La matematica da scienza delle grandezze a teoria delle forme. L’Ausdehnungslehre di H. Graßmann

485 Pages·2002·3.887 MB·Italian

by  Paola Cantù

LA MATEMATICA
DA SCIENZA DELLE GRANDEZZE
A TEORIA DELLE FORME
L’Ausdehnungslehre di H. Graßmann
Tesi di dottorato di Paola Cantu`
Dottorato di Ricerca in Filosofia (Filosofia della Scienza)
XIV ciclo - A.A. 2001/2002
Universit`a degli Studi di Genova
ii
Indice
Prefazione vii
1 Introduzione. Il sapere matematico 1
1.1 La matematica nelle classificazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Le enciclopedie settecentesche . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Le classificazioni ottocentesche delle scienze . . . . . . . . . 19
1.2 Per una definizione di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2.1 Criteri classificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2.2 Definizioni provvisorie e ‘locali’ . . . . . . . . . . . . . . . . 51
I La matematica come Scienza delle grandezze 57
2 Il concetto di grandezza 61
2.1 Grandezza e quantit`a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.1 Aristotele e la matematica come scienza . . . . . . . . . . . 61
2.1.2 Il genere comune alle dimostrazioni matematiche . . . . . . 64
2.1.3 Quantit`a e grandezze in Aristotele . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1.4 Le grandezze in Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.5 La ricezione della matematica euclidea nel Cinquecento . . 80
2.2 L’algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.1 L’analitica speciosa di Vi`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.2 Scienza delle quantit`a: numeri e grandezze . . . . . . . . . 94
2.3 Scienza delle relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.3.1 Descartes: un nuovo rapporto tra algebra e geometria . . . 100
2.3.2 Leibniz: arte combinatoria e mathesis universalis . . . . . . 106
3 La definizione ‘tradizionale’ di scienza delle grandezze 119
3.1 Da grandezza in generale a grandezza estensiva . . . . . . . . . . . 119
3.1.1 Wolff e l’introduzione del termine Gr¨oße . . . . . . . . . . . 119
3.1.2 D’Alembert e le voci dell’Encyclop´edie . . . . . . . . . . . . 122
3.1.3 Il concetto di matematica in Euler e in Gauss . . . . . . . . 125
3.1.4 Grandezze intensive ed estensive . . . . . . . . . . . . . . . 127
iii
3.2 Oltre la definizione ‘tradizionale’? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.2.1 Kant: la matematica come scienza per costruzione di concetti131
3.2.2 La natura delle verit`a matematiche: Bolzano contra Kant . 133
3.2.3 Bolzano: la matematica come teoria delle forme. . . . . . . 138
3.2.4 Ritorno al concetto di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.3 Quantit`a, grandezza, misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3.1 Scienza delle quantit`a o grandezze estensive . . . . . . . . . 142
3.3.2 H¨older: la misura delle grandezze estensive . . . . . . . . . 146
3.3.3 Grandezze estese e misurazione . . . . . . . . . . . . . . . . 149
II L’Ausdehnungslehre di H. Graßmann 153
4 La matematica come Teoria delle forme 159
4.1 Cenni bio-bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.2 Scienze reali e scienze formali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.3 Il concetto di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.3.1 Il metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.3.2 Le forme di pensiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.3.3 I modi di generazione delle forme . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.4 La Teoria generale delle forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5 La Teoria dell’estensione 229
5.1 Addizione di grandezze estese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.1.1 Le grandezze estese nell’Ausdehnungslehre del 1844 . . . . . 232
5.1.2 La teoria dell’estensione nel 1862 . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.2 Il prodotto di grandezze estese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.2.1 Prodotto esterno o geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.2.2 Prodotto interno o scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.2.3 Prodotto regressivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.2.4 Le grandezze numeriche nella A1 . . . . . . . . . . . . . . . 291
6 Le grandezze estese 297
6.1 Generazione e calcolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.1.1 La Naturphilosophie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.1.2 Il calcolo geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6.2 Il concetto di vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
6.2.1 Il calcolo vettoriale moderno . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.2.2 La teoria degli spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6.2.3 La fondazione vettoriale della geometria . . . . . . . . . . . 338
6.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
iv
III Appendice 347
7 Antologia di testi 349
7.1 Ch. Wolff. Voci del Dizionario di matematica . . . . . . . . . . . . 349
7.2 J.-B. D’Alembert. Voci matematiche dell’Enciclopedia . . . . . . . 353
7.3 L. Euler. Algebra (sez. 1, cap. 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
7.4 F. Gauss. La metafisica della matematica . . . . . . . . . . . . . . 363
7.5 B. Bolzano. Contributi (Prefazione, §§ 1-10, Appendice) . . . . . . 367
7.6 B. Bolzano. Teoria delle grandezze (sez. 1) . . . . . . . . . . . . . 383
7.7 H. Graßmann. A1 (Introduzione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.8 H. Graßmann. A1 (§§ 13-21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
7.9 H. Graßmann. A2 (cap.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
7.10 G. Peano Calcolo geometrico (Introduzione, cap. IX) . . . . . . . . 421
Figure 427
Bibliografia 433
Indice dei nomi 463
v
vi
Prefazione
Filosofia della matematica o storia delle idee?
