Table Of ContentLÉONARD DE PISE
LEONARD DE PISE
DU MÊME AUTEUR :
Les Œuvres complètes d’Archimède, traduites du grec en français, Le livre des nombres carrés
avec une introduction et des notes.
Gr. in -8° de LX-556 pages et 253 figures. Épuisé.
Les Coniques d’Apollonius de Perge. Œuvres traduites pour la première TRADUIT POUR LA PREMIÈRE FOIS
fois du grec en français, avec une introduction et des notes. DU LATIN MÉDIÉVAL EN FRANÇAIS
Gr. in-8° de Lii-656 pages et 419 figures. Épuisé.
Ouvrage couronné par l’Académie royale de Belgique.
AVEC UNE INTRODUCTION ET DES NOTES
Diophante d’Alexandrie. Les six livres arithmétiques et le livre des
nombres polygones. Œuvres traduites pour la première fois du grec en
PAR
français, avec une introduction et des notes.
Gr. in-8° de xcn-302 pages. Épuisé.
Théodose de Tripoli. Les Sphériques. Œuvres traduites pour la première Paul Ver Eecke
fois du grec en français, avec une introduction et des notes. INGÉNIEUR DBS MINES
Gr. in-8° de Liv-122 pages et 71 figures. Épuisé. COMMANDEUR DE L’ORDRE DE LÉOPOLD
Serenus d’Antinoe. Le livre de la Section du Cylindre et le livre de
la Section du Cône. Œuvres traduites pour la première fois du grec en
français, avec une introduction et des notes.
Gr. in-8° de xxxvm-170 pages et 102 figures. Épuisé.
Pappus d’Alexandrie. La Collection mathématique. Œuvre traduite
pour la première fois du grec en français, avec une introduction et des
notes.
Deux vol. Gr. in-8° de cxxvm-364 et 522 pages, 578 figures.
Ouvrage couronné par l’Académie royale de Belgique.
Euclide. L’Optique et la Catoptrique. Œuvres traduites pour la première
fois du grec en français, avec une introduction et des notes.
Gr. in-8° de XLvm-128 pages et 178 figures. Épuisé.
Les Opuscules mathématiques de Didyme, Diophane et Anthemius,
suivis du Fragment mathématique de Bobbio, traduits du grec en français,
avec une introduction et des notes. Bruges, 1940.
Gr. in-8° de xxxn-72 pages et 17 figures. Épuisé.
Produs de Lycie. Les commentaires sur le premier livre des Éléments
d’Euclide, traduits pour la première fois du grec en français avec une
introduction et des notes. Bruges, 1948.
Gr. in-8° de xxiv-372 pages et 121 figures.
DESCLÉE DE BROUWER ET Cie
QUAI AU BOIS, 22
BRUGES
1952
PRÉFACE
Il y a une trentaine d’années, Ettore Bortolotti, professeur
à l’Université de Bologne et historien éminent des mathématiques,
me faisait présent du Liber quadratorum de Léonard de Pise, édité
A
à Rome en 1856, lorsque son manuscrit, considéré depuis longtemps
LA PIEUSE ET DOULOUREUSE MÉMOIRE comme perdu, venait d’être retrouvé dans la bibliothèque ambro-
sienne de Milan. Il souhaitait que je traduisisse un jour cet ouvrage
DE MON FILS
qui, écrit au XIIIe siècle, dans un latin médiéval affecté d’arabismes,
PIERRE VER EECKE
restait ainsi inconnu de la plupart des mathématiciens de notre
INGÉNIEUR PRINCIPAL A LA RÉGIE DES TÉLÉPHONES DE BELGIQUE temps. Mais les traductions commentées des grands géomètres de
l’antiquité grecque occupaient à cette époque mes courts loisirs
OFFICIER DE L’ORDRE DE LÉOPOLD
et mes longues veilles ; de sorte que les années se sont écoulées
dans l’oubli du travail sollicité.
DÉCÉDÉ EN 1944 DANS UN CAMP DE CONCENTRATION
La mort récente de cet ami dévoué, dont les conseils et les
EN ALLEMAGNE HITLÉRIENNE encouragements ne m’ont jamais manqué, m’a remis son vœu en
mémoire. J’ai rouvert cet ouvrage, jadis à peine feuilleté, et, frappé
de l’étape importante qu’il marque dans la théorie des nombres,
j’en donne enfin la première traduction française annotée, à titre
de nouvelle contribution à l’histoire des mathématiques.
Anvers, septembre 1951.
Copyright by Desclée De Brouwer & Cie. — 1952.
Æsftfcl. * Kotcîilvrv;î î.
