Lehrbuch der Technischen Mechanik - Statik: Grundlagen und Anwendungen

460 Pages·2012·35.18 MB·German

by  Rolf Mahnken (auth.)

Springer-Lehrbuch
Rolf Mahnken
Lehrbuch der
Technischen Mechanik –
Statik
Grundlagen und Anwendungen
123
Prof.Dr.-Ing.RolfMahnken,M.Sc.
UniversitätPaderborn
FakultätfürMaschinenbau
LehrstuhlfürTechnischeMechanik
WarburgerStraße100
33098Paderborn
Deutschland
[email protected]
ISBN 978-3-642-21710-4 e-ISBN 978-3-642-21711-1
DOI 10.1007/978-3-642-21711-1
SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork
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Vorwort
DieStatikistdieLehrevomGleichgewicht vonKörpern, dieunterdem EinflußvonKräften
stehen. Dabei denkt man zunächst an ruhende Körper - so wie die Baumeister der An-
tike, die bei der Errichtung monumentaler Gebäude großen Herausforderungen gegenüber-
standen. Während damals die Bauausführungen vorwiegend auf Erfahrungen beruhten, sind
im heutigen Ingenieuralltag außerdem zuverlässige und effiziente Berechnungsverfahren
unerlässlich. Damit wird es möglich, immer höhere Gebäude und Brücken mit immer
weiteren Spannweiten zu bauen. Jedoch weisen uns aktuelle Nachrichten, etwa über ein-
sturzgefährdete Brücken und U-Bahnbaustellen oder auf Grund von Eis- und Schneelast
umgestürzte Strommasten und Eissporthallen, immerwieder auf das Gefahrenpotenzial von
Ingenieurkonstruktionen hin.
Berücksichtigt man, dass sich nicht nur ruhende, sondern auch nicht beschleunigte Kör-
perimGleichgewicht befinden, dannsinddieAngabedesÜbersetzungsverhältnisses fürein
PKW-GetriebeoderdieBerechnungvonKräfteninZahnradgetriebenbeikonstanterDrehge-
schwindigkeit ebenfalls Fragestellungen, die mit Methoden der Statik beantwortet werden
können.
Für Studierende vieler Ingenieurbereiche ist eine eingehende Beschäftigung mit der
Statik also von grundsätzlicher Bedeutung, um auch im späteren Berufsleben den An-
forderungen an sichere Bauten und Maschinen unter wirtschaftlichen Rahmenbedingungen
gerecht zu werden. Das vorliegende Buch richtet sich somit vorrangig an Studentinnen und
Studenten der Fachrichtungen Maschinenbau, Bauingenieurwesen, Geologie, Elektrotech-
nik,Wirtschaftsingenieurwesen,Technomathematik,Ingenieurinformatik,Mechatronik,Ver-
fahrenstechnik und Lehramt sowie an Ingenieure in der beruflichen Praxis. Entsprechend
wird die Statik starrer Körper umfassend behandelt. Zum Verständnis des Buches werden
KenntnisseüberPhysikundMathematikaufAbiturniveau vorausgesetzt.
Das Buch ist aus gleichnamigen Vorlesungen entstanden, die der Autor in den Win-
tersemestern 1997/98 und 1998/99 an der Universität Hannover für Studenten des Bauinge-
nieurwesensgehaltenhatundseitdemWintersemester2004/05anderUniversitätPaderborn
für Studenten des Maschinenbaus und des Wirtschaftsingenieurwesens hält. Dabei wurden
und werden auch weiterhin die unterschiedlichen fachlichen Schwerpunkte der verschiede-
nen Hörerkreise berücksichtigt. Sie sind in dieses Buch eingegangen und tragen zu der um-
fassenden Darstellung derStatikstarrerKörperbei.
Besonders bedanken möchte ich mich bei ehemaligen und jetzigen Mitarbeitern des
LehrstuhlsfürTechnischeMechanik,UniversitätPaderborn,Dr.-Ing.Franz-BartholdGockel,
Dr.-Ing. Stefan Wilmanns, Dipl.-Ing. Kim Sauerland, Dr.-Ing. Ismael Caylak, Dipl.-Ing.
Frederik Hankeln für die Unterstützung bei der Erstellung der Übungsaufgaben. Des Wei-
teren sei den Hilfsassistenten Martin Kage und Sebastian Heibel für die Bearbeitung der
ÜbungsaufgabensowieHerrnKohlstedtfürdieProgrammierungmitMATLABgedankt.Den
HilfsassistentenDominikStümpelundSimonMaikesowieHerrnKaiYangdankeichfürdie
sorgfältigeAnfertigungderanschaulichenAbbildungen.DemSpringerVerlagundinsbeson-
dereFrauEvaHestermann-Beyerle möchteichfürdieguteZusammenarbeitdanken.
