Table Of ContentEmil Müller · Erwin Kruppa
Lehrbuch der
darstellenden
Geometrie
Sixth Edition
Lehrbuch der
darstellenden Geomelrie
von
Dr. Emil Miiller t
weiland o. o. Professor an der Technischen Hochschule in Wien
und
Dr. Erwin Kruppa
o. o. Professor an der Technischen Hochschule in Wien
S echste Auflage
Unverand8l'ter Neudruek der fiinften Auflage
Mit 375 Textabbildungen
Springer-Verlag Wien GmbH 1961
ISBN 978-3-211-80589-3 ISBN 978-3-7091-5847-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-7091-5847-0
AIle Rechte, insbesondere das der ttbersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten
Copyright 1948 by Springer-Verlag Wien
UrsprUnglich erschienen bei Springer-Verlag in Vienna 1948.
Aus dem Vorworl zur vierlen Auflage.
Das Lehrbuch der darstellenden Geometrie von Emil :afiiller erscheint
nun in gekiirzter und auch inhaltlich wesentlich umgearbeiteter Form als
neues Lehrbuch auf dem Biichermarkt. Durch Weglassen minderwich
tiger Einzelheiten, durch sachliche und stilistische Vereinfachungen
konnte der Umfang des Werkes stark herabgesetzt und Raum geschaffen
werden fiir eine Reihe von Erganzungen, wie Relie/perspektive, Land
kartenentw1lr/e, einige Anwendungsbeispiele aus dem l'1faschinenbau u. a. m.,
so daB nunmehr aIle Anwendungsgebiete beriicksichtigt sind. Weggelassen
wurde bloB ein groBeres Stoffgebiet, namlich die Lehre von den Licht
gleichen. Eine volIstandige Umarbeitung erfuhren die Theorie und die
konstruktive Behandlung der Kurven und Flachen. Das Operieren mit
"unendlichkleinen GroBen" und "unendlichbenachbarten Elementen"
wurde grundsatzlich ausgeschaltet und durch exakte Grenziibergange in
den Figuren ersetzt. Solche Gedankengange, die auf funktionalem Denken
anschaulich-geometrischer Pragung beruhen, scheinen mir padagogisch
besonders wertvolI zu sein. Das Lehrbuch stellt sich damit an die Seite
des Buches Darstellende Geometrie von J. Hj elmslev (Verlag B. G. Teubner,
Leipzig-Berlin 1914), unterscheidet sich jedoch von diesem dadurch, daB
es statt auf Satzen axiomatischen Charakters auf einer analytischen
Grundlage aufbaut. Die Behandlung der Flachenkriimmung (Satze von
Meusnier und Euler) diirfte im wesentlichen methodisch neu sein.
SchlieBlich sei hervorgehoben, daB die Bezeichnungsweise der allgemein
iiblichen angepaBt wurde.
Das Lehrbuch erscheint nunmehr in einem Band. . ..
Wien, im Feber 1936. Erwin Kruppa.
Vorworl zur liinlten Auflage.
Die durch den Ausgang des Krieges entstandenen auBergewohnlichen
Verhaltnisse haben mich gezwungen, den Verlag der notwendig gewordenen
neuen Auflage des Buches dem Springer-Verlag, Wien zu iibergeben.
Aus diesem AnlaB ist es mir ein Bediirfnis, dem Verlag B. G. Teubner,
Leipzig, der das Buch seit 1908 in vier Auflagen in entgegenkommender
und verstandnisvoller Weise auf den Biichermarkt gebracht hat, meinen
Dank auszusprechen.
IV
Die neue, erganzte, fiinfte Auflage des Lehrbuches ist in der Haupt.
sache ein photomechanischer Abdruck der vierten Auflage. Sie unter
scheidet sich aber von dieser, abgesehen von Druckfehlerberichtigungen,
durch einige Erganzungen. Der in der vierten Auflage in Nr. 124 behandelte
Stoff wurde durch wesentliche Erganzungen zu einem abgerundeten
Kapitel: "Geometrische Grundbegriffe der Photogrammetrie" ausgestaltet.
