Lehrbuch der Analysis: Teil 1

644 Pages·2000·25.33 MB·German

by  Dr. rer. nat. Harro Heuser (auth.)

Mathematische Leitfäden
Herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h. c. mult. G. Köthe,
Prof. Dr. K.-D. Bierstedt, Universität-Gesamthochschule Paderborn
und Prof. Dr. G. Trautmann, Universität Kaiserslautern
Lehrbuch der Analysis
Teill
Von Dr. rer. nat. Harro Heuser
o. Professor an der Universität Karlsruhe
13. Auflage
Mit 127 Abbildungen, 805 Aufgaben,
zum Teil mit Lösungen
B. G. Teubner Stuttgart . Leipzig· Wiesbaden
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz ftir diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhältlich
13. Auflage September 2000
Alle Rechte vorbehalten
© B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2000
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Umschlaggestaltung: Peter Pfitz, Stuttgart
ISBN 978-3-519-42235-8 ISBN 978-3-663-01371-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-01371-6
Für Isabella und Anabel, Marcus und Marius,
weil sie mir unaufdringlich zu verstehen halfen, daß "Mathe" nur mit
Geduld und Liebe lehrbar ist.
Hierdurch wird klar, weshalb Arithmetik und Geometrie mit weit größerer
Sicherheit vor allen übrigen Wissenszweigen bestehen: weil nämlich sie
allein sich mit einem so reinen und einfachen Gegenstand beschäftigen,
daß sie gar nichts voraussetzen, was die Erfahrung unsicher zu machen
imstande wäre, sondern gänzlich in verstandesmäßig abzuleitenden Fol
gerungen bestehen. Sie sind daher am leichtesten und durchsichtigsten
von allen und haben einen Gegenstand, so wie wir ihn fordern, da hierbei
der Irrtum, von Unaufmerksamkeit abgesehen, wohl kaum Menschenlos
sein dürfte. Trotzdem darf es nicht in Verwunderung setzen, wenn sich der
Geist vieler aus freien Stücken eher anderen Studien oder der Philosophie
zuwendet: es kommt das nämlich daher, daß ja ein jeder es sich kecker
herausnimmt, bei einem dunkeln, als bei einem klaren Gegenstand Ver
mutungen aufzustellen, und es weit leichter ist, bei einer beliebigen Frage
irgend etwas zu mutmaßen, als bei einer noch so leichten bis zur Wahrheit
selbst vorzudringen.
Rene Descartes, "Regeln zur Leitung des Geistes".
Vorwort
Dieses Buch ist der erste Teil eines zweibändigen Werkes über Analysis. Es ist
aus Vorlesungen, Übungen und Seminaren erwachsen, die ich mehrfach an den
Universitäten Mainz und Karlsruhe gehalten habe, und so angelegt, daß es auch
zum Selbststudium dienen kann.
Ich widerstehe der Versuchung, dem Studenten, der jetzt dieses Vorwort liest,
ausführlich die Themen zu beschreiben, die ihn erwarten; denn dazu müßte ich
Worte gebrauchen, die er doch erst nach der Lektüre des Buches verstehen
kann - nach der Lektüre aber sollte er selbst wissen, was gespielt worden ist. Den
Kenner hingegen wird ein Blick auf das Inhaltsverzeichnis und ein rasches
Durchblättern ausreichend orientieren.
Dennoch halte ich es für möglich, anknüpfend an Schulkenntnisse und Alltagser
fahrung auch dem Anfänger verständlich zu machen, was der rote Faden ist, der
dieses Buch durchzieht und in welchem Geist es geschrieben wurde und gelesen
werden möchte.
