Lehrbuch der Analysis Teil 2

742 Pages·2004·22.46 MB·German

by  Harro Heuser (auth.)

Mathematische Leitfäden
Harro Heuser
Lehrbuch der Analysis
Teil 2
Mathematische Leitfäden
Herausgegeben von
Prof. Dr. Dr. h. c. mult. Gottfried Köthe
Prof. Dr. Klaus-Dieter Bierstedt, Universität-Gesamthochschule Paderborn
Prof. Dr. Günter Trautmann, Universität Kaiserslautern
Harro Heuser
Lehrbuch der Analysis
Teil 2
13., durchgesehene Auflage
Mit 102 Abbildungen, 633 Aufgaben, zum Teil mit Lösungen
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden
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detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
1. Auflage 1981
11., durchgesehene Auflage 2000
12., durchgesehene Auflage 2002
13., durchgesehene Auflage November 2004
Lektorat: Ulrich Sandten
ISBN 978-3-519-62232-1 ISBN 978-3-663-01407-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-01407-2
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© B. G. Teubner Verlag / GVI/V Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004
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Auch dieser Band ist fur Isabella und Anabel, Marcus und Marius.
Die mathematische Analyse erstreckt sich ebenso weit wie die Natur selbst; sie
definiert alle wahrnehmbaren Beziehungen, mißt die Zeiten, Räume, Kräfte,
Temperaturen. Diese schwierige Wissenschaft entwickelt sich langsam, aber
sie bewahrt alle Prinzipien, die sie einmal errungen hat; sie wächst und befe
stigt sich unablässig inmitten aller Irrungen und Fehler des menschlichen Gei
stes.
Ihre hervorstechende Eigenschaft ist die Klarheit; sie hat keinerlei Zeichen,
um verworrene Begriffe auszudrücken. Sie setzt die allerverschiedensten Phä
nomene zueinander in Beziehung und deckt die verborgenen Analogien auf,
die sie verbinden ... Sie scheint eine Fähigkeit des menschlichen Geistes zu
sein, die dazu bestimmt ist, einen Ausgleich zu bietenfiir die Kürze des Lebens
und die Unvollkommenheit der Sinne.
Jean Baptiste Fourier, ,,Analytische Theorie der Wärme".
Vorwort
Bei der Abfassung des zweiten Bandes meines Lehrbuches der Analysis bin ich den
selben Grundsätzen gefolgt, die für den ersten bestimmend waren: Ich wollte die
Theorie ausführlich und faßlich darstellen, ausgiebig motivieren und durch viele
Beispiele und Übungen zum sicheren Besitz des Lesers machen. Außerdem wollte
ich Brücken schlagen zu den Anwendungen analytischer Methoden in den allerver
schiedensten Wissenschaften und dabei das wechselseitig fördernde Ineinandergrei
fen "blasser" Theorie und "handfester" Praxis aufscheinen lassen, ein Ineinander
greifen, dem die Analysis einen guten Teil ihrer Vitalität und Dynamik verdankt.
Und schließlich wollte ich durch eine klare und auch äußerlich leicht erkennbare
Scheidung von Methoden- und Anwendungsteilen dafür sorgen, daß der Leser trotz
der Fülle des Materials den roten Faden nicht verliert. Dieser rote Faden ist der
Versuch, das Änderungsverhalten der Funktionen begrifflich zu erhellen und aus
der Änderung einer Funktion "im Kleinen" ihren Verlauf "im Großen" zu rekon
struieren. Dabei stehen diesmal im Vordergrund der Überlegungen Funktionen, de
ren Argumente und Werte Vektoren aus dem RP oder sogar Elemente aus noch viel
allgemeineren Räumen sind. Dieser Übergang vom Eindimensionalen zum Mehrdi
mensionalen entspringt nicht müßiger Neugier und Verallgemeinerungssucht - er
wird uns vielmehr sehr nachdrücklich durch die unabweisbaren Bedürfnisse der Pra
xis aufgenötigt. Die Prozesse der Natur spielen sich eben für gewöhnlich im Raum
und nicht nur auf einer Geraden ab.
Die Analysis ist in einer 2500jährigen Entwicklung mühevoll zu dem geworden, was
sie heute ist. Ihre Geschichte ist reich an stiller Arbeit und lärmender Polemik, an
triumphalen Durchbrüchen und niederschmetternden Enttäuschungen, an bohren
der Kritik und wüstem Draufgängertum; sie ist auf das engste verwoben mit philoso
phischem und naturwissenschaftlichem Denken und mit wirtschaftlichem und krie
gerischem Handeln - kurz: sie ist eines der glanzvollen und nachdenklich stimmen
den Kapitel in dem großen Roman des unruhigen Menschengeistes. In einem kurzen
historischen Rückblick habe ich versucht, etwas von diesem langen Ringen um die
Gestaltung der Analysis zu erzählen.
