Kümeler Kuramı 1

82 Pages·2017·1.563 MB·Turkish

by  Ali Nesin

Ali Nesin
Fen Liseleri I_(cid:24)cin Matematik 1
Ku(cid:127)meler Kuram(cid:16) 1
_
I(cid:24)cindekiler
O(cid:127)ns(cid:127)oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Ku(cid:127)meler ve O(cid:127)geleri 5
2 Bo(cid:24)sku(cid:127)me 27
3 Altku(cid:127)me 31
4 Ku(cid:127)mesel I_(cid:24)slemler 41
4.1 Bile(cid:24)sim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Kesi(cid:24)sim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Bile(cid:24)sim ve Kesi(cid:24)sim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Ku(cid:127)melerin Fark(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Ku(cid:127)melerin 01-Tablosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 Simetrik Fark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.7 Evrensel Ku(cid:127)me ve Tu(cid:127)mleyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Birka(cid:24)c Ku(cid:127)me Yaz(cid:16)l(cid:16)m Bi(cid:24)cimi 71
Kaynakc(cid:24)a ve Okuma Listesi 74
(cid:127)
Ons(cid:127)oz
Milli E(cid:21)gitim Bakan(cid:16) Nabi Avc(cid:16) Matematik K(cid:127)oyu(cid:127)’nu(cid:127) ziyaret etti(cid:21)gi bir gu(cid:127)n,
sohbet esnas(cid:16)nda bir ara liseliler i(cid:24)cin bir matematik ders kitab(cid:16) yazmam(cid:16)
(cid:127)onerdi. Hemen kabul ettim tabii. Liselerde okunacak bir matematik kitab(cid:16)
yazmay(cid:16) g(cid:127)orev sayar(cid:16)m. U(cid:127)stelik zaten gen(cid:24)clere y(cid:127)onelik yazd(cid:16)(cid:21)g(cid:16)m onlarca kitap,
yu(cid:127)zlercepopu(cid:127)leryaz(cid:16)var,bunlar(cid:16)nbirk(cid:16)sm(cid:16)n(cid:16)birlisederskitab(cid:16)olarakg(cid:127)ozden
ge(cid:24)cirip du(cid:127)zenlemem pek zor olmazd(cid:16). Ne bu(cid:127)yu(cid:127)k yan(cid:16)lg(cid:16)! S(cid:24)imdi du(cid:127)(cid:24)su(cid:127)nu(cid:127)yorum
da, hayat(cid:16)mda bildi(cid:21)gimi sand(cid:16)(cid:21)g(cid:16)m bir konuda hi(cid:24)c bu kadar bu(cid:127)yu(cid:127)k bir yan(cid:16)lg(cid:16)ya
du(cid:127)(cid:24)smedim. Me(cid:21)ger bir lise kitab(cid:16) yazmak ne kadar zormu(cid:24)s, hatta iyisini yaz-
mak imk^ans(cid:16)zm(cid:16)(cid:24)s! Bu zorluklardan bahsetmezsem olmaz (cid:24)cu(cid:127)nku(cid:127) bu zorluklar
bu kitab(cid:16)n bel kemi(cid:21)gi.
Kitab(cid:16) ne tu(cid:127)r liseli i(cid:24)cin yazacakt(cid:16)m? C(cid:24)u(cid:127)nku(cid:127) liseli var, liseli var. Merakl(cid:16)s(cid:16)
var, umursamaz(cid:16) var. Temeli sa(cid:21)glam olan(cid:16) var, (cid:24)cu(cid:127)ru(cid:127)k olan(cid:16) var. Matemati(cid:21)gi se-
venivar,matematiktennefretedenivar.Entelektu(cid:127)elheyecanarayan(cid:16)var,daha
maddi (cid:127)odu(cid:127)llerle tatmin olan(cid:16) var. Soyut kavramlarda zorlanan(cid:16) var, ayaklar(cid:16)
yere de(cid:21)gmeyeni var. C(cid:24)al(cid:16)(cid:24)skan(cid:16) var, tembeli var. Acar(cid:16) var, akl(cid:16) havada olan(cid:16)
var. I_nat(cid:24)c(cid:16)s(cid:16) var, kolay teslim olan(cid:16) var. C(cid:24)e(cid:24)sit (cid:24)ce(cid:24)sit liseli var. Kitab(cid:16)n seviyesini
tutturmak i(cid:24)cin uzun su(cid:127)re cebelle(cid:24)stim. San(cid:16)r(cid:16)m lise 1 seviyesinde 1,5-2 milyon
kadar (cid:127)o(cid:21)grenci vard(cid:16)r Tu(cid:127)rkiye’de. Sonunda, bu kadar (cid:24)cok ve (cid:24)ce(cid:24)sitli (cid:127)o(cid:21)grenci i(cid:24)cin
tek bir kitap yaz(cid:16)lamayaca(cid:21)g(cid:16)n(cid:16) idrak ettim. Bu kadar (cid:24)cok (cid:127)o(cid:21)grenciye tek bir
kitap sunman(cid:16)n u(cid:127)lkeye ancak k(cid:127)otu(cid:127)lu(cid:127)k olaca(cid:21)g(cid:16)na kanaat getirdim. Hatta bu
kadar (cid:24)cok ve (cid:24)ce(cid:24)sitli (cid:127)o(cid:21)grenci i(cid:24)cin tek bir mu(cid:127)fredat ve e(cid:21)gitim sistemi bile do(cid:21)gru
de(cid:21)gilamaneyse,konumuzbude(cid:21)gil...Seslendi(cid:21)gimkitleyik(cid:16)s(cid:16)tlay(cid:16)p,birfenlisesi
(cid:127)o(cid:21)grencisineyadabirfenlisesi(cid:127)o(cid:21)grencisikadarmerakl(cid:16)gen(cid:24)clereseslenmeliydim.