INTRODUCTION
Leonardo Bigollo (*) Fibonacci (12 ), communément appelé Léonard
de Pise, né vers 1179, mort dans la première moitié du XIIIe siècle,
est le plus grand mathématicien du moyen âge. Les seuls renseigne
ments que l’on possède sur sa personnalité et les circonstances de
sa vie consistent en ce qu’il nous rapporte dans le prologue de son
premier ouvrage. Son père, nous dit-il, qui occupait une fonction
consulaire au service des marchands de Pise, à la douane de Bougie,
en Algérie, le fit venir auprès de lui dans sa première jeunesse pour
l’initier aux calculs arithmétiques des Arabes. Ces calculs, que
ceux-ci avaient empruntés aux Hindous à la suite de leurs conquêtes
étendues jusqu’à l’Indus, étaient basés sur la numération position
nelle et l’emploi de signes spéciaux représentatifs des nombres
depuis l’unité jusqu’à neuf, avec le secours du zéro, symbole indis
pensable au moyen duquel l’arithmétique de position devait se
constituer sur une base définitive (3). Léonard, habitué, au cours de
sa première éducation, à la numération alphabétique des Grecs
et des Latins et à l’usage de l’abaque ou table à calcul des Romains,
s’enthousiasma pour les nouveaux calculs, et mit ses voyages
d’affaires à profit pour s’en instruire. C’est ainsi qu’il se rendit
en Égypte, en Syrie, en Grèce et en Sicile, pays de domination
arabe, où il put suiyre les leçons de savants musulmans. Il alla
même en Provence, où les Arabes avaient laissé leurs habitudes
de calculs mercantiles après la chute de leur domination, en 732.
On ignore s’il avait acquis une connaissance suffisante de la langue
des Arabes pour être à même de lire leurs ouvrages d’arithmétique
et d’algèbre ; mais on peut supposer qu’il a connu les versions
1. Bigollo est probablement le véritable nom patronymique de Léonard, car
ce nom lui est donné dans un acte d'achat d’une terre avec une tour et des
bâtiments d’exploitation, en qualité de fondé de pouvoirs de son frère Bonaccingo.
2. Surnom familier par contraction des mots : fils de Bonacci.
3. Voir au sujet de la numération positionnelle : Gerhardt. Études historiques
sur Varithmétique de position. Berlin, 1856. — E. Smiht et L. C. Karpinski. The
H indu-Arabie numerals. Boston, 1911.
X LÉONARD DE PISE INTRODUCTION XI
latines de deux ouvrages arabes qui sont, dans leur état, à l’origine les met à la base de sa théorie des nombres fractionnaires, et, après
de la révélation de l’arithmétique de position en Occident (x). Le les avoir introduites dans les calculs des nombres abstraits, il en
premier de ces ouvrages, dû à Adelhard de Bath, vers 1125, ou fait un instrument pratique de calculs des quantités concrètes. Il
à Robert de Chester (2 1 *), vers 1250, est intitulé : Algoritmi de numéro y a lieu de remarquer que les fractions se présentent toujours à la
Indorum, et refléterait l’original ou une recension de l’ouvrage de manière égyptienne, c’est-à-dire décomposées en fractions unitaires,
Muhamed-ibn-Mussa-al-Khawarismi sur l’arithmétique de position ; exception faite pour la fraction §, et l’ouvrage présente même une
tandis que la seconde traduction, attribuée à Jean de Séville, vers table pour la décomposition en fractions unitaires qui sont écrites
1140, et intitulée : Liber Algorismi de pratica arismetica, repro de la manière dont se lisent les textes en langues sémitiques,
duirait un ouvrage du même auteur (3). c’est-à-dire de droite à gauche (*).
Rentré à Pise, Léonard y composa cinq ouvrages. Le premier, Le second ouvrage est intitulé : Practica Geometriae. Divisé en
écrit en 1202, revu et considérablement augmenté en 1228, est sept chapitres, il contient un grand nombre de problèmes de géométrie
intitulé : Liber Abaci, c’est-à-dire le livre de l’Abaque, terme qui dimensionnelle appliquée aux figures planes et solides depuis le
perd ici son sens générique de table à calcul, d’usage millénaire, triangle jusqu’aux polyèdres. L’ouvrage l’emporte de beaucoup sur
pour ne plus signifier qu’un recueil considérable, divisé en quinze ceux du même genre en cours à la même époque en Occident.