Der Leser wird in den Methodenteilen dieses Buches mehrere Dinge fmden, die in
dem engen Zeitrahmen einer dreisemestrigen Analysisvorlesung nicht immer unter
gebracht werden können. Ich habe sie aufgenommen, weil mir vorschwebte, dieses
Buch zu einem zuverlässigen Helfer auch über die Anfangssemester hinaus zu ma
chen. Der Leser wird diesen Dingen schon bald nach Abschluß seiner "offiziellen"
Vorwort 5
Analysisstudien begegnen, sei es in Vorlesungen, in Proseminaren oder bei eigen
ständiger Lektüre mathematischer Literatur. Und außerdem wollte ich gewisserma
ßen "vor Ort" zeigen, wie modeme Begriffsbildungen und Aussagebestände ganz
natürlich und geradezu zwangsläufig aus dem angesammelten Material der Analysis
herauswachsen, wenn man von der konkreten Beschaffenheit dieses Materials ab
sieht und statt dessen die ihm eigentümliche Struktur herauszupräparieren sucht.
Auch dieser Prozeß ist letztlich nichts anderes als eine konsequente Anwendung der
axiomatischen Methode, nur daß sich letztere diesmal nicht unmittelbar auf reelle
Zahlen selbst richtet, sondern auf Bereiche, die sich nach und nach aus dem Um
gang mit diesen Zahlen gebildet haben. Die so entstehenden Strukturtheorien (z. B.
die Lehre von den topologischen Räumen) sind gewissermaßen Röntgenaufnahmen,
die durch Fleisch und Fett hindurch das tragende Knochengerüst "klassischer"
Theorien erkennen lassen.
Aus dem eben Gesagten ergibt sich fast von selbst, daß man den vorliegenden Band
nicht pedantisch Kapitel um Kapitel, Abschnitt um Abschnitt durchzuarbeiten
braucht. Um so notwendiger ist natürlich eine Leseanleitung für denjenigen, der sich
zunächst nur mit dem klassischen Kern der mehrdimensionalen Analysis beschäfti
gen möchte. Ein solcher Leser sollte sich in den Methodenteilen konzentrieren auf
die Nummern 109-114, 162-174, 177-184 und 196-210. Aus den Anwendungsteilen
kann er mitnehmen, was ihm interessant erscheint und seinen im Kurzkurs erworbe
nen Kenntnissen zugänglich ist. Welche Nummern dies im einzelnen sind, wird er
im Laufe der Lektüre leicht selbst feststellen können.
Die mehr technischen Anweisungen zum gewinnbringenden Gebrauch dieses Bu
ches habe ich bereits in der Einleitung des ersten Bandes gegeben. Ich brauche sie
also hier nicht mehr zu wiederholen.
Mit Freude benutze ich die Gelegenheit, all denen meinen herzlichen Dank abzu
statten, die mich bei der Herstellung des vorliegenden Bandes unterstützt haben.
Ich danke Frl. Dipl.-Math. M. Bertsch, Herrn Dr. G. Schneider, Herrn Dr. H.-D.
Wacker und Herrn Dipl.-Math. Ä. Weckbach dafür, daß sie die erste Fassung
des Buches und alle seine Änderungen kritisch gelesen und durch viele Beiträge ver
bessert und geglättet haben; ganz besonders aber dafür, daß sie mehrfach mit pein
lichster Gewissenhaftigkeit die zahlreichen Aufgaben geprüft und durchgerechnet
haben. Last hut not least muß ich ihnen danken für die mühselige Korrektur der
Druckfahnen. Ich danke Herrn Prof. Dr. U. Mertins (Technische Universität Clausthal)
dafür, daß er die vorletzte Fassung einer sorgfältigen Durchsicht unterzogen und
mich dabei wieder und wieder durch anregenden Rat unterstützt hat. Herrn Dr. A.
V oigt schulde ich Dank für die vielen klaren Zeichnungen, die das Verständnis des
Textes so sehr erleichtern. Frau Y. Paasche und Frau K. Zeder haben mit liebens
würdigster Geduld und gewohnter Präzision mein Manuskript, eine vielhundertseiti
ge Zumutung, in ein sauberes Maschinenskript umgesetzt; ich danke ihnen herzlich.
Dem Teubner-Verlag habe ich zu danken für seine unermüdliche Kooperation und
die vortreffliche Ausstattung des Buches.
