Table Of ContentUni-Text für Elektrotechniker
James G. Holbrook
Laplace-
Transformation
Lehrbuch für Elektrotechniker u.
Physiker ab 5. Sem.
Second Edition
James G. Holbrook
Laplace-Transformation
Uni-texte
für Elektrotechniker
Jötten I Zürneck
Einführung in die Elektrotechnik I und II
Leonhard
Wechselströme und Netzwerke
Unger /Schultz
Elektronische Bauelemente und Netzwerke I, II und II/
Taegen
Einführung in die Theorie elektrischer Maschinen I und II
Frühauf
Praktikum Elektrische Meßtechnik
Kind
Einführung in die Hochspannungs-Versuchstechnik
Guillery
Werkstoffkunde für Elektroingenieure
Schultz
Dielektrische und magnetische Eigenschaften der Werkstoffe
Unger /Schultz
Elektromagnetische Wellen I und II
Leonhard
Einführung in die Regelungstechnik
- Lineare Regelvorgänge
- Nichtlineare Regelvorgänge
Brinkmann
Einführung in die elektrische Energiewirtschaft
James G. Holbrook
Laplace-Transformation
Lehrbuch für
Elektrotechniker und Physiker ab 5. Semester
2., berichtigte Auflage
Mit 229 Bildern
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Titel der Originalausgabe:
Laplace Transforms for Electronic Engineers
Copyright© 1959, 1966, by Pergarnon Press Ltd., Oxford
Deutsche übersetzung: F. Cap und Mitarbeiter, lnnsbruck
1973
Alle Rechte vorbehalten
Copyright© Springer Fachmedien Wiesbaden 1973
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg +Sohn GmbH, Braunschweig 1973
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für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag
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Bänder, Platten und andere Medien.
Buchbinder: W. Langelüddecke, Braunschweig
Umschlaggesteltung: Peter Kohlhase, Lübeck
ISBN 978-3-663-01883-4 ISBN 978-3-663-01882-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-01882-7
VORWORT ZUR ERSTEN AUFLAGE
Dieses Buch wurde hauptsachlich fUr den in der Praxis tltiigen Elektro
nikingenieur geschrieben. Es wird fUr alle jene von großem Interesse und
Nutzen sein, die einen Teil ihrer Freizeit dem Selbststudium und der Fort
bildung widmen. Der Stoff umfaßt eine lange Reihe von modernen Gedanken,
Begriffen, Methoden und SchlUssen. Er ist jedoch in einer Weise angeord
net und dargestellt, die es dem gewissenhaften Elektroingenieur gestattet,
schrittweise und folgerichtig bis zu einem vollstä.ndigen und praktisch ver
wertbarem Wissen Uber die Laplace-Transformation vorzudringen.
Die Theorie der Laplace-Transformation ist schwer durch eine kurze,
klare und bUndige Definition zu beschreiben. Ihr Zweck ist vielfä.ltig. Eine
gute vorlä.ufige Definition fUr den Elektronikingenieur dUrfte vielleicht die
sein:
Die Theoz:!e der Laplace-Transformation ist eine Gesamtheit von logischen und
analytischen Uberlegungen, die eine Analyse und Synthese von elektronischen Strom
kreisen, Schaltungen, Filtern, Oszillatoren, Servosystemen, usw. erlauben, und
zwar mit viel weniger Aufwand, mit weit höherer Genauigkeit und mit einem weit tie
feren Verständnis als die meisten Ingenieure mit Hilfe älterer Methoden zu entwickeln
imstande sind.
Wir werden zu Beginn voraussetzen, daß der Elektronikingenieur, der
dieses Buch studieren will, die Ubliche EinfUhrungsvorlesung Uber Differen
tial- und Integralrechnung besucht hat, ebenso den Ublichen Grundkurs Uber
Stromkreisanalyse.
