Table Of ContentMathematische Leitfaden
Herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h.c. mult. G. Kothe,
Prof. Dr. K.-D. Bierstedt, Universitat-Gesamthochschule Paderborn,
und Prof. Dr. G. Trautmann, UniversiHit Kaiserslautern
Lehrbuch der Algebra
Vnter Einschlu8 der linearen Algebra
Tei)!
Von Prof. Dr. rer. nat. Gunter Scheja
Universitat Tubingen
und Prof. Dr. rer. nat. Uwe Storch
Universitat Bochum
2., iiberarbeitete und erweiterte Auflage
Mit 41 Figuren, 295 Beispielen und 899 Aufgaben
B. G. Teubner Stuttgart 1994
Prof. Dr. rer. nat. Giinter Scheja
Geboren 1932 in Wuppertal-Barmen. Studium der Mathematik und Naturwis
senschaften an der Universitat Miinster von 1952 bis 1958. Promotion 1958 und
Habilitation 1963 im Fach Mathematik in Miinster, anschlieBend als Dozent
und Professor in Miinster, Lafayette/Indiana und FreiburglSchweiz tatig. 1969
o. Professor an der Ruhr-Universitat Bochum, seit 1979 o. Professor an der
Universitat Tiibingen.
Prof. Dr. rer. nat. Uwe Storch
Geboren 1940 in LeopoldshalUSachsen-Anhalt. Studium der Mathematik, Phy
sik und Mathematischen Logik an den Universitaten Miinster und Heidelberg
von 1960 bis 1966. Promotion 1966 in Miinster. Habilitation 1972, anschlieBend
Dozent und Professor in Bochum. 1974 o. Professor an der Universitat Osna
briick, seit 1981 o. Professor an der Universitat Bochum.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Scheja, Gunter:
Lehrbuch der Algebra : unter EinschluB der linearen Algebra /
von Giinter Scheja und Uwe Storch. - Stuttgart: Teubner.
(Mathematische Leitfaden)
NE: Storch, Uwe:
Teil 1. Mit Beispielen und Aufgaben. - 1994
(Mathematische Leitfaden)
ISBN-13: 978-3-519-12203-6 e-ISBN-13: 978-3-322-80137-1
DOl: 10.1007/978-3-322-80137-1
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung
auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verla
ges unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fiir Vervielfaltigungen. Dbersetzungen. Mi
kroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner. Stuttgart 1994
Gesamtherstellung: Zechnersche Buchdruckerei. Speyer
Aus clem Vorwort zur erste n Auflage von Teil 1
Das "Lehrbuch der Algebra", von dem hier der erste von zwei Teilen vor
liegt, ist im AnschluB an Vorlesungen des Grundstudiums entstanden, die
wir an den U niversitaten in Bochum und Osnabruck gehalten haben. Dabei
haben wir eine einheitliche Einfuhrung in die Grundlagen der Algebra an
gestrebt und versucht, die vielfach ubliche Trennung in zusammenhanglose
Vorlesungen uber Lineare Algebra, Lineare Geometrie, Klassische Algebra
etc. zu vermeiden. Demzufolge solI das Buch von Lernenden der Mathema
tik und Physik von Anfang an fur das Grundstudium benutzt werden.
Die Grundbegriffe: Gruppen, Ringe, Moduln, Homomorphismen werden in
den aufeinander aufbauenden Kapiteln II bis V mit der gebotenen Aus
fuhrlichkeit und Allgemeinheit abgehandelt. Urn von der Bedeutung dieser
Begriffe, deren voller Wert erst im Laufe des Studiums geschatzt werden
kann, unmittelbar einen Eindruck zu geben, sind dem Text viele Beispiele
und Aufgaben unterschiedlichster Art beigefugt, unter anderem aus Analy
sis, Geometrie, Elementarer Zahlentheorie. Der Leser mage sich davon das
ihm jeweils Zusagende herausgreifen ...