chapitres, de problèmes arithmétiques appliqués aux usages ordi Le troisième ouvrage a comme titre : Flos super solutionibus
naires de la vie et aux transactions commerciales. Les résultats de quarumdam questionum ad numerum et ad geometriam pertinentium,
toutes les opérations arithmétiques y subissent la preuve, non c’est-à-dire : Fleur de solutions de certaines questions relatives
seulement par 9, qui était connue et pratiquée par les Arabes, au nombre et à la géométrie. L’auteur intitule ainsi son ouvrage,
mais aussi les preuves par 7, par 11 et par 13. Certains chapitres parce que, dit-il, « plusieurs de ces questions, quoique épineuses,
sont consacrés à la recherche des racines carrée et cubique et à la sont exposées d’une manière fleurie, et, de même que les plantes,
résolution des équations du premier degré. Un grand nombre de ayant leurs racines en terre, surgissent et montrent des fleurs,
problèmes appartiennent déjà à la théorie des nombres ; car ils ainsi de ces questions on en déduit une foule d’autres ». L’ouvrage
mènent à la sommation de certaines séries de nombres, et on y comporte quinze questions d’analyse déterminée et indéterminée
rencontre un problème banal de dénombrement, dans certaines du premier degré, dont deux avaient été proposées en défi à Léonard
conditions, de la progéniture d’un couple d’animaux domestiques par Jean de Palerme, mathématicien attaché à la cour de l’empereur
dont la solution utilise la suite de nombres, qui porte le nom de Frédéric II, prince fameux par ses démêlés guerriers avec les Papes,
t suite de Fibonacci », dans laquelle tout nombre est la somme de sa passion pour la chasse au faucon qui lui fit écrire un ouvrage
ses deux antécédents immédiats (4). Un chapitre important est consacré intitulé : De arte venandi cum avibus (2), et par son mécénat en
aux fractions graduelles(5), dont l’auteur expose les propriétés; il faveur des lettres et des sciences en faisant traduire pour la première
fois en latin divers ouvrages d’Aristote, et en fondant l’Université
de Naples.
1. E. Woepcke. Mémoire sur l’introduction de l’arithmétique indienne en Occident.
Paris, 1859.
2. L. C. Karpinski. Robert of Chester’s translation of the Algebra of Al-Khowa-
rismi... (Bibliotheca Mathematica. 3rd Sérié, vol. XI, pp. 125-131).
3. Ces deux versions latines d’un même ouvrage arabe ont été publiées dans : 3 1 1 2 i l
1. Ainsi ^ s’écrit 2 4» et 7 s’écrit : 4 jg- ha juxtaposition indique que les fractions
Tratati d’aritmetica di Baldassarre Boncompagni. Roma, 1859.
4. C’est-à-dire la série récurrente : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... 2
7" unitaires doivent être additionnées. Seule la fraction ^ ne se décompose pas.
i+ L±
i+ Y "a® i i i 2. L’ouvrage de Frédéric II sur la chasse à l’aide d’oiseaux a été publié avec
5. Fractiones in gradibus : -------------—: 1 J l'ouvrage d'Albert le Grand sur le même sujet intitulé : De Falconibus, à Vienne,
aiaa al a2 a3 en 1596.
XII LÉONARD DE PISE INTRODUCTION XIII
Le quatrième ouvrage est une simple lettre que Léonard adresse Tabit-ibn-Qarra, qui date de la première moitié du IXe siècle (1).
à Théodore, astrologue attaché à la cour de Frédéric II. Il contient La question de l’éducation euclidienne de Léonard reste toutefois
deux problèmes, dont l’un est algébrique et propose d'acquérir controversée (2).
divers objets dans certaines proportions. Comme la solution sera On a longtemps pu croire que beaucoup de questions traitées
sans doute rapportée au prince, c’est probablement par courtoisie par Léonard de Pise étaient d’origine arabe. Cette opinion, émise
que ces objets portent des noms d’oiseaux de diverses espèces. surtout par la critique allemande, était moins fondée sur une exégèse
Le second problème est de l’algèbre géométrique et vise à inscrire de textes mathématiques orientaux que sur l’interprétation péjora
dans un triangle isocèle un pentagone équilatéral ayant un côté tive d’un passage de ce même prologue de VAbacus que nous avons
sur la base du triangle et deux côtés sur les autres côtés du triangle. mentionné plus haut, où l’auteur nous dit : « Après avoir étudié
Le problème est ramené à la résolution d’une équation du second de plus près ce système, ajoutant quelque chose de mon propre
degré qui donne une valeur très approchée pour le côté du penta -fonds, et y appliquant quelques artifices géométriques d’Euclide,
gone dans le système sexagésimal. j’ai travaillé à la composition de cet ouvrage que j’ai divisé en
La première constatation qui s’impose à la considération des quinze chapitres ». Mais Bortolotti a montré, à la lumière de
ouvrages que nous venons de mentionner, est la connaissance documents arabes explorés de nos jours en plus grand nombre
approfondie des Éléments d’Euclide que Léonard avait préalablement que Léonard a emprunté relativement peu de chose à la science
acquise. Mais cette connaissance même soulève la question de arabe (3), et, revenant ailleurs sur ce sujet (4), a montré que Cantor (5)
savoir comment elle peut avoir été acquise. Elle ne peut l’avoir s’est trompé dans son appréciation de l’œuvre de l’algébriste de
été dans le texte grec qui n’avait pas encore pénétré en Occident J1). Pise.
