Le Calcul de Malliavin Appliqué à la Finance

77 Pages·2002·1.15 MB·French

Le Calcul de Malliavin
AppliquØ (cid:224) la Finance
FrØdØric Cosmao, FrØdØric Dupuy et Antoine Guillon
Groupe de Travail
DirigØ par Jean-FrØdØric Jouanin, Ashkan Nikeghbali et Thierry Roncalli
4 Juin 2002

Introduction
Ce mØmoire introduit une thØorie de calcul variationnel stochastique aussi appelØe Calcul de
Malliavin.LarecherchedanscedomaineesttrŁsvivantedepuisunedizained’annØesetlesapplica-
tions de cette thØorie (cid:224) la (cid:28)nance sont nombreuses. Cette thØorie comporte une grande dominante
de calcul stochastique au formalisme parfois complexe.
Pour la rendre accessible aux non-initiØs, nous avons tentØ de l’exposer de maniŁre didactique
et intuitive en privilØgiant les exemples. Nous nous intØressons ici essentiellement (cid:224) deux champs
d’applications.
Dans un premier temps nous prØsentons une nouvelle technique pour le calcul des sensibilitØs
du prix d’une option (cid:224) di(cid:27)Ørents paramŁtres, aussi appelØes grecques, dans un cadre assez gØnØral
d’options (cid:224) payo(cid:27) discontinus, path-dependent, sur multi sous-jacents. Le rØsultat fondamental de
l’approche par le calcul de Malliavin (FourniØ et al. [FLLLT99a], Benhamou [BEN00a]) est que
celui-ci permet, par des mØthodes de Monte Carlo, d’estimer les grecques non plus par Di(cid:27)Ørences
Finies comme c’est habituellement le cas, mais par une seule espØrance, celle du produit du payo(cid:27)
par un poids indØpendant du payo(cid:27) (grecque = E[payo(cid:27).poids]). Nous essayons Øgalement de
comparer les deux approches, Di(cid:27)Ørences Finies et Malliavin, pour dØterminer les pro(cid:28)ls de payo(cid:27)
pour lesquels le calcul de Malliavin s’avŁre le plus pertinent.
Dans un deuxiŁme temps nous proposons, (cid:224) l’aide du calcul de Malliavin (FourniØ et al.
[FLLL01b],LionsetRegnier[LR01]),unenouvellereprØsentationdesespØrancesconditionnelles
ainsi que ses applications au pricing et au hedging d’options amØricaines.
Nous tenons (cid:224) remercier :
(cid:21) nos directeurs de GT (Jean-FrØdØric Jouanin, Ashkan Nikeghbali et Thierry Roncalli) pour
leur soutien technique et moral, leur disponibilitØ,
(cid:21) toute l’Øquipe du GRO,
(cid:21) Emmanuel Gobet et Bruno-Denize Bouchard pour leurs Øclaircissements,
(cid:21) les animateurs et intervenants du colloque Application du Calcul de Malliavin en Finance,
les 13 et 14 dØcembre 2001 (cid:224) l’INRIA.
1
2
Table des matiŁres
Introduction 1
1 Introduction au calcul de Malliavin 5
1.1 DØ(cid:28)nition des opØrateurs de Malliavin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 DØ(cid:28)nition sur des espaces simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Extension des opØrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 PropriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Formule d’intØgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Formules de calcul et de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Un exemple fondamental : le processus des variations premiŁres . . . . . . . . . . . 10
1.4 Extension au cas multi-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Calcul des sensibilitØs et applications aux options exotiques 13
2.1 Calcul de Malliavin et calcul des sensibilitØs : mØthodologie . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Les sensibilitØs : cadre de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Evaluation par le calcul de Malliavin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Extension des rØsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Comparaison des mØthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 La mØthode des di(cid:27)Ørences (cid:28)nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 La mØthode du poids de Malliavin et introduction d’une fonction de contr(cid:244)le 20
2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Le cas de l’option europØenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Le cas de l’option binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Extension au cas des options multi sous-jacents 27
3.1 Calculs thØoriques des coe(cid:30)cients de sensibilitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 RØsultats gØnØraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Application au calcul des grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Un exemple avec l’option sur Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Un exemple avec l’option WorstOf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Valorisation et sensibilitØs d’une option amØricaine 35
4.1 L’Øchec de Monte Carlo pour les options amØricaines . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Formulation du problŁme en terme d’espØrances conditionnelles . . . . . . . 36