Der rote Faden, das ständig aufklingende Leitmotiv und energisch vorwärts
treibende Hauptproblem ist die Frage, wie man das Änderungsverhalten einer
Funktion verstehen, beschreiben und beherrschen kann, schärfer: Welche Be
griffe eignen sich am besten dazu, die Änderung einer Funktion "im Kleinen"
(also bei geringen Änderungen ihrer unabhängigen Variablen) zu erfassen, was
kann man über die Funktion "im Großen", über ihren Gesamtverlauf sagen,
wenn man Kenntnisse über ihr Verhalten "im Kleinen" hat, geben uns diese
Kenntnisse vielleicht sogar die Funktion gänzlich in die Hand odq besser: Wie
tief müssen diese "lokalen Kenntnisse" gehen, um uns die Funktion "global"
vollständig auszuliefern. Um ein sehr alltägliches Beispiel zu nennen: Wenn ein
Körper sich bewegt, so glauben wir intuitiv zu wissen, daß er in jedem Zeitpunkt
eine wohlbestimmte "Momentangeschwindigkeit" besitzt, daß diese uns
Auskünfte über die Änderung seiner Lage "im Kleinen" (innerhalb kurzer
Zeitspannen) gibt und daß wir seinen Bewegungsverlauf "im Großen", konkreter:
die seit Beginn der Bewegung von ihm zurückgelegte Strecke, vollständig rekon
struieren können, wenn wir ebendiese Momentangeschwindigkeit in jedem
Zeitpunkt kennen. Ist der Körper etwa ein Automobil, so wird uns seine
Momentangeschwindigkeit durch den Tachometer und sein Bewegungsverlauf
(die zurückgelegte Strecke) durch den Kilometerzähler geliefert. Aber diese
nützlichen Instrumente sagen uns natürlich nicht, was denn begrifflich die
Vorwort 5
Momentangeschwindigkeit sei und wie man systematisch aus einem bekannten
Geschwindigkeitsverlauf den Bewegungsverlauf zurückgewinnen könne - sie set
zen ganz im Gegenteil die vorgängige theoretische Besinnung über derartige
Begriffe und Verfahren schon voraus.
Als das mächtige und unverzichtbare Hilfsmittel für jede in die Tiefe dringende
Untersuchung solcher Fragen wird sich der Begriff des Grenzwerts in seinen
vielfältigen Formen und Abwandlungen erweisen. Er ist das Herzstück und der
Kraftquell der Analysis und wird ab dem Kapitel III gleichsam der ewig
jugendliche Held des analytischen Dramas sein.
Das Studium funktionellen Änderungsverhaltens ist nicht die müßige Träumerei
weltfremder Gehirne in elfenbeinernen Türmen-es wird uns ganz im Gegenteil
aufgedrängt durch das tief im Menschen wurzelnde Bestreben, die uns
umgebende Welt zu verstehen und aus diesem Verstehen heraus zu gestalten.
Ganz folgerichtig hebt es an und geht Hand in Hand mit der Schaffung der
neuzeitlichen Physik unter den Händen von Newton, Euler, Lagrange und La
place (um nur die Großen des stürmischen Anfangs zu nennen). Es hat im engsten
Bunde mit den Naturwissenschaften-von ihnen befruchtet und ihnen die
Früchte zurückgebend-unsere Welt in den letzten dreihundert Jahren so tief
greifend umgestaltet, daß die Wirkungen der großen politischen Revolutionen
demgegenüber verblassen und eher oberflächlich und peripher anmuten. Wer von
der Weltfremdheit der Mathematik spricht, dem muß die moderne Welt wahrlich
sehr fremd geworden sein.
Damit komme ich auf den Geist zu sprechen, in dem dieses Buch geschrieben
wurde. Es versteht sich heutzutage von selbst, daß jede Darstellung der Analysis
gemäß der axiomatischen Methode zu erfolgen hat: Der ganze Bestand
analytischer Aussagen muß streng deduktiv aus einigen Grundeigenschaften reeller
Zahlen entfaltet werden. Jede mathematische Disziplin verdankt ihre Sicherheit,
ihre Überzeugungskraft und ihre Schönheit dieser Methode. Zu sehen, wie der
reiche Teppich der Analysis mit seinen unendlich mannigfaltigen Farben und
Figuren aus wenigen Fäden (den Axiomen über reelle Zahlen) enger und enger
geknüpft wird-das ist eine geistige Erfahrung höchsten Ranges, um die kein
Student betrogen werden darf. Aber gleichzeitig lag mir noch ein anderes am
Herzen: Ich wollte zeigen, mit welcher fast unbegreiflichen Kraft diese aus dem