Checos’`elafilosofiadellamatematica? Studiodeifondamentidellamatema-
tica, discussione ontologica sulla natura dei suoi oggetti, riflessione metodo-
logicasulsignificatodell’assiomatizzazioneesullanozionediteoriadeduttiva
e di dimostrazione, studio metamatematico delle propriet`a delle teorie mate-
matiche (coerenza, completezza, categoricit`a, ...)? La filosofia della mate-
matica`e tutto questo, come testimoniano i numerosi e fecondi studi dedicati
a questi temi, ma `e anche altro: interrogazione sulla maniera in cui i mate-
matici (e piu` in generale gli scienziati e i filosofi) concettualizzano la propria
disciplina,riflettonosudiessaalloscopodidarneunadefinizioneteoricaodi
determinarne i rapporti con le altre scienze o di spiegarne le peculiarit`a. Per
portare alla luce le riflessioni dei matematici sulla propria disciplina occorre
indagare le connessioni tra i contenuti delle teorie, le convinzioni epistemolo-
gicheeleconsiderazionifilosofichediciascunautore; soloinserendoirisultati
diquesteindaginiinunacornicestoricaunitaria`etuttaviapossibilestudiare
l’origine e lo sviluppo delle idee matematiche. Ed `e proprio questo, secon-
do noi, l’obiettivo di un modo di riflettere filosoficamente sulla scienza che,
predominante fino alla fine dell’Ottocento e all’inizio del Novecento (si pensi
– tra gli altri – ai lavori di Mach, Duhem, Enriques), `e andato scemando
nel XX secolo, sia a causa della crescente specializzazione delle scienze, sia
a causa del preponderante interesse per la questione dei fondamenti della
matematica (ridotta talvolta a semplice contrapposizione tra logicismo, in-
tuizionismo e formalismo). Se una ragione dell’abbandono dell’indagine sulle
idee matematiche, sul loro formarsi e sul loro significato matematico e filo-
sofico, pu`o essere rintracciata nel legittimo timore di affrontare un ambito
sconfinato, riteniamotuttaviapossibilecompiereunpiccolopassodiunatale
ricerca, pensabile solo come somma di studi individuali parziali.