Mais, dès le IXe siècle, les Éléments et d’autres ouvrages d’Euclide, Ce n'est pas le lieu, dans cette introduction, qui ne vise que
trouvés dans leur texte original grec par les Arabes à Byzance la présentation du cinquième et dernier ouvrage, de nous étendre
et à Alexandrie, avaient fait l’objet de nombreuses versions dans davantage sur les quatre premiers. S’il est regrettable que leur
leur langue (2 1). Ces versions, généralement incomplètes, les unes matière si étendue et diverse n’ait été> traitée jusqu’ici que d’une
abrégées, d’autres commentées ou interpolées de propositions manière sommaire et insuffisante dans certains manuels de vulga
originales, circulaient dans le monde savant musulman, et Léonard risation d’histoire des mathématiques (6), elle a cependant fait
peut en avoir pris connaissance s’il s’était assez familiarisé avec
la langue arabe pour pouvoir les lire. S’il n’a pas pu lire ces versions
1. La traduction latine d’Adelhard de Bath, qui date de la première moitié
arabes, il doit certainement avoir connu l’une ou l’autre ou même du xne siècle, fut reprise par Campanus, qui la publia sous son nom avec un
commentaire sous le titre : Preclarissimus liber Elementorum Euclidis. (in fine) :
les deux traductions latines des Éléments d’Euclide faites par Gérard
Opus elementorum Euclidis Megarensis in geometriam artem. In id quoque Campani
de Crémone et par Adelhard de Bath d’après la version arabe de perspicacissimi commentationes finiunt. Erhardus Ratdolt augustensis impressor
solertissimus. Venetiis impressit anno salutis 1482, in-fol. Incunable rarissime qui
a fait partie de la célèbre bibliothèque mathématique de Michel Chasles (catalogue,
1. Le texte grec des Éléments d’Euclide a été publié pour la première fois N° 1525).
par Simon Grynée sous le titre : Euclidis Elementorum libri XV cum prefatione 2. Voir : Ernestrôm. Woher hat Leonardo Pisano seine Kentniss der Elemente
Sim. Grynaei, graece. Bâle, 1535. Cette édition grecque avait été précédée de des Euclides entnommen ? in Bibliot. Mathem. (3), 7 Band, S. 321.
la première version latine de Zamberti, publiée sous le titre : Euclidis Megarensis 3. E. Bortolotti. Le fonti arabe di Leonardo Fibonacci. Memorie delVAcademia
philosophi piatonici mathematicorum disciplinarum janitoris; habent in hoc volu- délia scienza dell'Instituto di Bolonia. Sérié VIII, tomo VII, 1929-30.
mine : elementorum libri XIII, cum expositione Theonis etc., etc. Battholo Zamberti 4. E. Bortolotti. Italiani scopritori e promotori di teoria algebriche. Annuario
interprète. Venetiis, 1505, in-fol. Post-incunable conservé à la bibliothèque com délia Universita di Modena. 1918-1919.
munale d’Anvers (coté g. 4880). Ouvrage réédité à Paris, en 1516, puis à Bâle, 5. M. Cantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Leipzig, 2 vol.,
en 1546. 1880-1900. Ouvrage monumental, mais ayant le défaut de la plupart des ouvrages
2. Voir au sujet des versions arabes des ouvrages d’Euclide : J. H. Heiberg. dus à la collaboration de disciples de compétences inégales, et dans lequel Zeuthen
Litterargeschichtliche Studien über Euclid. Leipzig, 1882. — George Sarton. Intro a relevé un grand nombre d’erreurs.
duction to the history of science. Trois vol. in-8°. Washington, 1927-1948. 6. Voir notamment : F. Hoefer. Histoire des mathématiques depuis leur origine
XIV LÉONARD DE PISE INTRODUCTION XV
sitions du livre II des Éléments d'Euclide sur les segments de
récemment l'objet d'analyses intéressantes dues à Bortolotti (*) et
à Agostini (2 1 *). droites.
La proposition II énonce et démontre, par représentation linéaire
* * *..
des nombres, que la sommation de la série régulière des nombres
Le Liber Quadratorum, c’est-à-dire le livre des nombres carrés, impairs est un carré.
La proposition III est le problème : trouver deux nombres
est le cinquième et dernier ouvrage de Fibonacci. Il en possédait
carrés dont la somme est un carré égal à la somme de deux carrés
sans doute déjà tous les éléments lorsqu'un simple incident en
donnés. La solution géométrique fait intervenir la propriété de
provoqua la composition. Présenté à Frédéric II, qui tenait momen
triangles semblables.
tanément sa cour à Pise, il fut engagé dans une espèce de tournoi
La proposition IV énonce que, si la somme des carrés de
mathématique avec Jean de Païenne qui lui proposa en défi de
deux nombres est multipliée par la somme des carrés de deux
trouver un nombre carré qui, augmenté ou diminué de cinq, donne
autres nombres, et, si ces deux sommes ne sont pas des carrés,
toujours un nombre carré. C'est ainsi que l’ouvrage comporte vingt
le produit sera de deux manières la somme de deux carrés ; tandis
propositions, qui circonscrivent ce problème indéterminé du second
que, si l’une des sommes est un carré, le produit sera de trois
degré, en préparant et justifiant la solution à titre de lemmes
manières la somme de deux carrés, et tandis que, si les deux
auxiliaires. Ces propositions sont les suivantes que nous énonçons
sommes sont des carrés, le produit sera de quatre manières la
en termes moins archaïques et moins prolixes que dans le texte
somme de deux carrés. La démonstration, fort longue, est donnée
latin médiéval de l'auteur.
par la voie linéaire.