Kapitel I enthalt die Mengenlehre in dem Umfang, wie sie derjenige benatigt,
der sich nicht auf Grundlagen spezialisiert. Einige Satze daraus, insbeson
dere uber Kardinalzahlen, werden spater benutzt. Sind dem Leser men
gentheoretische Sprechweisen bereits gelaufig, so genugt es anfangs jedoch,
dieses Kapitel durchzubliittern.
Die Determinantentheorie wird in Kapitel VI soweit entwickelt, wie sie fur
Anwendungen unbedingt gebraucht wird ...
Der Studienanfiinger kommt im erst en Semester damit aus, den ersten Teil
des Buches zu benutzen ...
Wir danken allen, die uns bei der Arbeit an diesem Buch geholfen ha
ben. Insbesondere waren Kritik und detaillierte VerbesserungsvorschUige
der Herren Doz. Dr. J. Bingener, Dr. H. Flenner, Dr. U. Jahner, Dr. E. Platte,
Akad. ORat Dr. H. Wiebe von groBem Wert fur uns. Bei der Korrektur der
Druckfahnen haben uns auBerdem die Herren Prof. Dr. A. Duma, Dipl.
Math. F. Nestl, Dipl.-Math. M. Regel und vor aHem Dipl.-Math. M. Si un
terstutzt. Fur die sorgfiiltige Ausfuhrung der Schreibarbeiten danken wir
Frau K. Eichhorn, Frau D. Jelen und Frau C. Matron.
Die Anregung, unsere Vorlesung in Buchform herauszubringen, geht auf
Herrn Prof. Dr. K. Kirchgassner zuruck. Herausgebern und Verlag schulden
wir Dank fur verstandnisvolle Zusammenarbeit und Geduld.
Bochum und Osnabruck, im Sommer 1978 Die Verfasser
Vorwort zur zweiten Auflage
Das vorliegende Buch ist eine korrigierte Ausgabe des erst en und dritten
Teils unserer "Algebra", die wir nun unserer ursprunglichen Intention gemii:B
zusammengefa:Bt vorlegen.
Den einzelnen Kapiteln sind tiefer gehende Ergiinzungen angefugt, zu deren
Verstiindnis die bis dahin im Haupttext vorgestellten Begriffe und Ergeb
nisse ausreichen. Diese Anhiinge sind in sich abgeschlossen und konnen
unter anderem als Vorlagen zu Proseminaren und Seminaren dienen. Sie
enthalten sicherlich auch Spezielles, gro:Btenteils jedoch Dinge, die sich der
Studierende der Mathematik noch vor Eintritt in die Examensphase zu eigen
machen sollte, wie Teile der Mengenlehre, der Elementaren Zahlentheorie,
der Gruppentheorie, der Strukturtheorie der Ringe und Moduln und der
Grundlagen der Geometrie.
Bei der Vorbereitung dieser Neuauflage haben uns viele geholfen; wir danken
ihnen herzlich dafur. Frau Chr. Maa:Ben hat den gesamten ursprunglichen
Text in eine 'lEX-Vorlage fur den Druck umgesetzt, wobei ihr Herr Dipl.
Math. A. Kaiser mit Rat und Tat beigestanden hat. Bei den Korrekturen ha
ben uns die Herren Akad. ORat Dr. W. Grolz, Dipl.-Math. J. Kerres, Dipl.
Math. U. Kortmann und Dipl.-Math. G. Reifiner, sowie Frau Dr. U. Franzen
unterstutzt. Die Leitung lag bei Herrn Reifiner, dem wir fur seine sorgfaltige
Arbeit besonderen Dank schulden.
Des weiteren erinnern wir an die Hilfe von Frau R. Merz und den Herren
Dr. Chr. Dreher und Dr. M. Regel bei der Erstellung des Manuskripts der
Erstauflage des dritten Teils.
SchlieBlich danken wir Herrn Dr. P. Spuhler vom B. G. Teubner-Verlag herz
lich fur die langjiihrige gute Betreuung und Zusammenarbeit.
