Laplace-Transformation: für Ingenieure der Elektrotechnik

210 Pages·2003·7.96 MB·German

by  Prof. Hubert Weber (auth.)

Hubert Weber
Laplace-Transformation
fur Ingenieure der Elektrotechnik
Hubert Weber
Laplace-Transformation
fur Ingenieure der Elektrotechnik
7., Oberarbeitete und erganzte Auflage
Mit 111 Abbildungen und 125 Beispielaufgaben
1m
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig' Wiesbaden
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Hubert Weber. Fachhochschule Regensburg
1. Auf!. 1976
2. Auf!. 1978
3. Auf!. 1981
4. Auf!. 1984
5. Auf!. 1987
6. Auf!. 1990
7. Oberarbeitete und erganzte Auflage Marz 2003
Aile Rechte vorbehalten
© B. G. Teubner Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden. 2003
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ISBN 978-3-519-10141-3 ISBN 978-3-322-96747-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96747-3
Vorwort
Die Laplace-Transformation ist eine Funktionaltransformation, das heiSt einer
Funktion .f(t) des reellen Zeitbereiches wird eine Bildfunktion F(s) einer
komplexen Variablen s zugeordnet. Laplace-Transformation und inverse
Laplace-Transformation sind durch Integrale definiert.
Die Beschiiftigung mit dieser Transformation ist auch fUr mehr an der
Anwendung der Mathematik interessierten Ingenieure sinnvoll, da viele
Problernlosungen im Bildbereich der Laplace-Transformation wesentlich
einfacher verlaufen. Dies ist deshalb der Fall, da den schwierigeren
Differentiationen und Integrationen des Zeitbereiches einfache algebraische
Operationen im Bildbereich entsprechen.
So werden zum Beispiel lineare Differentialgleichungen des Zeitbereiches zu
linearen Gleichungen des Bildbereiches. FOr Anwendungen in der
Elektrotechnik kann durch Einfiihren von Bildspannungen, Bildstrornen und
Bildwiderstanden auf das Aufstellen der Differentialgleichungen des
Zeitbereiches ganz verzichtet werden, wodurch die Problemlosung nochmals
vereinfacht wird.
Es solI versucht werden, eine Einfiihrung in die Theorie und Anwendung der
Laplace-Transformation zu geben, die einerseits ausreicht, viele in der Praxis
auftretenden Probleme zu losen, die andererseits aber auch eine Grundlage fUr
weitergehende Studien darstellt. Urn dieses Ziel oboe allzu groBem Aufwand
erreichen zu konnen, wurde vielfach auf eine volle mathernatische Strenge
verzichtet.
Die Verwendung von Methoden der Funktionentheorie zur inversen Laplace
Transformation wird gezeigt, aber nicht zum Prinzip der inversen Laplace
Transformation gemacht. Die Auswertung der ,,kornplexen Urnkehrformel"
setzt Kenntnisse der Analysis kornplexwertiger Funktionen voraus. Die dazu
notwendigen Siitze werden aufgefiihrt.
Die Verwendung von Korrespondenzen und Transformationsregeln ist
einfacher. Der Weg, die Bildfunktion in Terme zu zerlegen und gliedweise zu
transformieren ist praxisgerechter und zeigt die Bedeutung der Lage der Pole
einer Bildfunktion fUr die zugehOrige Zeitfunktion.
VI Vorwort
FUr eine gekilrzte Behandlung der Laplace-Transfonnation hat es sich bewiihrt,
nach der Definition der Laplace-Transformation im Abschnitt 4.1 gleich zu den
Transformationsregeln uberzugehen, wohei die Abschnitte 4.3.9, 4.3.14 und
4.3.15 zunachst ausgelassen werden k6nnen, wn schneller zu den
Anwendungen zu gelangen.
Ich m6chte mich heim B. G. Teubner Verlag und insbesondere bei Herro
Dr. Feuchte vom Lektorat MaschinenbaulElektrotechnik bedanken, dass dieses
aus Vorlesungen an der Fachhochschule Regensburg entstandene Buch in einer
neuen Auflage erscheinen kann.