vii
Tema della ricerca
L’oggetto di questa indagine, che concerne in generale le riflessioni filosofiche
condotte da matematici e da filosofi sulla natura della matematica, `e stato
circoscritto allo studio di un particolare momento della storia della mate-
matica in cui avviene la transizione dalla concezione della matematica come
scienza delle grandezze alla concezione della matematica come teoria delle
forme. La nostra ricerca si concentra sull’opera di Hermann Graßmann, che
ha costituito — come cercheremo di mostrare in questo studio — una tappa
fondamentale di questo passaggio.1 Poich´e riteniamo che un’indagine filo-
sofica sulla matematica come scienza debba tenere conto sia dei contenuti
delle ricerche matematiche sia della concettualizzazione che ne `e stata fatta,
un’indagine filosofica su Hermann Graßmann comporta sia un’analisi pun-
tuale delle sue ricerche matematiche (e dunque un confronto con le teorie
dell’epoca per rilevare l’originalit`a delle sue soluzioni e dei suoi metodi) sia
un’analisi delle riflessioni di Graßmann sulla natura della matematica, del
suo metodo, dei suoi oggetti d’indagine (e dunque un confronto con le rifles-
sionidialtrimatematiciefilosofiottocenteschi). Lanostraindaginefilosofica
peccherebbe infatti di ingenuita` se studiasse le teorie matematiche come og-
getti astratti, senza nello stesso tempo analizzarle anche come prodotti di un
uomo e di un’epoca. I risultati di un’indagine di questo tipo appartengono
probabilmente ad un ambito diverso da quello che spesso si attribuisce alla
filosofiadellamatematica: essisconfinanonellastoria delle idee matematiche
e, piu` ingenerale, nellastoriadelpensieroscientifico. Ma`eproprioinquesto
ambito che, secondo noi, il filosofo della matematica pu`o collaborare con lo
storico per spiegare il significato delle teorie matematiche, dei loro concetti
e dei loro metodi all’interno di ciascuna epoca.
In particolare studieremo la storia dell’idea di forma, che soppianta l’idea
di grandezza nella definizione della matematica data da Graßmann. Ad una
considerazionesuperficiale ladefinizione di Graßmann potrebbe sembrareun
preludio alle successive definizioni novecentesche della matematica come teo-
ria delle strutture, a causa del prevalere della componente formale e astratta
suquellaconcretaemisurabilepropriadelconcettogeometricodigrandezza.
Rileggendo la storia della matematica a partire dal presente e insistendo sul-
1Nella ricerca si far`a riferimento anche a Robert Graßmann, fratello di Hermann, e a
JustusGraßmann,padredeidueautoricitati. Poich´el’attenzione`econcentrataprincipal-
mentesull’operadiHermannGraßmann,ovenondiversamentespecificatoconilcognome
‘Graßmann’siintender`asempreHermann,mentrefaremoriferimentoalfratelloRoberto
al padre Justus o aggiungendo l’iniziale o indicando per esteso il nome di battesimo. In
questo lavoro si `e scelto di scrivere il cognome di Graßmann come egli stesso lo scriveva
(si veda ad esempio la firma autografa riprodotta nella edizione delle opere complete) e
cio`e‘Graßmann’anzich´e‘Grassmann’.
viii
la ricerca dei precursori della concezione attuale della matematica, si corre
il rischio di travisare il significato di alcune idee e teorie matematiche del
passato, masoprattuttosirischiadinoncomprenderneilsignificatoelapor-
tata epistemologica, l’intreccio con le convinzioni filosofiche dell’autore e con
il contesto culturale in cui la teoria `e sorta. In particolare, se ci si ferma
all’apparente somiglianza tra la Teoria generale delle forme di Graßmann e
gli studi successivi sulle strutture algebriche astratte, si perde il significato
del concetto di forma come parte di un tutto, come tutto composto di parti,
come ci`o che pu`o essere connesso e separato, come estensione, come pro-
dotto del pensiero, come oggetto caratterizzato da una regolarit`a generativa
— significati che noi cercheremo invece di ricostruire e di confrontare con il
significato tradizionalmente attribuito al termine grandezza.
Il sapere matematico
Per comprendere cosa fosse e come fosse intesa la matematica nell’Ottocento
occorre muoversi in due direzioni: 1) individuare le ricerche matematiche
in corso in quegli anni, 2) indagare il modo in cui i pensatori dell’epoca
(matematici, filosofiescienziati)intendevanoilsaperematematicoingenere,
ossia stabilire il tipo di concettualizzazione cui la matematica era soggetta
in quanto una tra le tante forme di conoscenza umana. Poich´e nella prima
direzione sono gi`a stati condotti numerosi e ben documentati studi, faremo
ampiamente uso dei risultati di tali ricerche per quanto riguarda lo sviluppo
generaledellamatematicaerivolgeremolanostraattenzionesoprattuttoalla
seconda direzione di ricerca.
