Lectii de geometrie diferential˘aa curbelor si a suprafetelor

184 Pages·2016·7.15 MB·Romanian

Lec¸tii de geometrie diferen¸tiala˘ a
curbelor s¸i a suprafe¸telor
Paul A. Blaga

Cuprins
I Curbe 9
1 Curbeînspa¸tiu 11
1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Curbeparametrizate(drumuri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Defini¸tiacurbei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Reprezenta˘rianaliticealecurbelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Curbeplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Curbeînspa¸tiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Tangentas¸iplanulnormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.1 Ecua¸tiiletangenteis¸iplanuluinormal(normalei)pentrudife-
ritereprezenta˘rialecurbelor . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6 Planulosculator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7 Curburauneicurbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7.1 Semnifica¸tiageometrica˘ acurburii . . . . . . . . . . . . . . 44
1.8 ReperulluiFrenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.8.1 ComportamentulreperuluiFrenetfa¸ta˘ deoschimbaredepa-
rametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.9 Curbeorientate. ReperulFrenetaluneicurbeorientate . . . . . . . 48
1.10 FormuleleluiFrenet. Torsiunea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.10.1 Semnifica¸tiageometrica˘ atorsiunii . . . . . . . . . . . . . . 54
1.10.2 Alteaplica¸tiialeformulelorluiFrenet . . . . . . . . . . . . 55
1.10.3 Elicigenerale. TeoremaluiLancret . . . . . . . . . . . . . . 57
1.10.4 CurbeBertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.11 Comportamentullocalaluneicurbeparametrizateînjurulunuipunct
biregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.12 Contactuldintreocurba˘ înspa¸tius¸iunplan . . . . . . . . . . . . . 65
1.13 Contactuldintreocurba˘ înspa¸tius¸iosfera˘. Sferaosculatoare. . . . 68
1.14 Teoremedeexisten¸ta˘ s¸iunicitatepentrucurbeparametrizate . . . . 70
1.14.1 ComportamentulreperuluiluiFrenetlaodeplasare . . . . . 70
5
6 Cuprins
1.14.2 Teoremadeunicitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.14.3 Teoremadeexisten¸ta˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2 Curbeplane 77
2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2 Înfa˘s¸ura˘toridecurbeplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2.1 Curbedateprintr-oecua¸tieimplicita˘ . . . . . . . . . . . . . 79
2.2.2 Familiidecurbecaredepinddedoiparametri . . . . . . . . . 81
2.2.3 Aplica¸tie: evolutauneicurbeplane . . . . . . . . . . . . . 82
2.3 Curburauneicurbeplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.3.1 Semnifica¸tiageometrica˘ acurburiicusemn . . . . . . . . . . 87
2.4 Centruldecurbura˘. Evolutas¸ievolventauneicurbeplane . . . . . . 89
2.5 Cerculosculatoraluneicurbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.6 Teoremadeexistan¸ta˘ s¸iunicitatepentrucurbeplane . . . . . . . . . 95
3 Integrareaecua¸tiilornaturalealeuneicurbeînspa¸tiu 97
3.1 Ecua¸tiaRiccatiasociata˘ cuecua¸tiilenaturalealeuneicurbe . . . . . . 97
3.2 Exempledeintegrareaecua¸tieinaturaleauneicurbeplane . . . . . 98
II Suprafe¸te 105
4 Teoriagenerala˘ asuprafe¸telor 107
4.1 Suprafe¸teparametrizate(pânze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Suprafe¸te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.1 Reprezentareasuprafe¸telor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3 Echivalen¸taparametriza˘rilorlocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4 Curbepeosuprafa¸ta˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.5 Spa¸tiulvectorialtangent,planultangents¸inormalalaosuprafa¸ta˘ . . 116
4.6 Orientareasuprafe¸telor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.7 Aplica¸tiidiferen¸tiabilepeosuprafa¸ta˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.8 Diferen¸tialauneiaplica¸tiinetedeîntresuprafe¸te . . . . . . . . . . . 128
4.9 Aplica¸tiasferica˘ s¸ioperatoruldeforma˘ aluneisuprafe¸te . . . . . . . 131
4.10 Primaforma˘ fundamentala˘ auneisuprafe¸te . . . . . . . . . . . . . 133
4.10.1 Primeleaplica¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Lungimeaunuisegmentdecurba˘ peosuprafa¸ta˘ . . . . . . . 135
Unghiuldintredoua˘ curbepeosuprafa¸ta˘ . . . . . . . . . . 136
Cuprins 7
Ariauneisuprafe¸teparametrizate . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.11 Matriceaoperatoruluideforma˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.12 Adouaforma˘ fundamentala˘ auneisuprafe¸teorientate . . . . . . . . . 141
4.13 Curburanormala˘. TeoremaluiMeusnier . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.14 Direc¸tiiasimptotices¸iliniiasimptoticepeosuprafa¸ta˘ . . . . . . . . 145
4.15 Clasificareapuncteloruneisuprafe¸te . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.16 Direc¸tiiprincipales¸icurburi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.16.1 Determinarealiniilordecurbura˘ . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.16.2 Calcululcurburiloruneisuprafe¸te . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.17 Ecua¸tiilefundamentalealeuneisuprafe¸te . . . . . . . . . . . . . . 158
4.17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.17.2 Reguliledediferen¸tiere. Coeficien¸tiiluiChristoffel . . . . . 158
Coeficien¸tii lui Christoffel s¸i Weingarten în coordonate de
curbura˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.17.3 Ecua¸tiile lui Gauss s¸i ale lui Codazzi s¸i Mainardi pentru o
suprafa¸ta˘ parametrizata˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.17.4 Teoremafundamentala˘ ateorieisuprafe¸telor . . . . . . . . . 164
4.18 TeoremaegregiumaluiGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.19 Geodezice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.19.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.19.2 ReperulluiDarbouxframe. Curburageodezica˘ s¸itorsiunea
geodezica˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.19.3 Liniigeodezice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Exempledegeodezice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.19.4 Suprafe¸teLiouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Bibliography 183