Bu da kolay olmad(cid:16). Tecru(cid:127)be g(cid:127)osterdi ki her fen lisesi bir olmad(cid:16)(cid:21)g(cid:16) gibi, her
fenliselidebirolmuyor.Kendimidahadak(cid:16)s(cid:16)tlay(cid:16)p,temelbilimlerdeilerlemek
isteyen merakl(cid:16) fen lisesi (cid:127)o(cid:21)grencisi i(cid:24)cin yazmaya karar verdim.
Ba(cid:24)ska zorluklarla da kar(cid:24)s(cid:16)la(cid:24)st(cid:16)m. Do(cid:21)gal olarak mu(cid:127)fredata ba(cid:21)gl(cid:16) kalmal(cid:16)y-
d(cid:16)m. Nabi Bey bu konuda bana k(cid:16)smi bir (cid:127)ozgu(cid:127)rlu(cid:127)k sa(cid:21)glam(cid:16)(cid:24)st(cid:16), hatta gerekirse
mu(cid:127)fredat(cid:16) de(cid:21)gi(cid:24)stirebileceklerini bile (cid:24)c(cid:16)tlatm(cid:16)(cid:24)st(cid:16) ama gene de mu(cid:127)fredattan (cid:24)cok
ayr(cid:16)lamazd(cid:16)m. Mu(cid:127)fredat(cid:16) g(cid:127)ozden ge(cid:24)cirdim. Ayn(cid:16) s(cid:16)n(cid:16)f(cid:16)n mu(cid:127)fredat(cid:16)nda ku(cid:127)meler
de var, say(cid:16)lar da, istatistik de, geometri de... Bir kitapta bu kadar farkl(cid:16) konu
2 O¨nso¨z
olamaz ki... Her kitab(cid:16)n bir bu(cid:127)tu(cid:127)nlu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127), belirli ve sabit bir konusu olmal(cid:16)d(cid:16)r,
aksi halde tats(cid:16)z tuzsuz bir kitap ortaya (cid:24)c(cid:16)kar. (Ama neyse ki bir iki y(cid:16)l sonra
ra(cid:13)ardan kalkar, unutulur gider.) Ayr(cid:16)ca, biraz ondan biraz bundan bahse-
dince asl(cid:16)nda hi(cid:24)cbir (cid:24)seyden bahsedilmez. Birbirinden (cid:24)cok farkl(cid:16) konular(cid:16)n tek
bir kitapta toplanmas(cid:16) do(cid:21)gru de(cid:21)gil, hem kitab(cid:16)n bu(cid:127)tu(cid:127)nlu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127) a(cid:24)c(cid:16)s(cid:16)ndan do(cid:21)gru
de(cid:21)gil, hem de kitab(cid:16)n varabilece(cid:21)gi hacim a(cid:24)c(cid:16)s(cid:16)ndan do(cid:21)gru de(cid:21)gil. \Lise 1 Mate-
matik"diyebirkitapba(cid:24)sl(cid:16)(cid:21)g(cid:16)banagiderekdahaabsu(cid:127)rtgelmeyeba(cid:24)slad(cid:16),\Lise1
Matematik" diye bir konu yoktur (cid:24)cu(cid:127)nku(cid:127), dolay(cid:16)s(cid:16)yla kitab(cid:16) da olamaz! B(cid:127)oylece
her konuda ve her seviyede ayr(cid:16) bir kitap yazmaya karar verdim. (Bu dedi(cid:21)gim
(cid:127)orne(cid:21)gin tarih kitaplar(cid:16) i(cid:24)cin de ge(cid:24)cerli olmal(cid:16). \Tarih" diye bir kitap olamaz,
olmamal(cid:16), ama \Orta(cid:24)ca(cid:21)g Avrupas(cid:16) Tarihi" diye bir kitap olabilir mesela.)
