
Z1(C)={L:C 7−→C/∆◦L(c)=(Id⊗L)(∆(c))+c⊗1, ∀c∈C}.
∗
10