Paderborn,imJuli2011 RolfMahnken
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ......................................................... 1
1.1 WasistMechanik? ................................................. 1
1.2 EinigeMeilensteine inderGeschichte derMechanik..................... 3
1.3 EinteilungderMechanik ............................................ 5
1.4 EinteilungundInhaltedesBuches .................................... 5
1.5 ZieledesBuches................................................... 8
TeilI GrundlagenderStatik
2 Grundbegriffe ..................................................... 13
2.1 DieNewtonscheKraft .............................................. 13
2.1.1 DefinitionBetrageinerKraft ................................... 13
2.1.2 DefinitiondesKraftvektors .................................... 15
2.1.3 Flächen-undVolumenkräfte ................................... 16
2.1.4 Lastermittlung fürIngenieurkonstruktionen. ...................... 17
2.1.5 Freischneiden undFreikörperbild ............................... 20
2.1.6 EinteilungvonKräften ........................................ 22
2.1.7 AufgabenzuAbschnitt2.1 .................................... 23
2.2 DerStarrkörper .................................................... 26
2.3 DerFreiheitsgrad einesKörpers ...................................... 26
2.4 Lager-undReaktionskräfte .......................................... 27
2.4.1 Allgemeines................................................. 27
2.4.2 LagerartenfürebeneSysteme .................................. 28
2.4.3 LagerartenfürräumlicheSysteme............................... 31
2.4.4 Zwischenlagerungen ......................................... 33
2.4.5 AufgabenzuAbschnitt2.4 .................................... 35
3 Axiome,GesetzeundIdealisierungen .................................. 37
3.1 DasGleichgewichtsaxiom zweierKräfteamStarrkörper.................. 37
3.2 Wechselwirkung zwischenzweiKräften:GesetzundAxiom .............. 40
3.3 DasAxiomvomKräfteparallelogramm ................................ 41
VIII Inhaltsverzeichnis
3.4 Gleichgewicht verschiedenartiger Kräfte ............................... 44
3.4.1 DasGravitationsgesetz vonNewtonfürzweiMassen .............. 44
3.4.2 DasCoulombscheGesetzfürzweielektrische Ladungen ........... 45
3.4.3 Kräfteaufstromdurchflossene Leiterimmagnetischen Feld ......... 47
3.4.4 DasHookescheGesetzfürSchraubenfedern ..................... 49
3.5 Statischäquivalente Kraftsysteme undGleichgewichtvonKraftsystemen ... 50
3.6 AnwendungderAxiomeaufidealisierte Körper......................... 51
3.7 AufgabenzuKapitel3 .............................................. 55
4 ZentraleKraftsystemeinderEbene ................................... 59
4.1 VomrealenSystemzumzentralen Kraftsystem ......................... 59
4.2 Zeichnerische LösungenderdreiGrundaufgaben........................ 60
4.2.1 ErsteGrundaufgabe: ReduktionaufeineEinzelkraft ............... 60
4.2.2 ZweiteGrundaufgabe: Gleichgewicht ........................... 62
4.2.3 PraktischeBerechnung vonzentralen Kraftsystemen ............... 64
4.2.4 GleichgewichtvondreiKräften................................. 68
4.2.5 DasSuperpositionsgesetz. ..................................... 70
4.2.6 DritteGrundaufgabe: ZerlegungeinerKraft ...................... 72
4.2.7 ZerlegungeinesKraftvektors inkartesischen Koordinaten .......... 73
4.2.8 AufgabenzuAbschnitt4.2 .................................... 75
4.3 Rechnerische LösungenderdreiGrundaufgaben ........................ 81
4.3.1 ErsteGrundaufgabe: ReduktionaufeineEinzelkraft ............... 81
4.3.2 ZweiteGrundaufgabe: Gleichgewicht ........................... 82
4.3.3 DritteGrundaufgabe: ZerlegungeinerKraft ...................... 84
4.3.4 DieSystemmatrix ............................................ 85
4.4 StatischeBestimmtheiteinesMassenpunktes inderEbene ................ 86
4.5 NumerischeMethoden fürGleichgewichtsaufgaben. ..................... 89
4.6 AufgabenzudenAbschnitten 4.3bis4.5 .............................. 91
5 NichtzentraleKraftsysteme inderEbene ............................... 95
5.1 VomrealenSystemzumnichtzentralen Kraftsystem ..................... 95
5.2 Reduktion vonzweiparallelen Kräften ................................ 96
