Table Of ContentMathematische Leitfiiden
Herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h. c. mult. G. Kothe,
Prof. Dr. K.-D. Bierstedt, Universitat-Gesamthochschule Paderbom
und Prof. Dr. G. Trautmann, Universitat Kaiserslautem
Lehrbuch der Analysis
Teil2
Von Dr. rer. nat. Harro Heuser
o. Professor an der Universitat Karlsruhe
II. Auflage
Mit 102 Abbildungen, 631 Aufgaben,
zum Teil mit Losungen
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufuahme
Ein Titeldatensatz fUr diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhiiltlich
II. Auflage September 2000
Aile Rechte vorbehalten
© B. G. Teubner GmbH, Stuttgart 1L eipzig 1W iesbaden 2000
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www.teubner.de
Umschlaggestaltung: Peter Pfitz, Stuttgart
ISBN 978-3-519-42234-1 ISBN 978-3-322-96812-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96812-8
Auch dieser Band ist fUr Isabella und Anabel, Marcus und Marius.
Die mathematische Analyse erstreckt sich ebenso weit wie die Natur selbst; sie
definiert aile wahrnehmbaren Beziehungen, miBt die Zeiten, Raume, Krafte,
Temperaturen. Diese schwierige Wissenschaft entwickelt sich langsam, aber
sie bewahrt aile Prinzipien, die sie einmal errungen hat; sie wachst und befe
stigt sich unablassig inmitten aller Irrungen und Fehler des menschlichen Gei
stes.
Ihre hervorstechende Eigenschaft ist die Klarheit; sie hat keinerlei Zeichen,
um verworrene Begriffe auszudriicken. Sie setzt die allerverschiedensten Pha
nomene zueinander in Beziehung und deckt die verborgenen Analogien auf,
die sie verbinden ... Sie scheint eine Fahigkeit des menschlichen Geistes zu
sein, die dazu bestimmt ist, einen Ausgleich zu bietenjUr die Kurze des Lebens
und die Unvollkommenheit der Sinne.
Jean Baptiste Fourier, ,,Analytische Theorie der Warme«.
Vorwort
Bei der Abfassung des zweiten Bandes meines Lehrbuches der Analysis bin ich den
selben Grundsatzen gefolgt, die fUr den ersten bestimmend waren: Ich wollte die
Theorie ausfUhrlich und faBlich darstellen, ausgiebig motivieren und durch viele
Beispiele und Ubungen zum sicheren Besitz des Lesers machen. AuBerdem wollte
ich Brticken schlagen zu den Anwendungen analytischer Methoden in den allerver
schiedensten Wissenschaften und dabei das wechselseitig fOrdemde Ineinandergrei
fen "blasser" Theorie und "handfester" Praxis aufscheinen lassen, ein Ineinander
greifen, dem die Analysis einen guten Teil ihrer Vitalitat und Dynamik verdankt.
Und schlieBlich wollte ich durch eine klare und auch auBerlich leicht erkennbare
Scheidung von Methoden- und Anwendungsteilen dafUr sorgen, daB der Leser trotz
der Hille des Materials den roten Faden nicht verliert. Dieser rote Faden ist der
Versuch, das Anderungsverhalten der Funktionen begrifflich zu erhellen und aus
der Anderung einer Funktion "im Kleinen" ihren Verlauf "im GroBen" zu rekon
struieren. Dabei stehen diesmal im Vordergrund der Uberlegungen Funktionen, de
ren Argumente und Werte Vektoren aus dem RP oder sogar Elemente aus noch viel
allgemeineren Raumen sind. Dieser Ubergang yom Eindimensionalen zum Mehrdi
mensionalen entspringt nicht mtiBiger Neugier und Verallgemeinerungssucht - er
wird uns vielmehr sehr nachdrticklich durch die unabweisbaren Bedtirfnisse der Pra
xis aufgenotigt. Die Prozesse der Natur spielen sich eben fUr gewohnlich im Raum
und nicht nur auf einer Geraden abo
Die Analysis ist in einer 2500jahrigen Entwicklung mtihevoll zu dem geworden, was
sie heute ist. Ihre Geschichte ist reich an stiller Arbeit und larmender Polemik, an
triumphalen Durchbrtichen und niederschmettemden Enttauschungen, an bohren
der Kritik und wtistem Draufgangertum; sie ist auf das engste verwoben mit philoso
phischem und naturwissenschaftlichem Denken und mit wirtschaftlichem und krie
gerischem Handeln - kurz: sie ist eines der glanzvollen und nachdenklich stimmen
den Kapitel in dem groBen Roman des unruhigen Menschengeistes. In einem kurzen
historischen Rtickblick habe ich versucht, etwas von diesem langen Ringen urn die
Gestaltung der Analysis zu erzahlen.