4.1.2 Un algorithme ine(cid:30)cace numØriquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Nouvelle reprØsentation d’espØrance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Un exemple de processus u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 Le concept de fonction localisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Applications aux options amØricaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 L’algorithme de valorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2 RØsultats numØriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Conclusion 43
3
4 TABLE DES MATI¨RES
A ComplØments sur le Calcul de Malliavin i
A.1 Lien entre Malliavin et calcul de sensibilitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
A.1.1 L’opØrateur d’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
A.1.2 Formule d’intØgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
A.2 Passage des payo(cid:27) dans CK∞ aux payo(cid:27) dans L2 : dØmonstration. . . . . . . . . . . ii
B Une application de la formule de Clark-Ocone v
C Extension (cid:224) la volatilitØ stochastique vii
D Les techniques de Monte-Carlo ix
D.1 Rappel Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
D.2 MØthodes classiques de rØduction de variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
E Quelques options exotiques xiii
E.1 Les options asiatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
E.1.1 CaractØrisation des poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
E.1.2 Valorisation d’options asiatiques par les techniques de Monte-Carlo . . . . . xiv
E.2 EDP et arbres appliquØs aux options asiatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
E.2.1 Une mØthode aux di(cid:27)Ørences (cid:28)nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
E.2.2 La mØthode d’interpolation de Hull et White . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
E.3 Les options barriŁres et lookback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
E.3.1 PrØliminaires sur les options barriŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii
E.3.2 Les amØnagements nØcessaires pour la mØthode . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
E.3.3 Passage de la di(cid:27)usion (cid:224) un brownien avec drift . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
E.3.4 Deux exemples de processus dominants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxii
F RØsultats numØriques dans le cas multi dimensionnel xxiii
F.1 Calcul du Kappa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
F.2 RØsultats numØriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv
G SensibilitØs d’options amØricaines xxvii
G.1 Les sensibilitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii
G.2 Pricing et Hedging d’une option amØricaine : cas multi-dimensionnel . . . . . . . . xxix
G.2.1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix
G.2.2 Le calcul du Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix
Chapitre 1
Introduction au calcul de Malliavin
Endimension(cid:28)nie,lecalculdi(cid:27)ØrentielusueltraduitladØpendanced’unefonctionparrapport
aux coordonnØes d’un vecteur de Rd. Le calcul de Malliavin est un calcul di(cid:27)Ørentiel mais sur un
espace de dimension in(cid:28)nie, l’espace de Wiener C([0,1],Rd). Sur cet espace, une trajectoire du
brownien peut-Œtre comprise comme la fonction continue la plus gØnØrale qui soit. Les trajectoires
du brownien sont les pendants des vecteurs en dimension (cid:28)nie : l’opØrateur de di(cid:27)Ørentiation, ou
dØrivØe de Malliavin D, traduit la dØpendance d’une variable alØatoire1 par rapport aux accrois-
sements d’une trajectoire du brownien. Pour une approche qui se veut d’abord didactique, nous
nouslimitonsauxoutilsnØcessaires(cid:224)lacomprØhensiondurestedurapport.NousfournissonsØga-
lement des exemples simples mais instructifs. Pour une prØsentation plus complŁte, les ouvrages
de rØfØrence sont ceux de Nualart [NUA95] et de Friz [FRI01]. Nous nous sommes inspirØs d’un
cours sur le calcul de Malliavin par Bally [BAL01].
Cette section s’organise en trois parties. Dans la premiŁre, nous dØ(cid:28)nissons sur des objets
simples deux opØrateurs : d’une part l’opØrateur de dØrivation, ou dØrivØe de Malliavin D, d’autre
part l’intØgrale de Skorokhod2 δ. Ensuite, on les Øtend par densitØ (cid:224) des espaces plus riches. Nous
nous contenterons essentiellement de rØsultats en dimension 1, cependant on trouvera (cid:224) la (cid:28)n
de ce chapitre les extensions au cas multidimensionnel. Dans un second temps, nous prØsentons
les propriØtØs qui nous intØressent (cid:224) commencer par la formule d’intØgration par parties. Elle
jouera un r(cid:244)le central dans les dØmonstrations thØoriques de l’exposØ. En(cid:28)n, nous consacrerons
un paragraphe (cid:224) un exemple fondamental pour les calculs et les implØmentations numØriques. En
e(cid:27)et, nous calculons la dØrivØe au sens de Malliavin d’une di(cid:27)usion dans un cadre gØnØral avant
d’exhiber les formules fermØes dans le cadre simpli(cid:28)Ø de Black-Scholes.
