Lehrbuch der Mathematik für Realanstalten: Oberstufe der Geometrie

297 Pages·1913·14.93 MB·German

by  Prof. Wilhelm Bauer

Lehrbuch der Mathematik
für Realanftalten
~earbeitet von
~rof. ~U~dm ~Quer unh ~rof. ~rid) u. 5)Qn~(eben
Ober(e~m am 9lealg~mna!lum 3U <!:aflel. ~irektor ber 9lealidJule 3U <!:aflel.
ber <ßeometrie.
~berftufe
9Jlit 187 3um 5!eil farbigen 5'iguren.
<bmb ']-(
S.pring~r jFac~m~~i~n m~ba~~n
1 9 1 3.
ISBN 978-3-663-06370-4 ISBN 978-3-663-07283-6 (eBook)
DOI 10-1007/978-3-663-07283-6
~Ue 9tedjte,
namentHdj baß 9tedjt ber Überfeiung in ftembe Eillradjen, tJorbe~alten.
Copyright, 1913, by Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, Germany 1913
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1913
rw rt.
~ 0 0
$Der vorIiegenbe .sEanb entljält ben gefamten geometrifdjen 1Stoff
für Me Dberflaffen ber mealanftalten. ~infidjtIidj ber aUgemeinen
@runbfäte, nadj benen er bearbeitet wurbe, verweifen wir auf ba~
morwort öll .sEanb I unb II ber Unterftufe.
$Die mOriibungen in ber ~tißouomehie, Me vieUeidjt mandjem
~adjgeno1fen öu umfangreidj erfdjeinen, foUen ben ISdjüler fo weit
förbetn, bab er bie mbleitung ber bie ja inljaltlidj mit ber
~ormeln,
betreffenben morübung übereinftimmt, felbftänbig finben fann. mieUeidjt
fällt e~ auf, bab trot) ber meformvorfdjläge fo öaljIteidje $DreieCf~~
aufgaben, § 28, 29, 30 unb 31, gebradjt werben. $Dief e finb aber
unfere~ ~radjten~ ein au~ge~eidjneter Übung~ftoff, öumal wenn man
iljre ~rgebniH e lllanimetdf dj beutet.
$Die mbleitung ber ~eteomettird.ieu ~ormeIn weidjt völlig von ber
fonft üblidjen ab. ~abt man nur Me erften ~ormeIn in~ muge, fo füljrt
ber @runbfat be~ ~avalied öweifeUo~ leidjter unb rafdjer öum 3ieL
3u einem anberen ~rgebni~ aber fommt man, wenn man bie @efamtljeit
ber ftereometdfdjen Snljalt~formeln betracf)tet unb bie .sEuntfdjeCfigfeit
ber gebräudjHdjen mit ber ~inljeitIidjfeit ber ljier burdjgefü~rten ~b:::
leitungen vergleidjt. tritt bie einen baburdj öu
~erner ID1et~obe, ~ert
beftimmen, bab man iljn von beiben lSeiten eingrenöt, ljier nodj beut:::
lidjer öutage al~ bei ber .sEeredjnung ber 3aljl TC, $Diefe vertiefte ~r:::
fenntni~ be~ ~efen~ ber von mrdjimebe~ fo meiftedidj geljanbljabten
~bljauftion~metljobe fowie bie ~infüljrung in bie grunbIegenben @e:::
banfen ber flläter öu beljanbelnben Snfinitefimalredjnung bebeuten
unfere~ ~radjten~ einen wefentHdjen @ewinn für ba~ matljematifdje
$Denfen be~ ISdjüler~.
$Die r.,~ätird.ie ~tißouomettie wurbe au~füljrlidjer beljanbeIt, aI~
e~ nadj ben Eeljrlllänen notwenMg war. ~enngreidj bie ~ntwiCfelung
IV )BOl:ll101:t.
ber iYormeln ber fpljärifdjen :trigonometrie ben entfpredjenben me:::
tradjtungen in ber ebenen :trigonometrie fo uerwanbt ift, bab fie faft
aI~ m.\ieberljolung gelten fann, fo bereitet bodj anbererfeit~ iljre ~n:::
w enb un 9 befanntermaben grobe eldjwierigfeit. m.\ir ljoffen baljer, ben
~erren Sl'ollegen mit ber au~füljrIidjen meljanbfung biefe~ @ebiete~
unb mit ben aaljlreidjen iYiguren au~ ber aftronomifdjen @eograpljie
einen wiIIfommenen ~ienft erwiefen 3u ljaoen.