Die geometrischen Grundlagen der Photogrammetrie sind in der Haupt
sache ein Bestandteil der darstellenden Geometrie. Das neue Kapitel ist
als eine Vorschulung zum eingehenden Studium der Photogrammetrie
gedacht. - Ein Anhang enthalt Ergiinzungen zur Axonometrie: I. Kon
struktion eines Schriigrisses mittels des Einschneideverfahrens von L. Eck
hart, das dem technischen Zeichnen besonders gut entspricht, und II. Zur
Konstruktion des normalaxonometrischen Dreibeins fur die Verkurzungsverhiilt
nisse 1: 1/2: 1, eine Konstruktion*), die die Angaben des Normblattes
DIN 5 durch eine einfache und einfach zu merkende Konstruktion ersetzt.
Dem Springer-Verlag, Wien, danke ich fUr die entgegenkommende
Ubernahme des Buches und fUr die Erfiillung meiner Wiinsche bei der
Bearbeitung der neuen Auflage. Die durch die Erganzungen notwendig
gewordenen 15 neuen Figuren hat Herr F. Wrtilek ebenso meisterhaft
wie die Figuren der vierten Auflage gezeichnet.
Wien, im Juli 1948. Erwin Kruppa.
*) A. Praetorius, Z. a. Math. u. Mech. Bd. 25 bis 27, Heft 5/6, S. 173.
(Wiihrend der Drucklegung des Buches erschienen.)
Inhaltsverzeichnis.
Krster Teil.
Projektionen auf eine Bildebene.
Erstes Kapitel: Abbildung ebener Figuren.
Selta
1. Zentral- und Parallelprojektion; Fernpunkte .................... . 1
2. Teilverhii.ltnis und Doppelverhaltnis ............................ . 4
3. Harmonische Punkte und Strahlen; die harmonischen Eigenschaften
des vollstandigen Vierecks ..................................... . 7
4. Perspektive Kollineation (Zentralkollineation) und perspektive Affini-
tat in der Ebene ............................................. . 9
5. Allgemeine KolIineation und allgemeine Affinitat zwischen ebenen
Feldern ...................................................... . 15
Zweites Kapitel: Kurven. Flilehen und ihre Abbildung auf eine Ebene.
6. Die n-mal stetig differenzierbare ebene Kurve ................... 17
7. Regulare und singulare Punkte ebener Kurven .................. 20
8. Ebene algebraische Kurven... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
9. Krii.mmung ebener Kurven .................................... 27
10. Der momentane Bewegungszustand einer in ihrer Ebene bewegten
ebenen Figur ................................................. 31
ll. Gleiten und Rollen einer Kurventangente; Tangentialkurven; Traktrix,
Evolventen, Evolute........................................... 32
12. Kegel und ZyIinder; Abbildung ebener Kurven .................. 35
13. Raumkurven, Tangente, Schmiegebene, begleitendes Dreikant ..... 38
14. Kriimmung der Raumkurven................................... 41
15. Torsion, konische Kriimmung, singulare Punkte einer Raumkurve. 44
16. Projektionen von Raumkurven ................................. 46
17. Die Tangentenflache einer Raumkurve ......... _ . . . . . . . . . . . . . . .. 47
18. Krumme Flachen, Tangentialebene ................... "...... ..... 50
19. Algebraische Flachen und algebraische Raumkurvcn . . . . . . . . . . . . .. 56
20. Eigenschatten und Schlagschatten einer Flache; wahrer und schein-
barer Umrifl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
Drittes Kapitel: Kotierte Grundrisse und Seitenrisse (kotierte Projektion).
21. Abbildung des Punktes ........................................ 61
22. Abbildung der Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
23. Abbildung der Ebene.......................................... 66
24. Grundaufgaben ............................................... 67
25. Konstruktion einer StraBenausweichstelle an einem ebenen Hang.. 71
26. Seitenrisse ......... "........................................... 72
27. Dachausmittlungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74
28. Die Gelandeflache und ihre Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78
29. Konstruktionsaufgaben an einer Gelandeflache . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82
30. Boschungsflachen.............................................. 88
31. Aufgaben aus dem StraBenbau . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90
VI Inhaltsverzeichnis
Viertes Kapitel: Kurven, Kegel und ZyIinder zweiter Ordnung.