1.1 DØ(cid:28)nition des opØrateurs de Malliavin
Dans cette section nous dØ(cid:28)nissons les opØrateurs fondamentaux. On se restreint (cid:224) l’intervalle
[0,1] pour simpli(cid:28)er.
Notations 1 On considŁre un espace de probabilitØ (Ω,F,P) sur lequel est dØ(cid:28)ni un mouvement
brownien notØ (Wt)0≤t≤1 et on note Ft =σ(Ws; s≤t). On subdivise l’intervalle [0,1] (cid:224) l’aide des
dyadiques tnk =k2−n pour n∈N(cid:63) et k ∈{0,...,2n}. En(cid:28)n, on note Øgalement ∆nk =Wtnk+1−Wtnk
les accroissements du mouvement brownien et ∆n =(∆n0,...,∆n2n−1)
1.1.1 DØ(cid:28)nition sur des espaces simples
NousintroduisonsmaintenantlesespacessimplessurlesquelsonvadØ(cid:28)nirnosdeuxopØrateurs.
C∞p (R2n) dØsigne l’ensemble des fonctions in(cid:28)niment dØrivables (cid:224) croissance au plus polyn(cid:244)mial (cid:224)
l’in(cid:28)ni.
1Pour prØciser l’analogie, une variable alØatoire peut s’interprØter comme une fonction d’un espace de Wiener
versunespacevectorielrØel.
2C’estuneextensiondel’intØgraled’It(cid:244)valablepourdesprocessusquinesontpasadaptØs.
5
6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION AU CALCUL DE MALLIAVIN
DØ(cid:28)nition 1 (L’ensemble des fonctionnelles simples) Soit :
(cid:189) (cid:190)
S = f(∆n,...,,∆n ); f ∈ ∞(R2n) .
n 0 2n−1 Cp
(cid:83)
Les Sn forment une suite croissante d’ensembles inclus dans L2(Ω). Les ØlØments de S = n≥1Sn
s’appellent fonctionnelles simples.
CetensemblenouspermettradedØ(cid:28)nirladØrivØedeMalliavin.L’espacedesfonctionnellessimples
est construit de telle sorte qu’appara(cid:238)sse clairement la dØpendance d’une variable alØatoire de Sn
aveclesaccroissementsdubrownien.Defa(cid:231)onanalogue,nousdØ(cid:28)nissonslesensemblesquiserviront
(cid:224) construire l’intØgrale de Skorokhod.
DØ(cid:28)nition 2 (L’ensemble des processus simples) Soit :
(cid:189)2(cid:88)n−1 (cid:190)
Pn = 1[tn,tn [(t)Fi(ω);(t,w)∈[0,1]×Ω et Fk ∈Sn .
i i+1
i=0
(cid:83)Les Pn forment une suite croissante d’ensembles inclus dans L2([0,1]×Ω). Les ØlØments de P =
n≥1Pn s’appellent processus simples.
Nous pouvons dØsormais introduire les opØrateurs sur ces espaces :
DØ(cid:28)nition 3 (L’opØrateur de dØrivation au sens de Malliavin) Soit F ∈S, alors ∃n∈N∗
tel que F = f(∆n). L’opØrateur de dØrivation, au sens de Malliavin, de la fonctionnelle simple
F en un point s ∈ [tnk,tnk+1[ est alors la fonction D : Sn −→ Pn dØ(cid:28)nie par DsF = ∂∂xfk(∆n),
c’est-(cid:224)-dire :
2(cid:88)n−1 ∂f
D F = 1 (s) (∆n)
s [tni,tni+1[ ∂xk
i=0
Il est logique que cet opØrateur de dØrivation associe (cid:224) une variable alØatoire un processus. A la
date s, la dØrivØe au sens de Malliavin traduit l’impact des accroissements du brownien (cid:224) cette
datesurunevariablealØatoire.ApartirdecettedØ(cid:28)nition,onconstatedØj(cid:224)quepourunevariable
alØatoire Ft-adaptØe et pour s > t on a DsF = 0 : une variable alØatoire caractØrisØe (cid:224) une date
donnØe ne dØpend pas des accroissements postØrieurs du brownien.