~ie 4U4Ct)tifdje ~eoUtdtie ift meift in iYorm uon ~ufgaoen oe:::
ljanbeIt, um ben eldjüler aur feI6ftänbigen Böfung audj ber ~OIeitungen
anauregen. ~ie planimetrifdjen metradjtungen bei ben Sl'egelfdjnitten
fönnen, wenn bie Seit mangelt, leidjt übergangen werben, ba fie in
ft)ftematifd)er meljanbfung in bem für bie ~rima 6eftimmten (hgänaung~:::
banbe wieberfeljren, ber neben ber ~ifferentiaI::: unb Sntegralredjnung
unb ber barftellenben @eometrie nud) bie ftJntljetifdje @eometrie ber
Sl'egelf djnitte entljäft.
~uf bie in § 59 (geometrifdje Üder) beljanbelte ~ufgabe ber ~rei:::
teilung be~ m.\infeI~ bürfen wir uielleidjt bie ~ufmerffamfeit ber Sl'ollegen
fenfen.
iYür Me uortrefffidje ~u~ftattung be~ mudje~, bie aud) bie~maI
fidjet biefellie rüljmenbe ~nerfennung finben wirb wie bi~ljet, fpredjen
wit bem merInge unferen Iiefonberen ~anf au~.
(EaffeI, im Wl-äq 1913.
~. ~4uer. ~. VOU ~4udebeu.
{irfter i:eil: ~r4uimdde.
l%rfte~ ~apiteI: ~ie :trauß\lerfaleu eiueß ~reiecfß.
Sette
§ 1. :i)ie 2e~rfäte be~ lDleneIau~ unb be~ ij;eua . . . . . . . 1
§ 2. :i)er 6at be~ $a~caI . . . . . . . . . . . . . ..... . 6
Bweite~ ~apitel: ~armouifdie 'uufte uub ~Ilrmouifd!e Strll~leu.
§ 3. ~armonifdJe $unfte ................... . 7
§ 4. S!onfttuftion ~armonifdJer $unfte unb ~armonifdJer 6tra~len . 10
§ 5. SHllgemeine 2e~rfäte über ~armonifdJe 6tta~len 13
§ 6. 2e~rfäte über befonbere ljarmonifdJe 6tra~Ien . . . . 14
§ 7. :i)a~ uon ftänbige mierf eU . . . . . . . . . . . . . . 16
:i)ritteß S!apitel: ~ie 'oteualiuieu.
§ 8. :i)ie $otena in beaug auf ci ne n !!teiß . 18
§ 9. :i)ie $otenalinie aweier ~eif e . . . . . . . . . . . . 20
§ 10. :i)er $otenapunft breier Sfreif e. . . . . . . . . . . . 24
miertel Sfapitel: ~~ulidifeitß,uufte uub ~~ulidJreitßlldifeu.
§ 11. :i)ie ~~nlidJreitIIage unb bie ~l)nlidJreit~punrte . . . . . . . . 25
*§ 12. SHnwenbung ber ~l)nUdJfeitßIe~re auf metfwürbige Illunrte belS :i)teiedl 28
§ 13. :i)ie ~l)nlidJfeitlSadJfe ä~nlidJer mielede. . . . . . . . . . . . 29
§ 14. :i)ie ~~nlidJfeitlSpunfte unb bie ~~nlidJfeitlSadJfen uon ~eifen . 31
~ünftelS ~apitel: 'ol uub 'oIllre.
§ 15. :i)ie $oIare alß geometrif dJer ,ort. . . 32
§ 16. Slonfttuftion ber $oIare unb Illolbreied 34
§ 17. lDlel)rere $oIaren . . . . . . 35
§ 18. :i)rei :tangenten eine!5 streif e~ . 38
§ 19. 15at bel 18riandjon. . . . . 40
.8ttleiter i:eil: irlgouometrle (ijorlfetlung).
~ünftd Rapitel: aJouiometrie.
