Lehrbuch der Arithmetik und Algebra für höhere Lehranstalten bearbeitet

367 Pages·1861·19.505 MB·German

by  Dr. E. Meißel (auth.)

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Algtbra
Atit~mttiknnb
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1) iff) ere g e' f) tit n ft It It en belt r b ei t et
Dr. ~. IDleijd,
lOiteltot bet Jtolligl. ~tO\)ill!iQI, @e\t1etber~lI(e
in 3retlo~n.
!Bulin,
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e tl n g bon 3 u {i u ~ ® llt in get.
1861.
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1861
ISBN-13: 978-3-642-90092-1 e-ISBN-13: 978-3-642-91949-7
DOI: 10.1007/978-3-642-91949-7
Bur ~earfieituug bca 110rlicgcnbeu ~egrfilt4Ja wurbe ber
Uuteraei4Juete bttr4J ben ~Bultfdj l.1eranlaf3t, baa Il)eufum ber
mritgmetif ltub ~{fgefira fiir ~ofJere ~egranffllHen ..i n gegHe::
betier ~Otlll uub mogIidjfter Jtiirae feitten EidjiHern l1or~lt:'
fiifJren. :ner [~erfaHer fe~t bei fe~teren eitte gewiffe Ue~ting
in ben l1ier CSlJcciea bea gemeitten ffiedjnena, in ben meci~
malfiriidjen, fo mie im 3 iegen ber nuabrat ~ unb ~ubH~
,®uraeln l.1oraua unb f)ilfi beim mortrage ber aIfgemeinen
SUritgmetif burdj ['eifpie1e bod nadj, wo ben CSdjiifern bie
erforberIidje ~ertigfeit ultb Umfidji im ,praftifdjen ffiedjncu
abgef)en fo me. - CSinb bie ~el)rfii~e iiber ~:Potenaen, Wur~
aeIn Hub ~ogatitl)llten 110m CSdjiifet l1etftanben uub burdj
l.1iefe ~eiflJie1e in einer ~eife eingeiifit, wefdje il)m ben
fidjeten ~efi~ l1crbiirgi, fo gel)t ber merfaffer our ~el)anb:
lultg ber quabratifdjen ~leidjungen itber, in weldje er ben
Eidjwcr.pultft feittea Untcrridjta ber mritgmetif unb SUlgebra
l1erfegt. c\)ier gewiltnt ber Eidjiifer Uebung in ber SUnwen~
bung crlernter ~el)rfii~e, Umfidjt im afgebraifdjen ffie4Jnen,
%ertigfeit im CSubftituiren unb - Sntereffe fitr bie CSadje.
:ner merfaffer laBt l1ieIe @leidjungen l.10ll bell einaelnen
Gdjiilern an ber ~afel tedjnen, fitl)rt le~tete burdj eine an~
gemeffene %ragfteUullg ni.itf)igenfaIfa aUf ben ridjtigen ~eg
uub f1cf,pridjt fdjIieBfidj bie l)aulJtfiidjlidjften ~)(etljoben 3ur
tli.ifung einer jeben mufgalie.
~id)tig fur bie mnmenbullgeu bet mrit~metif auf bie
6teteometrie uub ID1edjanif finb fetnet bie lleiben ~umUlen:
formel11
Sx( + b )<1 d = (a + bx) a+1 - a a+1
o a x x b(rz+l)
SXdx 1 b
o a + bx = b log nat. (1 + Ii x)
meIdje gan3 aUgemeiu aua bett atitljmetifdjeu unb bet geo:
metrifdjen ffieilje ljetgeleitet metbeit. - ~n bem mbfdjnitt
ubet baa ffiationalmadjen bet mettnet nlgebraifdjet ~uttftionen
erljiilt bet 6djulet eiu IDHtte1, feine .5teimtniffe bet ~nge'bra
burdj Uebung 3U befeftigen. Tlie muflofung bet ®Ieidjun:
gen butdj nl(miiljIidje mttttiiljetung (memton'fdje IDletljobe)
uub °bie ~ljeorie bea ®tof}ten unbo .5tleinften bUtften nndj
bea metfnffeta mnfidjt um fo meniget feljlen, nla beibe
Tliadplitteu, allgefeljen iljtet Unetttbef)tlidjfeit, of)ne
\lOU
tintfaItung duea fdjmetfaUigen m~~nrata begruttbet metben
fotttttett.
