Table Of ContentHans-Joachim Gorski
Susanne Müller-Philipp
Leitfaden Arithmetik
Aus dem Programm _______- -...
Mathematik fürs Lehramt
Andreas Bartholome, Josef Rung, Hans Kern
Zahlentheorie für EInsteiger
Jörg Bewersdorff
Algebra für EInsteiger
Albrecht Beutelspacher, Marc-Alexander Zschiegner
Diskrete Mathematik für EInsteiger
Winfried Scharlau
Schulwissen Mathematik: Ein Überblick
Hans-Wolfgang Henn
Elementare Geometrie und Algebra
Erich eh. Wittmann
Grundfragen des Mathematikunterrichts
Stephan Hußmann, Bärbel Barzel (in Vorbereitung)
Zentrale Fragen des Mathematikunterrichts
Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp
Leitfaden Arithmetik
Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski
Leitfaden Geometrie
vieweg _____________ _
Hans-Joachim Gorski
Susanne Müller-Philipp
Leitfaden
Arithmetik
Für Studierende
der Lehrämter
2., überarbeitete Auflage
~
vleweg
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen
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<http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Dr. Hans-Joachim Gorski
Dr. Susanne Müller-Philipp
Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Institut für Didaktik der Mathematik
Fliednerstraße 21
48149 Münster
E-Mail (Gorski):[email protected]
E-Mail (Müller-Philipp):[email protected]
I. Auflage Juli 1999
2., überarbeitete Auflage März 2004
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© Friedr. Vieweg & Sohn VerlagjGWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004
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Lengericher Handelsdruckerei, Lengerich
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
ISBN 978-3-528-13128-9 ISBN 978-3-322-96900-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96900-2
v
Vorwort zur zweiten Auflage
Gerne haben wir drei Jahre nach dem Erscheinen der ersten Auflage die
Gelegenheit ergriffen, Anregungen und Wünsche der ersten Studierenden
generationen, die mit dem Leitfaden Arithmetik gearbeitet haben, und die
zahlreichen Rückmeldungen unserer Kolleginnen und Kollegen aus dem In
und dem deutschsprachigen Ausland in eine Neuauflage einzuarbeiten. Wir
hoffen, den Grad an Verständlichkeit, die Freude beim Lesen und den
Gewinn beim Durcharbeiten des Buches weiter erhöht zu haben.
Wir danken allen aufmerksamen Leserinnen und Lesern filr ihre ermutigen
den Rückmeldungen, kritischen Kommentare und Hinweise zur Optimierung
von TextsteIlen oder Abbildungen. Wir freuen uns schon jetzt auf ein hof
fentlich ebenso lebhaftes Echo zu dieser überarbeiteten Neuauflage.
Mit dem Leitfaden Arithmetik wenden wir uns an Studierende mit den
Studienzielen Lehramt Primarstufe und / oder Lehramt Sekundarbereich I.
Wir machen Sie darin mit den Kapiteln der Arithmetik bekannt, von denen
wir der Meinung sind, dass sie den zentralen Hintergrund filr Ihren späteren
Mathematikunterricht bilden.
Bei der Konzeption dieses Buches standen Überlegungen hinsichtlich der
Lesbarkeit und Verstehbarkeit filr uns immer im Vordergrund:
Hinsichtlich der Lesbarkeit haben wir uns an gängigen Theorien zur Text
produktion orientiert. Darüber hinaus haben wir die entwickelten
Textbausteine immer wieder in der Praxis überprüft und anschließend
optimiert. Dabei sind an zahlreichen Stellen, gerade bei Hinfilhrungen und
Rückblicken, Formulierungen unserer Studierenden in den Leitfaden
Arithmetik eingeflossen. Diese implizite Mitarbeit wollten wir bewusst in
Anspruch nehmen und wir bedanken uns an dieser Stelle dafilr explizit.
Hinsichtlich der Verstehbarkeit greifen wir, neben einer generellen Ausrich
tung an lernpsychologischen Erkenntnissen, unter anderem auf die folgenden
methodischen Hilfsmittel zurück:
Das deduktive (beweisende) Vorgehen wird bei als schwierig empfun
denen Stellen induktiv vorbereitet. Es wird also keineswegs auf Beweise
verzichtet, wohl werden sie häufig erst dann gefilhrt, wenn das Ver-
vi
ständnis des zu Beweisenden oder der Beweisidee am Beispiel sicher
gestellt wurde.
Für zentrale Verfahren wie etwa den euklidischen Algorithmus, die
Teilennengen-, ggT- und kgV-Bestimmung oder das Lösen diophan
tischer Gleichungen bieten wir verschiedene Darstellungsfonnen an.
Viele Fragestellungen greifen wir mehrfach auf und bearbeiten sie mit
den jeweils neu entwickelten Methoden.
Mathematische Sätze und Verfahren werden von uns nicht um ihrer
selbst willen bewiesen, sondern sollten Anwendungen nach sich ziehen.
Auf der einen Seite bieten wir Ihnen im Buch vielfliltige Anwendungs-/
Übungsaufgaben an. Ohne in blanke Rezeptologie zu verfallen weisen
wir Sie andererseits bei zentralen Verfahren auch musterhaft in
Standardanwendungen ein.
Weil wir schließlich seit langem wissen, dass Lernen immer dann besonders
effektiv ist, wenn Lernende die Nützlichkeit des zu Lernenden einsehen,
haben unsere Beispiele durchgehend einen Bezug zu Ihrer späteren Unter
richtspraxis.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg bei der Durcharbeitung des Leitfadens
Arithmetik und weisen darauf hin, dass wir tl1r Anregungen - insbesondere
solche zur weiteren Erhöhung der Lesbarkeit und Verstehbarkeit - aus den
Reihen der Leserschaft dankbar sind.