§ 24. :i)ie ~nrtionen ber \!iumme, baw. ber :i)ifferena 3weier m!infel 41
§ 25. :i)ie etlmme unb bie :i)ifferena aweier @;jnu!5=:, baw. S!oftnu~funftionen. 44
§ 26. :i)te lDloIlweibefdjen @letLtungen unb ber :tangenlfat ....... 45
VI
6ed)fte~ ~apitel: ~reierftlllufglliieu. @leite
§ 27. lmet~oben aur trigonometrifd)en 2öfunA von :2)reied~aufgaben 46
§ 28. 2lufgaben aur @:inübung ber geometrif d)en illIet~obe 50
§ 2!:J. :2)er ~nfrei~ unb bie 2lnfreife. . . . . 51
§ 30. 2lufgaben aur @:inübung ber r-lmet~obe . . . . . . 54
§ 31. IBermif d)te 2lufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 56
6i e ben t e~ ~apitel: 6dJluierigere )ßiererf~allfgaliell.
§ 32. :2)a~ ~araUelogramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 33. :2)a~ :trapea unb baß 6e~nenviered . . . . . . . . . . . . 58
§ 34. :2)a~' beliebige miered. (5elbmellaufgaben üDer ba~ miered!) 60
;I) ritt er %eH: g;fereometde.
@:rfte~ ~apitel: (3jerabeu uub C5!lieueu im ffiallm.
§ 1. :2)ie 2age von @eraben unb @:benen im ffiaum . 63
§ 2. :2)ie @:bene unb eine 6enfred)te . . . 64
§ 3. :2)ie @:bene unb me~rere 6enfred)ten . 66
I. lBered)nungen . . . . . . . . 66
11. 6tereometrifd)e ~onftruftionen 67
3meite~ ~apiter. 91eigllugtllUiufel.
§ 4. :2)er 9Ieigung~minfel einer @eraben mit einer @:bene 67
§ 5. :2)et 9Ieigungi3minfel ameiet @:nenen . 70
I. 6teteometrifd)e ~onfttuftionen . . . . . . . 71
H. lBeted)nungen . . . . . . . . . . . . . . . 71
:2)titte~ ~apitel: ~ri~mll ullb B~fiuber, ~lJrllmibe uub stege1.
§ 6. :llet ~t)ramibenftumpf unb ber ~egelftumpf 72
1. :2)et ~t)ramibenftumpf 72
H. :2)et ~egelitumpf. . . 73
§ 7. 6d)mietigere 2lufgaben . . . 74
I. ~ti~ma unb 3t)linbet 74
11. ~t)tamibe unb .Regel . 76
III. ~t)ramibenftumpf unb Siegelftumpf 78
mierte~ ~apitel: ~ie ~ugel.
§ 8. :llefinitionen unb 2e~rf äte . . . . . 80
§ 9. .Ronfttuftion~aufgaben . . . . . . . 82
§ 10. 2lu~meffung bet Siuge[ unh i~ter :teile 83
§ 11. 2lufgaben ünet bie ~gel . . . . . . . 85
~ünfte~ .Rapitel: ~ie ~ie1fllldJe.
§ 12. 6at von @:ulet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§ 13. 2lnmenhung be~ @:ulerfd)en 6ateß auf regelmällige IBielflad)e 91
§ 14. 2e~rfat über bie regelmäfligen $ietf{adje 94
§ 15. 2lufgalJen übet tegelmäflige mielf{adje . . . . . . . . . . . . 95
VII
~Hettet Xeil: ~,Oiirlrd)e irlßOnometfie.
(irfteß RaptteI: ~ie ~rfe.
Seite
§ 1. ~te ~dl/itung ber breifeitigen ~tfe . 96
§ 2. 2eljrfäte non ber breifeitigen ~tfe . . 97
§ 3. ~e ~rg/in3ungßetfe unb bie jßolaretfe 100
§ 4. ~te n -fe itige ~tfe. . . . . . 101
Bttletteß Slapitel: 15,,~ärifdie ~rißonoUletrie.