La proposition I énonce et démontre par la voie géométrique
La proposition V énonce le problème : trouver un nombre carré
des livres arithmétiques des Éléments d’Euclide, c'est-à-dire par la
égal à la somme de deux nombres carrés.
représentation linéaire des nombres, que tout nombre carré impair,
La proposition VI est le problème : trouver deux carrés dont
accru de la somme des nombres carrés qui le précèdent, est un
la somme est le nombre non carré formé par la somme de deux
nombre carré. La même proposition démontre subsidiairement que
carrés donnés. La solution invoque la similitude de triangles dont
tout nombre carré excède le carré qui le précède immédiatement
les côtés représentent des nombres donnés.
de la somme des racines des carrés ; puis que tout carré excède
La proposition VII énonce que, dans toute suite finie de nombres
le second carré placé avant lui du quadruple de la racine du carré
entiers à partir de l'unité, le produit continu du dernier par celui
intermédiaire ; puis que, si le quadruple d'un nombre est un carré,
qui le suit et par la somme de ceux-ci est égal au sextuple de la
le carré du nombre qui suit est la somme du carré du nombre qui
somme des carrés des nombres qui vont de l’unité au dernier de
précède et du nombre quadruplé ; enfin, que la différence de deux
la suite.
nombres carrés est égale au produit de la somme par la différence
La proposition VIII énonce que, dans toute suite finie de
de leurs racines. Ces deux dernières identités sont démontrées aussi
nombres impairs à partir de l’unité (ou de nombres pairs à partir
par représentation linéaire des nombres en invoquant des propo
de 2) le produit continu du dernier de cette suite et de celui qui
l'y suit par la somn*? de ceux-ci est égal au dodécuple de la somme
jusqu’au commencement du dix-neuvième siècle. Paris, 1870, p. 325, et Sig. Gunther. des carrés des nombres qui vont de l'unité (ou de 2) au dernier
Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1908, p. 258. Et Ed. Lucas. Recherches
sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d’arithmétique de la suite.
supérieure. Rome, 1877. La proposition IX énonce que, si deux nombres premiers entre
1. E. Bortolotti. La propagation de la Science à travers les siècles. Dans Scientia.
Revue internationale de synthèse scientifique, novembre 1932, pp. 134-146. eux ont pour somme un nombre pair, en multipliant leur produit
2. Amedeo Agostini. Leonardo Fibonacci. Dans la revue Archimède, lre année, par leur somme et par leur différence, on obtient toujours un mul
1849, pp. 113-125.
XVI LÉONARD DE PISE INTRODUCTION XVII
tiple de 24. Ce nombre 24 est le plus petit nombre que Fibonacci nombres carrés en égale différence et tels que leur demi-somme
appelle congru, et qui jouera un rôle important dans les propo soit plus grande que chacun d’eux (x).
sitions suivantes. La proposition XV établit que le rapport de deux nombres
La proposition X énonce et démontre linéairement que, si un diffère de celui de leur somme à leur différence pour démontrer
nombre sépare deux groupes de nombres, les uns plus grands que qu’un nombre carré ne peut être congru. La démonstration de
lui, les autres, en même quantité, plus petits que lui, et si ces cette proposition est linéaire, et sert de petit lemme pour réatudre
nombres de ces groupes, pris deux à deux, ont le nombre séparatif le problème suivant.
pour moyenne arithmétique, la somme des nombres des deux La proposition XVI est un problème qui demande de trouver
groupes est égale à leur quantité multipliée par le nombre séparatif. un nombre carré qui, augmenté ou diminué de sa racine, donne
La proposition XI énonce le problème d’analyse indéterminée un nombre carré. La solution utilise la représentation linéaire et
du second degré de trouver un nombre qui, ajouté à un nombre planimétrique de nombres, et est appuyée d’un exemple numé
carré et diminué de celui-ci, forme toujours un nombre carré. La rique.
solution, très longue, est un exemple assez remarquable de l’algèbre La proposition XVII énonce et démontre que le plus grand
géométrique de l’auteur, et elle est basée sur la considération du de trois nombres carrés impairs successifs excède le carré médian
nombre congru tel qu’il a été défini dans la neuvième proposition. de huit unités en plus de ce que le carré médian excède le plus
La proposition XII énonce que le produit d’un nombre congru petit. Cette proposition est également un lemme qui sera invoqué
par un nombre carré est un nombre congru. La proposition est dans plusieurs propositions qui suivent.
un petit lemme qui est utilisé dans la solution de la quatorzième La proposition XVIII est le problème prescrivant de trouver
proposition. les deux différences de trois nombres carrés dans un rapport donné.
