Table Of ContentSusanne Muller-Philipp
Hans-Joachim Gorski
Leitfaden Geometrie
Aus dem Programm ________ _....
Mathematik fUrs Lehramt
Andreas Bartholome, Josef Rung, Hans Kern
Zahlentheorle fiir Elnstelger
Norbert Henze
Stochastlk fUr Elnstelger
Berthold Schuppar
Elementare Numerische Mathematik
Eine problemorientierte Einfiihrung
fUr Lehrer und Studierende
Winfried Scharlau
Schulwlssen Mathematik: Eln Oberbllck
Lutz Fuhrer
Pidagoglk des Mathematlkunterrichts
Eine Einfiihrung in die Fachdidaktik
fUr Sekundarstufen
Erich Ch. Wittmann
Grundfragen des Mathematikunterrlchts
Gerhard Muller, Erich Ch. Wittmann
Der Mathematlkunterrlcht In der Primarstufe
Hans-Joachim Gorski, Susanne Milller-Philipp
Leitfaden Arithmetik
Susanne Milller-Philipp, Hans-Joachim Gorski
Leitfaden Geometrie
vieweg ___________
~
Susanne Milller-Philipp
Hans-Joachim Gorski
Leitfaden
Geometrie
Fiir Studierende
der Lehramter
~
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz fUr diese Publik.ation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhliltlich.
Dr. Susanne Muller-Philipp
Dr. Hans-Joachim Gorski
Westfiilische Wilhelms-Universitat Munster
Institut fur Didaktik der Mathematik
EinsteinstraBe 62
48149 Munster
E-Mail (Muller-Philipp):[email protected]
E-Mail (Gorski):[email protected]
1. Auflage Oktober 2001
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden,
2001
Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer.
www.vieweg.de
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Konzeption und Layout: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
ISBN 978-3-528-03177-0 ISBN 978-3-322-96841-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96841-8
Fur
Nina, Nini,
Max und Bibi,
aber auch fur
(hier kOnnen Sie den Namen eines besonders lieben Menschen eintragen)
Vorwort
Das Buch, das Sie jetzt in Handen halten, richtet sich primar an Studierende
mit den Studienzielen Lehramt Primarstufe oder Lehramt Sekundarbereich I.
Es solI Sie mit verschiedenen Bereichen der Geometrie bekannt machen, die
einen tragfahigen Hintergrund fUr ihren spateren Geometrieunterricht bilden
konnen.
Mit dem Leitfaden Geometrie kntipfen wir konzeptionell - nicht inhaltlich
an unseren Leit/aden Arithmetik (Vieweg 1999) an.
Damit standen fur uns bei der Entwicklung des Leitfadens Geometrie Uber
legungen hinsichtlich der Lesbarkeit und Verstehbarkeit wieder im Vorder
grund.
Dieses Buch ist in einem mehrfach durchlaufenen Zirkel aus Entwicklung,
Anwendung in Lehrveranstaltungen und Ubungen, Riickmeldungen der Stu
dierenden und Hilfskrafte und Optimierung der Entwicklung gewachsen.
Damit ist es kein Labor- oder Dienstzimmerprodukt, sondern das Ergebnis
standiger Interaktionsprozesse mit Studierenden und Hilfskraften, die inso
fern Mitkonstrukteure des Leitfadens Geometrie sind.
Stellvertretend fUr viele andere danken wir besonders Frau Barbara Gitzen,
Frau Isabell Kleinebecker und Frau Rita Uckelmann fur ihre detaillierten,
zeitaufwendigen Riickmeldungen und Verbesserungsvorschlage zu den letz
ten Riicklaufexemplaren.
Unser Dank gilt auch Frau Katrin Hagedorn, die das Manuskript (ohne
Schaudern) auf neue deutsche Rechtschreibung iiberarbeitet hat.
Last but not least danken wir nach Jahren intensiver Zusammenarbeit fur die
erlebte Erfahrung:
My co-author ist the other half a/my brain.