Mentresonomoltonumerosiglistudisullastoriadellamatematicaesulla
filosofia della matematica intesa come indagine sui fondamenti o come logi-
ca matematica o come riflessione ontologica sulla natura degli oggetti e del
metodo della matematica, assai carenti sono le ricerche sulla storia delle idee
matematicheeinprimoluogosullastoriadell’ideastessadimatematica. Nel-
la bibliografia a noi nota sono molto rari (e spesso poco approfonditi) i testi
dedicati all’analisi delle concezioni della matematica sviluppate dai filosofi
mentre mancano del tutto testi dedicati allo studio dei diversi modi in cui i
matematici stessi hanno definito la loro disciplina. Il capitolo introduttivo `e
dedicato pertanto alla ricerca dei modi in cui la matematica `e stata definita
e concettualizzata nell’opera di matematici, filosofi, scienziati.
Non`ecertopossibilecondurreunatalericercainmanieraesaustiva,facen-
do riferimento a tutti gli autori rilevanti nella costruzione di questo scenario:
svilupperemo pertanto la ricerca soltanto in alcune direzioni, che certo non
sono le uniche possibili, come non saranno gli unici autori rilevanti quelli
di cui faremo parola. Poich´e `e necessario adottare un punto di vista, sep-
ix
pure limitato, dal quale far partire una ricerca di questo genere, abbiamo
scelto di analizzare alcune definizioni che contribuiscono alla determinazione
del rapporto tra la matematica e gli altri saperi. Dopo un breve cenno alla
classificazione baconiana delle scienze e alla concezione della matematica di
Hume e di Leibniz, faremo riferimento ad alcune definizioni di matematica
presentate tra Settecento e Ottocento con l’intento di stabilire il posto della
matematica nel quadro piu` generale delle conoscenze scientifiche: analizze-
remo le definizioni di matematica presenti nelle enciclopedie settecentesche
(la Cyclopaedia di Chambers e l’Encyclop´edie di Diderot e d’Alembert) e
in alcuni studi ottocenteschi sulla classificazione delle scienze (in partico-
lare Amp`ere, Comte, Spencer e Wundt, sconfinando nel Novecento con la
considerazione del progetto enciclopedico neopositivista).
Questo ‘detour’ storico preliminare ha un doppio esito: da un lato trac-
cia un contesto all’interno del quale valutare l’originalit`a di contenuto e di
metodo della classificazione delle scienze presentata da Graßmann nell’In-
troduzione alla sua opera principale — l’Ausdehnungslehre o Teoria dell’e-
stensione2 — e della sua deduzione del concetto di matematica all’interno di
questoquadrogeneraledelsapereumano; dall’altrosuggerisceunariflessione
filosofica sul ruolo dei criteri classificatori delle scienze come strumenti per
definire il concetto di matematica. Soprattutto la storia delle diverse defini-
zioni di matematica mostra la relativit`a di ogni pretesa di caratterizzare in
modo esauriente o di circoscrivere in modo definitivo l’ambito della matema-
tica come scienza e pone anche in dubbio la preminenza delle riflessioni sulla
natura ontologica (reale, ideale o quant’altro) degli enti matematici ai fini di
una comprensione piena del concetto stesso di matematica.
La matematica come scienza delle grandezze
Pur nella varieta` dei modi di rapportare il sapere matematico agli altri sape-
ri e nei diversi criteri classificatori adottati, emerge un tratto comune nella
concettualizzazione della matematica: essa `e perlopiu` definita come scienza
delle grandezze o `e posta in relazione con il concetto di grandezza. Si po-
trebbe dire che nonostante tutte le differenze tra i vari autori, le rispettive
filosofie e le concezioni epistemologiche, la matematica sia in qualche modo
considerata ‘tradizionalmente’ come Scienza delle grandezze. E in effetti a
questa definizione si riferiscono Graßmann ed altri autori prima e dopo di lui
come ad un portato della tradizione da contestare e da modificare.
2Il titolo completo recita Die Wissenschaft der extensiven Gr¨oße oder die Au-
sdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin dargestellt und durch Anwendungen
erl¨autert. [ScienzadellagrandezzaestensivaoTeoriadell’estensione,unanuovadisciplina
matematicapresentataechiaritamedianteapplicazioni].
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