La proposition XIII énonce le problème qui enjoint de trouver La solution est donnée dans la représentation linéaire des nombres,
un nombre congru dont la cinquième partie est entière. Cette pro et appliquée exemplativement à divers rapports numériques donnés,
position est aussi un lemme destiné à la solution de la quatorzième avec application de la méthode de la fausse et double fausse
proposition. position.
La proposition XIV énonce le problème, posé en défi par Jean La proposition XIX est le problème qui consiste à trouver
de Palerme, prescrivant de trouver un carré qui, augmenté ou trois nombres carrés tels que la somme de deux d’entre eux ou
diminué de 5, forme un nombre carré. La solution en nombres la somme des trois soit un nombre carré. La solution est utilisée
fractionnaires est donnée immédiatement, sans procédure algé dans la proposition suivante.
brique, en partant des trois nombres 31, 41 et 49 dont les carrés La proposition XX, qui couronne l’ouvrage, est un problème
sont en progression arithmétique de raison 720, nombre congru d’analyse indéterminée du second degré qui fut posé par un autre
déterminé par la solution de la proposition précédente (x). L’auteur mathématicien de la cour de Frédéric II nommé Théodore. Il
ne s’explique pas sur le choix de ces nombres, qui ne sont ni arbi tend à trouver trois nombres dont la somme, accrue du carré du
traires ni d’intuition, mais qu’il emprunte manifestement, par une premier nombre, donne un nombre carré qui, accru du carré du
voie indirecte, à la solution d’un problème, d’origine babylonienne, second nombre, donne un nombre carré qui, accru du carré du
que l’on trouve chez Diophante, et qui consiste à trouver trois troisième nombre, donne également un nombre carré. La solution
1. Ce problème de Fibonacci, qui peut se résoudre algébriquement de plusieurs
manières différentes, a fait l’objet d’une solution algébrique et de remarques sur 1. Diophanti Alexandrini opéra omnia cutn graecis commentariis edidit et latina
sa non-généralisation dans l’ouvrage de M. Kraïtchik, Mathematical Récréations. interpretatus est Paulus Tannery. Lipsiae, 1893, 2 vol. in-8°. Voir vol. I, liv. III,
New-York, 1842, p. 27. p. 151.
Léonard de Pise. 2.
INTRODUCTION XIX
XVIII LÉONARD DE PISE
par Isidore de Séville (1). Elle a été connue par Boèce (2), dont
est très longue, et constitue un exemple caractéristique de l’algèbre
l’ouvrage : De Institutione Arithmetica n’est en somme qu’un rema
de Fibonacci.
niement et une paraphrase du traité de Nicomaque, et elle a inspiré
Ces vingt propositions dégagent en fait les principales inter
dès lors les nombreux manuels d’arithmétiques du moyen âge.
ventions de l’auteur dans la théorie des nombres ; les autres étant
La plupart de ces manuels et sans doute aussi l’ouvrage de Boèce
éparses dans les précédents ouvrages, et les solutions données à ces
ont été à la portée de Léonard. Mais, dans tout ce qu’il a pu y
propositions représentent bien l’état de la discipline algébrique au
puiser en matière de théorie des nombres, il conserve l’avantage
XIIIe siècle en Occident.
d’avoir démontré des propriétés des nombres que Nicomaque ne
L’examen de ces propositions donne toutefois lieu à deux
démontre jamais et se borne à justifier par des vérifications numé
remarques principales. La première est que le Liber Quadratorum
riques.
n’est pas un recueil systématique de propriétés des nombres carrés,
La seconde remarque suggérée par les propositions d’analyse
mais une sélection de telles de ces propriétés dont les démonstra
indéterminée du Liber Quadratorum est l’analogie qu’elles présentent
tions mènent à la résolution des deux questions d’analyse indéter
avec celles de l’ouvrage de Diophante (3), qui représente l’algèbre
minée proposées en défi à l’auteur. Celui-ci n’a cependant pas tiré
des Grecs au stade le plus élevé atteint au me siècle ; de sorte que
toutes ces propriétés de son propre fonds ; car certaines d’entre
l’algèbre de Fibonacci en acquiert un certain caractère de filiation.
elles appartiennent déjà très anciennement à la science des nombres,
Mais cette filiation n’a pu en tout cas être directe, car Fibonacci
et avaient trouvé leur développement dans VIntroduction Arithmétique
n’a pas connu l’œuvre de Diophante qui ne pénétra en Italie qu’à
de Nicomaque de Gérase (x), ouvrage qui, bien que pénétré de
considérations philosophiques, est le premier traité d’arithmétique la fin du XVe siècle. Elle y resta oubliée pendant une centaine
d’années dans un fonds de manuscrits, à Venise, et ne fut publiée
pure qui nous ait été légué par les Grecs. Composé vers le milieu
pour la première fois qu’en 1575 dans la version latine de Xylander (4) ;
du 11e siècle, il avait été traduit en latin à la fin de ce même siècle
tandis que le texte grec ne fut révélé qu’en 1621 par Bachet de
par Apulée de Madaure (2 1), philosophe et romancier romain, au
Méziriac (5), dont l’édition est restée célèbre en raison du précieux
cours de ses longs séjours en Égypte et en Grèce. Cette traduction
latine ne nous est pas parvenue, mais son existence en Italie, au
début du moyen âge, nous est révélée par Cassiodore (3) et confirmée 1. Isidore de Séville, né à Carthagène vers 560, mort évêque de Séville, en 636.