Zorluklar bu kadarla kalmad(cid:16): Mu(cid:127)fredatta, anlat(cid:16)lmas(cid:16) gereken konular
s(cid:127)oylendig(cid:21)i gibi, anlat(cid:16)lmamas(cid:16) gereken konular da s(cid:127)oyleniyor! Bu talimata uy-
mam s(cid:127)oz konusu bile olamazd(cid:16). Daha neler!
Sonuc(cid:24)? Mu(cid:127)fredat(cid:16) bir yana b(cid:16)rak(cid:16)p, merakl(cid:16) bir fen lisesi (cid:127)o(cid:21)grencisinin bil-
mesigerekti(cid:21)ginidu(cid:127)(cid:24)su(cid:127)ndu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127)mfarkl(cid:16) konulardavederinlikte farkl(cid:16) kitaplar yaz-
maya karar verdim. Elinizdeki bu kitap bir dizi kitab(cid:16)n birincisidir. Sadece
ku(cid:127)meler kuram(cid:16)n(cid:16) ele al(cid:16)r ve ku(cid:127)meler kuram(cid:16)n(cid:16)n ilk kitab(cid:16)d(cid:16)r. Belli bir zihinsel
olgunluk d(cid:16)(cid:24)s(cid:16)nda herhangi bir (cid:127)onbilgi gerektirmemektedir. I_leride, bir ba(cid:24)ska
kitapta ku(cid:127)meler kuram(cid:16)n(cid:16)n daha derinlerine inece(cid:21)giz.
Dizinin ilk kitab(cid:16) oldu(cid:21)gundan elinizdeki kitap lise 1 fen lisesi (cid:127)o(cid:21)grencilerine
uygun olmal(cid:16), en az(cid:16)ndan ben (cid:127)oyle du(cid:127)(cid:24)su(cid:127)nu(cid:127)yorum. Bu demek de(cid:21)gildir ki (cid:127)o(cid:21)g-
retmen s(cid:16)n(cid:16)fta kitaptaki her konudan bahsetmeli ya da (cid:127)o(cid:21)grenci kitab(cid:16) sat(cid:16)r
sat(cid:16)r okumal(cid:16). Kitab(cid:16)n her sayfas(cid:16)ndan s(cid:16)n(cid:16)fta s(cid:127)oz edilmesi hi(cid:24)c do(cid:21)gru olmaz, o
kadar (cid:24)cok zaman yok. E(cid:21)ger s(cid:16)n(cid:16)f(cid:16)nda kitab(cid:16) okutmaya cesaret eden (cid:127)o(cid:21)gretmen
olursa, bir(cid:24)cok konuyu, (cid:127)orne(cid:21)gi ve al(cid:16)(cid:24)st(cid:16)rmay(cid:16) atlayabilir. O(cid:127)(cid:21)grenci o konular(cid:16)
kendi evinde isterse ve merakl(cid:16)ysa okur. Kitab(cid:16)n baz(cid:16) b(cid:127)olu(cid:127)mleri daha ileri
s(cid:16)n(cid:16)(cid:13)arda da okutulabilir.
Mu(cid:127)fredattan de(cid:21)gil, matemati(cid:21)gin (cid:127)ozu(cid:127)nden kaynaklanan (cid:24)cok daha ciddi bir
ba(cid:24)ska zorukla da kar(cid:24)s(cid:16)la(cid:24)st(cid:16)m. Bilindi(cid:21)gi u(cid:127)zere matematik tamamen zihinsel bir
u(cid:21)gra(cid:24)st(cid:16)r. I_stisnas(cid:16)z tu(cid:127)m matematiksel kavramlar zihinseldir. O(cid:127)rne(cid:21)gin mate-
matiksel 1 say(cid:16)s(cid:16) ile hissetti(cid:21)gimiz 1 say(cid:16)s(cid:16) asl(cid:16)nda birbirinden apayr(cid:16) (cid:24)seylerdir;
matematiksel1say(cid:16)s(cid:16)f0gku(cid:127)mesiolaraktan(cid:16)mlan(cid:16)r(ba(cid:24)skatu(cid:127)rlu(cid:127) detan(cid:16)mlana-
bilirdi!)vebutan(cid:16)m(cid:16)n1say(cid:16)s(cid:16)n(cid:16)npratiktekianlam(cid:16)ylaili(cid:24)skisibaya(cid:21)g(cid:16)mu(cid:21)glakt(cid:16)r,
ne de olsa 1 say(cid:16)s(cid:16) pratikte bir niceleme s(cid:16)fat(cid:16)d(cid:16)r ama matematiksel 1, yani f0g
ku(cid:127)mesi, bir s(cid:16)fat olmaktan bir hayli uzakt(cid:16)r.