Auf vielen Hochschulen und Universitltien besteht die Absicht, eine Vor
lesung Uber die Theorie der Laplace-Transformation in den Studienplan fUr
Anmnger aufzunehmen. Vor- und Nachteile einer solchen Vorlesung werden
diskutiert. Es ist wahr, daß ein gutes Grundwissen Uber die Theorie der
Laplace-Transformation weit mehr Einsicht in die interessanten und nUtzli
ehen Teilgebiete der h~heren Stromkreis- und Netzwerkanalyse vermittelt
als die Ubliche einfUhrende Darstellung mit dem j-Operator allein. Jedoch
muß man auch bedenken, daß die Ubliche Hochschulvorlesung Uber die klas
sische komplexe Wechselstromrechnung zu einer Zeit geboten wird, in wel
cher der Student noch seine Studien aus der Differential- und Integralrech
nung beendet. Das ist sicherlich lange bevor dieser bereits die Vorteile
einer Ausbildung in der h~heren Analysis genießt, wie vielleicht einer Vor
lesung Uber Vektoranalysis oder Uber Funktionentheorie. Es k~nnte sein,
daß eine Vorlesung Uber die Laplace-Transformation zu dieser Zeit den Stu
denten an einer gUnstigen Entwicklung hindert. Wenn er nä.mlich zuerst eine
Vorlesung Uber die klassische Stromkreisanalyse besucht, die dem Anfä.n
gerniveau angepaßt ist, und sich erst dann dem tieferreichenden Studium
der Laplace-Transformation widmet, so erhä.lt er inzwischen auch Gelegen
heit, seine Kenntnisse aus der Differential- und Integralrechnung zu festi
gen, und erreicht ein gewisses Maß an praktischer Erfahrung in ihrer An
wendung. Der Autor m~chte sich hier nicht fUr eine der beiden Seiten aus-
VI VORWORT
sprechen. Er ist der Meinung, daß sich mit der Zeit herausstellen wird, in
welchem Ausbildungsstadium die Theorie der Laplace-Transformation ge
boten werden sollte, um maximale Wirkung zu erzielen.
Im Gegensatz zur "stationl!.ren" Ll:lsung, die man mit Hilfe der klassi
schen Netzwerkanalyse unter Benutzung des j-Operators erhl!.lt, gestattet
die Theorie der Laplace-Transformation eine vollstl!.ndige Analyse von
Problemen in elektronischen Schaltungen. Der Leser ml:lge sich in Erinne
rung rufen, daß die AusdrUcke "induktive Reaktanz" und "kapazitive Reak
tanz" nur dann einen Sinn haben, wenn wir von einer strikt sinusfl:lrmigen
Erregung sprechen. Sie bleiben sinnlos, wenn wir es mit einer der vielen
anderen heute benUtzten Schwingungsformen zu tun haben. Daraus ist er
sichtlich, wie notwendig es ist, zumindest eine gewisse Spanne Zeit dem
Studium allgemeiner Methoden und Denkwege zu widmen. Die Laplace
Transformation ist eine allgemeine Methode. Sie gestattet, Netzwerke zu
analysieren, in denen beliebige Schwingungsformen auftreten.
WUrde man die Darstellung mit der Ableitung des Laplace-Integrals be
ginnen, so mUßte man eine gute Kenntnis der Funktionentheorie vorausset
zen. Das wUrde jedoch das Buch einer großen Anzahl von Fachingenieuren
unzugl!.nglich machen, die nach Empfang ihres ersten Diploms in die Elek
tronikindustrie eingetreten sind, die aber keine Gelegenheit gehabt haben,
sich durch den Besuch einer Vorlesung Uber Funktionentheorie eine entspre
chende Grundlage zu schaffen. Der Verfasser hat es daher vorgezogen, das
Buch mit einem kurzen Überblick Uber die Funktionentheorie zu beginnen,
soweit sie bei der Laplace-Transformation Anwendung findet. Wenn der Le
ser Kapitel I beendet hat, so wird er Uber Begriffe wie Pole, Nullstellen,
Residuen von Funktionen und Integration in der komplexen Ebene mitreden
kl:lnnen. Die eigentliche Theorie der Laplace-Transformation beginnt in Ka
pitel TI und beansprucht den Rest des Buches.