5.3 DasKräftepaar unddessenMoment................................... 97
5.3.1 DefinitionenundGesetze ..................................... 97
5.3.2 ReduktionundGleichgewicht fürMomentevonKräftepaaren ....... 101
5.4 Parallelverschiebung einerKraft ..................................... 103
5.5 DaspolareMomenteinerKraft....................................... 103
5.6 AufgabenzudenAbschnitten 5.2bis5.5 .............................. 106
5.7 DiedreiGrundaufgaben derStarrkörperstatik. .......................... 109
5.7.1 ErsteGrundaufgabe: Reduktion ................................ 109
5.7.2 ZweiteGrundaufgabe: Gleichgewicht ........................... 114
5.7.3 Statischäquivalente Gleichgewichtsbedingungen fürdenStarrkörper . 116
5.7.4 DritteGrundaufgabe: ZerlegungeinerKraft ...................... 118
5.7.5 DieSystemmatrix ............................................ 120
Inhaltsverzeichnis IX
5.8 StatischeBestimmtheiteinesStarrkörpers inderEbene................... 121
5.9 AufgabenzudenAbschnitten 5.7und5.8 ............................. 126
6 Kraftsysteme imRaum .............................................. 131
6.1 Darstellung vonKraftvektoren inkartesischen Koordinaten ............... 131
6.2 ZentraleKraftsysteme imRaum ...................................... 132
6.2.1 ErsteGrundaufgabe: ReduktionaufeineEinzelkraft ............... 132
6.2.2 ZweiteGrundaufgabe: Gleichgewicht ........................... 134
6.2.3 DritteGrundaufgabe: ZerlegungeinerKraft ...................... 136
6.2.4 StatischeBestimmtheiteinesMassenpunktes imRaum ............ 137
6.2.5 AufgabenzuAbschnitt6.2 .................................... 137
6.3 Nichtzentrale Kraftsysteme imRaum.................................. 139
6.3.1 DerMomentenvektor einesKräftepaares ......................... 139
6.3.2 Parallelverschiebung einerKraft ................................ 141
6.3.3 DerpolareMomentenvektor einerKraft.......................... 142
6.3.4 DeraxialeMomentenvektor einerKraft .......................... 145
6.3.5 AufgabenzudenAbschnitten 6.3.1bis6.3.4 ..................... 147
6.3.6 ErsteGrundaufgabe: Reduktion ................................ 148
6.3.7 ZweiteGrundaufgabe: Gleichgewicht ........................... 152
6.3.8 Statischäquivalente Gleichgewichtsbedingungen .................. 152
6.3.9 DritteGrundaufgabe: ZerlegungeinerKraft ...................... 154
6.3.10 StatischeBestimmtheiteinesStarrkörpers imRaum ............... 155
6.3.11 AufgabenzudenAbschnitten 6.3.6bis6.3.10 .................... 158
7 KinematikdesStarrkörpersinderEbene .............................. 161
7.1 DiefiniteebeneBewegungeinesKörpers .............................. 161
7.2 DieinfinitesimaleebeneBewegungeinesKörpers ....................... 162
7.3 DreiGrundaufgaben derStarrkörperkinematik .......................... 164
7.3.1 ErsteGrundaufgabe: Verschiebungen einesStarrkörpers ermitteln.... 164
7.3.2 ZweiteGrundaufgabe: MomentanpoleinesStarrkörpers ermitteln.... 166
7.3.3 DritteGrundaufgabe: Polplaneinesmehrteiligen Systemsermitteln .. 169
7.4 Verschiebungen vonPunkteninkartesischen Koordinaten ................ 172
7.5 KinematischeBestimmtheiteinesStarrkörpers inderEbene............... 173
7.6 Statischeundkinematische BestimmtheiteinesStarrkörpers inderEbene ... 175
7.7 AufgabenzuKapitel7 .............................................. 176
TeilII AnwendungenderStatik
8 Schwerpunkte...................................................... 183
8.1 DerSchwerpunkteinerKörpergruppe ................................. 183
8.1.1 DefinitionundBerechnung .................................... 183
8.1.2 AufgabenzuAbschnitt8.1..................................... 186
8.2 DerSchwerpunkteinesinhomogenen Körpers .......................... 187
X Inhaltsverzeichnis
8.3 Geometrische Mittelpunkte fürVolumina, FlächenundLinien............. 188
8.3.1 Volumenmittelpunkte ......................................... 188
8.3.2 Flächenmittelpunkte .......................................... 188
8.3.3 Linienmittelpunkte ........................................... 190
8.4 Praktische AuswertungderIntegrale .................................. 191
8.5 DieResultierende vonStreckenlasten. ................................. 202
8.6 Geometrische Mittelpunkte fürzusammengesetzte Körper ................ 204