Partea I
Curbe
9

1
Curbe în spa¸tiu
1.1 Introducere
Intuitiv,curbelenusuntaltcevadecâtdeforma˘rialeunordrepte. Potfigândite,prin
urmare,cafiindobiecte“unidimensionale”. Suntemfamiliariza¸ti,deja,cuuneledintre
eledinmatematicaelementara˘,deoarece,desigur,graficeledefunc¸tiipotficonsiderate
cafiindcurbe,dinacestpunctdevedere. Pedealta˘ parte,deregula˘,curbelenusunt
grafice(celpu¸tin,nuglobal). Estesuficientsa˘ negândimlaoeliosa˘ sau,înparticular,
launcerc. Astfel,îngeneral,nuputemreprezentaocurba˘ printr-oecua¸tiedeforma
y D f.x/, cum s-ar întâmpla în cazul unui grafic. Pe de alta˘ parte, o conica˘ se
poatereprezentaprintr-oecua¸tieimplicita˘ deformaf.x;y/ D 0,unde,înacestcaz
particular,dupa˘cumses¸tie,f esteofunc¸tiepolinomiala˘ degradulaldoileaînx s¸iy.
Înfine,putemreprezentacoordonatelefieca˘ruipunctdepeocurba˘ cafunc¸tiideun
parametrureal. Dupa˘ cumvomvedea,aceastaeste,deobicei,ceamaiconvenabila˘
modalitatedeareprezenta,local,ocurba˘.
Oproblema˘ importanta˘ pecaretrebuiesa˘ oavemînvedereesteceaagraduluide
netezimeafunc¸tiilorpecareleutiliza˘mpentruadescrieocurba˘. Desigur,înaintede
toatesunteminteresa¸tisa˘ utiliza˘mtehniciledecalculdiferen¸tial. Vompresupune,de
aceea,ca˘ toatefunc¸tiileimplicatesuntcelpu¸tinodata˘ continuudiferen¸tiabiles¸ica˘,de
fiecaredata˘ cândintervinderivatedeordinsuperior,acesteaexista˘ s¸isuntcontinue.
Vomfolosipentrufunc¸tiilecareverifica˘ acestecondi¸tiitermenulgenericdefunc¸tii
“netede”. Pelânga˘ aspectelecomputa¸tionale,maiexista˘ s¸ialtemotive,maiprofunde,
pentrucarepresupunemca˘ func¸tiilesuntcelpu¸tinodata˘ continuudiferen¸tiabile. Sa˘
presupunem,deexemplu,ca˘ ocurba˘ plana˘ estedescrisa˘ printr-unsistemdeecua¸tiide
forma
(
x D f.t/;
:
y D g.t/
Sepoatedemonstraca˘ daca˘ func¸tiilef s¸ig suntdoarcontinue,curbapoatesa˘ umple
11
12 Capitolul1. Curbeînspa¸tiu
unîntregpa˘trat(sauchiarîntregulplan). Primulexempludeastfeldecurba˘ anomala˘
(care, evident, contrazice imaginea pe care ne-o facem despre o curba˘, ca obiect
unidimensional)afostconstruitdeca˘trematematicianulitalianGiuseppePeano,la