Regensburg, im Januar 2003 Hubert Weber
INHALT
1 FOURIERREllIEN
1.1 EINFOHRUNG ....•.•...••......................•......••.................•••........................ 1
1.2 REELLE FOURIERREIHE ....••.......•.........................•................................. 2
1.2.1 Grundbegriffe ............................................................................ 2
1.2.2 Berechnung der Fo urierkoeffizienten ......................................... 3
1.2.3 Amplitudenspektrum ................................................................. 8
1.3 KOMPLEXEFoURIERREIHE .............................•............•...................... 12
1.3.1 Grundlagen ............................................................................. 12
1.3.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten ..................... 13
2 FOURIERINTEGRAL
2.1 OBERGANG VON DER FOURIERREIHE ZUM FOURIERINTEGRAL ............... 17
2.2 EIGENSCHAFTEN DES FOURIERINTEGRALS ••.............................••.•..•..... 20
3 FOURIERTRANSFORMATION
3.1 DEFINITION DER FOURIERTRANSFORMATION ..•........•••......................... 27
3.2 DISKREfE FOURIERTRANSFORMATION (OFf) UNO SCHNELLE
FOURIERTRANSFORMATION (FFf). ..................................................... .30
4 LAPLACE-TRANSFORMATION
4.1 DEFINITION DER LAPLACE-TRANSFORMATION ....................................• 31
4.2 INVERSE LAPLACE-TRANSFORMATION .....•...............................•.......... 35
4.3 TRANSFORMATIONSREGELN .........•..................••...................•............• 48
4.3.1 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen ............... 49
4.3.2 Additionssatz ........................................................................... 54
4.3.3 Verschiebungssatz ................................................................... 57
4.3.4 Dirac'sche Deltafunktion ......................................................... 65
4.3.5 Diimpfungssatz ........................................................................ 70
4.3.6 Partialbruchzerlegungen .......................................................... 73
4.3.7 Pol-Nullstellenplan einer echt gebrochen rationalen
Bildfunktion ............................................................................ 85
4.3.8 Faltungssatz ........................................................................... 89
4.3.9 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung
der Bildfunktion ................................................................... 92
4.3.10 Integrationssatz fUr die Originalfunktion ................................. 97
vm
InhaIt
4.3.11 Differentiationssatz fUr die Originalfunktion ......................... 102
4.3.12 Differentiationssatz fUr die verallgemeinerte Ableitung
einer Zeitfunktion .................. ... ........... .... .......... ................. 105
4.3.13 Grenzwertslitze ...................................................................... 109
4.3.14 Differentiationssatz fUr die Bildfunktion ............................... 112
4.3.15 Integrationssatz fUr die Bildfunktion ...................................... 115
4.4 ANwENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION .........••••.•••.••• 119
4.4.1 LOsen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten ......................................................................... 119
4.4.2 Lasen von Systemen gewahnlicher linearen Differential-
gleichungen mit konstanten Koeffizienten ......................... 125
4.4.3 RCL-Netzwerke ..................................................................... 134
4.5 USERTRAGUNGSVERHALTEN VON NETZWERKEN •........•...................•. 152
4.5.1 Grundbegriffe ........................................................................ 152
4.5.2 Impulsantwort und Sprungantwort ......................................... 153
4.5.3 Ubertragungsfunktion ............................................................ 154
4.5.4 Pol-Nullstellenplan einer Ubertragungsfunktion .................... 166
4.5.5 Ubertragungsfunktion und Frequenzgang .............................. 168
5 ANHANG
5.1 LOSUNGEN ZU DEN USUNGSAUFGABEN ............................................. 177
5.2 SATZE DER LAPLACE-TRANSFORMATION ........................................... 190
5.3 KORRESPONDENZEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION ...................... 191
5.4 LITERATUR .................................•.................................................... 199
5.5 LISTE DER VERWENDETEN FORMELZEICHEN ...................................... 200
5.6 SACHWORTVERZEICHNIS .......•.......•.......................................•.......... 201
1. Fourierreihen
1.1 Einfiihrung
In vielen Bereichen der Naturwissenschaften und der Technik etwa in der
Physik oder in der Elektrotechnik, haben harmonische Schwingungen, die
durch eine Sinusfunktion
/(1) = A sin(tV 1 +qJ) (1.1)
beschrieben werden konnen, eine groBe Bedeutung. Hierbei ist A die Ampli
tude, tV die Kreisfrequenz und qJ der Nullphasenwinkel der harmonischen
Schwingung.
Bei der Oberlagerung derartiger harmonischer Schwingungen sind zwei Hille
zu unterscheiden:
1. Oberlagert man harmonische Schwingungen der gleichen Frequenz, so
erbAIt man wieder eine harmonische Schwingung dieser Frequenz.
Von dieser Tatsache wird in der Elektrotechnik sHindig Gebrauch
gemacht. Durch Uberlagerung von sinusfOrmigen Wechselspannungen der
gleichen Frequenz, etwa der Netzfrequenz 50 Hz erbAlt man wieder eine
sinusfOrmige Wechselspannung der Frequenz 50 Hz.