Miinster, im August 2001
Susanne Miiller-Philipp Hans-Joachim Gorski
vii
Inhaltsveneichnis
Vororientierung ix
- zu Zielvorstellungen im Leitfaden Geometrie ix
- zu Methoden im Leitfaden Geometrie xi
- zum Einsatz des Leitfadens Geometrie als
vorlesungsbegleitende Literatur xiii
1 Topologie
1.1 Einstiegsproblem 1
1.2 Grundlegende Definitionen der Graphentheorie 6
1.3 Eckenordnungen und Kantenzahlen 14
1.4 Plattbarkeit von Graphen 19
1.5 Durchlaufbarkeit von Graphen 27
1.6 Erbteilungs-und Flirbungsprobleme 33
2 Polyeder 46
2.1 Einstiegsproblem 46
2.2 Die platonischen Korper 50
2.3 Halbreguliire Polyeder 57
3 Axiomatik 64
3.1 Zum Einstieg 64
3.2 Inzidenzgeometrie 69
3.3 Affine und projektive Inzidenzgeometrien 73
3.4 Axiome der Anordnung 79
3.5 Winkel 83
3.6 Langen-und Winkelmessung 86
3.7 Zusammenstellung aller relevanten Axiome 95
viii Inhaltsverzeichnis
4 Abbildungsgeometrie 97
4.1 Einstiegsproblem 97
4.2 Kongruenzabbildungen 101
4.2.1 Definition und Eigenschaften der Kongruenzabbildungen 102
4.2.2 Verkettung von Kongruenzabbildungen 118
4.2.3 Weitere Siitze zur Verkettung von Kongruenzabbildungen 146
4.2.4 Die Gruppe der Kongruenzabbildungen 147
4.2.5 Kongruenz von Strecken, Winkeln, Dreiecken 152
4.2.6 Deckabbildungsgruppen 167
4.3 AhnIichkeitsabbildungen 178
4.4 Affine Abbildungen 189
5 Fragestellungen der euklidischen Geometrie 195
5.1 Einstiegsproblem 195
5.2 Besondere Punkte und Linien im Dreieck 200
5.3 Siitze am Kreis 215
5.4 Die Satzgruppe des Pythagoras 225
6 Darstellende Geometrie 237
6.1 Einstiegsproblem 237
6.2 Axonometrie 241
6.3 Dreitafelprojektion 250
6.4 Zentralprojektion 254
Benutzte Zeichen und Abkiirzungen 262
Literatur 264
Stichwortverzeichnis 267
ix
Vororientierung
zu Zielvorstellungen im Leitfaden Geometrie
Was solI das Ganze?, Was wollen Sie von uns?, Was genau sollen wir ler
nen?, Warum lernen wir das?, Wie sollen wir das lernen? und Kennen wir es
in unserem spateren Beruf / im Leben gebrauchen?
Fragen dieser Art stellen Lernende an den verschiedensten Stellen unseres
Bildungssystems, jedenfalls sollten sie sie stellen. Auf der anderen Seite
sollten die Initiatoren der Lernprozesse Antworten auf diese Fragen bereit
halten, die die Lernenden in ihrer Lernausgangslage zufriedenstellen:
Zuniichst verfolgen wir natiirlich rein fachliche Ziele. Es geht uns darum,
Ihnen mathematische Qualifikationen fUr rhre spatere Unterrichtspraxis zu
vermitteln. In diesem Zusammenhang haben wir sechs Themenbereiche aus
gewiihlt, von denen wir uberzeugt sind, dass sie eine tragfahige Grundlage
fUr einen kompetenten Geometrieunterricht von Klasse 1 bis Klasse 10 be
deuten kennen. Beispielhaft denken wir hier an das Kapitel "Abbildungs
geometrie", das zentrale Qualiflkationen flir die Lernbereiche "Flachenin
haltsbestimmungen", "Kongruenzabbildungen", "zentrische Streckung" im
Sekundarbereich I und fUr die Themen "Symmetrie", "Ornamente", "Ver
gre.Bern - Verkleinern" in der Grundschule (und in der Sekundarstufe I) be
reitstellt.