6 Vorwort
Meine Schwester, Frau Ingeborg Strohe, hat mir in ihrem ruhigen Haus in Nastät
teniTaunus die Möglichkeit gegeben, ungestört und intensiv an diesem Buch zu arbei
ten. Ich bin ihr großen Dank schuldig.
NastätteniTaunus, im Juli 1980 Harro Heuser
Vorwort zur dreizehnten Auflage
Der dreizehnten Auflage habe ich nur einige kleinere Ergänzungen eingefügt.
Karlsruhe, im Oktober 2004 Harro Heuser
Inhalt
XIV Banachräume und Banachalgebren
109 Banachräume . . . . . . 11
110 Banachalgebren . . . . . 23
111 Stetige Abbildungen normierter Räume 30
112 Stetige lineare Abbildungen normierter Räume 40
113 Stetige Funktionen aus RP nach Rq 45
114 Lineare Abbildungen von RP nach Rq 50
115 Der Satz von Stone-Weierstraß 59
116 Die komplexe Version des Satzes von Stone-Weierstraß. Trigo-
nometrische Approximation . . . . . . .. 64
XV Anwendungen
117 Der Satz von Picard-Lindelöf rur die Differentialgleichung
y' = f(x, y) ................ 67
118 Der Satz von Peano rur die Differentialgleichung y' = f(x, y) 69
119 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 73
120 Differentialgleichungen höherer Ordnung 77
121 Die Fredholmsche Integralgleichung 79
122 Die V olterrasche Integralgleichung 82
XVI Das Lebesguesche Integral
123 Die Definition des Lebesgueschen Integrals 84
124 Einfache Eigenschaften des Lebesgueschen Integrals 89
125 Der Konvergenzsatz von Beppo Levi ..... 93
126 Der Konvergenzsatz von Lebesgue und das Lemma von Fa-
tou . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
127 Das Riemannsche Integral in der Lebesgueschen Theorie 99
128 Parameterintegrale 101
129 Meßbare Funktionen 103
130 Die Banachräume U (I) 106
131 Das unbestimmte Integral 110
XVII Fourierreihen
132 Das Problem der schwingenden Saite 118
133 Der Begriff der Fourierreihe 123
134 Die Approximation im quadratischen Mittel 127
135 Die Integraldarstellung der Teilsummen einer Fourierreihe 133
136 Punktweise Konvergenz der Fourierreihen . 138
137 Gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihen 144
138 Beispiele rur Fourierentwicklungen 148
8 Inhalt
139 C-Summierbarkeit der Fourierreihen . . . . . . . .. 154
140 A-Summierbarkeit der Fourierreihen. . . . . . . .. 160
141 U-Konvergenz der Fourierreihen (Konvergenz im quadrati-
schen Mittel) . . . . . . . . . . . . . . .. 163
142 Folgerungen aus der U-Konvergenz der Fourierreihen 167
143 Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der Fourierreihen 170
XVIII Anwendungen
144 Nochmals die schwingende Saite 174
145 Gedämpfte Schwingungen unter dem Einfluß periodischer
Zwangskräfte ..... . 179
146 Temperaturverteilung in einer kreisförmigen Platte 182
sinx
J+ 00
147 Das Integral --dx......... 187
o X
f
~k.
148 Die Reihen 188
• •
n
n=1
149 Die Produktdarstellung von sin'IT x 190
150 Die Gammafunktion . . . . . 195
151 Das Fehlerintegral. Die Fresnelschen Integrale 200
XIX Topologische Räume
152 Umgebungen und Topologien 202
153 Beispiele topologischer Räume 205
154 Konvergenz in topologischen Räumen 211
155 Topologische Elementarbegriffe 218
156 Relative Topologien ..... . 224
157 Kompakte Mengen ..... . 227
158 Stetige Abbildungen topologischer Räume 230
159 Die Algebra C(X) . . . . . . 233
160 Zusammenhängende Mengen 235
161 Bogenzusammenhängende Mengen 240
XX Differentialrechnung im RP
162 Partielle Ableitungen . . . . . . . . 247
163 Das Änderungsverhalten der CI-Funktionen 254
164 Differenzierbare Funktionen. Die Ableitung 259
165 Differentiationsregeln . 266
166 Die Richtungsableitung 272
167 Mittelwertsätze 276
168 Der Taylorsche Satz 281
169 Implizite Funktionen 286
170 Die Differenzierbarkeit implizit defmierter Funktionen 295
171 Der Umkehrsatz ....... . 300
172 Bericht über Determinanten . . . . . 304
173 Lokale Extrema reellwertiger Funktionen 310
174 Extrema mit Nebenbedingungen 319
175 Differentiation in Banachräumen 330
176 Differentiation komplexer Funktionen 345