Geist gesponnene, in sich selbst ruhende "reine" Theorie auf die "reale" Welt
wirkt - dies zu sehen ist ebenfalls eine geistige Erfahrung, um die man niemanden
bringen sollte. Das Staunen darüber, daß und wie ein "reines Denken" die
Wirklichkeit verstehen und gesetzmäßig ordnen kann, hat keinen Geringeren als
Immanuel Kant dazu getrieben, seine gewaltige "Kritik der reinen Vernunft" zu
schreiben. Es bedarf keines Wortes, daß ich die "praktischen" Auswirkungen der
Theorie nur exemplarisch, nur an wenigen Beispielen zeigen konnte, aber mit
Bedacht habe ich diese Beispiele aus den allerverschiedensten Wissens- und
Lebensgebieten ausgewählt: aus Physik, Chemie, Biologie, Psychologie, Medizin,
6 Vorwort
Wirtschaftswissenschaft, Kriegswesen und Technik-bis hin zu so profanen
Fragen wie die nach dem Abbau des Alkohols im Blut während eines Trinkgela
ges, und ob man ein Haus nachts durchheizen oder besser morgens aufheizen
solle, aber auch bis hin zu so überraschenden Beziehungen wie die zwischen
Kaninchenvermehrung und Goldenem Schnitt. Ich wollte damit nicht die
Mathematik anpreisen-sie kann der Reklame sehr gut entraten-sondern dem
Studenten bereits in einer frühen Phase seiner geistigen Entwicklung deutlich
machen, daß abstrakte Methoden gerade ihrer Abstraktheit wegen universell
anwendbar sind und daß nur eine aufgeklärte Praxis eine wirksame Praxis ist. Ein
kluger Engländer, dessen Name mir entfallen ist, hat kurz und treffend das Nötige
zur bloß praktischen Praxis gesagt: "Der praktische Mensch ist derjenige, der die
Fehler seiner Vorfahren praktiziert".
Darüber hinaus schwebte mir vor, nicht nur die Auswirkungen der Theorie auf
die Praxis, sondern umgekehrt auch die stimulierenden Einwirkungen der Praxis
auf die Theorie zu zeigen, deutlich zu machen, wieviel quickes Leben die Theorie
den Vitaminstößen praktischer Fragen und Probleme verdankt. Insgesamt hoffte
ich, durch das Miteinander- und Ineinanderklingen von Theorie und Anwendung
die Analysis gleichsam "stereophonisch" zu präsentieren und die Theorie nicht
zum Trockenlauf geraten zu lassen.
Auch "rein mathematisch" gesehen ist die Analysis nicht nur ein Lehrsystem, in
dem abstrakte Begriffe zu abstrakten Aussagen zusammengewoben werden. Ihre
Methoden werfen eine schier unglaubliche Fülle "konkreter" mathematischer
Resultate ab: verblüffende Identitäten, reizvolle Summenformeln, überraschende
Beziehungen zwischen Größen, die auf den ersten Blick nichts miteinander zu tun
haben usw. ohne Ende. In Vorlesungen findet man unter dem Druck der riesigen
Stoffmassen kaum die Zeit, auf diese Dinge einzugehen, die eine eigene Schönheit
haben. Ein Buch gewährt hier größere Freiheit, und von ihr habe ich gern und
reichlich Gebrauch gemacht.
Um alle diese vielfältigen Ziele zu erreichen-den strengen axiomatischen Auf
bau darzulegen, das Geben und Nehmen zwischen Theorie und Anwendung
aufzuzeigen, dem "mathematisch Konkreten" sein Recht zu gönnen-und doch
den Überblick zu behalten und nicht in der Fülle des Stoffes zu ertrinken, habe
ich eine deutliche, schon aus den Überschriften erkennbare Scheidung in
Methodenteile und Anwendungsteile vorgenommen (wobei allerdings manches
Anwendungsbeispiel und manches mathematisch konkrete Detail in den Auf
gabenabschnitten der Methodenteile zu finden ist). Wer also "auf die Schnelle"
nur die tragenden Begriffe und Aussagen, gewissermaßen nur das methodische
Skelett der Analysis kennenlernen will, kann dies dank der beschriebenen
Gliederung tun, ohne in jedem Einzelfall prüfen zu müssen, ob der Stoff für seine
Zwecke relevant ist oder wo die ihn interessierende theoretische Überlegung
wieder aufgegriffen und fortgesetzt wird. Nach allem, was ich oben gesagt habe,
bin ich jedoch weit davon entfernt, ein so asketisches, die Fleischtöpfe der
Analysis beiseitelassendes Vorgehen zu empfehlen.
