Table Of ContentLA SINTASSI LOGICA
DELLA MATEMATICA GRECA
FABIO ACERBI
SOMMARIO
Fonti di uso frequente e loro sigle v
PRELIMINARI
Il silenzio dei greci ix
Cenni di storia del testo degli Elementi xi
1. LA MACCHINA DEDUTTIVA
1.0. La struttura generale di una proposizione matematica 1
1.0.1. Il valore del verbo «essere» nell’esposizione 11
1.0.2. La funzione delle lettere denotative 12
1.0.3. Il ruolo del diagramma 18
1.0.4. La struttura indefinita dominante 20
1.0.5. La rete anaforica 26
1.1. Enunciato e conclusione 33
1.2. Supposizione ed e[kqesi" «esposizione» 40
1.2.1. Determinazione 58
1.3. Il ruolo delle costruzioni 67
1.4. Anafora 74
1.5. Dimostrazione 76
1.5.1. Logica delle relazioni 77
1.5.1.1. ARISTOTELE E GALENO SULLE RELAZIONI 77
1.5.1.2 RELAZIONI E PREDICATI 80
1.5.1.3. IL CRITERIO FONDAMENTALE: LA POSIZIONE DELL’OPERATORE RELAZIONALE 82
1.5.1.4. INTERAZIONI TRA RELAZIONI E MACCHINA DEDUTTIVA: TRANSITIVITÀ, SIMME-
TRIA, STABILITÀ 89
1.5.1.5. PROBLEMI TESTUALI 100
1.5.2. Marcatori metamatematici: dimostrazioni potenziali, analogiche, richiami all’evidenza
ed interni, forme verbali personali 103
1.5.3. Argomenti posposti 111
1.5.4. Citazioni di enunciati, istanziate e non 112
1.5.5. Assunzioni e coassunzioni 114
2. LA SINTASSI LOGICA
2.1. Quantificazione; generalità implicita ed esplicita 121
2.1.1. Quantificatori 123
2.1.2. Determinativi di arbitrarietà 133
2.1.3. Determinativi di indefinitezza 139
2.1.4. Qualificativi generalizzanti 145
2.1.5. Uso dell’articolo 154
2.1.6. I condizionali indefiniti nella dialettica stoica 158
iv SOMMARIO
2.2. Modalità 161
2.2.1. Riduzioni all’assurdo 162
2.2.2. Argomenti per contrapposizione 170
2.3. Condizionale 174
2.4. Paracondizionale 178
2.5. Negazione 184
2.6. Disgiunzione 192
2.7. Congiunzione 203
2.8. L’avverbio a{ma «insieme» 212
2.9. Ordinali come variabili 217
2.10. Somme di oggetti matematici; l’aggettivo sunamfovtero" 220
2.11. I connettori a[ra «quindi», w{ste «così che», dhv «pertanto», ou\n «dunque» 226
CONCLUSIONE
Perché una logica «proposizionale» non quantificata? 237
Bibliografia 239
INDICI
Indice dei nomi 249
Indice dei manoscritti e dei papiri 251
Indice dei passi citati 253
Indice analitico 267
Glossario greco-italiano 273
FONTI DI USO FREQUENTE E LORO SIGLE
I
titoli degli scritti degli autori classici sono abbreviati come nel Liddell-Scott-Jones; le pagine sono quelle
delle edizioni menzionate nell’indice dei passi citati, ivi identificate dal nome dell’editore. Le abbreviazioni
dei titoli delle opere matematiche sono autoevidenti; alle proposizioni è fatto riferimento tramite libro e numero,
come ad esempio «El. III.15». La Collectio di Pappo è citata per libro e capitolo dell’edizione di Hultsch. Se
privi d’indicazione d’opera, i riferimenti sono a libro.proposizione dell’edizione di Heiberg degli Elementi, ad
esempio VII.34. Inoltre, def sta per definizione, post per postulato, nc per nozione comune, alt per
(dimostrazione) alternativa. Un porisma (= corollario) ad una proposizione numero x è denotato da xpor, un
lemma che si trovi tra le proposizioni di numero x e y dal simbolo x/y. Nel caso vi siano più gruppi di definizioni
nello stesso libro, più lemmi tra due proposizioni o più dimostrazioni alternative, questi sono numerati con cifre
romane per le definizioni e i lemmi, arabe per le alternative: X.defII sono le definizioni seconde del libro X,
28/29II è il secondo lemma tra le proposizioni 28 e 29, 28alt2 la seconda dimostrazione alternativa della
proposizione 28. Si ricordi che gli Elementi terminano con un lemma; è stato indicato con 18/19 pur non
essendoci la proposizione 19. Fonti che ricorrono frequentemente sono citatate secondo le sigle seguenti, seguite
da «volume, pagina.riga», come in AOO II, 128.12-16:
AGE: Apollonii Pergaei quae graece exstant, cum commentariis antiquis, edidit et latine interpretatus est J.L.