§ 5. ~dlärungenj ber f:pgärifdje $llbftanb unb ba13 f:pgärifdje Bttleietf 102
§ 6. Bufammenljang 3roifdjen bem f:pgärifdjen ~reietf unb bem ebenen ~teietf 106
§ 7. ilie @runbformeln für ba13 redjtroinflige fpgärifdje ilteietf. 107
§ 8. ~eredjnung beß redjtroinfIigen fpgärifdjen ~reietfß . . . . . .. 109
§ 9. ~er E5inU13fat unb bie Slofinußf/ite. . . . . . . . . . . . . . . 110
§ 10. ~er t)albroinfelfat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§ 11. ~ie ~eIambrefdjen @Ieidjungen unb Me !Jteperfdjen $llnalogien 113
§ 12. ~ie @runbaufgaben bel:l fdjtefroinfItgen ilreietf13. . . . . . . . . 115
~rttte13 Slapitel: ~ufß4lien 4Uß lIer mat~em4tifdien <»eoßr4,,~ie.
§ 13. 2ängenmabe unb geogra:pgifdje Sloorbinaten 116
§ 14. ~a13 redjtroinflige ~reietf 118
........
§ 15. ~a13 fd jiefroinfUge ~reietf . 122
mierteß Ra:piteI: Vlufß4lien 4Uß lIer $llftronomie.
§ 16. ~ie )IDeIt, ber t)immeI unb ber t)oriaont. . . . . . . . . 126
§ 17. ~ie )IDeItadjfe, bie t)immel13pole unb ber t)immelßäquator
ober bie fdjeinbare ~eroegung ber ~i,fterne . . . . . . 128
§ 18. ~ie fdjeinbare tägItdje ~eroegung ber E50nne . . . . 130
§ 19. ~te fdjetnbare jägrIidje ~eroegung ber E5onne. . . . 133
§ 20. ~aß ptolemäifdje unb ba13 fopernifanifdje )IDeItftJftem 136
§ 21. Beitmabe ............... 138
§ 22. ~te aftronomifdjen Sloorbinatenft)fteme . . . . . 141
§ 23. ~aß redjtroinfIige ~teietf . .......... 142
I. ilaß ~reietf ift am !Jtorbpunft redjtroinflig 142
11. ~aß ~eietf tft am jßoI redjttninfItg . 144
III. ~a13 ~reietf tft am Benit reC(Jttninflig 145
§ 24. $llufgaben über baß nautifC(Je ~reietf . 146
§ 25. ~aß aftronomifdje ~teietf . . 149
I. lltedjttninflige ~reietfe . 149
11. E5C(JieftntnfIige ~reietfe 150
§ 26. mermifdjte $llufgaben . . . . 151
I. llteC(JtroinfIige ~etetfe . 151
II. E5djiefroinfIige ~reietfe 152
vm
~ünfter :teil: ,"u4Ct)tifdje feometde bn ~6eue.
lfi:rfteß Rapitel: 'uult uub QJefabe.
Seite
§ 1. ller $egriff ber Roorbinaten. . . . 154
§ 2. Bänge unb !lücttung einer Streife . 155
§ 3. ller ~alliierung"punlt einer Streife 157
§ 4. ller ~äct~nin~alt eine" 1lreielf". 158
§ 5. llie @leictung einer Ruttle. . . . 159
§ 6. llie @leictungen ber @eraben . . 160
§ 7. S1lufgalien filier bie @erabe. . . . 162
§ 8. ller Sd}nittpunft ameier @eraben 165
§ 9. ller m!infeI ameier @eraben . . . 166
§ 10. ller S1lliftanb eine" !j3unfteß non einer @etaben 168
§ 11. IIJermifd}te S1lufgalien . . . . . . . . . . . . 170
.8meite" RapiteI: ~ef Sheitl.
§ 12. @leictungen be" ~eifeß. . 172
1. IDHtteIpunft"gIeictung 173
11. S1lUgemeine @Ieictung 173
§ 13. S1lufgalien filiet ben ~ei" . 174
§ 14. llet ~ei" unb eine @etabe 176
§ 15. llie Xangente unb bie !normale beß ~eifeß. 178
§ 16. Sulitangente, Sulinormale, Xangente, !normale . 181
§ 17. Xangenten non einem !j3unft an einen ~eiß . . 182
lltitteß RapiteI: ~ie 'afaliel.