Der Leser wird in den Methodenteilen dieses Buches mehrere Dinge finden, die in
dem engen Zeitrahmen einer dreisemestrigen Analysisvorlesung nicht immer unter
gebracht werden konnen. Ich habe sie aufgenommen, weil mir vorschwebte, dieses
Buch zu einem zuverlassigen Helfer auch tiber die Anfangssemester hinaus zu ma
chen. Der Leser wird diesen Dingen schon bald nach AbschluB seiner "offlziellen"
Vorwort 5
Analysisstudien begegnen, sei es in Vorlesungen, in Proseminaren oder bei eigen
sUindiger Lektiire mathematischer Literatur. Und auBerdem wolIte ich gewisserma
Ben "vor Ort" zeigen, wie modeme Begriffsbildungen und Aussagebestande ganz
natiirlich und geradezu zwangslaufig aus dem angesammelten Material der Analysis
herauswachsen, wenn man von der konkreten Beschaffenheit dieses Materials ab
sieht und statt dessen die ihm eigentiimliche Struktur herauszupraparieren sucht.
Auch dieser ProzeB ist letztlich nichts anderes als eine konsequente Anwendung der
axiomatischen Methode, nur daB sich letztere diesmal nicht unmittelbar auf reelIe
Zahlen selbst richtet, sondem auf Bereiche, die sich nach und nach aus dem Um
gang mit diesen Zahlen gebildet haben. Die so entstehenden Strukturtheorien (z. B.
die Lehre von den topologischen Raumen) sind gewissermaBen Rontgenaufnahmen,
die durch Fleisch und Fett hindurch das tragende Knochengeriist "klassischer"
Theorien erkennen lassen.
Aus dem eben Gesagten ergibt sich fast von selbst, daB man den vorliegenden Band
nicht pedantisch Kapitel um Kapitel, Abschnitt um Abschnitt durchzuarbeiten
braucht. Um so notwendiger ist natiirlich eine Leseanleitung flir denjenigen, der sich
zunachst nur mit dem klassischen Kern der mehrdimensionalen Analysis beschafti
gen mochte. Ein solcher Leser solIte sich in den Methodenteilen konzentrieren auf
die Nummem 109-114, 162-174, 177-184 und 196-210. Aus den Anwendungsteilen
kann er mitnehmen, was ihm interessant erscheint und seinen im Kurzkurs erworbe
nen Kenntnissen zuganglich ist. Welche Nummem dies im einzelnen sind, wird er
im Laufe der Lektiire leicht selbst feststelIen konnen.
Die mehr technischen Anweisungen zum gewinnbringenden Gebrauch dieses Bu
ches habe ich bereits in der Einleitung des ersten Bandes gegeben. Ich brauche sie
also hier nicht mehr zu wiederholen.
Mit Freude benutze ich die Gelegenheit, all denen meinen herzlichen Dank abzu
statten, die mich bei der HerstelIung des vorliegenden Bandes unterstiitzt haben.
Ich danke Frl. Dipl.-Math. M. Bertsch, Herro Dr. G. Schneider, Herro Dr. H.-D.
Wacker und Herro Dipl.-Math. A. Weckbach daflir, daB sie die erste Fassung
des Buches und aIle seine Anderungen kritisch gelesen und durch viele Beitrage ver
bessert und geglattet haben; ganz besonders aber daflir, daB sie mehrfach mit pein
lichster Gewissenhaftigkeit die zahlreichen Aufgaben gepriift und durchgerechnet
haben. Last but not least mull ich ihnen danken flir die miihselige Korrektur der
Druckfahnen. Ich danke Herm Prof. Dr. U. Mertins (Technische UniversiHit Clausthal)
daflir, daB er die vorletzte Fassung einer sorgfaltigen Durchsicht unterzogen und
mich dabei wieder und wieder durch anregenden Rat unterstiitzt hat. Herro Dr. A.
Voigt schulde ich Dank flir die vielen klaren Zeichnungen, die das Verstandnis des
Textes so sehr erleichtem. Frau Y. Paasche und Frau K. Zeder haben mit liebens
wiirdigster Geduld und gewohnter Prazision mein Manuskript, eine vielhundertseiti
ge Zumutung, in ein sauberes Maschinenskript umgesetzt; ich danke ihnen herzlich.
Oem Teubner-Verlag habe ich zu danken flir seine unermiidliche Kooperation und
die vortremiche Ausstattung des Buches.
6 Vorwort
Meine Schwester, Frau Ingeborg Strohe, hat mir in ihrem ruhigen Haus in NasUit
ten/Taunus die Moglichkeit geboten, ungestort und intensiv an diesem Buch zu ar
beiten. Ich bin ihr gro6en Dank schuldig.
