Lecture Notes on Classical Mechanics

463 Pages·2016·7.83 MB·English

Lecture Notes on Classical Mechanics
(A Work in Progress)
Daniel Arovas
Department of Physics
University of California, San Diego
April 20, 2016
Contents
0.1 Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
0 Reference Materials 1
0.1 Lagrangian Mechanics (mostly) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Hamiltonian Mechanics (mostly) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.3 Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Introduction to Dynamics 3
1.1 Introduction and Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Newton’s laws of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Aside : inertial vs. gravitational mass . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Examples of Motion in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Uniform force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Uniform force with linear frictional damping . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Uniform force with quadratic frictional damping . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Crossed electric and magnetic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Pause for Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Systems of Particles 11
2.1 Work-Energy Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Conservative and Nonconservative Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Example : integrating F = ∇U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
−
2.3 Conservative Forces in Many Particle Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 15
i
ii CONTENTS
2.4 Linear and Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Scaling of Solutions for Homogeneous Potentials . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Euler’s theorem for homogeneous functions . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2 Scaled equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Appendix I : Curvilinear Orthogonal Coordinates . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6.1 Example : spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6.2 Vector calculus : grad, div, curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Common curvilinear orthogonal systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.1 Rectangular coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.2 Cylindrical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.3 Spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7.4 Kinetic energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 One-Dimensional Conservative Systems 27
3.1 Description as a Dynamical System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Example : harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 One-Dimensional Mechanics as a Dynamical System . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Sketching phase curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Fixed Points and their Vicinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Linearized dynamics in the vicinity of a fixed point . . . . . . . . . 31
3.4 Examples of Conservative One-Dimensional Systems . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.1 Harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.2 Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.3 Other potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Linear Oscillations 41
4.1 Damped Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Classes of damped harmonic motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.2 Remarks on the case of critical damping . . . . . . . . . . . . . . . 44
CONTENTS iii
4.1.3 Phase portraits for the damped harmonic oscillator . . . . . . . . . 45
4.2 Damped Harmonic Oscillator with Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1 Resonant forcing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.2 R-L-C circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 General solution by Green’s function method . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 General Linear Autonomous Inhomogeneous ODEs . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Kramers-Kro¨nig Relations (advanced material) . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Calculus of Variations 61
5.1 Snell’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Functions and Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.1 Functional Taylor series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Examples from the Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.1 Example 1 : minimal surface of revolution . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.2 Example 2 : geodesic on a surface of revolution . . . . . . . . . . . 68
5.3.3 Example 3 : brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.4 Ocean waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Appendix : More on Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Lagrangian Mechanics 79
6.1 Generalized Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Hamilton’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.1 Invariance of the equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.2 Remarks on the order of the equations of motion . . . . . . . . . . 80
6.2.3 Lagrangian for a free particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Conserved Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1 Momentum conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.2 Energy conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
iv CONTENTS
6.4 Choosing Generalized Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.5 How to Solve Mechanics Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.6.1 One-dimensional motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.6.2 Central force in two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.6.3 A sliding point mass on a sliding wedge . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.6.4 A pendulum attached to a mass on a spring . . . . . . . . . . . . . 88
6.6.5 The double pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.6.6 The thingy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.7 Appendix : Virial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7 Noether’s Theorem 97
7.1 Continuous Symmetry Implies Conserved Charges . . . . . . . . . . . . . . 97
7.1.1 Examples of one-parameter families of transformations . . . . . . . 98
7.2 Conservation of Linear and Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3 Advanced Discussion : Invariance of L vs. Invariance of S . . . . . . . . . . 100
7.3.1 The Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.2 Is H = T +U ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.3.3 Example: A bead on a rotating hoop . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.4 Charged Particle in a Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.5 Fast Perturbations : Rapidly Oscillating Fields . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.5.1 Example : pendulum with oscillating support . . . . . . . . . . . . 110
7.6 Field Theory: Systems with Several Independent Variables . . . . . . . . . 111
7.6.1 Gross-Pitaevskii model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8 Constraints 117
8.1 Constraints and Variational Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.2 Constrained Extremization of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.3 Extremization of Functionals : Integral Constraints . . . . . . . . . . . . . 119
CONTENTS v
8.4 Extremization of Functionals : Holonomic Constraints . . . . . . . . . . . . 120
8.4.1 Examples of extremization with constraints . . . . . . . . . . . . . . 121
8.5 Application to Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.5.1 Constraints and conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.6 Worked Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.6.1 One cylinder rolling off another . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.6.2 Frictionless motion along a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.6.3 Disk rolling down an inclined plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.6.4 Pendulum with nonrigid support. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.6.5 Falling ladder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.6.6 Point mass inside rolling hoop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9 Central Forces and Orbital Mechanics 143
9.1 Reduction to a one-body problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.1.1 Center-of-mass (CM) and relative coordinates . . . . . . . . . . . . 143
9.1.2 Solution to the CM problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.1.3 Solution to the relative coordinate problem . . . . . . . . . . . . . . 144
9.2 Almost Circular Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3 Precession in a Soluble Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.4 The Kepler Problem: U(r) = kr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