2. Uberlagert man harmonische Schwingungen verschiedener Frequenzen,
so erbAIt man einen zwar periodischen, im allgemeinen jedoch keinen
sinusfOrmigen Vorgang.
Die Uberlagerung von harmonischen Schwingungen der gleichen Frequenz
ergibt wieder eine harmonische Schwingung dieser Frequenz. Durch
Uberlagerung harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen kann
man periodische Funktionen erzeugen, die im allgemeinen nicht sinusfOrmig
sind.
Es stellt sich jetzt die Frage, ob man auch umgekehrt "jede beliebige"
periodische Funktion als eine Summe von harmonischen Schwingungen
darstellen kann.
Diese Frage wurde von dem franzOsischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768 - 1830) positiv beantwortet.
Die genauen Bedingungen hierfiir wurden von dem deutschen Mathematiker
Peter Gustav Dirichlet (1805 - 1858) angegeben.
H. Weber, Laplace-Transformation
© B. G. Teubner Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2003
2 1 Fourierreihen
1.2. Reelle Fourierreihen
1.2.1. Grundbegriffe
Definition 1.1
Eine Funktion f( t) heillt T-periodisch (periodisch mit der Periode 1), wenn
fUr aIle Zeitpunkte t des Definitionsbereichs gilt:
=
f(t+T) f(t) (1.2)
Definition 1.2
Eine T-periodische Funktion f(t) geniigt den Dirichlet-Bedingungen, wenn
1. f ( t) beschrankt ist,
2. f(t) im Intervall [O,T]hOchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen hat
3. die Ableitung f' (t) im Intervall [0, T] bis auf hOchstens endlich viele
Stellen stetig ist.
Eine Funktion f(t), die den Dirichlet - Bedingungen geniigt, kann innerhaIb
einer Periodendauer T in endlich viele Teilintervalle zerlegt werden, auf
denen f( t) monoton und stetig verUiuft. An Unstetigkeitsstellen treten nur
endliche SprunghOhen auf.
Diese Voraussetzungen sind bei den in den Anwendungen auftretenden
periodischen Zeitfunktionen im aHgemeinen erfiiHt.
Satz 1.1
Eine T-periodische Funktion, welche den Dirichlet-Bedingungen geniigt, lasst
sich als Fourierreihe
00
f(t)=ao + ~)akCOS(wot)+bkSin(wot)] (1.3)
k=l
darstellen, wobei 0)0 = 21t die Grundkreisfrequenz ist.
T
Gl. (1.3) lasst sich folgendermaBen physikalisch interpretieren:
Jeder periodische Vorgang kann in eine Summe von harmonischen
Schwingungen zerlegt werden. Dabei konnen neben der Grundfrequenz nur
ganzzahlige Vielfache dieser Frequenz auftreten. Man spricht in diesem
Zusammenhang daher auch von Fourieranalyse, bzw. harmonischer Analyse.
1.2 Reelle Fourierreihen 3
Satz 1.2:
Eine Fourierreihe konvergiert an jeder Stetigkeitsstelle ts der Zeitfunktionj(t)
gegen den Funktionswert f{ts) und an einer Unstetigkeitsstelle tu gegen das
arithmetische Mittel aus dem rechts-und linksseitigen Grenzwert vonj(t).
FOr die weiteren Uberlegungen ist es zweckmaBig, durch die Substitution
x = mot (1.4)
von einer T-periodischen Funktion j(t) zu einer 21t-periodischen Funktion j(x)
fiberzugehen. Man hat dann den Vorteil, periodische Funktionen j(x) zu
betrachten, die aile die gleiche Periode 21t haben.
Die Fourierreihe nach Gl. (1.3) geht damit fiber in die Form
00
f(x) = ao + ~)akcos(kx) + q.sin(kx)] (1.5)
k=l
1.2.2. Berechoung der Fourierkoeflizienten
Satz 1.3:
1. FOr aile ganzzahligen, von Null verschiedenen Zahlen k gilt:
2x 2x
JSin(kX)dx = 0 und JCOS(kX)dx = 0 (1.6)
o 0
2. FOr aile ganzzahligen, von Null verschiedenen Zahlen k und m gilt
21rt. {O
tin(kx)sin(mx)dx = 1t ffUUrr kk =:; t: mm (1.7)
o
21rt {O
t°s( kx )cos( mx)dx = 1t ffUUrr kk =:;t: mm (1.8)
o
2x
JSin(kx)Cos(mX)dx = 0 (1.9)
o
Auf den relativ einfachen Beweis der im Satz 1.3 angegebenen Integrations
formeln sei verzichtet. Wir benfitzen sie im folgenden als Hilfsformeln bei der
Berechnung der Fourierkoeffizienten.