Vorwort 7
Der Leser wird bei der Lektüre des Buches bald bemerken, daß oftmals ein und
derselbe Sachverhalt von ganz verschiedenen Seiten und auf ganz verschiedenen
Methodenhöhen angegangen, beleuchtet und seziert wird. Ich wollte damit
zeigen, wie eng geknüpft jener Teppich der Analysis ist, von dem ich oben schon
gesprochen habe, wie reich und tief die inneren Beziehungen zwischen ihren
Begriffen und Verfahren sind, wollte zeigen, daß mit dem Ausbau und der
Verfeinerung des analytischen Instrumentariums alte Probleme leichter lösbar
und neue überhaupt erst angreifbar werden-wollte also, um alles in einem Wort
zu sagen, den Leser dazu überreden, in der Analysis nicht ein totes System zu
sehen, sondern einen lebendigen Prozeß, offen gegen sich und die Welt.
Zum Schluß bleibt mir die angenehme Pflicht, all denen zu danken, die mich bei
der Anfertigung dieses Buches unterstützt haben. Herr Prof. Dr. U. Mertins,
Herr Dr. G. Schneider und Herr Dipl.-Math. H.-D. Wacker haben nie
mit Rat, Anregungen und hilfreichen Bemerkungen gegeizt und haben
unermüdlich alle Korrekturen gelesen; Herr Dr. A. Voigt hat durch seine klaren
und sorgfältigen Zeichnungen wesentlich erhöht, was das Buch an didaktischem
Wert haben mag. Frau Y. Paasche und Frau K. Zeder haben die im Grunde
unlösbare Aufgabe gemeistert, ein unleserliches Manuskript von vielen hundert
Seiten in ein Schreibmaschinenskript zu verwandeln; es gelang ihnen anfänglich
anhand einer Lupe und dann mit Hilfe eines irgendwie entwickelten "zweiten
Gesichts". Dem Teubner-Verlag schulde ich Dank für seine Geduld und
Kooperationsbereitschaft und für die vortreffliche Ausstattung des Buches.
Meine Schwester, Frau Ingeborg Strohe, hat mir während der vorlesungsfreien
Zeit am Rande des Taunusstädtchens Nastätten ein Refugium geboten, in dem ich
ungestört an diesem Buch arbeiten konnte; an sie geht mein brüderlicher Dank.
Nastätten/Taunus, im März 1979 Harro Heuser
Vorwort zur zwölften Auflage
In der nun vorliegenden zwölften Auflage habe ich nur einige kleine Ausbesserungen
vorgenommen.
Karlsruhe, im September 1998 Harro Heuser
Vorwort zur dreizehnten Auflage
In der zwölften Auflage habe ich nur einige kleine Ausbesserungen vorgenommen, die
vorliegende dreizehnte Auflage ist ein Nachdruck der zwölften Auflage.
Karlsruhe, im Juni 2000 Harro Heuser
Inhalt
Einleitung 12
I Mengen und Zahlen
1 Mengen und ihre Verknüpfungen .. . . . . . 17
2 Vorbemerkungen über die reellen Zahlen. . . . 26
3 Die axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen 32
4 Folgerungen aus den Körperaxiomen .... 39
5 Folgerungen aus den Ordnungsaxiomen .... 44
6 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen 48
7 Rekursive Definitionen und induktive Beweise. Kombinatorik 52
8 Folgerungen aus dem Schnittaxiom 70
9 Die Potenz mit rationalem Exponenten . 77
10 Abstand und Betrag . . . . . . 81
11 Das Summen-und Produktzeichen 89
12 Einige nützliche Ungleichungen 95
11 Funktionen
13 Der Funktionsbegriff ................ 102
14 Reellwertige Funktionen. Funktionenräume und -algebren 111
15 Polynome und rationale Funktionen . . . . . 122
16 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . 128
17 Der Differenzenoperator. Lineare Abbildungen 130
18 Der Interpolationsfehler 135
19 Mengenvergleiche . . . . . . . . . . . . . 13 7
111 Grenzwerte von Zahlenfolgen
20 Der Grenzwertbegriff . . . . . . . . 142
21 Beispiele konvergenter und divergenter Folgen 147
22 Das Rechnen mit konvergenten Folgen 152
23 Vier Prinzipien der Konvergenztheorie . . . . 155
24 Die Dezimalbruchdarstellung der reellen Zahlen 161
25 Die allgemeine Potenz und der Logarithmus 163
26 Veränderungsprozesse und Exponentialfunktion 168
27 Der Cauchysche Grenzwertsatz . . . . . . . 176
28 Häufungswerte einer Zahlenfolge . . . . . . 179
29 Uneigentliehe Grenzwerte, Häufungswerte und Grenzen 183
Inhalt 9
IV Unendliche Reihen