Nastatten/Taunus, im Juli 1980 Harro Heuser
Vorwort zur zehnten Auflage
Flir die zehnte Auflage genligte es, einige kleine Anderungen vorzunehmen.
Karlsruhe, im September 1998 Harro Heuser
Vorwort zur elften Auflage
Fur die zehnte Auflage geniigte es, einige kleine Anderungen vorzunehmen, die vor
liegende elfte Auflage ist ein Nachdruck der zehnten Auflage.
Karlsruhe, im Juni 2000 Harro Heuser
Inhalt
XIV Banachranme und Banachalgebren
109 Banachraume . . 11
110 Banachalgebren 23
111 Stetige Abbildungen normierter Raume 30
112 Stetige line are Abbildungen normierter Raume 40
113 Stetige Funktionen aus RP nach Rq 45
114 Lineare Abbildungen von RP nach Rq 50
115 Der Satz von Stone-WeierstraB 59
116 Die komplexe Version des Satzes von Stone-WeierstraB. Trigo-
nometrische Approximation 64
XV Anwendungen
117 Der Satz von Picard-Lindel6f flir die Differentialgleichung
y' = f(x, y) 67
118 Der Satz von Peano flir die Differentialgleichung y' = f(x, y) 69
119 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 73
120 Differentialgleichungen hOherer Ordnung 77
121 Die Fredholrnsche Integralgleichung 79
122 Die Volterrasche Integralgleichung 82
XVI Das Lebesguesche Integral
123 Die Defmition des Lebesgueschen Integrals 84
124 Einfache Eigenschaften des Lebesgueschen Integrals 89
125 Der Konvergenzsatz von Beppo Levi 93
126 Der Konvergenzsatz von Lebesgue und das Lemma von Fa-
tou 96
127 Das Riemannsche Integral in der Lebesgueschen Theorie 99
128 Parameterintegrale 101
129 MeBbare Funktionen 103
130 Die Banachraume LP (I) 106
131 Das unbestimmte Integral 110
XVII Fourierreihen
132 Das Problem der schwingenden Saite 118
133 Der Begriff der Fourierreihe 123
134 Die Approximation im quadratischen Mittel 127
135 Die Integraldarstellung der Teilsummen einer Fourierreihe 133
136 Punktweise Konvergenz der Fourierreihen . 138
137 GleichrnaBige Konvergenz der Fourierreihen 144
138 Beispiele flir Fourierentwicklungen 148
8 Inhalt
139 C-Summierbarkeit der Fourierreihen . . . . . . . .. 154
140 A-Summierbarkeit der Fourierreihen . . . . . . . .. 160
141 L2-Konvergenz der Fourierreihen (Konvergenz im quadrati-
schen Mittel) . . . . . . . . . . . . . . .. 163
142 Folgerungen aus der L2-Konvergenz der Fourierreihen 167
143 Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der F ourierreihen 170
XVIII Anwendungen
144 Nochmals die schwingende Saite 174
145 Gedampfte Schwingungen unter dem EinfluB periodischer
Zwangskrafte ..... . 179
146 Temperaturverteilung in einer kreisfOrmigen Platte 182
f +00 sinx
147 Das Integral --dx. . . . . . . . . 187
o X
I
~k·
148 Die Reihen • • . • • 188
n
n=l
149 Die Produktdarstellung von sin 'IT x 190
150 Die Gammafunktion . . . . . 195
151 Das Fehlerintegral. Die Fresnelschen Integrale 200
XIX Topologiscbe Riiume
152 Umgebungen und Topologien 202
153 Beispiele topologischer Raume 205
154 Konvergenz in topologischen Raumen 211
155 Topologische Elementarbegriffe 218
156 Relative Topologien ..... . 224
157 Kompakte Mengen ..... . 227
158 Stetige Abbildungen topologischer Raume 230
159 Die Algebra C(X) . . . . . . 233
160 Zusammenhangende Mengen 235
161 Bogenzusammenhangende Mengen 240
XX Differentialrechnung im RP
162 Partielle Ableitungen . . . . . . . . 247
163 Das Anderungsverhalten der ct-Funktionen 254
164 Differenzierbare Funktionen. Die Ableitung 259
165 Differentiationsregeln . 266
166 Die Richtungsableitung 272
167 Mittelwertsatze 276
168 Der Taylorsche Satz 281
169 Implizite Funktionen 286
170 Die Differenzierbarkeit implizit definierter Funktionen 295
171 Der U mkehrsatz ....... . 300
172 Bericht fiber Determinanten . . . . . 304
173 Lokale Extrema reellwertiger Funktionen 310
174 Extrema mit Nebenbedingungen 319
175 Differentiation in Banachraumen 330
176 Differentiation komplexer Funktionen 345
Inhalt 9