sfârs¸itul secolului al XIX-lea. În plus, acest fenomen nu dispare nici ma˘car daca˘
func¸tiile f s¸i g sunt diferen¸tiabile, dar nu continuu diferen¸tiabile. În figura 1.1
indica˘munprocesiterativcaredefines¸teocurba˘ Peanocareumpleunpa˘trat. Curba
însa˘s¸iestelimitacurbelorob¸tinuteprinacestprocesiterative. Esteposibil,defapt,sa˘
descriemanaliticaceasta˘ curba˘ (adica˘ putemga˘sioexpresiepentrufiecareitera¸tie),
dar,cumaceste“curbe”nuconstituiesubiectulinvestiga¸tiilornoastre,prefera˘msa˘-l
la˘sa˘mpecititorsa˘-s¸isatisfaca˘ singurcuriozitatea.
Trebuiesa˘ spunem,totus¸i,ca˘ func¸tiilepecarelefolosimpentruadescrieocurba˘
nutrebuiesa˘ fieneapa˘ratcontinuudiferen¸tiabilepentruaevitaanomaliilemen¸tionate
maisus. Ceeacetrebuieestecevamaipu¸tin,maipreciscafunc¸tiilesa˘ fiecuvaria¸tie
ma˘rginita˘. Este un fapt bine cunoscut ca˘ func¸tiile continuu diferen¸tiabile verifica˘
aceasta˘ condi¸tie s¸i, as¸a cum am spus deja, ele ne ofera˘ tehnicile computa¸tionale
necesare,carenusuntdisponibilepentruofunc¸tiecuvaria¸tiema˘rginita˘ oarecare.
1.2 Curbe parametrizate (drumuri)
Fie I un interval pe axa reala˘ R. Nu vom presupune întotdeauna ca˘ intervalul este
deschis. Uneoriestechiarimportantcaintervalulsa˘ fieînchis. Înparticular,elpoatefi
nema˘rginits¸ipoatecoincideîntreagaaxa˘ reala˘.
Defini¸tia 1.2.1. O curba˘ parametrizata˘ (sau drum) de clasa˘ Ck (k > 0) în spa¸tiul
euclidianR3 esteoaplica¸tieCk
r W I ! R3 W t ! .x.t/;y.t/;z.t//: (1.2.1)
Ocurba˘ parametrizata˘ senoteaza˘,deregula˘,cu.I;r/,.I;r D r.t//sau,cândinterva-
lulestesubîn¸teles,doarcur D r.t/. Remarca˘mca˘ undrumestedeclasa˘ Ck func¸tiile
(cu valori reale) x;y;z sunt Ck. Daca˘ intervalul nu este deschis, vom presupune,
înaintedetoate,ca˘ func¸tiilecucarelucra˘msuntdeclasa˘ Ck îninteriorulintervalului
s¸itoatederivatelelorpâna˘ laordinulk aulimitelateralefinitelacapeteleintervalului,
daca˘ acestecapeteapar¸tinintervalului.
Undrumsenumes¸tecompact,semi-deschissaudeschisdaca˘ intervaluldedefini¸tie
I este,respectiv,compact,semi-deschissaudeschis.