Exemple : on calcule la dØrivØe au sens de Malliavin de W1. Notons que W1 =∆11 donc DsW1 =
1 (s)
[0,1]
DØ(cid:28)nition 4 (L’opØrateur d’intØgration au sens de Skorokhod) Soit u ∈ P, alors ∃n ∈
N∗ tel que u∈Pn. L’opØrateur d’intØgration, au sens de Skorokhod, du processus simple u est alors
la fonction δ : Pn −→Sn dØ(cid:28)nie par
2(cid:88)n−1 2(cid:88)n−1 ∂f 1
δ(u)= f (∆n)∆n− i(∆n)
i i ∂x 2n
i
i=0 i=0
avec :
2(cid:88)n−1
u(t,ω)= 1[tn,tn [(t)Fi(ω) et Fi =fi(∆n)
i i+1
i=0
Notonsquelepremiertermedecesdeuxsommescorrespond(cid:224)uneintØgraleusuelled’It(cid:244).Lesecond
terme prend en compte, le fait que le processus n’est pas nØcessairement adaptØ. Ce deuxiŁme
terme est nØcessaire pour obtenir la relation d’intØgration par parties et a ØtØ intØgrØ
dans la dØ(cid:28)nition dans ce but. Nous reviendrons sur ce point dans la partie relative aux propriØtØs
de ces opØrateurs.
1.1. D(cid:201)FINITION DES OP(cid:201)RATEURS DE MALLIAVIN 7
Si on dØ(cid:28)nit les processus prØvisibles par :
∀k ∈{0,...,2n−1}, f (∆n)=f (∆n,...,∆n )
k k 0 k−1
On remarque que lorsque le processus simple u est prØvisible, le second terme de cette somme
s’annule. Quand on Øtend cette propriØtØ par densitØ, les processus adaptØs Øtant des limites de
processus prØvisibles, les intØgrales de Skorokhod co(cid:239)ncident avec celles d’It(cid:244).
1.1.2 Extension des opØrateurs
Nous allons maintenant Øtendre les opØrateurs D et δ (cid:224) des espaces plus gros. Notons dans un
premier temps que :
(cid:21) S est dense dans L2(Ω),
(cid:21) P est dense dans L2([0,1]×Ω).
Lebutseraitdoncd’ØtendrelesopØrateursD etδ respectivement(cid:224)L2(Ω)et(cid:224)L2([0,1]×Ω).Pour-
tant, ces opØrateurs n’Øtant pas continus, nous ne pouvons pas appliquer les mØthodes habituelles
d’extension et nous devrons nous contenter d’une extension moins riche.
Proposition 1 D et δ sont des opØrateurs fermØs, c’est-(cid:224)-dire que si (Fn)n est une suite de
S qui tend vers 0 dans L2(Ω) et si (DFn)n tend vers u dans L2([0,1]×Ω), alors u = 0. Il en va
de mŒme pour δ.
Ci-dessous la dØ(cid:28)nition de l’espace D1,2 sur lequel on peut Øtendre la notion de dØrivØe au sens de
Malliavin.
DØ(cid:28)nition 5 On dØ(cid:28)nit
 
 F∈L2(Ω), tq∃(Fn)n suite de Stq 
D1,2 = −L−2−(−Ω→)
 FnL2([0,1]×FΩ) 
D −−−−−−−→u
Fn
On pose alors pour F∈D1,2,
D =u
F
Remarque 1 La dØ(cid:28)nition de DF ne dØpend pas de la suite (Fn)n car l’opØrateur D est fermØ.
On dØ(cid:28)nit Øgalement l’espace Dom(δ) sur lequel on Øtend la notion d’intØgrale de Skorokhod.
DØ(cid:28)nition 6 On appelle Dom(δ) l’ensemble des u∈L2([0,1]×Ω) tel qu’il existe une suite (un)n
de P telle que 
 L2([0,1]×Ω)
u −−−−−−−→u
n
 L2(Ω)
δ(u )−−−−→F
n
On dØ(cid:28)nit alors pour un tel u
F =δ(u)
L(cid:224) encore, la fermeture de l’opØrateur δ implique que le rØsultat ne dØpend pas de la suite choisie.