Elbette matematiksel kavramlar somut olaylardan ve somut du(cid:127)nyadan
kaynaklan(cid:16)r, elbette somut olaylar(cid:16) alg(cid:16)lamak i(cid:24)cin g(cid:127)orme, i(cid:24)sitme gibi duyu-
lar(cid:16)m(cid:16)zdan yararlan(cid:16)r(cid:16)z, elbette matematiksel kavramlar(cid:16) sezgilerimizi kulla-
narak yarat(cid:16)p i(cid:24)cselle(cid:24)stiririz, ama kavram(cid:16)n kayna(cid:21)g(cid:16) ve kavram(cid:16) i(cid:24)cselle(cid:24)stirme
su(cid:127)reci ba(cid:24)ska, kavram(cid:16)n kendisi ba(cid:24)ska. Bir liseliye matemati(cid:21)gi tamamen zihin-
O¨nso¨z 3
selbirfaaliyetolarakanlatmakmakulbirdavran(cid:16)(cid:24)sde(cid:21)gildir,akl(cid:16)ba(cid:24)s(cid:16)ndakimse
b(cid:127)oyle bir u(cid:21)gra(cid:24)sa yeltenmez. Yakla(cid:24)s(cid:16)k 4000 y(cid:16)ll(cid:16)k bir su(cid:127)recin sonucunu birka(cid:24)c
y(cid:16)lda (cid:127)o(cid:21)grenciye aktarmak mu(cid:127)mku(cid:127)n de(cid:21)gildir (cid:24)cu(cid:127)nku(cid:127). Demek ki bir lise matema-
tik kitab(cid:16) yazar(cid:16), sadece matemati(cid:21)gi de(cid:21)gil, matemati(cid:21)gin ke(cid:24)sif su(cid:127)recini de an-
latmal(cid:16), hatta matematikten (cid:127)odu(cid:127)n verip ke(cid:24)sif su(cid:127)recini (cid:127)one (cid:24)c(cid:16)karmal(cid:16). Paradoks
gibi gelecek ama matematik anlat(cid:16)rken bir liseliye illa ki yalan s(cid:127)oylenmeli. Me-
sela bir lise matematik kitab(cid:16)nda 1 say(cid:16)s(cid:16) f0g ku(cid:127)mesi olarak tan(cid:16)mlanmamal(cid:16),
1 say(cid:16)s(cid:16)n(cid:16)n ne oldu(cid:21)gunu (cid:127)o(cid:21)grencinin sezgileriyle bildi(cid:21)gi varsay(cid:16)lmal(cid:16). Pedagoji
diyebir(cid:24)seyvarnihayetinde!Yalans(cid:127)oylemeyikabullendiktensonrayalan(cid:16)ndo-
zunu ayarlamak gerekiyordu, bu konuda da baya(cid:21)g(cid:16) zorluk (cid:24)cektim. C(cid:24)ok yaz(cid:16)p
bozdum, (cid:24)cok bocalad(cid:16)m, (cid:24)cok iki arada bir derede kald(cid:16)m. Yalan(cid:16) asgariye in-
dirdi(cid:21)gime inan(cid:16)yorum. Hi(cid:24)c olmazsa yalans(cid:16)z dolans(cid:16)z matematik i(cid:24)cin ba(cid:24)svurul-
mas(cid:16) gereken kaynaklar(cid:16) g(cid:127)osterdim.
Y(cid:16)llardan beri (cid:127)o(cid:21)grencilerle (cid:127)o(cid:21)gretmenlerin baz(cid:16) tebelle(cid:24)s sorular(cid:16)yla muhatap
olurum. I_(cid:24)ste o sorulardan baz(cid:16)lar(cid:16): 0 bir say(cid:16) m(cid:16)d(cid:16)r? 0/0 niye tan(cid:16)ms(cid:16)zd(cid:16)r? 00
kac(cid:24)t(cid:16)r? 0! say(cid:16)s(cid:16) niye 1’e e(cid:24)sittir? En bu(cid:127)yu(cid:127)k say(cid:16) 1 mudur? Ayr(cid:16)ca, bu tu(cid:127)r
sorulara cevap vermeye (cid:24)cal(cid:16)(cid:24)st(cid:16)m.
Kitapta matematik tarihinden s(cid:127)ozettim biraz. Sadece kitab(cid:16) ne(cid:24)selendirsin
diye de(cid:21)gil, ba(cid:24)sl(cid:16) ba(cid:24)s(cid:16)na ilgin(cid:24)c bir konu oldu(cid:21)gundan ve genel ku(cid:127)ltu(cid:127)ru(cid:127)mu(cid:127)zu(cid:127)n bir
par(cid:24)cas(cid:16) olmas(cid:16) gerekti(cid:21)gine inand(cid:16)(cid:21)g(cid:16)mdan.
Araya ara(cid:24)st(cid:16)rmaya (cid:127)ozendiren notlar ve al(cid:16)(cid:24)st(cid:16)rmalar serpi(cid:24)stirdim, bilinme-
yen sorulardan bahsettim. Bir (cid:127)o(cid:21)grenci kendini unutup gu(cid:127)nlerce o sorulardan
birine yog(cid:21)unla(cid:24)s(cid:16)rsa kitap amac(cid:16)na ula(cid:24)sm(cid:16)(cid:24)s demektir.