Heiberg. 2 vol. Leipzig, B.G. Teubner 1891-93.
AOO: Archimedis opera omnia, cum commentariis Eutocii, iterum edidit J.L. Heiberg. 3 vol. Leipzig, B.G.
Teubner 1910-15.
DOO: Diophanti Alexandrini opera omnia cum graeciis commentariis, edidit et latine interpretatus est P.
Tannery. 2 vol. Leipzig, B.G. Teubner 1893-95.
EE: Euclidis Elementa, post J.L. Heiberg edidit E.S. Stamatis. 5 vol. Leipzig, B.G. Teubner 1969-1977.
EOO: Euclidis Opera Omnia, ediderunt J.L. Heiberg et H. Menge. Vol. VI: Euclidis Data, cum commentario
Marini et scholiis antiquis, edidit H. Menge (1896). Vol. VII: Euclidis Optica, Opticorum Recensio
Theonis, Catoptrica, cum scholiis antiquis, edidit J.L. Heiberg (1895). Vol. VIII: Euclidis Phaenomena et
Scripta Musica, edidit H. Menge. Fragmenta, collegit et disposuit J.L. Heiberg (1916). Supplementum:
Anaritii in decem libros priores Elementorum Euclidis commentarii, edidit M. Curtze (1899). Leipzig, B.G.
Teubner.
HOO: Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia. Volumen I. Pneumatica et Automata, recensuit G.
Schmidt (1899). Volumen II. Mechanica et Catoptrica, recensuerunt L. Nix et W. Schmidt (1903). Volumen
III. Rationes dimetiendi et Commentatio dioptrica, recensuit H. Schoene (1903). Volumen IV. Heronis
Definitiones cum variis collectionibus. Heronis quae feruntur Geometrica, edidit J.L. Heiberg (1912).
Volumen V. Heronis quae feruntur Stereometrica et De mensuris, edidit J.L. Heiberg (1914). Leipzig, B.G.
Teubner.
iA: Commentaires de Pappus et de Théon d’Alexandrie sur l’Almageste, texte établi et annoté par A. Rome.
Tome I. Pappus d’Alexandrie, Commentaire sur les livres 5 et 6 de l’Almageste. Studi e Testi 54 (1931).
Tome II. Théon d’Alexandrie, Commentaire sur les livres 1 et 2 de l’Almageste. Studi e Testi 72 (1936).
Tome III. Théon d’Alexandrie, Commentaire sur les livres 3 et 4 de l’Almageste. Studi e Testi 106 (1943).
Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana.
iE: Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, ex recognitione G. Friedlein. Leipzig,
B.G. Teubner 1873 (ristampa: Hildesheim, Georg Olms Verlag 1992).
POO: Claudii Ptolemaei opera quae exstant omnia, Vol. I. Syntaxis mathematica, edidit J.L. Heiberg. 1 vol. in 2
parti (1898-1903). Vol. II. Opera astronomica minora, edidit J.L. Heiberg (1907). Leipzig, B.G. Teubner.