8.7 AufgabenzudenAbschnitten 8.2bis8.6 .............................. 213
8.8 DiezweiRegelnvonPappus-Guldin .................................. 218
8.8.1 HerleitungderRegeln ........................................ 218
8.8.2 AufgabenzuAbschnitt8.8..................................... 220
9 GleichgewichtvonBalkentragwerken.................................. 223
9.1 Einteilung vonTragwerkenundstatische Systeme ....................... 223
9.2 Praktische Berechnung vonGleichgewicht fürTragwerke................. 224
9.3 Einteilige TragwerkeinderEbene .................................... 224
9.3.1 StatischeBestimmtheitundGleichgewicht ....................... 224
9.3.2 AufgabenzuAbschnitt9.3 .................................... 232
9.4 Mehrteilige Tragwerke ............................................. 236
9.4.1 StatischeBestimmtheitundGleichgewicht ....................... 236
9.4.2 Dreigelenkbogen............................................. 239
9.4.3 Gelenkbalken (Gerberträger) ................................... 242
9.4.4 AufgabenzuAbschnitt9.4 .................................... 246
9.5 Einteilige TragwerkeimRaum ....................................... 250
9.5.1 StatischeBestimmtheitundGleichgewicht ....................... 250
9.5.2 AufgabenzuAbschnitt9.5 .................................... 252
10 GleichgewichtvonFachwerken ....................................... 255
10.1 Grundlagen undEinteilungen ........................................ 255
10.2 Idealisierungen undRegelnfürdasidealeFachwerk ..................... 258
10.3 StatischeBestimmtheitvonFachwerken ............................... 259
10.4 DiedreiBildungsgesetze ............................................ 263
10.5 Praktische Berechnung vonStabkräften................................ 266
10.5.1 Nullstäbe ................................................... 266
10.5.2 DasKnotenpunktverfahren: Grundgedanke ....................... 267
10.5.3 Daszeichnerische Knotenpunktverfahren ........................ 268
10.5.4 Dasrechnerische Knotenpunktverfahren ......................... 270
10.5.5 Dasnumerische Knotenpunktverfahren .......................... 271
10.5.6 DasRitterscheSchnittverfahren ................................ 277
10.6 AufgabenzuKapitel10 ............................................. 278
Inhaltsverzeichnis XI
11 WerkzeugeundMaschinen........................................... 283
11.1 Begriffe .......................................................... 283
11.2 KinematischeUntersuchungen fürBewegungs-undRuhezustand .......... 284
11.3 Gleichgewichtanverschieblichen SystemenmitHaltekraftgrößen. ......... 286
11.4 Kraft-undWegübertragung inHebeln ................................. 290
11.5 Momenten-undDrehwinkelübertragungen inGetrieben .................. 297
11.5.1 Übertragungsfaktoren inruhenden Systemen ..................... 297
11.5.2 Momentenwandlung, DrehzahlundÜbersetzung inbewegtenSystemen299
11.5.3 Übertragung vonKräfte-undBewegungsgrößen inRadpaaren....... 303
11.5.4 MehrstufigeGetriebe ......................................... 308
11.6 Kraft-undWegübertragung inFlaschenzügen........................... 311
11.7 KräfteinZahnradgetrieben .......................................... 316
11.7.1 Allgemeines................................................. 316
11.7.2 DieZahnradkraft............................................. 316
11.8 AufgabenzuKapitel11 ............................................ 323
12 Schnittgrößen...................................................... 331
12.1 DefinitionvonSchnittgrößen......................................... 331
12.2 Gleichgewichtsmethode füreinteilige Balkentragwerke................... 333
12.3 ZusammenhangzwischenBelastungen undSchnittgrößen ................ 337
12.4 PraktischeBerechnung vonSchnittgrößen ............................. 339
12.5 BerechnenderSchnittgrößen durchLösenderDifferenzialgleichungen ..... 350
12.6 Schnittgrößen inräumlichen Tragwerken............................... 354
12.7 Schnittgrößen inWerkzeugen undMaschinen........................... 357
12.8 AufgabenzuKapitel12 ............................................ 361
13 Reibung........................................................... 367
13.1 Grundlagen zurReibung ............................................ 367
13.2 Reibungsgesetze fürHaft-undGleitreibung ............................ 369