En (cid:127)onemlisi elimden geldi(cid:21)gince tan(cid:16)m(cid:16)n ve kan(cid:16)t(cid:16)n (cid:127)onemini vurgulamaya
(cid:24)cal(cid:16)(cid:24)st(cid:16)m.Bunuherzamanyapamad(cid:16)m(cid:24)cu(cid:127)nku(cid:127)yukar(cid:16)dadabelirtti(cid:21)gimgibiarada
bir okurdan ger(cid:24)cekleri gizlemek zorunda kald(cid:16)m. Ama bir(cid:24)cok yerde tan(cid:16)m(cid:16)n
ve kan(cid:16)t(cid:16)n hakk(cid:16)n(cid:16) teslim etti(cid:21)gimi du(cid:127)(cid:24)su(cid:127)nu(cid:127)yorum. Tan(cid:16)m yoksa kan(cid:16)tlanacak
cu(cid:127)mle anlams(cid:16)zla(cid:24)s(cid:16)r ve dolay(cid:16)s(cid:16)yla kan(cid:16)t mu(cid:127)mku(cid:127)n olmaz. Kan(cid:16)t(cid:16) atarsak da
matematikten geriye sadece bir olgular dizisi kal(cid:16)r. Kan(cid:16)ts(cid:16)z bir matematik
kitab(cid:16)n(cid:16)n ise bir telefon rehberinden pek bir fark(cid:16) yoktur!
Matematik soyuttur, simgeseldir, x’ler, y’ler (cid:12)lan vard(cid:16)r, ama matematik
birsimgelerdizisiolaraksunulmaz,sunulursadaanla(cid:24)s(cid:16)lmazolur.Birmatema-
tikkitab(cid:16)ndauzuna(cid:24)c(cid:16)klamalarolmal(cid:16),yanikaydade(cid:21)germiktardametinolmal(cid:16).
Okurun kitaptaki metin eksikli(cid:21)ginden yak(cid:16)naca(cid:21)g(cid:16)n(cid:16) hi(cid:24)c sanm(cid:16)yorum.
Kitab(cid:16)n elbette baz(cid:16) eksiklikleri vard(cid:16)r, ne de olsa hayat(cid:16)mda hi(cid:24)c bir lisede
(cid:127)o(cid:21)gretmenolarak(cid:24)cal(cid:16)(cid:24)smad(cid:16)m,(cid:127)o(cid:21)gretmenlerinkar(cid:24)s(cid:16)la(cid:24)st(cid:16)klar(cid:16)sorunlardanbihaber
olabilirim. Bu eksiklerden biri ve en (cid:127)onemlisi standart al(cid:16)(cid:24)st(cid:16)rma eksikli(cid:21)gi ola-
bilir. Mesela u(cid:127)niversite s(cid:16)navlar(cid:16)nda (cid:24)c(cid:16)kacak sorular(cid:16) hi(cid:24)c kale almad(cid:16)m. Bu tu(cid:127)r
eksiklikleri (cid:127)o(cid:21)gretmen ve (cid:127)o(cid:21)grenci ba(cid:24)ska kaynaklardan giderebilir. Eksikliklerim
konusunda beni de bilgilendirirseniz sevinirim (anesin@nesinvak(cid:12).org).
4 O¨nso¨z
Bu ilk kitapta modern matemati(cid:21)gin en temel dire(cid:21)gi olan ku(cid:127)melerle ta-
n(cid:16)(cid:24)sacag(cid:21)(cid:16)z. Daha sonraki kitaplarda burada g(cid:127)ordu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127)mu(cid:127)z kavramlar(cid:16)n bol bol
uygulamalar(cid:16)n(cid:16) g(cid:127)orece(cid:21)giz ve ayr(cid:16)ca bu kavramlar(cid:16) daha da geli(cid:24)stirip genelle(cid:24)s-
tirece(cid:21)giz.
Ku(cid:127)(cid:24)cu(cid:127)kpuntoylayaz(cid:16)lm(cid:16)(cid:24)solannotlar,(cid:127)orneklerveal(cid:16)(cid:24)st(cid:16)rmalarkorkar(cid:16)mana
metindendahae(cid:21)glencelivee(cid:21)gitici.O(cid:127)(cid:21)grenciyeoku(cid:127)(cid:24)cu(cid:127)kpuntoylayaz(cid:16)lm(cid:16)(cid:24)smetne
(cid:127)onem vermesini tavsiye ederim.