Sette
32. Die Ellipse als ebener Schnitt eines Drehzylinders und aIs Normalrill
des Kreises .................................................. . 93
33. Konjugierte Durchmesser einer Ellipse. Konstruktion der Achsen aus
konjugierten Durchmessern. N ormalenkonstruktion .............. . 97
34. Die Ellipse aIs affines Bild (SchragriIl) des Kreises .............. . 98
35. Losung von Aufgaben iiber die Ellipse mittels Affiniti.i.t ......... . 100
36. Ellipse, Hyperbel und Parabel als ebene Schnitte von Drehkegeln .. 101
37. Fokalkegelschnitte ............................................ . 104
38. Tangentenkonstruktionen an Kegelschnitten; Asymptoten eiIler
Hyperbel .................................................... . 105
39. Das Polarsystem der Kegelschnitte ............................. . 108
40. Erganzende Betrachtungen iiber die Hyperbel ................... . 110
41. Erganzende Betrachtungen iiber die Parabel .................... . 112
42. Die Kriimmungskreise der Kegelschnitte .....•................... 113
43. Kurven und Kegel 2. O. (analytisch) ........................... . 115
44. Projektionen der Kegel und Zylinder 2. O. und ihrer ebenen Schllitte. 118
45. Die Schnittkurve 4. O. zweier Kegel (Zylinder) 2. O. ............ . 121
46. Die Schnittkurve 3. O. zweier Kegel 2. 0., die eine Erzeugende gemeill-
sam haben .......................................o... .................... .. 126
47. Schattenkonstruktionen an Kegeln und Zylindern 2. 127
48. tJbungsaufgaben zum ersten Teil .............................. . 129
Zweiter Teil.
Zugeordnete Norma1risse. Krumme Flachen.
Erstes Kapitel: Zugeordnete Normalrisse (Grund- und AufriBverlahren).
49. Erlauterungen und Benennungen_ ............................... 131
50. Die Abbildung des Punktes .................................... 133
51. Die Abbildung del' Geraden und der Ebene ..................... 134
52. Seitenrisse.................................................... 135
53. Blickrichtung, Sichtbarkeit ..................................... 137
54. Die Anwendung von Seitenrissen ............................... 139
55. Drehungen ... ·................................................. 141
56. Das Weglassen der Rillachse ........................ : .......... 142
57. Das Ineinanderliegen (Inzidenz) von Punkten, Geraden und Ebeneu. 142
58. Die Grundaufgaben iiber Lagenbeziehungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 145
59. Schattenbestimmungen an ebenflachigen Korpern in zugeordlleten
N ormalrissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 147
60. Mallaufgaben ............................................... "... 153
61. Zugeordnete Normalrisse eines Kreises .. ' ........................ 157
62. Schattenkonstruktionen an Zylindern und Kegeln in zugeordnetell
Normalrissen .................................................. 158
63. Die Kugel; Grundaufgaben..................................... 163
64. Schattenkonstruktionen an der Kugel ........................... 166
65. Stichkappen .................................................. 168
Zweites Kapitel: Darstellende Geometrie besonderer Flichengattungen.
66. Drehflii.chen, Grundaufgaben .................................... 171
67. Ebene Schnitte und Durchdringungen von Drehfli.i.chen ........... 173
g8. Die Drehflii.chen 2. O. ......................................... 176
Inhal tsverzeichnis VII
Selto
69. Die Kreisringflache (Torus) ..................................... 179
70. Schattenkonstruktionen an Drehflachen .......................... 181
71. Der Normalumri1l einer Drehflache, deren Achse gegen die Bildebene
geneigt ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 186
72. Der NormalumrW einer Kreisringflache; Rohrflachen ............. 188
73. Graphische Flachen; Schaufelflache einer Turbine; Zirkularprojektion 190
74. Schraublinie und Schraubtorse .................................. 191
75. Die allgemeine Schraubflache ................................... 197
76. Regelschraubflachen ........................................... 201
77. Zyklische Schraubflachen ....................................... 204
78. Die allgemeinen Flachen 2. O. .................................. 205
79. "\Vindschiefe Regelflachen....................................... 211
Drittes Kapitel: Darstellende Geometrie der Fliichenkriimmung.