~iedoljtt im IDlaq 18(H.
Dr. (i. IDldjd.
@>eite
@inldtung.
1. ~lb 1d J nit t. ~bbition 4
2. \Subtraftion 8
3. ~uItilJIifation .. 18
4. ~i!Jifion. • . 30
5. \})otenated)Uung 46
6. ~f)eiI6atfeit bet 3af)Ien 59
7. ~uroeItedJnung 78
8. ®leidJungen bee crften ®rabe6 111
9. ~ogaritf)mentedJnung .• • . '. 126
10. DuabratifdJe ®IeidJungen mit ciner Unliefanrtten. 144
11. DuabratildJe ®leidJungen mit mef)rmn Unbefannfen 166
12. ~ritf)metijdJe ffieif,en . . . . . • . . • • •. 199
13. ~ie geomeitijdJe ffieif)e erfier Drbnun~ .•• • 223
14. lJiationalmaif)en ber ~ennet aIgefJtaifif)ct. &u6brihfe 243
15. stettenliritif)e .. . . . . . . . . . . . • 257
16. ~er \)inomifif)e \Sail unb leine ~n\l1enbungen . . 291
17. ~ ufli.ifung aIge\)raifif)er ®lciif)ungen burd) aUmltf!
Hd)e ~nniif,erung. . . . , . . . 313
18. ~f)eotie bee ®toliten unb stleinften. . . . • . 327
(t in I ci t un g .
JJhe
IDlaltltigfaUigfeit ber lJon una lua~rgenommenen ®egenftiinbe
fii~rt 3um mC,9riff ber Ba~r.
Bii~(cn ~eit3t bie &in~eit luieberljolcn.
~er Snuegrifj' bieier CYin~eiten ift bie BaljL ~ie ffieilje ber
naturlidjen Baljlen lieginnt mit ber &inljeit unb mcidjt fein '&nbe,
lUei( '~u jeber BaljI bie &inljeit immer luicberljoIi lUetben fann.
Bluei Ba~Ien finb ei n an b cr 9I ei dj, Illcnn fie biefcllie (6teIfe
in bet ffiei~e bet uQtiirlidjen Bal)Ien eitmeljmen. &ine Ba~I ift
gtOflCt alG eine anbere, luenn man fie butdj ~ieberIjolung bet
~inljeit fpiiter erIjiilt, alG bie anbere - obcr IUeltlt fie in bet ffieiIje
bet ltatiitHdjen Baljlen eine ljiiljerc (6telle cinnimmt alG bic anbere.
~ir aUgemcine Ba~I foll jebe Baljl ber ltatiirHdjen Baljlcn.
teilje batfterren; baljer ift fte feine liefthltlnte Baljl; - eG fann alicr
fur cine aUgemeine Baljl ftet6 eine jcbe lieftimmte BaljI gefe~t Illcrben,
ba jebc lieftimmte 3aljl burdj bic allgemeine 3aljl bar~efteUt luirb.
~iir bie ~eoeidjltltltg bet aUgemeinen 3aljlen ftttb liefonberc
3eidjcn erfotberlidi; man liebient fidj ljiet3U bea fleinen lateinifdjen
unb gricdjifdjen ~lpljalietG.
mei betfellicn ~Hedjnung liebeutet in ber megd betfdlie mudj::
ftali biefellie 3aIjf unb man pfIegt lllttcr lJcrfdjiebenen ~udjftauen
audj gellJiiljnlidj lJ~tfdjiebene 3aljlen 3u lJcrfteljen; batin auet, baB
bic 3aljlen, lucldje burdj mUdjftauen batsefteUt luerben, burdjau£l
feine lieftinuntcn finb - licfteljt iIjr Ijauptliidjlidjet modljci( uei ,ber ,
aUgcmeinen mUfftellung bct ®efel,le beG ffiedjnen£l, infofem mllll,
fur citle aUgemeine 3aljl fteta cine uefthnmte fcl,len fann. ~aa
3eidjen bet aUgemeinen 3aljl, b. lj. ber mUdjftau, Illcldjet bie aU.
gcmeine 3aljI lie3eidjnet, lieljiiU auet in bet ganaen folgcnben ffiedj.
nuns benfcllien lJeftimmten m3edlj, lUeldjen man fur Mefellie einmaf
gefc~t ljat.