−
−
9.4.1 Geometric shape of orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.4.2 Laplace-Runge-Lenz vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.4.3 Kepler orbits are conic sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.4.4 Period of bound Kepler orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.4.5 Escape velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.4.6 Satellites and spacecraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.4.7 Two examples of orbital mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.5 Appendix I : Mission to Neptune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.5.1 I. Earth to Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
vi CONTENTS
9.5.2 II. Encounter with Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.5.3 III. Jupiter to Neptune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.6 Appendix II : Restricted Three-Body Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10 Small Oscillations 173
10.1 Coupled Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.2 Expansion about Static Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.3 Method of Small Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.3.1 Can you really just choose an A so that both these wonderful things
happen in 10.13 and 10.14? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.3.2 Er...care to elaborate? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.3.3 Finding the modal matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.4 Example: Masses and Springs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.5 Example: Double Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.6 Zero Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.6.1 Example of zero mode oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.7 Chain of Mass Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.7.1 Continuum limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.8 Appendix I : General Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.9 Appendix II : Additional Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.9.1 Right Triatomic Molecule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.9.2 Triple Pendulum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.9.3 Equilateral Linear Triatomic Molecule . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.10Aside : Christoffel Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
11 Elastic Collisions 201
11.1 Center of Mass Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.2 Central Force Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.2.1 Hard sphere scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.2.2 Rutherford scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
CONTENTS vii
11.2.3 Transformation to laboratory coordinates . . . . . . . . . . . . . . . 208
12 Noninertial Reference Frames 211
12.1 Accelerated Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.1.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.1.2 Motion on the surface of the earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.2 Spherical Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
12.3 Centrifugal Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
12.3.1 Rotating tube of fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
12.4 The Coriolis Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.4.1 Foucault’s pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
13 Rigid Body Motion and Rotational Dynamics 223
13.1 Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.1.1 Examples of rigid bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.2 The Inertia Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
13.2.1 Coordinate transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.2.2 The case of no fixed point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.3 Parallel Axis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
13.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.3.2 General planar mass distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13.4 Principal Axes of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
13.5 Euler’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
13.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
13.6 Euler’s Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
13.6.1 Torque-free symmetric top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
13.6.2 Symmetric top with one point fixed . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13.7 Rolling and Skidding Motion of Real Tops. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
13.7.1 Rolling tops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
viii CONTENTS
13.7.2 Skidding tops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13.7.3 Tippie-top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
14 Continuum Mechanics 247
14.1 Continuum Mechanics of the String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.1.1 Lagrangian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.1.2 d’Alembert’s Solution to the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . 249
14.1.3 Energy density and energy current . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
14.1.4 Reflection at an interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
14.1.5 Mass point on a string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
14.1.6 Interface between strings of different mass density . . . . . . . . . . 257
14.1.7 Finite Strings : Bernoulli’s Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
14.2 Sturm-Liouville Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
14.2.1 Mathematical formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
14.2.2 Variational method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
14.3 Green’s Functions for Strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
14.3.1 Inhomogeneous Sturm-Liouville problem . . . . . . . . . . . . . . . 265
14.3.2 Perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
14.3.3 Perturbation theory for eigenvalues and eigenfunctions . . . . . . . 270
14.4 Continua in Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
14.4.1 General formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
14.4.2 Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
14.4.3 Helmholtz equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
14.4.4 Rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
14.4.5 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
14.4.6 Sound in fluids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
14.5 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
14.5.1 Helmholtz versus Klein-Gordon equations . . . . . . . . . . . . . . 278
14.5.2 Schro¨dinger’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
CONTENTS ix
14.6 General Field Theoretic Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
14.6.1 Euler-Lagrange equations for classical field theories . . . . . . . . . 281
14.6.2 Conserved currents in field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
14.6.3 Gross-Pitaevskii model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
14.7 Appendix : Three Strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
15 Special Relativity 287
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
15.1.1 Michelson-Morley experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
15.1.2 Einsteinian and Galilean relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
15.2 Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
15.2.1 Proper time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
15.2.2 Irreverent problem from Spring 2002 final exam . . . . . . . . . . . 294
15.3 Four-Vectors and Lorentz Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
15.3.1 Covariance and contravariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
15.3.2 What to do if you hate raised and lowered indices . . . . . . . . . . 301
15.3.3 Comparing frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
15.3.4 Example I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
15.3.5 Example II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
15.3.6 Deformation of a rectangular plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
15.3.7 Transformation of velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
15.3.8 Four-velocity and four-acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
15.4 Three Kinds of Relativistic Rockets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
15.4.1 Constant acceleration model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
15.4.2 Constant force with decreasing mass . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
15.4.3 Constant ejecta velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
15.5 Relativistic Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
15.5.1 Relativistic harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
15.5.2 Energy-momentum 4-vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312