13.2.1 VierZuständeeinesKörpersbeiReibung ........................ 369
13.2.2 Haftreibung fürGleichgewichtimZustandI ...................... 370
13.2.3 DasHaftreibungsgesetz imGrenzzustand II ...................... 371
13.2.4 Diebeschleunigte BewegungimZustandIII ...................... 372
13.2.5 DasGleitreibungsgesetz imZustandIVmitgleichförmiger Bewegung 372
13.3 PraktischeBerechnung vonSystemenmitReibung ...................... 373
13.4 Haftreibungswinkel, Haftreibungskegel undSelbsthemmung .............. 376
13.5 ReibunginKeilen.................................................. 379
13.6 ReibunginSchrauben undGewinden.................................. 381
13.6.1 SchraubenmitFlachgewinde................................... 381
13.6.2 SchraubenmitSpitzgewinde ................................... 383
13.6.3 SchraubenmitVorspannkraft. .................................. 385
13.7 Seilreibung........................................................ 386
13.8 Wirkungsgrad fürallgemeineReibungsverluste ......................... 390
13.9 AufgabenzuKapitel13 ............................................ 391
XII Inhaltsverzeichnis
14 Arbeit,PotenzialundStabilität ....................................... 399
14.1 DieArbeiteinerKraftentlang einerBahn .............................. 399
14.1.1 Vorbetrachtungen zumArbeitsbegriff............................ 399
14.1.2 Berechnung derArbeitimallgemeinen Fall....................... 400
14.1.3 DasArbeitsdifferenzial inkartesischen Koordinaten ............... 402
14.1.4 ArbeitbeieinerKreisbewegung ................................ 404
14.1.5 AufgabenzuAbschnitt14.1.................................... 405
14.2 DasPrinzipdervirtuellen Arbeit...................................... 407
14.2.1 Definitionendervirtuellen ArbeitenvonKräftenundMomenten ..... 407
14.2.2 HerleitungdesPrinzipsdervirtuellen Arbeit...................... 408
14.2.3 PraktischeBerechnung vonSystemenmiteinemFreiheitsgrad....... 410
14.2.4 Berechnung vonHaltekräften inverschieblichen Systemen.......... 411
14.2.5 Festlegungeinzelner Systemparameter fürGleichgewicht........... 413
14.2.6 ErmittlungvonGleichgewichtslagen beiverschieblichen Systemen... 413
14.2.7 Berechnung vonKraftgrößen instatisch bestimmtenSystemen ...... 414
14.2.8 VariationelleVerschiebungenfürSystememitmehrerenFreiheitsgraden420
14.2.9 AufgabenzuAbschnitt14.2 ................................... 423
14.3 Potenzialkräfte .................................................... 424
14.3.1 Wegunabhängigkeit vonGewichts-undFederkräften. .............. 424
14.3.2 Potenzialfunktionen fürGewichts-undFederkräfte ................ 426
14.3.3 DasP.d.v.AfürstarreKörpermitPotenzialkräften ................. 427
14.4 StabilitätvonGleichgewichtslagen. ................................... 430
14.4.1 Allgemeines................................................. 430
14.4.2 StabilitätvonPotenzialsystemen................................ 431
14.4.3 Praktische Untersuchung der Stabilität von Systemen mit einem
Freiheitsgrad ................................................ 432
14.4.4 AufgabenzuAbschnitt14.4.................................... 436
15 Anhang ........................................................... 437
A Einheiten ......................................................... 437
B Notwendigeundhinreichende Bedingungen inderStatik ................. 437
C Grundlagen derVektorrechnung ...................................... 438
C.1 Rechenoperationen ........................................... 439
C.2 Vektorbasis undBasisdarstellung vonVektoren ................... 441
D Grundlagen derMatrixrechnung ...................................... 442
E AnhangzuKraftsystemen inderEbene ................................ 444
E.1 BeweisdesReduktionsgesetzes (5.9)fürDrehmomenteinderEbene . 444
E.2 BeweisderGleichgewichtsbedingungen (5.10)fürDrehmomente in
derEbene .................................................. 444
E.3 Beweisderstatischäquivalenten Gleichgewichtsbedingungen (5.27) . 445
F AnhangzuKraftsystemen imRaum................................... 446
F.1 BeweisdesVerschiebungsgesetzes (6.18.1)fürDrehmomentenvektoren446
F.2 BeweisdesReduktionsgesetzes (6.18.2)fürDrehmomentenvektoren . 446
F.3 BeweisezudenRegeln(6.29)desaxialenMomentenvektors ........ 447