In der gesamten Darstellung wurde auf einen klaren und gell:lsten Stil
großer Wert gelegt. Die Darstellung ist streng und vollstl!.ndig, jedoch wur
de durchwegs die abstrakte Terminologie der reinen Mathematik vermieden,
die so oft ein Selbststudium verhindert. Symbole und Definitionen werden bei
ihrer EinfUhrung mit einfachen Worten erkH!.rt. Manchmal sind die Beweise
von Sl!.tzen, wenn sie nicht unmittelbar zur Diskussion gehl:lren, unterdrUckt
worden. Das eigentliche Ziel des Lehrbuches ist, den in der Praxis tl!.tigen
Elektronikingenieur in die Lage zu versetzen, seine Kenntnisse von Strom
kreisen und Schaltungen zu entwickeln und auszudehnen, und zwar durch das
sorgfl!.ltige Studium der modernen Methode der Laplace-Transformation und
ihrer Anwendungen.
Der Verfasser fühlt sich allen zahlreichen Freunden und Kollegen zu
Dank verpflichtet, die in irgendeiner Weise zur Entstehung dieses Lehrbu
ches beigetragen haben. Das spezielle persl:lnliche Interesse des Verfassers
wurde durch den Besuch einer Vorlesung von Dr. Charles R. Hausenbauer
geweckt, die dieser wl!.hrend eines Semesters an der Universitl!.t von Arizo
na gehalten hat. Seine Darstellung der Theorie der Laplace-Transformation
war einfach einzigartig. Die Mitschrift seiner Vorlesung diente als Basis
für den Großteil von Kapitel II.
VORWORT VII
Viele der in diesem Lehrbuch dargelegten Begriffe sind wlthrend des
letzten Jahrhunderts schrittweise entwickelt worden, und es ist zweifelhaft
ob ihr wirklicher Urheber in allen FlHlen bekannt ist. Der Autor muß daher
ganz allgemein allen seinen Dank aussprechen, deren Originalarbeiten er
Ubernommen hat, Er muß natUrlieh auch die volle Verantwortung fUr solche
Fehler in der Darstellung Ubernehmen, wie sie Uberall einmal vorkommen
k!jnnen.
Dank gebUhrt auch Dorothy Deuel, die einen Großteil des Manuskriptes
getippt hat, ebenso den zahlreichen Ingenieuren, die zu verschiedenen Zei
ten bei der Bearbeitung der Ausgabe und bei der ÜberprUfung der Gleichun
gen geholfen haben. Sollte das Buch dem Leser ein paar Wochen anregender
Gedanken vermitteln, so wird sich der Autor flir reichlich belohnt halten.
Die besten WUnsche m!jgen alle auf ihrer Reise in die neue Welt des s-Ee
reiches begleiten.
Santa Maria, Kalijornien James G. HOLBROOK
VORWORT ZUR ZWEITEN AUFLAGE
Die Theorie der Laplace-Transformation ist zum Grundbestandteil des
Studiums der Elektronik geworden. Sie beeinflußt beinahe alle Teile der
Analyse und Synthese von Schaltungen. Die Laplace-Transformation ist
nicht nur wertvoll fUr die Theorie. DarUber hinaus ist sie nämlich unmittel
bar bei vielen alltäglichen technischen Problemen anwendbar, die bei der
Konstruktion von Oszillatoren, Verstltrkern, Filtern und anderen elektroni
schen Netzwerken auftreten.