1
2
~ic @lcil~~cit ber ueibclt nUgemeiltelt 3nl)!cn a ultb b Illirb uc=
3cidjltet burd):
n=b
~aG 3eid)elt = {)eitt bnG @Ieidj~cit(l3eid)elt, - hie 3a~{ n
liHbet hie li u f e lInh hie 3a~{ h hie r c dj t e (Seite her @!eidj11 n g.
- 31llet 3nl)Icn finh nur hanu cinonbcr g!cidi, Itlenn bic cine ber·
[dlicu ftatt ber nnbern gcfctlt Illerben barf.~benu nult ftatt n hie
3o~1 b ultb ftatt h bie 3a~{ n gefet,t luirb, fo er~iilt man aUG ber
(~Hcidjultg
=
a b
bie foIgellbe
b = a
b. ~. hie uciben CSeiten' einer @{eidjultg fiinltell mit eilt·
aubcr lJeriaufdjt Illcrbcn.
~ic ~c3eid)ltltltg, bat a groBer a!G It fein foil - ift
·n > I}
Hnb bnu n f! ei It e r n!G b ift
fI <It
~aG 3cidjen a > h Illirb {lele[clt: a oro§cr a{G b Ultb bnG 3cidjen
a < h Illirb gc\prod)cn: n flei lICr nlo h.
~ie lieibcn 3eidjen > ultb < ~ci§c.lt. lhl{lleidjl)eiti.l3eidjclt. ~ie
lid @lcidjuugen, fo f1Jrid)t mnlt nud) u'ci nltoleidj~citcn lJon bel'
li 11 ten unb ber r ed j t eI t <?5eitc.
Sn bel' Uug{eidj~eit
a> II
ift wieber a bie Ii II f e 1mh It bie re d) t e Sdte. Sft n lIun groter
ala II, b. ~. uimmt a elne l)ol)ctC SteHe in ber meif)e bel' 3a~lelt
eiu nlG b, \0 i\t b Heiner alG fI; b. ~. CG fo!ot allG bel' Ultgleidjl;eit
a> b
'bie fo{ocltbe
h < n.
WffHemciltc 3aI;len llCUltt malt nlld) @r 0 \3 e u oher ~ 11 0 b rii cf c.
GlJriiflc eiltcr allgemeitlcn 3al)l ift bcr Snliegriff ber @iltl)eiten, burdj
beren m:;ieber~ollllt{l bie alloemeine ga~l elltftanbelt oebod)t Itltrb.
W1 1 Gb r II IT cincr nlloemcillClt 3nl;l ift baa 3cidjclt, burd) lueld)eG biefe
Snl)! bargc\tellt werbclt fon.
Sinb 31tlci @}rii\3cn cilter britten gleidj, fo filtb fie
ultter cinanber gleidj.
@efe~t e(l Itliire
a = c
=
1mb b c
jo Ivurbc alief)
=
II h
icilt muffelt. - ~eltn, ba man fiir c bie ®riij3c a, \tlelt~e gIdi(J c
ift, jei;Cll faltn, io folgt, lUCllI1 bicjeG gcfl~irr)t, IlllO tler 31ueitclt
(~)lcidJullg
bie fofgclIbc
=
h a
IUell~C mit bcr @lcidJulIll
=
a h
iillcrci nftimmt.
~H{gcmcilt fofgt, IUClIn
a = hi h =~; c = tli ...
hllb a = C otlcr a = II 1I. f. lU. fcilt muf;.
Sft ferner
a> h; b> Cj c> dj ...
f forgt
0
a > C obcr a > cI 11. ; • .\U.
T>cnn ltlofltc man hie 3al)l a hurd) ~Eiebcrl)o{lIng her @;ini)eit
ltl irfli d) MIbeR, fo ltliirbe man 3utlor bie 3al)1 b -erljaUen, lueldJe
Heiner alG a ift. ~Eonte 1l1ll1t hagegcn h bllrdj ~ieberi)ofung bel'
@;inf)cit bBbclt, fo Illiirhe malt olttlor erljaften, Illefdje neilter aUI
C
h ift 11. f. Ill. m11llt eryiilt bal)cr {let bel' ~~ilb1llt!l bel' 3aljf a burdj
~Eicberl)ohl1ln bel' G:ilt~cit bel' mciI)c nadJ 311crlt e, bmm b lIltb
cnblidj a. T>aljcr mut; a grotcr ala C fein u. f. Ill. --
Sft a > b lIltb b ;= c, fo ift audj a > C; ba fiir II bie @rote
c gc\ct;t Illcrbcn faun.