PRELIMINARI
IL SILENZIO DEI GRECI
L
O scopo di questo libro è fornire una descrizione per quanto possibile completa dello stile
dimostrativo1 della matematica greca e della sua prassi deduttiva: in poche parole, cosa “fanno”,
e quali risorse linguistiche impiegano, i matematici greci quando dimostrano un risultato. Cercherò
inoltre di mostrare se e in che modo la loro soluzione a questo fondamentale problema espressivo
possa essere messa in parallelo con le elaborazioni delle scuole logiche antiche, in particolare quella
stoica. Il lettore non deve quindi attendersi che tesi storiografiche forti siano prospettate o anche solo
discusse: il filo conduttore è semplicemente lo studio sistematico di una pratica stilistica. La
trattazione è divisa in due parti. L’oggetto della prima è il sistema di inferenze che costituisce una
proposizione matematica: passaggio da inferenza a condizionale, esposizione, logica delle relazioni,
dimostrazioni potenziali. La seconda parte descrive la struttura microscopica di una proposizione
matematica, cioè la messa in opera di costrutti inferenziali oppure proposizionali non semplici per
mezzo di singoli termini o, al massimo, di brevi sintagmi: uso dei connettori, espressioni atte a
rinforzare la generalità di un enunciato, particelle di vario genere.
Nei testi matematici greci non si fa mai menzione di questioni logiche o metodologiche. Le lettere
prefatorie, che accompagnavano l’invio di molti trattati, descrivono il contenuto o affilano alcune
punte polemiche2. A fortiori nessun cenno è dato trovare alla logica soggiacente o alla giustificazione
di certe scelte linguistiche o pratiche deduttive. Né la situazione è migliore in campo opposto:
rarissimi sono i riferimenti alla matematica in opere logiche, limitandosi in sostanza a una serie seppur
corposa di passaggi aristotelici e a Galeno nella sua Istitutio logica, e pochissimi i filosofi con
penchant logico-metodologico di cui sia noto che si occuparono di questioni matematiche; tra questi
spicca Posidonio, delle cui riflessioni ci è però giunto ben poco. Indagando la struttura fine di trattati
come gli Elementi, però, ci si accorge rapidamente della persistenza di strutture logiche ben definite.
Esse presentano somiglianze sorprendenti o addirittura identità di formulazione con alcune tra quelle
introdotte in àmbito dialettico, specialmente ad opera dell’antica Stoa. Viene naturale chiedersi se si
tratti di coincidenze, e, qualora così non fosse, se ci sia possibile determinare una direzione
privilegiata di influenza. Una prima difficoltà risiede nel fatto che non sempre si riesce a stabilire quali
elaborazioni siano dovute a Crisippo e quali a Stoici a lui successivi, ed a volte non è neanche chiaro
se certe dottrine fossero realmente stoiche o no: il pensiero della prima Stoa ci è giunto quasi
esclusivamente tramite testimonianze indirette, e le fonti più corpose per le dottrine logico-dialettiche
non risalgono a prima del II secolo dell’era volgare: sono costituite da certe sezioni delle Vitae di
Diogene Laerzio, dalle opere di impianto scettico di Sesto Empirico e dai trattati di alcuni grammatici,
ad esempio Apollonio Discolo. Situazione opposta per quanto riguarda la dottrina aristotelica. Le
opere logiche “originali” ci sono pervenute e sono intessute di esempi tratti dalla matematica, ma il
sillogismo aristotelico nella sua formulazione finale è particolarmente inadatto a catturare le strutture
inferenziali tipiche della matematica greca.
D’altra parte, il periodo in esame vede la scienza della logica in statu nascendi, e non possiamo
certo assumere, come d’altronde non possiamo farlo ora, che da qualche parte fosse stata elaborata la
logica, per quento quella di Crisippo fosse concordemente ritenuta la logica degli Dei. È dunque
ametodico trascurare come hanno fatto sinora gli interpreti (con l’unica eccezione di Mueller 1974, ma
per emettere un giudizio di indipendenza reciproca che ha pesato su tutto l’approccio esegetico
successivo) il solo esempio veramente corposo di deduzioni dispiegate per cercare di ricostruire una
1 La qualificazione è essenziale in quanto non si tratta dell’unico codice stilistico in uso; si veda Acerbi 2012b.
2 Tra le rare eccezioni vi sono le discussioni archimedee per giustificare l’uso da parte sua di un particolare lemma (si veda ad
esempio la lettera prefatoria a Quadr.) e le procedure di quadratura descritte in Meth.
x PRELIMINARI
parte del contesto in cui le due grandi scuole logiche antiche si svilupparono. C’è di più: se è vero che
tra alcune formulazioni raccomandate dalla logica stoica e certe strutture logiche impiegate dai
matematici sussistono somiglianze o identità di formulazione, è altrettanto vero che si registrano
divergenze notevoli, in particolare nell’identificazione delle strutture argomentative ritenute,
esplicitamente nel primo caso e implicitamente nel secondo, valide. In altri termini, la pratica
matematica si costituisce a sistema logico indipendente e autocontenuto, una vera e propria “terza
scuola”.