Son principal ouvrage : Etymologiarum sive Originum libri XX a été publié dans
la Patrologie de Migne (Paris, 1850). On trouve au livre III le passage qui se
1. L’ouvrage de Nicomaque de Gérase, publié pour la première fois à Paris,
traduit : « On croit que le premier traité composé en grec sur la science des nombres
en 1538, a fait l’objet de l’édition critique grecque : Nicomachi Geraseni pythagorei
l’a été par Pythagore, et que Nicomaque lui a donné plus de développement.
Introductionis arithmeticae libri II recensuit Ricardus Hoche. Lipsiae, 1866, in-8°.
L’ouvrage de ce dernier a été traduit en latin par Apulée d’abord, ensuite par
Traduction unique en langue vulgaire : Nicomachus of Gerasa. Introduction to
Boèce ».
Arithmetic, translated into english by Martin Luther D’Ooghe, with studies in greek
2. Boèce, traducteur et compilateur d’ouvrages de l’antiquité, vécut de 480
arithmetic by Frank Egleston and L. Ch. Karpinski. New-York, 1926.
à 524. L’ensemble de ses ouvrages, édité d’abord à Venise, en 1491, a été publié
2. Apulée, philosophe, rhéteur et romancier romain, né en Afrique, à Madaure,
dans la Patrologie de Migne. Son ouvrage : De Institutione Arithmetica, qui remanie
colonie romaine, l’an 114 de notre ère. Voyagea en Égypte, en Grèce et en Italie,
l’ouvrage de Nicomaque, fut édité d’abord à Augsbourg, en 1488, et a fait l’objet
et mourut à Carthage à la fin du ne siècle. Voir au sujet de ses nombreux ouvrages,
de l’édition critique de G. Friedlein, Leipzig, 1867.
de leurs nombreuses éditions latines et traductions en langues vulgaires : Histoire
3. Diophante d* Alexandrie. Les six livres arithmétiques et le livre des nombres
analytique et critique de la littérature romaine par P. Berger on. Bruxelles, 1840,
polygones, traduits pour la première fois du grec en français, avec une introduction
2 vol. in-8°, pp. 524-531.
et des notes par P. Ver Eecke. Bruges, 1926, gr. in-8°.
3. Aurélien Cassiodore, secrétaire d’état de Théodoric, né à Squillace, vers 470,
4. Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex, quorum primi duo
mort vers 561 dans le monastère qu’il avait fondé en Calabre. Auteur polygraphe,
adjecta habent scolia, maximi (ut conjectura est) Planudis. Item liber de numeris
son ouvrage intitulé : De artibus ac disciplinis liberalium litterarum a été publié
polygonis seu multangulis. Opus incomparabile, verae arithmeticae logisticae per-
dans la Patrologia latina de Migne (Paris, 1850). Le chapitre IV, intitulé : De
fectionem continens, paucis adhuc visum. A Guil. Xylandro Augustano incredibile
Arithmetica (vol. LXX, pp. 1204 et suiv.) présente (p. 1208) le passage que nous
labore latino redditum et commentariis explanatum, inque lucem editum. Basileae,
traduisons : « Nicomaque, chez les Grecs, a exposé avec discernement la discipline
1573.
arithmétique. Apulée de Madaure le premier, et ensuite l’admirable Boèce, ont
5. Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex et de numeris multangulis
traduit son ouvrage en langue latine et l’ont fait connaître aux Romains ».
XX LÉONARD DE PISE
INTRODUCTION XXI
exemplaire dans lequel Fermât déclare avoir « trouvé une grande
L’algèbre de Fibonacci s’exprime, comme celle de Diophante,
lumière », et sur les marges duquel il consigna ses plus géniales
dans le pur verbalisme de l’algèbre primitive, privée de ce qui
spéculations sur les vertus des nombres. L’algèbre de Diophante
a pour ainsi dire mécanisé l’algèbre moderne, c’est-à-dire les lettres
n’a donc pu influencer celle de Fibonacci que d’une manière indirecte
représentatives des grandeurs connues et inconnues et les signes
par le truchement des Arabes. On sait, en effet, que les ouvrages
ou les symboles au moyen desquels les résolutions des questions
de Diophante avaient pénétré dès le Xe siècle dans les pays musul
relatives aux quantités sont maintenant abrégées et généralisées.