Bochum und Tubingen, im Herbst 1993 Die Verfasser
Hinweise zur N umerierung
Aussagen sind wie folgt gezahlt: Zuerst steht die Nummer des Paragraphen bzw.
das Kennzeichen des Anhangs, danach die laufende Nummer innerhalb des Pa
ragraphen bzw. Anhangs. Beispielsweise gibt 19.3 die 3. Aussage in §19 an und
IV.C.5. die 5. Aussage im Anhang IV.C. Beispiele, Bemerkungen und Aufgaben
sind in jedem Paragraphen bzw. Anhang jeweils von neuem durchnumeriert und
werden innerhalb des betreffenden Paragraphen bzw. Anhangs nur mit ihrer ein
fachen Nummer zitiert.
Inhalt
I Grundbegriffe der Mengenlehre
§1 Mengen und Abbildungen .......................... 9
§2 yollstandige Induktion ............................. 17
§3 Aquivalenzrelationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§4 Ordnungsrelationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§5 Kardinalzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§6 Machtigkeit der Potenzmengen ...................... 44
§7 Machtigkeit unendlicher Mengen .................... 50
LA Zornsches Lemma ................................. 52
II Gruppen und Ringe
§8 Verkniipfungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
§9 Halbgruppen und Monoide ......................... 65
§10 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie ......... 71
§11 Gruppen ......................................... 81
§12 Untergruppen..................................... 84
§13 Zyklische Gruppen ................................ 95
§14 Ringe............................................ 102
§15 Spezielle Ringelemente ............................. 108
§16 Nullteilerfreie Ringe und Divisionsbereiche ............ 115
§17 Primringe ........................................ 118
ILA Untermonoide der additiven Gruppe ~ ............... 122
n.B Untergruppen und Unterringe von <Q ................. 125
ILC Kettenbriiche ..................................... 128
III Moduln und Algebren
§18 Moduln .......................................... 154
§19 Untermoduln ..................................... 158
§20 Ideale............................................ 164
§21 Lineare Gleichungen ............................... 169
§22 Lineare Unabhangigkeit ............................ 175
6 Inhalt
§23 Basen von Vektorraumen ........................... 180
§24 Dimension von Vektorraumen ....................... 184
§25 Rang freier Moduln ................................ 189
§26 Assoziative Algebren ............................... 195
§27 Freie Algebren .................................... 203
§28 Strukturkonstanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 207
III.A Radikale ......................................... 215
III.B Moduln tiber Hauptidealringen ...................... 221
III.C Direkte Produkte ohne Basen ....................... 228
IV Homomorphismen von Gruppen und Ringen
§29 Isomorphismen und Homomorphismen ............... 238
§30 Homomorphismen von Gruppen ..................... 246
§31 Homomorphismen von Ringen ...................... 265
§32 Restklassengruppen................................ 277
§33 Restklassenringe .................................. 285
§34 Operieren von Monoiden ........................... 294
IV.A Die Sylowschen Satze .............................. 308
IV.B Primrestklassengruppen ............................ 319
IV. C Quadratische Reste ................................ 330
IV.D Freie Gruppen .................................... 339
IV.E Der Satz von Nielsen und Schreier ................... 354
V Homomorphismen von Moduln
§35 Homomorphismen von Moduln ...................... 367
§36 Grundlegende Satze ............................... 376
§37 Restklassenmoduln ................................ 393
§38 Ringe und Moduln mit Kettenbedingungen ........... 402
§39 Direkte Summen .................................. 412
§40 Matrizen ......................................... 429
§41 Dualisieren ....................................... 450
§42 Exakte Sequenzen ................................. 464
§43 Affine Raume ..................................... 480
V.A Quadratische Algebren ............................. 503
V.B Projektive Moduln ................................ 522
V.C Injektive Moduln .................................. 527
V.D Divisible abelsche Gruppen ......................... 536
V.E Moduln endlicher Lange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 544
Inhalt 7
V.F Eigenschaften der Matrizenringe .................... . 548
V.G Halbeinfache Ringe und Moduln .................... . 554
V.H Projektive Raume ................................ . 565
V.I Synthetische Beschreibung affiner Raume ............ . 583
VI Determinanten
§44 Gerade und ungerade Permutationen ................ 602
§45 Multilineare Abbildungen .......................... 610
§46 Determinanten von Endomorphismen ................ 617
§47 Determinanten quadratischer Matrizen ............... 623
§48 Entwicklung nach Zeilen und Spalten, Cramersche Regel 634
§49 Weitere Determinantensatze ........................ 648
§50 Die Norm bei Algebren .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 656
VI.A Alternierende Gruppen ............................. 660
VI.B Spezielle lineare Gruppen .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 664
Literatur .................................................. 678
Verzeichnis einiger Symbole ............................. 680
N amen- und Sachverzeichnis ............................ 682
I Grundbegriffe der Mengenlehre
§1 Mengen und Abbildungen
In diesem Kapitel iiber Mengenlehre sollen einige Grundbegriffe und Schreibwei
sen angefiihrt und einige einfache Satze bewiesen werden, soweit sie im weiteren
benutzt werden. Mehr als ein naives Verstandnis der Anfange der Mengenlehre
brauchen wir nicht. Fiir genauere Auskiinfte sei auf P. R. H a I m 0 s [16] sowie
auf J. S c h mid t [32] und die dort angegebene Grundlagenliteratur aufmerksam
gemacht.
