La méthode de Newton-Raphson appliquée à la résolution de systèmes d'équations linéaires ou ...

30 Pages·2009·0.27 MB·French

La méthode de Newton-Raphson
appliquée à la résolution de systèmes
d’équations linéaires ou du second degré
LLLLaaaa mmmméééétttthhhhooooddddeeee ddddeeee NNNNeeeewwwwttttoooonnnn –––– RRRRaaaapppphhhhssssoooonnnn
(cid:1) Algorithme utilisé pour résoudre des systèmes d’équations
non linéaires, qui consiste à construire, à partir de valeurs
approchées de la solution, une suite convergente vers une
solution.
(cid:1) Dans le plan, les itérés successifs sont donnés par :
x fixé
 0
 f (x )
= -
x x k

 k+1 k f '(x )
k
GGGGéééénnnnéééérrrraaaalllliiiissssaaaattttiiiioooonnnn ddddeeee llllaaaa mmmméééétttthhhhooooddddeeee
aaaauuuu ccccaaaassss mmmmuuuullllttttiiiiddddiiiimmmmeeeennnnssssiiiioooonnnnnnnneeeellll::::
˛
ⁿ
(cid:1) Considérant un vecteur X IR , une fonction
ⁿ→ ⁿ
F : IR IR continuement dérivable, on cherche à
résoudre le système F(X)=0.
(cid:1) Les itérés successifs obtenus par la méthode de
Newton-Raphson sont donnés par :
 X fixé
0

[ ]
= - - 1
X X F ( X ) F '( X )

+
k 1 k k k
CCCCoooonnnnvvvveeeerrrrggggeeeennnncccceeee ddddeeee llll’’’’aaaallllggggoooorrrriiiitttthhhhmmmmeeee
(cid:1) La méthode de Newton-Raphson
multidimensionnelle a une convergence
quadratique locale, comme sa version
unidimensionnelle.
LLLLeeeessss ccccoooonnnnttttrrrraaaaiiiinnnntttteeeessss ggggééééoooommmmééééttttrrrriiiiqqqquuuueeeessss::::
DDDDiiiissssttttaaaannnncccceeee eeeennnnttttrrrreeee 2222 ppppooooiiiinnnnttttssss
On cherche à placer un point Xi (x ,y ) à une
i i
distance d d’un point A(x ,y ). On veut donc :
a a
- + - =
(x x )2 ( y y )2 d
i a i a
Pour des raisons de commodité évidentes, on
résoudra ici l’équation
- + - - =
( x x )2 ( y y )2 d 2 0
i a i a
LLLLeeeessss ccccoooonnnnttttrrrraaaaiiiinnnntttteeeessss ggggééééoooommmmééééttttrrrriiiiqqqquuuueeeessss::::
DDDDiiiissssttttaaaannnncccceeee dddd’’’’uuuunnnn ppppooooiiiinnnntttt àààà uuuunnnneeee ddddrrrrooooiiiitttteeee
On cherche à placer un point Xi (x ,y ) à une
i i
distance d d’une droite D d’équation cartésienne
ax+by+c=0. On veut donc :
+ +
ax by c
=
d i i
+
a² b²
Et on résoudra :
a² 2ab b² 2ac 2bc c²
+ + + + + - =
x ² x y y ² x y d² 0
a² + b² i a² + b² i i a² + b² i a² + b² i a² + b² i a² + b²
LLLLeeeessss ccccoooonnnnttttrrrraaaaiiiinnnntttteeeessss ggggééééoooommmmééééttttrrrriiiiqqqquuuueeeessss::::
PPPPooooiiiinnnntttt aaaappppppppaaaarrrrtttteeeennnnaaaannnntttt àààà uuuunnnn cccceeeerrrrcccclllleeee
On cherche à placer un point Xi (x ,y ) sur un cercle
i i
C de centre A(x ,y ) et de rayon r. On veut donc :
a a
- + - =
( x x )2 ( y y )2 r
i a i a
Et on résoudra
- + - - =
(x x )2 ( y y )2 r 2 0
i a i a
LLLLeeeessss ccccoooonnnnttttrrrraaaaiiiinnnntttteeeessss ggggééééoooommmmééééttttrrrriiiiqqqquuuueeeessss::::
PPPPooooiiiinnnntttt aaaappppppppaaaarrrrtttteeeennnnaaaannnntttt àààà uuuunnnneeee ddddrrrrooooiiiitttteeee
On cherche à placer un point Xi (x ,y ) sur une
i i
droite D d’équation cartésienne ax+by+c=0. On
veut donc :
+ + =
ax by c 0
i i
LLLLeeeessss ccccoooonnnnttttrrrraaaaiiiinnnntttteeeessss ggggééééoooommmmééééttttrrrriiiiqqqquuuueeeessss::::
PPPPooooiiiinnnntttt mmmmiiiilllliiiieeeeuuuu dddd’’’’uuuunnnn sssseeeeggggmmmmeeeennnntttt
On cherche à placer un point Xi (x ,y ) au milieu du
i i
segment reliant A(x ,y ) et B(x ,y ). On a alors
a a b b
deux équations à résoudre :
+
x x
=
x a b
i
2
Et
+
y y
=
y a b
i
2
MMMMiiiisssseeee eeeennnn ppppllllaaaacccceeee dddduuuu pppprrrroooobbbbllllèèèèmmmmeeee::::
ddddiiiimmmmeeeennnnssssiiiioooonnnnssss
(cid:1) Saisie du nnnnoooommmmbbbbrrrreeee ddddeeee ppppooooiiiinnnnttttssss n à placer dans le plan.
(cid:1) Saisie du nnnnoooommmmbbbbrrrreeee kkkk ddddeeee ccccoooonnnnttttrrrraaaaiiiinnnntttteeeessss à rentrer. Si il est
inconnu, on considérera que k vaut 2n, qui est le
nombre de contraintes maximal.