mans, et qu’ils y avaient fait l’objet des études et des commentaires
Mais cette algèbre en paroles présente cependant déjà chez ces
de leurs savants. Le catalogue arabe de Ibn-Ab-Jâ-Kub-An-Nadim,
deux auteurs une certaine tendance vers ce symbolisme qui devait
connu sous le nom de Fihrist (1), composé vers l’an 987 de notre
mettre des siècles à s’élaborer, et qui ne s’est complété qu’à l’époque
ère, mentionne Diophante comme « étant un Grec d’Alexandrie qui
de Descartes. Il se manifeste chez Diophante par quelques abré
écrivait sur l’art de l’algèbre » (2 1 *). Un autre passage de ce catalogue
viations de mots censément prononcés (*), comme on le constate
nous rapporte que Mohammed-Abul-Wafa, qui vécut dans la seconde
aussi dans l’algèbre verbale des algorithmistes de l’Inde, tels que
moitié du Xe siècle, avait écrit un commentaire sur l’algèbre de
Brahmegupta, auteur du vne siècle, et Bhascara Acharya, qui vivait
Diophante ainsi qu’un « livre de vérifications des propositions de
au XIIe siècle (2) ; tandis que chez Fibonacci, ce symbolisme se
Diophante et de celles qu’il avait établies lui-même dans son com
manifeste dans la dernière proposition du Liber Quadratorum par
mentaire » (3). Un autre passage encore nous rapporte enfin qu’un
l’emploi des mots Res et Census qui désignent respectivement
« commentaire relatif à trois livres et demi de l’ouvrage de Diophante
l’inconnue et le carré de l’inconnue ; mots symboliques que l’on
sur les problèmes arithmétiques » (4) avait été composé par Kusta-
retrouve d’ailleurs avec la même signification, mais réduits à leurs
ben-Luca-el-Balabakki, philosophe et mathématicien arabe, mort
simples lettres initiales R et C dans les ouvrages de Cardan (3).
vers l’année 912, auteur d’une introduction à la géométrie sous
Ce symbolisme naissant est cependant un peu plus accentué dans
forme de questions et de réponses, et auquel d’autres auteurs
le Liber Abaci, premier ouvrage de Fibonacci, où la représentation
arabes attribuent même une véritable traduction de l’ouvrage de
des nombres par des segments de droites fait place à une repré
Diophante (5).
sentation des nombres donnés et inconnus au moyen de lettres.
Les ouvrages précités ne nous sont malheureusement pas par
Ce symbolisme avait déjà été relevé par Cantor dans les solutions
venus, mais ils ont certainement exercé leur influence sur les
de trois propositions de cet ouvrage (4) ; tandis que Agostini l’a
algorithmistes qui s’en sont inspirés, et dont Fibonacci a pu con
relevé dans un plus grand nombre de propositions (5). Il en résulte
sulter les travaux, ou exercer cette influence sur ceux qui floris-
donc pour Fibonacci une priorité sur Viète, à qui l’on attribue
saient à l’époque de ses voyages en pays musulmans, et dont il
ordinairement l’invention de ce symbolisme algébrique.
a pu suivre les leçons.
1. Voir l’Introduction de la traduction française précitée de l’ouvrage de
Diophante.
liber unus. Nunc firimum graece et latini editi atque absolutissimis commentants 2. H. T. Colebrooke. Algebra from the sanscrit of Brahmegupta and Bhascara
translated. London, 1817, in-4°.
illustrati. Auctore Claudio Gaspare Bacheto Meziriaco Selusiano V. C. Lutetiae
3. Les ouvrages de Cardan, qui appartiennent encore à l’algèbre non symbolisée,
Parisiorum, 1621, in-fol.
sont les suivants : 1° Hieronimi Cardani practica arithmeticae et mensurandi singu-
1. H. Süter. Das Mathematik-Verzeichnis im Fihrist des Ibn-Ab-Jâ-An-Nadim,
laris. Mediolani, 1539 ; 2° Hieronimi Cardani artis magnae sive de regulis algebraicis
zum ersten Mal vollstàndig ins Deutsche übersetzt mit Anmerkungen versehen.
liber unus. Norimbergae, 1545; 3° Hieronimi Cardani opusnovum deproportionibus
(Abhandlung zur Geschichte der Mathematik.) T. G. Leipzig, 1892.
numerorum, motuum, ponderum, etc. Basileae, 1570.
2. Ibidem, p. 21.
4. M. Cantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1880-1900,
3. Ibidem, p. 39.
vol. II, pp. 17, 31, 33.
4. Ibidem, p. 43.
5. Amedeo Agostini. L’uso délie lettere nél « Liber A baci » di Leonardo Fibonacci.
5. H. Süter. Die Mathematiker und Astronomen der Araben und ihre Werke.
(Bollettino délia Unione matematica italiana. 19491. Sérié III, anno IV, n. 3,
(Abhandlung zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften). Leipzig, 1890.
pp. 282-287.