§ 18. llefinition unb ftonftruftionen bet !j311talieI . . 184
§ 19. llie Sd}eitelgleictung bet !j3ataliel . . . . . . 186
§ 20. llte !j3ataliel unb eine @etabe . . . . . . . . 188
§ 21. llie !j3ataliel um eine !j3ataUele aur X -S1lctfe . 191
§ 22. llie Xangente um Me !normale bet !j311talieI . 193
§ 23. llie Bage einet Xangente tn beaug auf ben auge~ötigen }8tennftra~l,
auf ben auge~örigen Beitftt~I unb auf bie ceicteiteItangente. 197
*§ 24. !j3Ianimetrifcte $etracttung ber !j3atabel unb i~ret Xangente . 198
§ 25. ller llutd}meffet bet 'araliel . . . . . 200
§ 26. 1lie Ouabratur ber !j3arabel . . . . . . 202
*§ 27. IDle~tete Xangenten ber !j3atabeI . . . . 204
§ 28. .8ufammenfteUung bet !j3atalielfotme1n . 206
IIJiette" Rapitel: ~ie <flli"fe.
§ 29. llefinition unb Sl'onftruftionen bet ~atpfe. . ... 207
§ 30. 1lie IDlitteIpunftßgleictung bet lfi:atpf e . . . . . . . 208
§ 31. 1lie OOipfe unb eine @etabe. . . . . . . . . . . 211
§ 32. llie planimetrifcte lleutung bet Xangentenbebingung 212
§ 33. llie Xangente unb bie !normale ber lfi:atpfe ..... 213
IX
Seite
*§ 34. Ißlanimetrifdje lBetradjtung her C§;llipfe . . 219
§ 35. SDie ~urdjmeff er her C§;llipf e . . . . . . . 221
§ 36. lBeredjnung he~ ~liidjeninljalt!l! einer C§;lIipfe 224
§ 37. illleljtere :tangenten her C§;utpf e . . . 226
§ 38. ,ßufammenftellung her <%llipfenformeln . . . 228
~ünfte~ Sfapitel: ~ie ~1J"erlier.
§ 39. ~efinition unh Sfonftruftionen her tltJperbel. 229
§ 40. SDie illltttelpunft!l!gIeidjung her tltJpetbel 230
§ 41. ~ie tltJperbel unh eine @erabe. . . 232
§ 42. ~ie tltJperbeI unh ein ~urdjmeffer. . . .. 233
§ 43. ~ie planimetrifdje ~eutung ber :tangentenbebingung 236
§ 44. ~ie :tangente unh hie 9lormale her tltJperbel . 237
*§ 45. Ißlanimetrtfdje lBetradjtung ber tltJperbel 240
§ 46. SDie ~urdjmeffer her tltJperbeI . . . . . 241
§ 47. illleljrere :tangenten her tltJperbel . . 243
§ 48. ,ßufammenftcIlung ber tltJperbelfllrmeln 246
(5 e dj ft e ~ Sf a p itel: lßol 1111'0 \l!olafe.
§ 49. ~ie Ißolare aBl geomettifdjer ,ort 247
§ 50. ~er Ißol einer @etahen . . . . 249
§ 51. 1kljrfiitie über Ißol unh Ißolare. . 250
(5iebente~ Sfapitel: I5tra~le1lliiifdjel 1111'0 Ißoteu3liuie.
§ 52. m:na1tJtifdje lBetradjtung be~ (5traf)Ienbüfdjel~ . . 251
§ 53. ~ie (§;ljorhale unb bie Ißotenalinie ilmeier ~eife . 256
I. ~ie (§;ljorhale . 256
11. ~ie Ißotenalinie . . . . . 256
m:djte~ Sfapitel:
;I:rauBformatiou beB SfoorbinatenflJftemB i $olarfoorbiuateu.
§ 54. >Begriff ber :tranflformation. IßaraIleluerfdjiebung . .. " 259
§ 55. :tran!l!formation burdj SDteljung be~ SloorhinatenftJftemfl. . . . 260
§ 56. :ttanflformation einefl redjtminfligen in ein fdjieftoinfHge!l! Sfoorbinaten~
ftJftem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
§ 57. Ißolatfootbinaten . . . . . . . . ., ....... 261
§ 58. m:ufgaben aur :tran~formation befl SloorhinatenftJftemfl 262
I. :tranflformation burdj IßaraIleluerfdjiebung . . . 262
11. :tran~formation burdj ~tef)ung; Übergang au einem fdJiefminf,
ligen (5tJftem . 264
III. Ißolatfoorbinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 268