!Hedjncn ljcif;t allG 3111ei gegcbcnen 3ai)len cine
britte bBbcn.
80Hcn mei)rere 3al)lcn hurd) medJnung mit ctnanbcr uerbllnbcn
;0
lllcrhcll, nc;djicljt bicfCG - inbelll man erft je 31Uei berfelben mit
eillmtbcr uerbinbet, - hie neu gcIlilbete 3ai)f mit bel' britten u. f· f.
~ie ~uGfiiljruug bel' :llcd)1t1t1tg fann nUt mit bcftimmtcn 3aljfen
ge\djeljen. ~cr 3ltlccr bel' aHgemcincn ~Iritljmetif ift baljer nidjt bie
.~erlcitllltg einct Ilcftilllllttclt 3aljl afo mefllltat bet medjnllltg, folt~
bern co ftellt hie alfgcmcinc ~lritljlltcm nut hie @eie~c aliT, ltadj
llleldjen bie mcretnigu1tg 3111cicr 311ljlcn 3U cincr britten u. f. Ill. er~.
fofgen muf;.
~cr St fa 11t 111 er It (), [], { } bcbicnt man fidj, um baf3n~
fteHen, baf; biejenigcn .3al)leu, luefdJe fidj iunetljalb bctfelbclt be~
finbcn - burdj med)llltltg mit einanber uerbunben gebadjt Illerben
forren. ~ic gan3c .stfammcr mit bclt in il)r enti)altcnen 3aljfcn ift
afjo a!o mefnUat etncr mcdJtutllg, ltlenn audj nur a{o gcbadjtea -
ltlte cine einfadje 3agl 3n betradjtcn.
~na megel gat man abcr 3u bcmeden,tlaf3 Mc St(ammern ltUt
bann angel\lcnbet lucrbcn, 11lCltlt ogne bicfelben ein IDHf;uerfhlntlniv
in hie med)nltn9 fiel) ctnidJ{cidjcn fiinnte. ~ent ~nfiinger ift jctloel)·
1"
4
bcr matf) 311 crtf)cilcll, cincn \)iiufincrclt @eurlluo, 110n ben St(am~
men! 31t mnd)ett, bnmit beri eHic fid) nit i9rc mebeutultg 9..eltlo~ue,
Hnb nid)t bicjcloclt ba 31t fe~clt l1cmuiiiulltt, lUO i~re m3cgfal1ung cin
cntio,iebene£l ~J(jttJerftiinbniB f)erlJorfufcn lonnte. .
mrt
~ic uub m3eifc bet ?15cruiubung tJon 3111ei obcr
mcf)tereu 3af){cn au duel' btittcn f)eitt mco,uuug£l~
Dpcration.
~ic fogcnanlttcn ei u fa 0, c n meo,mtltg£l~D~lcratiollClt filtb
1. bic ~bbitiolt,
2. bic CSllutraftiou,
3. b i c ~))hd it P l if ai t 0 It, .
4. bie'Viuifiolt.
(frftcr
~lbfd)nitt.
~bbition.
~rf(iitllng:
'1) i e CS u llt llt e 3I V C i c r 3 a f) ( e It i ft b i c j e u i 9 e 3 nf) ( , 111 ef 0, c
baburdj erijaftcn lvirb, bat malt Oll cihet bel' gcgeuencn
3aijfclt bie ~ilt1)eit 10 oft l11iebcl'goft - a{£l bie anbere
bl'riefuClt angiebt.
. Su ei n el ' Ba ~ ( II ei n c a It bel' e 3a f) ( h a b bJ ten - 1) ci f3 t
bie @inI)Cit 3u bct 3af)1 fo oft f)in31I3iif)felt, af£l bie 3a9f
II
II a: i It IF it cite It tI) ii U.