Ku(cid:127)meler kuram(cid:16)n(cid:16) \sezgisel" bir bi(cid:24)cimde ele alaca(cid:21)g(cid:16)z. Ku(cid:127)meler kuram(cid:16)
[N2] ve [N3] ders notlar(cid:16)nda (cid:24)cok daha matematiksel olarak (ve (cid:24)cok daha ileri
du(cid:127)zeyde) ele al(cid:16)nm(cid:16)(cid:24)st(cid:16)r. Dileyen okur o ders notlar(cid:16)na uygun bir zaman(cid:16)nda
(bu kitaplar(cid:16) okuduktan sonra ama!) g(cid:127)oz atabilir.
Kitab(cid:16) neden MEB’e sunmay(cid:16)p da Nesin Yay(cid:16)nevi’nde basmay(cid:16) tercih et-
ti(cid:21)gime gelince... Her (cid:24)seyden (cid:127)once kitab(cid:16) MEB’e sunsayd(cid:16)m, muhtemelen ka-
bul edilmeyecekti. Baz(cid:16) hakl(cid:16) ve baz(cid:16) haks(cid:16)z nedenlerden... Hele Nabi Bey
bakanl(cid:16)ktan ayr(cid:16)ld(cid:16)ktan sonra kanaatimce hi(cid:24)c (cid:24)sans(cid:16) yoktu. Kitap kabul edil-
meseydi herhangi bir sorun olmazd(cid:16), yine Nesin Yay(cid:16)nevi’nden basard(cid:16)k. As(cid:16)l
bu(cid:127)yu(cid:127)k sorunu kitap kabul edilseydi ya(cid:24)sard(cid:16)m. Hakk(cid:16)mda s(cid:127)oylenmedik laf, at(cid:16)l-
mam(cid:16)(cid:24)s iftira kalmazd(cid:16). Biliyorum, (cid:24)cu(cid:127)nku(cid:127) kitap daha yaz(cid:16)lmadan, kitab(cid:16)n si-
pari(cid:24)s edildi(cid:21)gi haberi duyulur duyulmaz sosyal medyada i(cid:21)gren(cid:24)c iftiralar ve ha-
karetler dola(cid:24)smaya ba(cid:24)slad(cid:16). Bir ders kitab(cid:16)n(cid:16)n (cid:127)ons(cid:127)ozu(cid:127)nde bile olsa, u(cid:127)lkemizin
bu a(cid:24)s(cid:16)r(cid:16) politikle(cid:24)smesinden had safhada g(cid:16)na geldi(cid:21)gini (cid:127)ozellikle belirtmek isti-
yorum.
Kitaplar(cid:16) ba(cid:24)stan sona okuyup (cid:24)ce(cid:24)sitli (cid:127)oneriler getiren, du(cid:127)zeltmeler yapan,
al(cid:16)(cid:24)st(cid:16)rmalar (cid:127)oneren Mustafa Ya(cid:21)gc(cid:16) ve Ali T(cid:127)oru(cid:127)n’e te(cid:24)sekku(cid:127)r etmek yetmez
bile. Kitab(cid:16)n ilk tasla(cid:21)g(cid:16)n(cid:16) internetten indirip du(cid:127)zeltmeler yapan onlarca ads(cid:16)z
(cid:127)o(cid:21)gretmenedete(cid:24)sekku(cid:127)ru(cid:127)bor(cid:24)cbilirim.Sonolarak,bukitapdizisininyaz(cid:16)lmas(cid:16)na
(cid:127)onayak olan dostum Nabi Avc(cid:16)’ya mu(cid:127)te(cid:24)sekkir oldu(cid:21)gumu belirtirim.
Ali Nesin / 8 A(cid:21)gustos 2017
(cid:127)
1. Ku(cid:127)meler ve Ogeleri
Birtak(cid:16)m nesnelerden olu(cid:24)san topluluklara matematikte ku(cid:127)me ad(cid:16) verilir. O(cid:127)r-
ne(cid:21)gin(cid:24)suandai(cid:24)cindebulundu(cid:21)gunuzs(cid:16)n(cid:16)f(cid:16)bir(cid:127)o(cid:21)grenciku(cid:127)mesiolarakdu(cid:127)(cid:24)su(cid:127)nebilir-
siniz.Okulunuzuda,e(cid:21)geristerseniz,s(cid:16)n(cid:16)(cid:13)ardanolu(cid:24)sanbirku(cid:127)meolarakg(cid:127)orebi-
lirsiniz.Elbisedolab(cid:16)n(cid:16)z(cid:16),elbiselerinizii(cid:24)cerenbirku(cid:127)meolarakalg(cid:16)layabilirsiniz.