Mit der ausdrficklichen Herausstellung der folgenden Zielvorstellungen ver
lassen wir den Rahmen ublicher mathematischer Fachbficher:
• Forderung des raumlichen Vorstellungsvermogens
Wenn Sie in der Schule nicht gefOrdert wurden (und raumliches Vorstel
lungsvermogen entwickelt sich am besten bis zum Alter von etwa 12 Jah
ren), dann muss hier unter Umstanden "nachgebessert" werden. Das geht
auch bei Erwachsenen. Denken ist verinnerlichtes Handeln (Aebli). Sie
mfissen Handlungserfahrungen machen und diese mehr und mehr im
Kopf durchfiihren. Braucht man erst die konkreten Objekte, mit denen
man hantiert, so werden diese allmiihlich durch Visualisierungen und
schlie.Blich durch Vorstellungen von den Objekten ersetzt. Einen besonde
ren Beitrag zur Forderung des raumlichen Vorstellungsvermtigens wollen
x Vororientierung
wir im Kapitel "Polyeder" leisten. Hier sollen Sie sich komplexere Karper
vorstellen und in der gelungenen Vorstellung Manipulationen mit / an
diesen Objekten vomehmen. Dazu sollten Sie die konkreten Objekte zu
nachst selbst herstellen, und damit sind wir beim nachsten Punkt.
• Schulrelevante Arbeitsweisen auf hoherem Niveau erfahren und anwen
den
Das Herstellen von Karpemetzen und das Erstellen der Karper aus Karton
sind schultypische Tatigkeiten. Urn Sie nicht zu unterfordem, Sie aber
trotzdem mit den Problemen, die da auftauchen kannen, zu konfrontieren,
werden wir von Ihnen so etwas erwarten, allerdings bei komplizierteren
Gebilden. Ahnliches gilt fur das Falten, das Arbeiten mit Plattchenmate
rial usw. Wo es sich anbietet, sollen solche Tatigkeiten auch Ihnen beim
Erlemen von Mathematik nutzen.
Schliefilich sollte jede Lehrerin und jeder Lehrer in der Lage sein, etwa
einen Wurfel, einen Quader, eine Pyramide (mit quadratischer Grundfla
che), einen Zylinder oder einen Kegel ad hoc an der Tafel zu skizzieren
bzw. exakt darzustellen. In der Sekundarstufe I werden Sie dies auch von
ihren Schiilerinnen und Schtilem erwarten, in der Primarstufe vielleicht
fur die erstgenannten Karper. Unmittelbare Basisqualifikationen hierfiir
versuchen wir Ihnen im Kapitel "Darstellende Geometrie" zu vermitteln.
• Ober die Schuljormen hinaus blicken
Fur die angehenden Grundschullehrerinnen und -lehrer: Sie werden in
diesem Buch auch mit Inhalten des Geometrieunterrichts der Sekundar
stufe I konfrontiert. Dies ist wichtig, damit Sie Ihren spateren Mathema
tikunterricht so gestalten kannen, dass er tragfahige Konzepte liefert, die
von den Kindem kein Umlemen in weiterfiihrenden Schulen erfordem,
sondem ein Aufbauen auf Bekanntem und ein Weiterverfolgen bekannter
Arbeits- und Denkweisen. Ais ein Beispiel aus diesem Buch nennen wir
hier das "Haus der Vierecke". Die Behandlung von Deckabbildungsgrup
pen solI Ihnen helfen, Aktivitaten des Faltens und VerschOnems von
Quadraten oder das Legen von Plattchen vor einem mathematischen Hin
tergrund zu sehen.
Fur die angehenden Sekundarstufenlehrerinnen- und lehrer: Sie werden
eine Reihe von Aktivitaten kennenlemen, die Kindem aus der Grund
schulzeit schon vertraut sind (zumindest wenn sie einen Geometrieunter
richt erfahren haben, wie er uns vorschwebt). Sie iibemehmen die Kinder
nicht in Klasse 5 als geometrisch "unbeschriebene Blatter". Ihre Vorer
fahrungen, ihre Erwartungen, die ihnen vertrauten Arbeitsformen, Mate
rialien, Techniken kannen und miissen Sie aufgreifen.