Dieses Buch verfolgt zwei Ziele. Erstens soll es die theoretischen
Grundlagen der Laplace-Transformation vermitteln. Das umfaßt sowohl die
einfUhrenden Abschnitte aus der Funktionentheorie als auch die Behandlung
der verschiedenen Sätze Uber die Laplace-Transformation. Das zweite Ziel
ist, eine breite Einflihrung in die praktische Anwendung der Theorie zu bie
ten. In fast allen Fällen werden als Anwendungsbeispiele Probleme aus der
Elektronik gewählt. So handelt es sich bei einer großen Anzahl von Anwen
dungen um Verstltrker, Oszillatoren und um passive wie aktive Wellenfilter.
Was die Anwendungen in der Technik betrifft, so wurde versucht, solche
Fälle zu wählen, die nicht schon in der populären Literatur in aller Breite
diskutiert worden sind. Es ist zu hoffen, daß jeder Leser zumindest ein
oder zwei Anwendungsm!jglichkeiten findet, die fUr ihn vollkommen neu und
anregend sind. Beispiele dafUr dUrften etwa die Verwendung des Pascal
sehen Dreieckes zur Bestimmung der Übertragungsfunktion von iterierten
Schaltungen sein, oder die Behandlung breitbandiger Einzelbandoszillatoren,
sowie die Ladungsverstärker.
VIII VORWORT
Obwohl das Buch nicht als Ersatz fUr eine formale Vorlesung Uber Netz
werkanalyse und -synthese gedacht ist, vermittelt es doch dem Leser die
wesentlichen Grundlagen fUr das Studium der gebräuchlicheren Klassen von
Filternetzwerken. Man darf erwarten, daß der Leser lernen wird, das Kon
zept der Filter bei seiner Ingenieurtli.tigkeit in der Praxis unmittelbar und
nutzbringend anzuwenden.
Der Aufbau des Buches ist derselbe wie bei der ersten Auflage. Einiges
Material wurde neu dargestellt, einiges wurde hinzugefUgt und so manche
Abschnitte erfuhren eine Erweiterung, um eine vollstli.ndigere und mehr in
die Einzelheiten gehende Behandlung zu bieten. Wie bei der ersten Auflage
wurde angenommen, daß der Leser die Grundvorlesungen Uber Differential
und Integralrechnung bereits besucht hat.
Der Verfasser m~chte allen jenen Lesern danken, die sich die Zeit ge
nommen haben, Teile des Buches zu kommentieren und auf Fehler hinzuwei
sen, und die dadurch zur Vorbereitung dieser zweiten Auflage beigetragen
haben. Der Verfasser hat versucht, die Fehler dadurch auf ein Minimum
zu reduzieren, daß er das Manuskript durch zahlreiche Leute sorgfli.ltig
prUfen ließ. Er ist sich jedoch bewußt, daß der eine oder andere Fehler un
vermeidlich ist. Man darf jedoch hoffen, daß sich diese auf unwesentliche
Druckfehler beschrli.nken, die der Leser, wenn er die Einzelheiten verfolgt,
sofort bemerkt.
Der Autor m~chte besonders Dr. Robert Codrington fUr die wertvolle
Hilfe seinen Dank aussprechen, ebenso James Jacobsen, John Larson, Wil
liam Simons und anderen Wissenschaftlern und Ingenieuren des Varian-Per
sonals. Miss Margaret Little hat die meisten Arbeiten einer Sekretli.rin
Ubernommen und die Fotoreproduktionen geliefert. Besonderer Dank gilt
auch Dr. Kazuo Miyawaki, Professor fUr Maschinenbau an der Universität
Osaka, der die erste Ausgabe in die japanische Sprache Ubersetzt hat. Miss
Michiko Ichibare gebUhrt Dank fUr ihre Hilfe bei der Vorbereitung des Ma
nuskriptes fUr die japanische Ausgabe.