80. Das Rollen einer Geraden auf einer Raumkurve; das Rollen einer Ebene
auf einer Torse; Verebnung abwickelbarer Flachen ............... ·216
81. Das oskulierende Scheitelparaboloid eines Flachenpunktes . . . . . . . .. 222
82. Der Satz von Meusnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 224
83. Die Indikatrix; der Satz von Euler ............................. 226
84. Konstruktion der Tangenten in einem Doppelpunkt der Schnittkurve
zweier Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 230
85. Die Indikatrix in einem Punkt einer Drehflache ................. 234
86. Konjugierte Flachentangenten .................................. 236
87. Haupttangentenkurven, Krummungslinien ........................ 238
88. Ubungsaufgaben zum zweiten Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 240
Dri tter Teil.
Axonometrie. Perspektive. Photogrammetrie. Reliefperspektive.
Landkartenentwiirfe.
Erstes Kapitel: Schiele Axonometrie.
89. Der Lehrsab von Pohlke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 243
90. Schiefe und normale Axonometrie; Abbildung des Punktes und der
Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 246
91. Schiefaxonometrische Abbildung ebenflachiger Korper samt Schatten-
konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 249
92. Sonderfalle der Axonometrie .................................. 253
93. "iJber die subjektive Auffassung axonometrischer Bilder; Obersicht
und Untersicht ............................................... 256
94. Lagenaufgaben in Axonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .. 258
95. Ma.flaufgaben in schiefer Axonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 262
96. Losung schiefaxonometrischer Aufgaben durch Zuruckfuhrung auf
zugeordnete N ormalrisse ...................................... 266
97. Schiefaxonometrische Darstellung von Drehflachen .............. 268
Zweites Kapitel: Normale Axonometril.'.
98. Der NormalriJl eines rechtwinklig.gleichschenkligen Achsenkreuzes. 272
99. Normalaxonometrische Darstellung von Objekten, die durch zuge-
ordnete Normalrisse gegeben sind .............................. 276
100. Zuordnung eines Kreuzrisses zu einem normalaxonometrischen Bild. 281
VIII Inhaltsverzeichnis
Selte
101. Direkte Losung von MaJlaufgaben in normaler Axonometrie. . . . .. 284
102. Normala:x:onometrische Abbildung des Kreises ................... 286
103. Anwendungsbeispiele (Drehzylinder, Schatten und Durchdringungen) 287
104. Normalaxonometrische Abbildung einer Mauernische mit Kugel.
gewolbe samt Schattenkonstruktion ............................ 291
Drittes Kapltel: Parallelperspektive (Schrag- und SehraggrundrUlverfahren).
105. Projektionsdreieck; Darstellung durch Schrag- und Schraggrundrill 293
106. Grundaufgaben in Parallelperspektive ................. ........ 296
107. Abbildung des Kreises ............................... " ....... 300
108. Abbildung der Kugel samt Schattenkonstruktion ................ 300
109. Abbildung von Drehflachen .................................. 303
Viertes Kapitel: Perspektive.
HO. Erklarung der Perspektive und Benennungen ................... 304
HI. Fluchtpunkt, Verschwindungspunkt, Fluehtpunktgesetze.......... 307
H2. Die Fluchtlinie einer Ebene ................................... 311
113. Losung der Lagenaufgaben mittels der Spur- und Fluchtelemente .. 313
114. Wahl der Bildebene und des Auges ............................ 316
115. Zeichnen perspektiver Bilder nach der Durchschnittsmethode ..... 318
116. Abbildung durch Zentralrill und ZentralgrundriJl; Losung der Lagen-
aufgaben ..................................................... 324
117. Massen, Auftragen und Teilen waagrechter und lotrechter Strecken. 328
118. Freie Perspektive (axonometrische Methode) ......•............. 331
119. Instrumente und Hilfsmittel zum Zeichnen perspektiver Bilder... 334
120. LOsung der MaJlaufgaben .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 336
121. Abbildung von Kreisen .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 342
122. Zentralumrill der Kugel....................................... 348
123. Abbildung von Drehflaehen ................................... 349
FiinHes Kapitel: Geometrische Grundbegrilfe der Photogrammetrie.