Münster, im Februar 2004
Susanne Müller-Philipp Hans-Joachim Gorski
vii
Inhaltsverzeichnis
Vororientierung x
-Was nicht vorkommen wird x
-Einige Voraussetzungen in Kurzfonn Xl
-Was stattdessen vorkommen wird xiv
0 Grundlegende Beweistechniken
0.1 Worum es in diesem Kapitel geht
0.2 Der direkte Beweis 2
0.3 Der indirekte Beweis 3
0.4 Der Beweis durch Kontraposition 5
0.5 Der Beweis durch vollständige Induktion 7
0.6 Zum Beweisen von Äquivalenzen 14
1 Die Teilbarkeitsrelation 16
l.l Definition 16
1.2 Eigenschaften 17
1.3 Teilennengen 21
1.4 Hasse-Diagramme 23
2 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie 26
2.1 VorUberlegungen 26
2.2 Der Hauptsatz 27
2.3 Folgerungen aus dem Hauptsatz 32
viii Inhaltsverzeichnis
3 Primzahlen 41
3.1 Die Unendlichkeit der Menge IP 41
3.2 Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen 44
3.3 Bemerkenswertes über Primzahlen 49
4 ggTund kgV 53
4.1 Zur Problemstellung 53
4.2 Definitionen 55
4.3 ggT, kgV und Primfaktorzerlegung 57
4.4 ggT, kgV und Hasse-Diagramme 64
4.5 Der Euklidische Algorithmus 66
Anschauliche Beschreibung des Euklidischen Algorithmus 71
4.6 Die Menge der Vielfachen des ggT(a,b) und der
Linearkombinationen von a und b 73
4.7 Lineare diophantische Gleichungen mit zwei Variablen 79
Lösen von Anwendungssituationen zu linearen diophantischen
Gleichungen 80
5 Kongruenzen und Restklassen 86
5.1 VorUberiegungen 86
5.2 Defmition der Kongruenz 88
5.3 Eigenschaften 90
5.4 Restklassen 95
5.5 Rechnen mit Restklassen 99
5.6 Anwendungen der Kongruenz-und Restklassenrechnung 108
Teilbarkeitsüberlegungen 108
Lösen linearer diophantischer Gleichungen 110
Teilbarkeitsregeln 112
Rechenproben 117
Inhaltsverzeichnis ix
6 Stellenwertsysteme 121
6.1 Zahldarstellungen 121
Das ägyptische Zahlensystem 121
Das römische Zahlensystem 122
Das babylonische Zahlensystem 123
Das Dezimalsystem 126
6.2 b-adische Ziffemsysteme 129
6.3 Die Grundrechenarten in b-adischen Stellenwertsystemen 134
6.4 Teilbarkeitsregeln in b-adischen Stellenwertsystemen 137
7 Alternative Rechenverfahren 146
7.1 Zur Eintllhrung 146
7.2 Schriftliche Addition und Subtraktion 147
7.3 Schriftliche Multiplikation 150
Die Gittermethode 151
Das Verdoppelungsverfahren 154
"Russisches Bauemmultiplizieren" 155
7.4 Schriftliche Division 156
Das Subtraktionsverfahren 157
Das Verdoppelungsverfahren 169
Literatur 160
Primzahltabelle 161
Stichwortverzeichnis 163
x
Vororientierung
Was nicht vorkommen wird
Es bezeichne
~ die Menge dernatOrlichen Zahlen {I, 2, 3, 4, 5, ... },
7l. die Menge der ganzen Zahlen {O, ±l, ± 2, ±3, ±4, ±5, ... }
Q die Menge der rationalen Zahlen und
III die Menge der reellen Zahlen.
Weiter sei ~o:= ~ u {O}. Es gilt ~ c ~o c l c Q c 1Il. Wir setzen im fol
genden das Rechnen in diesen Mengen als bekannt voraus, d.h. die Frage, was
z.B. die natOrlichen Zahlen eigentlich sind und wie sich das Rechnen mit
ihnen axiomatisch begrOnden lässt (Peano-Axiome) wird hier nicht themati
siert.
Des Weiteren werden wir den im ersten Kapitel auftauchenden Begriff der
Relation sowie Eigenschaften von Relationen nicht gesondert behandeln. Den
meisten werden verschiedene Relationen (z.B. die Kleinerrelation) bekannt
sein, ebenso wie Eigenschaften (z.B. transitiv, symmetrisch), die man an
Relationen zu untersuchen pflegt. Den übrigen versichern wir, dass sie an den
fraglichen Stellen "ad hoc" verstehen werden, was gemeint ist, auch ohne
systematische Vorkenntnisse zu diesem Begriff.
Gewisse Grundkenntnisse über algebraische Strukturen werden wir als be
kannt voraussetzen. Sicher sind Sie dem Begriff Gruppe schon mehrfach
begegnet, auch sollte Ihnen klar sein, was eine kommutative Gruppe ist. Etwa
die Menge der ganzen Zahlen zusanunen mit der Addition ist eine kommuta
tive Gruppe. Aber auch hier gilt: Da, wo diese Begriffe auftauchen (Kapitel
über Restklassen), werden sie an Ort und Stelle - soweit filr das Verständnis
nötig - geklärt. Für den genannten Gruppenbegriff geschieht dies etwa in
KapitelS.