Occorre ovviamente operare una selezione nel corpus antico, e la scelta degli Elementi come
campione di cui analizzare la sintassi logica è la più naturale. Alcuni problemi che il testo ci porrà
potranno essere risolti soltanto ricorrendo alle varianti manoscritte o alla tradizione testuale indiretta,
costituita dalle traduzioni arabo-latine. Studi recenti mostrano che queste ultime sono necessarie per
ogni tentativo di ricostruire un testo più vicino a quello originale. Per questo motivo, oltre che per
fissare una serie di convenzioni e per discutere la misura degli interventi redazionali antichi, la
prossima sezione offre una sintetica storia del testo degli Elementi.
Il lettore troverà anche discussioni sulla pratica logico-linguistica archimedea ed apolloniana e dei
Data euclidei. La mia scelta di escluderli dal campionamento sistematico è deliberata. In primo luogo,
la lingua archimedea è troppo idiosincratica e arcaizzante dal punto di vista logico-lessicale. Ciò è del
massimo interesse se cerchiamo di ricostruire come venisse scritta la geometria pre-euclidea, ma in
questo studio sarò interessato a come si formò uno stile matematico, cioè una pratica condivisa.
Apollonio va escluso per il motivo opposto: troppo geometrica, troppo poco semplice la sua
matematica per non doversi ingenerare tensioni linguistiche, troppo disuguale il suo stile, troppo
impegnato l’autore a riflettere sullo stile tradizionale per non essere allusivo, sottilmente variante –
infine, troppo incombente il sospetto che molto di quanto leggiamo sia stato riscritto da Eutocio o
risenta della collazione di versioni divergenti. I Data sono il luogo deputato di uno stile rigidissimo e a
mio avviso sostanzialmente intatto, ma sono troppo poco variati quanto al contenuto e alla molteplicità
formulare per fornire campioni non distorti.
Dovendo indagare la pratica linguistica della matematica greca, si pone un problema di metodo: si
può dire che negli Elementi si usi un certo tipo di logica, se l’unica evidenza sono dati statistici? – e si
tenga presente che anche una regolarità che non ammette eccezioni di fatto è solo un dato statistico. È
però vero che il puro uso sistematizzato ci mette a disposizione un significato: ciò che la pratica
scientifica effettiva mostra è la base migliore per ricostruire le sue categorie concettuali di riferimento.
Un tale modo di procedere non costituisce ovviamente una novità. Le cosiddette leggi grammaticali,
metriche, filologiche si sono costituite su basi statistiche e d’uso condiviso3, e solo in un secondo
momento intervennero eventualmente istanze regolative. I limiti dell’approccio erano evidenti già agli
scettici pirroniani (si leggano le critiche in Sesto Empirico, M I.221-227): è l’unico possibile che abbia
una parvenza di scientificità in caso di indagine che verta su dati di fatto e proprio per questo risulta
sostanzialmente tautologico.
Un problema enorme e non immediatamente sormontabile si pone a chi studi le opere matematiche
antiche sotto l’aspetto della pratica argomentativa: nessun testo è completamente affidabile se
pretendiamo di andare oltre un certo grado di finezza di analisi. Non bisogna però pensare che questi
dati di fatto debbano condurre ad uno scetticismo generalizzato da cui concludere che i testi che
leggiamo sono prodotti tardo-antichi, dai quali possiamo salvare sì e no alcuni «contenuti». Una serie
di considerazioni ci aiuta ad uscire dalla paralisi. Primo, in anni recenti, e in particolare grazie allo
studio della tradizione arabo-latina dei testi greci, sono stati sviluppati metodi abbastanza raffinati atti
3 Sulle ultime citate si vedano le considerazioni in Pasquali 1998, 49-66. Ovviamente, gli hapax costituiscono un nodo
irresolubile in questa prospettiva.