Sft II bicjcltigc 3af){, 3u wc{o,cr b abbirt 111erbelt lon, 10 ue~
3cidjltct lltalt bie (S u lllllt c bicfer 3a9lclt burdj
+
+ (II b). +
~aG Bcio,clt l)eiflt baG S}) {u G3 e i 0, CI t; hie (Sulltllte (II 11)
l11irb ge{cicn
II plus II (in .lHalltlltcrn)
~eilpid:
3ut 3af)f 5 bic 3af){ 3 abbirclt 9ciBt uao, bcr @rf{iiruug bcr
~fbbitiolt - c~ foU 3ttr 3af)fo 5 bie a:iu9cit brcilltaf 9ilt3ugc3iil)U
obcr wicbcrf)oft Illerbclt. 5Dttrd) cilllllafigc m3icbetf)o!ult!'l bcr a:iu~
lrcit cntfteI)t allG bct BaI)! .') bie 3aI)! G. m3icbcrljoU man bic @ill~
fjcit noo, ciull1al, io cntftc!)t bic 3a91 7. 5Durd) breilltalige [bicbcr~
fjolllll!'l bel' Ciini)cit 3ur 3a91 .') obcr eimltafigc 3ur 31191 7 entfteljt
bic 3al)1 8. ~lll)cr ift +
(5 3) ~ 8.
1)
'!i3clln llllllt hie liillf)cit a[\3 'PlUtH (.) harfteHt, f0 fann jebe
beftimmte 3alJ( hurdj $ieber~ohtltg einer geluiffen ~ht3alJ( uon
\))unftelt ber. ~{nfdjauung uorgefiilJrt lUerbelt, - benn jehe 3alJl
luirb burdj ~£ieher~ohmg her @inl)eit (3al)len) geluonlten.
(f\3 fte((en lJiernadj
hie 3eidjen: hie folgenhen 3alJlen bar;
(.) - 1
..
( ) 2
...
( ) 3
....
( ) 4
. n. f. IU.
tVie an gem ei n e 3 al J { • liiut fidj, lueH fie feine lieftimmte
3aI)( ift - aluar nidjt hul.~ erne lieftitnmte ~ht'alJ( 1.10n IJhmftcn
harftc((en; jebenfaUa aber luurhe fie hurdj eine foldje ~(n3af)1 llOlt
~unften har3ufteflen fein, lueldje her ~(n3alJl her a:htlJeiten gleidj
fommt, hie ilt ber 3al)i a entlJalten gehadjt finh. ~aa 3eidjclt
t
(. .. n. IU ••• }-tgefprodjeu: a foldjer ~lmfte]
lUiirhe . belllltadj ein mHb her 3alJ! a fein.
@rfter ~fhbition6fa~.
+ = +
(a 11) (b a)
h. I). hie ®ullIltte cDer beihen 3alJlen a unb b li1eibt hie~
fclbe, gleidjuiel, ob man bie 3alJl b 3ur 3alJl n - oher hie
3alJl a 3ur 3a1)l h ahhirt. + .
'!3elueia: .~~aa 3eidjen (n b) bebeutet, baa our 3alJ! a bie
~iltlJeit fo oft luieher1)olt lUerben foU, ala hie 3aI)l h @inlJeiten ent~
1)iHt. ®tellt man fidj bie beihen 3alJlen in ber 1.10rlJer angegelienen
~eile bilMidj bar, fo erlJiilt man
-----.
1+ (. . ~ J]
+ =
(a h) u. roo ••
( .. u. 1. IU ... .)
+
~aa ,3eidjcn (b a), lueldjeo bebeutet, hab aur 3alJ1 b hie
~illl)eit 10 oft luieberl)oft luerbeu iolT, ala bie 3aljl a ~htIJeiien ent"
IJiilt -- liiht fid) folgenbermaf;en bHblidj bllrfte({m
1+ (..
+ ~
(b a) = u. roo •• )]
(. .. u. 1. IU ••• )
+ +
':Die (,cibcn !1arfteIhtlt!'len tlOIl (a It) ultb (b II) enif)altm
nUll gleid)uicl I},\unftc, ha hie cine bieier :Darftelhmgen nur bie
Umfel)rung her anberen T'llrftelhmg ift. ~eibe 3eid)cn fteUen ali 0