James G. HOLBROOK
Palo Alto, Kalifornien
INHALTSVERZEICHNIS IX
Kapitel I. FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VARIABLEN. . . . . . . . . • . 1
1. 1. Ein;eitung... • . . . • • • • • • • • • • • • . • . . . . . . . . . . • • • . • . • . • . . . . . • . 1
1. 2. Komplexe Zahlen • • • . • • • . • . • • . . . . . . . . . • • • • • • . • • . . . . . . . . . • 1
1. 3. Die komplexe Ebene.................................. . • . . 4
1. 4. Relationen zwischen den z- und s-Ebenen................... 7
1. 5. Weitere Transformationen zwischen z- und s-Ebenen . • • . . . • . 8
1. 6. Vereinfachung von Problemen durch Transformation in die
komplexe s-Ebene • • • • • • • • • . • • • • . • • • • • . • . • . • . . . • . • . • • • • • . 11
1. 7. Funktionen in der komplexen Ebene • • . • • • • . • . • • • . . . . . • . . . . • 13
1. 8. Pole komplexer Funktionen . . . • . . . . . . . . . . • • • . • • • . • . . . . . • • . 15
1. 9. Nullstellen komplexer Funktionen.......................... 16
1. 10. Das-Pol-Nullstellen-Diagramm •••••••....•.•.•.•.•.•.•.•• 17
1.11. Integration längs einer Kurve in der s-Ebene •••.•...•...•.. 18
1. 12. Integration einer Polstelle . • . • • • . • • • . . • . • . • . • . • . • . • . • . • • • . 21
1.13. Integration längs eines Weges, der keine Polstelle einschließt 22
1. 14. Residuen ..•.••...••••..•.•..•.•.••••.••.......•.•...•.. 24
1.15. Integration um zwei oder mehr Polstellen inders-Ebene •••• 29
1. 16. Zusammenfassung von Kapitel I ....•••.•••.••••••.•••.•.•. 31
Kapitel II. FOURIER-REIHEN UND FOURIER-INTEGRAL. 33
2.1. Fourier-Reihen .•.....•••••••••••••••••••.•....•........ 33
2. 2. Die komplexe Form der Fourier-Reihen ..•.•.•........•.... 36
2. 3. Das Fourier-Integral ••.••••••••••••.••••••.•.•.•.•...... 42
2. 4. Die Sprungfunktion •.••••••••.•••••.••••••••.•••.••.•••.•. 45
2. 5. Die Fourier-Transformation der Sprungfunktion ••.•••..••... 47
2. 6. Konvergenzfaktoren . • • . . . . . . • . • • . . . . . • . • . • . . . . . . • . • . . . . . . 4 8
2. 7. Die komplexe Fourier-Transformation •.•....••..•.•.•..•.• 49
2. 8. Die Laplace-Transformierte • • • • • . • • • • • • • • • • . . . . • . • . • . • • . • 50
Kapiteliii. DIE LAPLACE-TRANSFORMATION ............. 52
3. 1. Einleitung . . . . . . . . • . • • • . • . • . • . . . . • . • . . . • • • • . • • . • . • . . . . . . . 52
3. 2. Transformation von Konstanten............................ 53
3. 3. Die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion . . . . . . . . 54
3. 4. Die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion von ima-
ginll.rem Argument . . • • . . • • • . • • . • . • . • . . . . . . • • • • . . . . • . . • . . . 55
3. 5. Die Laplace-'l'ransformierte der trigonometrischen AusdrUcke 55
3. 6. Die Laplace-Transformierten der Hyperbelfunktionen........ 57
3. 7. Die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion von
komplexem Argument . • • • . • . . • . . . . • . . . • • . . . • . . . • . . . . . . . . . 57
3. 8. Die Transformierten von komplizierten Funktionen . . . . . . . . • . 58
3. 9. Ein weiteres Anwendungsbeispiel mit einer Sinusschwingung.. 60
3. 10. Die Laplace-Transformierte der Ableitung einer Funktion. . . . 61
3. 11. Die Laplace-Transformation einer Stammfunktion . . • . . . . . . . . 63