Eine wohlbestimmte Gesamtheit von Objekten heiBt eine Menge, die Ob
jekte selbst heiBen die E 1e men t e oder gelegentlich auch die Pun k t e
dieser Menge.
Bemerkung 1 Bei dieser recht groben Beschreibung von Mengen und Elemen
ten miissen wir es belassen. Es sei jedoch bemerkt, daB man bei der Bildung
von Mengen Vorsicht walt en lassen muB. Ein bekanntes Beispiel dafiir ist die
Russellsche Antinomie (B. Russell 1901): Eine Menge heiBe normal,
wenn sie sich selbst nicht als Element enthalt. Die Menge aller normalen Mengen
existiert nicht; denn eine solche Menge ware offenbar genau dann normal, wenn
sie nicht normal ware. - Die von uns im folgenden verwendeten Prinzipien zur
Konstruktion von Mengen fiihrten bis jetzt nicht zu Widerspriichen wie dem eben
angefiihrten. DaB diese Prinzipien hier nicht weiter festgelegt werden, macht im
wesentlichen die Naivitat der in diesem Kapitel vorgetragenen Uberlegungen aus.
Sind Meine Menge und x ein Objekt, so schreiben wir wie ublich
x E M bzw. x ~ M
in dem Fane, daB x Element bzw. nicht Element von Mist. Hierzu sei
erwahnt, daB es ublich ist, bei Abkurzungen mathematischer Aussagen
durch Zeichen (wie E) die Verneinung durch Durchstreichen (wie bei ~)
anzugeben.
Sind M, N Mengen und ist jedes Element von N auch ein Element von M,
so heif3t N eine T e i 1 men g e oder Un t e r men g e von M und Meine
Obermenge oder Erweiterungsmenge von N; wir schreiben in
diesem Fane
N~M
und sprechen von der Ink 1 u s ion der Menge N in M. Genau dann ist
N = M, wenn N ~ M und M ~ N gilt. Das Priifen der beiden Inklusionen
10 I Grundbegriffe der Mengenlehre
N ~ M und M ~ N ist ein wichtiges Verfahren, die Gleichheit M = N
zweier Mengen M, N zu beweisen.
1st N ~ M und N =1= M, so heiBt N eine e c h t e Teilmenge von M, hierfiir
verwenden wir das Zeichen
NCM.
Man sagt dann auch, die Inklusion von N in M sei echt.1) In der Menge ~
aller ganzrationalen Zahlen
... , - 2, -1,0, 1,2, ...
ist beispielsweise die Menge IN aller natiirlichen Zahlen
0,1,2, ...
eine echte Teilmenge. Manchmal konnen Mengen bequem dadurch beschrie
ben werden, daB man ihre Elemente in geschweiften Klammern explizit auf
fiihrt, etwa IN = {O, 1, 2, ... }. Auch Teilmengen konnen auf diese Weise
haufig leicht durch Eigenschaften ihrer Elemente angegeben werden. So ist
IN = {x E ~ : x nicht negativ}. Mit
IN*
wollen wir die Menge der positiven ganzrationalen Zahlen 1,2, ... bezeich
nen, also IN* = {x E IN : x =1= O}.