124. Vorbemerkungen ............................................. 353
125. Entzerrung der Perspektive einer geraden Punktreihe oder eines
S1;rahlbiischels. Projektive Grundgebilde 1. Stufe .. . . . . . . . . . . . . .. 353
126. Entzerrung der Perspektive einer ebenen Figur (ebenes Gelii.nde)
Allgemeine Kollimation zwischen ebenen Feldern ............... 355
127. Entzerrung der Perspektive eines Quaders (eines Hauses) ........ 360
128. Rekonstruktion eines Objektes aus zwei Perspektiven. Kernpunkte.
Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 363
129. Die stereoskopische Abbildung. Stereophotogrammetrie ........... 368
Seehstes Kapitel: Reliefperspektive.
130. Perspektive Kollineation im Raum............................. 371
131. Reliefperspektive, Grund- und AufriJl eines Reliefs.............. 373
Siebentes Kapitel: Landkartenentwiirfe.
132. Grundbegriffe................................................ 377
133. Die orthographische Projektion ................................ 378
134. Die stereographische Projektion ................................ 380
135. Die gnomonische Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . .. 382
Inhaltsverzeichnis IX
8elte
136. Der flachentreue Lambertsche Zylillderentwurf .................. 384
137. Die winkeltreue Mercatorsche Seekarte ......................... 386
138. Der Entwurf von Mollweide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 388
Anhang.
I. Konstruktion eines Schragrisses mittels des Einschneideverfahrens. .. 390
II. Zur Konstruktion des normalaXollometrischen Dreibeins fiir die Ver-
kurzungsverhaltnisse 1: 1/2: 1 ................................... 392
Ubungsaufgabell zum dritten Teil .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 394
N amenverzeichnis ............................................. 397
~ach verzeichllis ................................................ 399
Bezeichnungsweise und Abkiirzungen.
Pwnkte werden mit groBell lateinh;chell Buchstabell, zuweilen mit Ziffel'll,
Linien mit kleinen lateillischen Buchstaben, Plachen i. allg. mit kleinen
griechischen, ausgezeichnete Flachen manchmal mit groBen griechischen Buch-
staben bezeichnet. .
Werden die Zeichen fiir zwei Raumelemente in eine eckige Klammer ge
schlossen, so bedeutet dieses Symbol das Verbindungs- oder Schnittelemellt del'
beiden gegebenen Elemente, z. B. [AB] die Verbindungsgerade del' PUllkte A
und B, [Ab] die Verbindungsebene des Punktes A mit der Geraden b, ["'P] die
Schnittgerade del' Ebenen '" und P usw.
Die in den Klammel'll stehenden Elemente konnen selbst durch Verbinden
oder Schneiden hervorgegangen sein. Es entstehen dann zl1sammengesetzte
Klammerausdrucke, die man jedoch meist in leicht verstii.lldlicher Weise ver
eillfachen kanll. So ist [ABO] die Ebene durch die Punkte A, B. 0; [",Py] del'
Schnittpunkt der Ebenell "', {J, y und etwa ["'. A B] del' Schnittpullkt der
Ebene '" mit del' Verbilldungsgeradell von A und B.
Die zu einer Geraden a pal'allele Richtung und die zu einer Ebenc '" pal'allele
Stellung werden mit :t a bzw. Ii", bezeichnet. Entsprechend bedeutet .L a die zu
einer Geraden a nOl'male Richtung odeI' Stellung und .L '" die zur Ebene '"
llormale Richtung. Sinngemii.B ist demnach z. B. unter [A i b] die durch den
Punkt A gehende und zur Geraden b parallele Gerade zu verstehen; entsprechend
ist [A.L e] die durch den Punkt A gehende, zur Ebene e normale Gerade.
Eine Lange Biner Strecke mit den Endpunkten A und B wird mit AB bezeichnet,
doch wird der Querstrich, falls er fiir das Verstandnis eines Symboles ullwesent
lich ist, meist weggelassell. Winkel werden durch das Zeichen -t gekennzeichnet,
das jedoch auch oft weggelassen wird, wie z. B. in sin abstatt sin -t abo In den
Figuren werden rechte WinkeZ durch einen Punkt gekennzeichnet, del' in den
Winkelraum in die Nii.he des Scheitels gesetzt wird.
SchlieBlich sei erwahnt, daB (M, r) den Kreis mit der Mitte ~1I und dem Halb
messer r bedeutet.