Ya(cid:24)sad(cid:16)(cid:21)g(cid:16)n(cid:16)z mahalle de insanlardan olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me olarak g(cid:127)oru(cid:127)lebilir. I_(cid:24)cinde
bulundug(cid:21)unuz il(cid:24)ceyi isterseniz insanlardan, isterseniz mahallelerden, isterse-
niz evlerden olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me olarak g(cid:127)orebilirsiniz, se(cid:24)cim sizin, ama b(cid:127)oylece
bir de(cid:21)gil, u(cid:127)c(cid:24) farkl(cid:16) ku(cid:127)me elde edersiniz. Marangoz i(cid:24)cin ku(cid:127)tu(cid:127)phane ra(cid:13)ardan
olu(cid:24)san bir ku(cid:127)medir belki, ama ku(cid:127)tu(cid:127)phaneyi kullanacak ki(cid:24)si i(cid:24)cin ku(cid:127)tu(cid:127)phane ki-
taplardan olu(cid:24)san bir ku(cid:127)medir. Ra(cid:13)ardan olu(cid:24)san ku(cid:127)tu(cid:127)phane ku(cid:127)mesi, tabii ki
kitaplardan olu(cid:24)san ku(cid:127)tu(cid:127)phane ku(cid:127)mesine e(cid:24)sit de(cid:21)gildir.
O(cid:127)rneklerimizi (cid:24)co(cid:21)galtal(cid:16)m. Bir futbol tak(cid:16)m(cid:16) 11 oyuncudan olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me
olarak g(cid:127)oru(cid:127)lebilir. E(cid:21)ger yedekleri de sayarsak, futbol tak(cid:16)m(cid:16) ku(cid:127)mesinin \(cid:127)oge"
say(cid:16)s(cid:16) artar. Antren(cid:127)oru(cid:127), doktoru, mas(cid:127)oru(cid:127) (cid:12)lan da hesaba katarsak, futbol tak(cid:16)-
m(cid:16) ku(cid:127)mesinin (cid:127)oge say(cid:16)s(cid:16) daha da artabilir. Ama her de(cid:21)gi(cid:24)siklikte yeni bir ku(cid:127)me
elde ederiz.
Bir teknisyen bir treni vagonlardan ve lokomotiften olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me ola-
rak g(cid:127)ormek isteyebilir ama bir bilet(cid:24)ci ayn(cid:16) treni yolculardan olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me
olarak g(cid:127)ormeyi tercih edebilir, bak(cid:16)(cid:24)s a(cid:24)c(cid:16)s(cid:16)na g(cid:127)ore de(cid:21)gi(cid:24)sir. O(cid:127)nemli olan ku(cid:127)meyi
olu(cid:24)sturan nesneleri, yani ku(cid:127)menin (cid:127)ogelerini belirlemektir. Tabii ku(cid:127)menin (cid:127)oge-
leri de(cid:21)gi(cid:24)since ku(cid:127)me de de(cid:21)gi(cid:24)sir, trenin vagonlar(cid:16)ndan olu(cid:24)san ku(cid:127)me, trenin yol-
cular(cid:16)ndan olu(cid:24)san ku(cid:127)meye e(cid:24)sit de(cid:21)gildir.
Sonuc(cid:24) olarak bir ku(cid:127)me, baz(cid:16) nesnelerden olu(cid:24)san bir topluluktur. Asl(cid:16)nda
ku(cid:127)me s(cid:127)ozcu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127)yle topluluk s(cid:127)ozcu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127) aras(cid:16)nda bir fark yoktur, \ku(cid:127)me", \toplu-
luk" s(cid:127)ozcu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127)nu(cid:127)n matematik(cid:24)cesidir; topluluklara matematikte \ku(cid:127)me" denir.
Basit bir (cid:127)ornek ele alal(cid:16)m. Diyelim evinizi, i(cid:24)cinde ya(cid:24)sayanlardan olu(cid:24)san
bir ku(cid:127)me olarak g(cid:127)ormek istiyorsunuz ve diyelim evinizde anneniz, baban(cid:16)z,
day(cid:16)n(cid:16)z, karde(cid:24)siniz (Ersin) ve siz (Can ya da Canan) ya(cid:24)s(cid:16)yorsunuz. Demek ki
evinizde toplam be(cid:24)s ki(cid:24)si ya(cid:24)s(cid:16)yor. Bunu bir (cid:24)sekille (cid:24)s(cid:127)oyle g(cid:127)osterebiliriz:
6 1.Ku¨melerveO¨geleri
Anne
Baba
Day›
Ersin
Can/Canan
Bu ku(cid:127)menin be(cid:24)s (cid:127)ogesi vard(cid:16)r: Anne, baba, day(cid:16), Ersin karde(cid:24)s ve siz (yani
Can ya da Canan). Anneyi A ile, babay(cid:16) B ile, day(cid:16)y(cid:16) D ile, Ersin karde(cid:24)si E
ile ve sizi de Can’(cid:16)n ya da Canan’(cid:16)n C’si ile g(cid:127)osterelim. Son olarak, ku(cid:127)meye K
ad(cid:16)n(cid:16) verelim. Bu durumda ku(cid:127)memizi daha basit bir bi(cid:24)cimde g(cid:127)osterebiliriz:
K
A
B
D
E
C
K ku(cid:127)mesinin be(cid:24)s (cid:127)ogesi var: A, B, C, D ve E.