30 Begriff der unendlichen Reihe ..... . 187
31 Konvergente und absolut konvergente Reihen 189
32 Das Rechnen mit konvergenten Reihen 195
33 Konvergenz- und Divergenzkriterien 203
V Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen
34 Einfache Eigenschaften stetiger Funktionen. . . . . . 212
35 Fixpunkt- und Zwischenwertsätze für stetige Funktionen 220
36 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen . . . 224
37 Der Umkehrsatz für streng monotone Funktionen 231
38 Grenzwerte von Funktionen für x-+ ~ 233
39 Einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . 238
40 Die Oszillation einer beschränkten Funktion 241
41 Grenzwerte von Funktionen für x-+ ±oo 243
42 Das Rechnen mit Grenzwerten ...... 245
43 Uneigentliche Grenzwerte ........ 246
44 Vereinheitlichung der Grenzwertdefinitionen. Netze 249
45 Doppelreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
VI Differenzierbare Funktionen
46 Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion . . . . . " 260
47 Differentiationsregeln .................. 270
48 Die Differentiation elementarer Funktionen. Winkelfunktionen 273
49 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung 279
50 Die Regel von de l'Hospital ............... 286
VII Anwendungen
51 Nochmals der Interpolationsfehler ........... " 291
52 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 293
53 Hyperbelfunktionen, Hochspannungsleitungen, Tempelsäulen . 296
54 Extremalprobleme ................... 303
55 Exponentielle, autokatalytische und logistische Prozesse. Epide-
mien. Das psychophysische Grundgesetz. Mathematische Erfas-
sung von Naturvorgängen ............... 309
56 Fall und Wurf, Raketenflug und Vollbremsung ...... 324
57 Schwingungen. Weitere Eigenschaften der Winkelfunktionen 334
58 Symbiotische und destruktive Prozesse . . . . . . . . .. 342
59 Konvexe und konkave Funktionen als Quelle fundamentaler Un-
gleichungen 347
VIII Der Taylorsche Satz und Potenzreihen
60 Der Mittelwertsatz für höhere Differenzen .... 353
61 Der Taylorsche Satz und die Taylorsche Entwicklung 353
10 Inhalt
62 Beispiele für Taylorsche Entwicklungen 358
63 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . 362
64 Die Summenfunktion einer Potenzreihe 367
65 Der Abelsche Grenzwertsatz . . . 379
66 Die Division von Potenzreihen 386
67 Die Existenz der WinkeHunktionen 391
68 Potenzreihen im Komplexen 393
69 Der Nullstellensatz für Polynome und die Partialbruch-
zerlegung rationaler Funktionen .... 398
IX Anwendungen
70 Das Newtonsche Verfahren . . . . . . . . . . . 406
71 Bernoullische Zahlen und Bernou1lische Polynome 410
72 Gedämpfte freie Schwingungen . . . . . . . . . 413
73 Die homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit
konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . .. 422
74 Die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten und speziellen Störgliedern 426
75 Resonanz ....................... 430
X Integration
76 Unbestimmte Integrale ........ 435
77 Regeln der unbestimmten Integration 438
78 Die Integration der rationalen Funktionen 445
79 Das Riemannsche Integral ..... 447
80 Exkurs: Arbeit und Flächeninhalt . . 457
81 Stammfunktionen stetiger Funktionen 460
82 Die Darbouxschen Integrale .... 464
83 Das Riemannsche Integrabilitätskriterium 468
84 Das Lebesguesche Integrabilitätskriterium 470
85 Integralungleichungen und Mittelwertsätze 475
s:
86 Nochmals das Integral f(t)dtmit variabler oberer Grenze 479
XI Uneigentliehe und Riemann-Stieltjessche Integrale
87 Integrale über unbeschränkte Intervalle 480
88 Das Integralkriterium ........ 483
89 Integrale von unbeschränkten Funktionen 485
90 Definition und einfache Eigenschaften des Riemann-Stielt-
jesschen Integrals . . . . . . . . . . 489
91 Funktionen von beschränkter Variation 493
92 Existenzsätze für RS-Integrale 499
93 Mittelwertsätze für RS-Integrale 502
XII Anwendungen
94 Das Wallissche Produkt 504