XXI Wegintegrale
177 RektiflZierbare Wege . . . . . . . . . . . . .. 349
178 Die Bogenlange .............. 358
179 Bericht tiber Bogenpathologien und den Jordanschen Kurven-
satz . . . . . . . . . . 366
180 Wegintegrale . . . . . . . . . . . 367
181 Gradientenfelder und Potentiale . . . . 379
182 Wann ist ein Vektorfeld ein Gradientenfeld? 385
183 Praktische Bestimmung der Stammfunktionen 388
184 Das Integral reellwertiger Funktionen beztiglich der Weglange 390
185 Komplexe Wegintegrale . . . . . . . . . . . " 392
186 Der Cauchysche Integralsatz und die Cauchysche Integralformel 395
187 Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel . . . .. 401
XXII Anwendungen
188 Ausgleichspolynome . . . . . 408
189 Das Newtonsche Verfahren im RP 412
190 Die exakte DifTerentialgleichung 416
191 Eine Grundaufgabe der Variationsrechnung 421
192 Konservative Kraftfelder ...... 426
193 Kleine Bewegungen um stabile Gleichgewichtslagen 430
194 Das Hamiltonsche Prinzip und die Lagrangeschen Gleichungen
zweiter Art .......... 432
195 Autoprobleme. Warmesuchende Korper . . . . . .. 433
XXIII Mehrfache R-Integrale
196 Vorbemerkungen ............... 437
197 Das Riemannsche Integral tiber kompakte Intervalle im RP 439
198 Die Darbouxschen Integrale tiber kompakte Intervalle im RP . 442
199 Integrabilitatskriterien und einige Folgerungen aus ihnen 444
200 Der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . .. 448
201 Integration tiber Jordan-meBbare Mengen . . . . . .. 453
202 Die Rolle Jordanscher Nullmengen in der Integrationstheorie 461
203 Inhalte von Ordinatenmengen 466
204 Integration tiber Normalbereiche . . . . . . . " 470
205 Die Substitutionsregel . . . . . . . .. 473
206 Transformation auf Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten 485
XXIV Integralsatze
207 Der GauBsche Integralsatz in der Ebene 495
208 Flachen und Oberflachenintegrale im Raum 499
209 Der Stokessche Integralsatz 512
210 Der GauBsche Integralsatz im Raum 516
211 Alternierende Multilinearformen 524
212 DifTerentialformen . . . . . . 531
213 Integration von DifTerentialformen 541
214 Ketten . . . . . . 544
215 Integration tiber Ketten 549
10 Inhalt
216 Der Stokessche Satz flir r-Ketten 553
217 Spezialfalle des Stokesschen Satzes 556
XXV Anwendungen
218 Die physikalische Bedeutung der Divergenz und des GauBschen
Integralsatzes . . . 559
219 Warmeleitung . . . . . . . . . . . . 561
220 Gravitationspotentiale ........ 563
221 Zentralkrafte . . . . . . . . . . . . 570
222 Die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung 571
223 Das Problem der Dido ........ 577
XXVI Mehrfache L-Integrale
224 Das Lebesguesche Integral im RP . . . . . 581
225 Der Satz von Fubini fur mehrfache L-Integrale 583
226 MeBbare Funktionen . . . . . . . . . 586
227 MeBbare Mengen . . . . . . . . . . 587
XXVII Die Fixpunktsiitze von Brouwer, Schauder und Kakutani
228 Der Fixpunktsatz von Brouwer ....... 592
229 Ein Fixpunktsatz flir konvexe, kompakte Mengen im RP 601
230 Die Fixpunktsatze von Schauder 604
231 Korrespondenzen ..... 609
232 Der Fixpunktsatz von Kakutani 614
XXVIII Anwendungen
233 Nochmals der Existenzsatz von Peano .. . . . .. 617
234 V orbemerkungen zum Modell der reinen Tauschwirtschaft 620
235 Nachfragekorrespondenzen . . . . . . . 625
236 Die Existenz von Wettbewerbsgleichgewichten .... 630
XXIX Ein historischer tour d'horizon
237 Die Pythagoreer . . . 634
238 Proportionen und Exhaustion 636
239 Archimedes ..... 640
240 Auf dem Weg zum Calculus 646
241 Newton ...... . 656
242 Leibniz . . . . . . . 668
243 Zeitgenossische Kritik am Calculus 676
244 Die analytische Explosion 680
245 Die neue Strenge 689
Statt eines N achworts 701
LOsungen ausgewiihlter Aufgaben 702
Literaturverzeichnis 727
Symbolverzeichnis . 728
N amen- und Sachverzeichnis 729
