Table Of ContentEingereicht von
Dipl.-Ing.
Mathias Preiner, Bsc
Angefertigt am
Institut fu¨r Formale Mo-
delle und Verifikation
Erstbeurteiler
Univ.-Prof. Dr.
Armin Biere
Zweitbeurteiler
Univ.-Prof. Ph.D.
Roderick Bloem
Februar 2017
Lambdas, Arrays and
Quantifiers
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Technischen Wissenschaften
im Doktoratsstudium der
Technischen Wissenschaften
JOHANNES KEPLER
UNIVERSITA¨T LINZ
Altenbergerstraße 69
4040 Linz, O¨sterreich
www.jku.at
DVR 0093696
Abstract
SatisfiabilityModuloTheories(SMT)referstotheproblemofdecidingthesatis-
fiability of a first-order formula with respect to one or more first-order theories.
In many applications of hardware and software verification, SMT solvers are
employed as back-end engine to solve complex verification tasks that usually
combine multiple theories, such as the theory of fixed-size bit-vectors and the
theory of arrays. This thesis presents several advances in the design and imple-
mentation of theory solvers for the theory of arrays, uninterpreted functions and
quantified bit-vectors.
Weintroduceadecisionprocedurefornon-recursivenon-extensionalfirst-order
lambda terms, which is implemented in our SMT solver Boolector to handle the
theoryofarraysanduninterpretedfunctions. Wediscussvariousimplementation
aspects and algorithms as well as the advantage of using lambda terms for array
reasoning. We provide an extension of the lemmas on demand for lambdas
approachtohandleextensionalarraysanddiscussanoptimizationthatimproves
the overall performance of Boolector.
We further investigate common array patterns in existing SMT benchmarks
that can be represented by means of more compact and succinct lambda terms.
We show that exploiting lambda terms for certain array patterns is beneficial
for lemma generation since it allows us to produce stronger and more succinct
lemmas, which improve the overall performance, particularly on instances from
symbolic execution. Our results suggest that a more expressive theory of arrays
might be desirable for users of SMT solvers in order to allow more succinct
encodings of common array operations.
We further propose a new approach for solving quantified SMT problems,
with a particular focus on the theory of fixed-size bit-vectors. Our approach
combines counterexample-guided quantifier instantiation with a syntax-guided
synthesis approach to synthesize interpretations for Skolem functions and terms
forquantifierinstantiations. Wediscussasimpleyeteffectiveapproachthatdoes
not rely on heuristic quantifier instantiation techniques, which are commonly
employed by current state-of-the-art SMT procedures for handling quantified
formulas. Weshowthatourtechniquesarecompetitivecomparedtothestate-of-
the-artinsolvingquantifiedbit-vectorsanddiscussextensionsandoptimizations
that improve the overall performance of our approach.
iii
Zusammenfassung
Das“SatisfiabilityModuloTheories(SMT)” ProblembeschäftigtsichmitderEr-
füllbarkeit von Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe unter Berücksichtigung
einer oder mehrerer Theorien. In vielen Anwendungen im Bereich der Hardware
und Software Verifikation werden SMT Prozeduren (auch SMT Solver genannt)
alsBackendverwendetumkomplexeVerifikationsproblemezulösen,dieüblicher-
weise mehrere Theorien kombinieren, wie z.B. die Theorie der Bitvektoren mit
der Theorie der Arrays. Diese Dissertation beschäftigt sich mit Entscheidungs-
prozedurenfürdieTheoriederArrayskombiniertmitnicht-interpretiertenFunk-
tionen und für Bitvektoren in Kombination mit Quantoren.
Wir stellen eine Entscheidungsprozedur für nicht-rekursive, nicht-extensionale
Lambdaterme erster Stufe vor, welche in unserem SMT Solver Boolector für die
Theorie der Arrays kombiniert mit nicht-interpretierten Funktionen zum Ein-
satz kommt. Wir beschreiben unterschiedliche Implementierungsaspekte und
Algorithmen und diskutieren die Vorteile von Lambdatermen in Bezug auf die
Darstellung von Arrays. Zusätzlich stellen wir eine Erweiterung für unsere
Entscheidungsprozedur vor, die uns ermöglicht mit Gleichheit von Arrays, die
als Lambdaterme dargestellt werden, umzugehen und beschreiben eine Opti-
mierung, die im Allgemeinen die Laufzeit von Boolector verbessert.
Weiters beschäftigen wir uns mit unterschiedlichen Array Strukturen, die in
existierenden SMT Benchmarks zum Einsatz kommen und die mit Lambdater-
men kompakter dargestellt werden können. Wir zeigen, dass die alternative
Darstellungsform mit Lambdatermen die Erzeugung von besseren und stärkeren
Lemmas in unserer Entscheidungsprozedur ermöglicht. Dies hat zur Folge, dass
diePerformanzbesondersaufBenchmarks,diedurchsymbolischeProgrammaus-
führung erzeugt wurden, wesentlich gesteigert werden kann.
Im letzten Teil dieser Dissertation beschäftigten wir uns mit einem neuen
Ansatz zum Lösen von quantifizierten SMT Problemen mit Fokus auf quan-
tifizierten Bitvektoren. Unser Ansatz kombiniert eine Technik namens “counter-
example-guided quantifier instantiation” mit einer Technik aus dem Bereich der
Synthese um Interpretationen für Skolemfunktionen und Terme für die Instan-
tiierung von Quantoren zu synthetisieren. Unsere Ergebnisse zeigen, dass unser
Ansatz zum Lösen von quantifizierten Bitvektoren im Vergleich zum aktuellen
StandderTechnikkompetitivist. WeitersbeschreibenwireineErweiterungund
einige Optimierung für unseren neuen Ansatz, der im Allgemeinen die Perfor-
manz wesentlich verbessert.
v
Eidesstattliche Erklärung
IcherkläreanEidesstatt,dassichdievorliegendeDissertationselbstständigund
ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel
nicht benutzt bzw. die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche
kenntlich gemacht habe.
Die vorliegende Dissertation ist mit dem elektronisch übermittelten Textdoku-
ment identisch.
vii
Acknowledgements
I would like to thank my advisor Armin Biere for his guidance and continuous
support throughout my PhD. I am truly grateful for his time, experience and
ideas he shared with me. Working together with him was always a pleasure
and an invaluable experience. Thank you Armin! I would like to thank my
friends and family for their patience and continuous support, especially in the
last couple of years. I would also like to thank my colleagues and co-authors – it
was a pleasure to work with you. The biggest thanks I can think of goes to the
most important person in my life. Thank you for your unconditional support,
patience and being part of my life.
ix
Description:weise mehrere Theorien kombinieren, wie z.B. die Theorie der Bitvektoren mit der Theorie der Arrays. prozeduren für die Theorie der Arrays kombiniert mit nicht-interpretierten Funk- tionen und für In order to overcome these limitations, in [12] Seshia et al. suggested to model array expressions