Sei Meine Menge. Die Menge aller ihrer Teilmengen heiBt die Pot e n z
menge von M und wird mit I.lJ(M) bezeichnet. Die Menge, die kein einziges
Element enthalt, auch Ie ere Menge genannt und mit 0 bezeichnet, ist
stets ein Element von I.lJ(M). Ferner gehort M zu I.lJ(M).
Wichtige mengentheoretische Operationen liefern aus Elementen von 1.lJ( M)
wieder Elemente von I.lJ(M). Wir erwahnen davon die folgenden: N und
P seien beliebige Mengen (also nicht notwendig Teilmengen von M). Die
Vereinigung von N und P ist die Menge
N u P := {x : x E Nader x E P} ,
der D urchschni t t von N und P ist die Menge
n
N P := {x : x E N und x E P} ,
und die Differenz von N und P ist die Menge
N " P := {x : x E N, x ~ P} .
In den letzten drei Gleichungen steht der vor das Gleichheitszeichen gesetzte
Doppelpunkt als Definitionskiirzel dafiir, daB jeweils die linke Seite durch
1) Einige Autoren verwenden das Zeichen C fur die gewohnliche Inklusion und
schreiben dann c::: oder ~ fur die echte Inklusion.
§1 Mengen und Abbildungen 11
die rechte Seite definiert ist. 1st N eine Teilmenge der Menge M, so heiBt
die Differenz von M und N das K 0 m pIe men t von N in M. Man be
zeichnet es mit C N oder kurz mit CN, wenn klar ist, in welcher Menge die
M
Komplementbildung erfolgt. Es ist also
CMN=M,N.
Zwei Mengen N und P mit NnP = 0 heiBen disjunkt oder element
fremd oder punktfremd.
Wir erwahnen einige wichtige Rechenregeln fiir die genannten Operationen,
wobei wir von vollig trivialen wie etwa N U 0 = N, N n N = N oder
CM(CMN) = N absehen:
NUP=PuN,
NnP=PnN (Kommutativitat)
NU(PUQ) = (NUP)UQ,
Nn(pnQ) = (Nnp)nQ (Assoziativitat)
N U (P n Q) = (N U P) n (N U Q),
N n (P U Q) = (N n P) U (N n Q) (Distributivitat)
CM(N U P) = (CMN) n (CMP), (Dualitat oder
CM(N n P) = (CMN) U (CMP). de Morgansche Regeln)
Hierbei seien N, P, Q beliebige Mengen. Fiir die letzten beiden Formeln
sei vorausgesetzt, daB N und P Teilmengen der Menge M sind. In Klam
mem haben wir die Bezeichnungen hinzugefiigt, mit denen die angefiihrten
Rechenregeln gewohnlich benannt werden.
Seien M und N Mengen. Eine Vorschrift, die jedem x E M ein wohlbe
stimmtes yEN zuordnet, heiBt eine A b b i 1d un g von M in N. Eine
Abbildung f von M in N wird in der suggestiven Form
f : M -> N oder M -L N
geschrieben. Zur Prazisierung identifiziert man die Abbildung f : M -> N
mit ihrem Graphen
Graphf = rf = {(x,f(x)): x EM},
wobei fiir Elemente x E M, yEN mit (x, y) das P a a r bezeichnet wird,
dessen erste Komponente x und dessen zweite Komponente y ist. Gelegent
lich wird eine Abbildung (von M in N) auch als Funktion (auf M mit
Wert en in N) bezeichnet. Wird dem Element x E M durch f das Element
yEN zugeordnet, so heiBt y der Wert oder das Bild(element) von f
an der S tell e oder dem A r gum e n t oder schlicht in x und wird meistens
mit f(x) bezeichnet. Zuweilen lohnt es sich, andere Bezeichnungen zu be
nutzen, beispielsweise f (x) mit f x abzukiirzen. M heiBt der A r gum e n t -