Remarque 2 On aurait pu caractØriser l’espace D1,2 autrement. En e(cid:27)et, si on dØ(cid:28)nit sur S la
norme
(cid:107)F(cid:107) =(cid:107)F(cid:107) +(cid:107)DF(cid:107)
1,2 L2(Ω) L2([0,1]×Ω)
alors D1,2 est la fermeture de S pour cette norme.
8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION AU CALCUL DE MALLIAVIN
1.2 PropriØtØs
Le calcul de Malliavin a de nombreuses applications en (cid:28)nance. La premiŁre a ØtØ permise
dans le cadre de marchØ complet. Sous cette hypothŁse, on peut valoriser une option (cid:224) l’aide
des portefeuilles auto(cid:28)nan(cid:231)ants de rØplication. Un portefeuille auto(cid:28)nan(cid:231)ant traduit que le prix
d’une option est la combinaison (cid:224) tout instant d’une certaine quantitØ d’actif risquØ et non risquØ.
Un des rØsultats du calcul de Malliavin, la formule de Clark-Ocone (qui dØ(cid:28)nit complŁtement
la reprØsentation d’une variable alØatoire par une martingale.) permet de trouver ces quantitØs
directement. Nous donnons en Annexe B un exemple de ce type d’application dans le cas Black-
Scholes.Cependant,aujourd’hui,laformulecentralepourlesapplications(cid:224)la(cid:28)nanceestlaformule
d’intØgration par parties(en abrØgØ I.P.P). Ses applications ne se limitent pas au marchØ complet.
Gr(cid:226)ce (cid:224) elle, on peut par exemple calculer les sensibilitØs dans le cadre d’un modŁle (cid:224) volatilitØ
stochastique 3.
1.2.1 Formule d’intØgration par parties
Proposition 2 (Formule d’intØgration par parties)
(cid:90)
1
∀F ∈D1,2, ∀u∈Dom(δ) on a E( DsF.usds)=E(F.δ(u))
0
On a donc la relation d’adjonction suivante
<DF,u> =<F,δ(u)> .
L2([0,1]×Ω) L2(Ω)
Pour dØmontrer cette proposition on a besoin du lemme suivant :
Lemme 1 soit ∆ une v.a.r. de loi N(o,σ2), alors pour ϕ, g ∈C1(R), on a
(cid:183) (cid:184) (cid:183) (cid:184)
∆
E ϕ(cid:48)(∆)g(∆) =E ϕ(∆)( g(∆)−g(cid:48)(∆))
σ2
Preuve. Cela rØsulte d’un calcul direct par intØgration par parties :
(cid:183) (cid:184) (cid:90)
∞ 1 −x2
E ϕ(cid:48)(∆)g(∆) = ϕ(cid:48)(x)g(x)√ exp( )dx
2πσ2 2σ2
−∞
(cid:183) 1 −x2 (cid:184)∞ (cid:90) ∞ (cid:179) x (cid:180) 1 −x2
= ϕ(x)g(x)√ exp( ) − ϕ(x) g(cid:48)(x)− g(x) √ exp( )dx
2πσ2 2σ2 σ2 2πσ2 2σ2
(cid:183) (cid:181) (cid:182)(cid:184)−∞ −∞
∆
= E ϕ(∆) g(∆)−g(cid:48)(∆)
σ2
Preuve de la proposition 2. OnsedonneF ∈Sn, u∈Pn etonutiliseladØ(cid:28)nitiondeDsF :
(cid:183)(cid:90) 1 (cid:184) 2(cid:88)n−1 (cid:183) ∂f (cid:184) 1
E DsF.usds = E ∂x (∆n)fk(∆n) 2n soit en utilisant le lemme
0 k=0 k
2(cid:88)n−1 (cid:183) (cid:181)∆n (cid:182)(cid:184) 1
= E f(∆n) f (∆n)−∂ f (∆n)
2−n k k k 2n
k=0
(cid:183) (cid:181)2(cid:88)n−1 2(cid:88)n−1 ∂f 1 (cid:182)(cid:184)
= E F. f(∆n)∆n− k(∆n)
∂x 2n
k
(cid:183) k=(cid:184)0 k=0
= E F.δ(u)
3IlpeutsemblersurprenantdecalculerdessensibilitØsalorsqu’unmarchØincompletnepermetpasunecouverture
parfaite.Nousreviendronssurcepointdanslapartiecorrespondante.