Ku(cid:127)meyi olu(cid:24)sturan ki(cid:24)sileri yuvarlak bir (cid:24)cer(cid:24)ceve i(cid:24)cine ald(cid:16)k, isteseydik kare
ya da u(cid:127)(cid:24)cgen bir (cid:24)cerc(cid:24)eve i(cid:24)cine de alabilirdik, (cid:127)onemli olan ku(cid:127)menin (cid:127)ogelerinin
bir (cid:24)cer(cid:24)ceve i(cid:24)cine al(cid:16)nm(cid:16)(cid:24)s olmas(cid:16). A(cid:24)sa(cid:21)g(cid:16)da ku(cid:127)meyi be(cid:24)sgen i(cid:24)cine alm(cid:16)(cid:24)s(cid:16)z.
K
A
B
D
E
C
Ku(cid:127)menin nas(cid:16)l g(cid:127)osterildi(cid:21)gi hi(cid:24)c (cid:127)onemli de(cid:21)gildir, yeter ki anla(cid:24)s(cid:16)l(cid:16)r bir(cid:24)sekil olsun.
C(cid:24)izmesi kolay olsun diye ku(cid:127)meler daha (cid:24)cok bir ovalle (yumurta bi(cid:24)ciminde bir
(cid:24)sekille) g(cid:127)osterilir.
Ku(cid:127)meleri simgeleyen bu tu(cid:127)r (cid:24)sekillere Venn diyagram(cid:16) ad(cid:16) verilir. Ayn(cid:16)
(cid:24)sekilu(cid:127)zerindebirdenfazlaku(cid:127)meg(cid:127)osterildi(cid:21)gindeVenndiyagramlar(cid:16)dahae(cid:21)glen-
celi olur. (Ama ku(cid:127)me say(cid:16)s(cid:16) (cid:24)cok artarsa e(cid:21)glencenin tad(cid:16) ka(cid:24)car!) I_leride (cid:127)ornekler
verece(cid:21)giz.
E(cid:21)ger (cid:24)sekil (cid:24)cizmek zor geliyorsa, ki baz(cid:16) durumlarda ger(cid:24)cekten zor olabilir,
bu ku(cid:127)me (cid:24)s(cid:127)oyle g(cid:127)osterilebilir:
K = fA; B; C; D; Eg:
Sa(cid:21)g ve soldaki (cid:12)yakal(cid:16) parantezlere ku(cid:127)me parantezleri ad(cid:16) verilir, birincisi
a(cid:24)can ku(cid:127)me parantezidir, di(cid:21)geri ise kapatan ku(cid:127)me parantezi.
Anlam(cid:16)(cid:24)ss(cid:16)n(cid:16)zd(cid:16)r, bir ku(cid:127)meyi olu(cid:24)sturan nesnelere (cid:127)oge denir. Bazen (cid:127)oge ye-
rine eleman da denir; biz genellikle bu kitapta birinci terimi tercih edece(cid:21)giz.
7
Ku(cid:127)me yazarken (cid:127)ogelerin yaz(cid:16)l(cid:16)(cid:24)s s(cid:16)ras(cid:16) (cid:127)onemli de(cid:21)gildir, (cid:127)orne(cid:21)gin yukar(cid:16)daki
ku(cid:127)meyi
K = fE; C; B; A; Dg
olarak da g(cid:127)osterebilirdik. Ama (cid:127)ogelerden birini yazmazsak ya da fazladan bir
(cid:127)oge (evimize ta(cid:24)s(cid:16)nan yengeyi mesela) eklersek, o zaman ba(cid:24)ska bir ku(cid:127)me elde
ederiz.
Baz(cid:16) kitaplarda, \bir ku(cid:127)me, iyi tan(cid:16)mlanm(cid:16)(cid:24)s nesneler toplulu(cid:21)gudur" yazar
ama bu tam do(cid:21)gru de(cid:21)gildir, ya da(cid:24)s(cid:127)oyle s(cid:127)oyleyelim: \iyi tan(cid:16)mlanm(cid:16)(cid:24)s olma"n(cid:16)n
anlam(cid:16) belirtilmedi(cid:21)ginden bu tan(cid:16)m eksiktir. Gene de ilk kez ku(cid:127)me kavram(cid:16)yla
kar(cid:24)s(cid:16)la(cid:24)san birinin bunu tan(cid:16)m olarak kabul etmesinde (cid:24)cok bu(cid:127)yu(cid:127)k bir sak(cid:16)nca
yoktur.
Evrendeki y(cid:16)ld(cid:16)zlar bir ku(cid:127)me olu(cid:24)sturur mu? Matematiksel olarak bunun
bir(cid:24)cok sak(cid:16)ncas(cid:16) vard(cid:16)r. Her(cid:24)seyden (cid:127)once \evren" ve \y(cid:16)ld(cid:16)z"(cid:16)n tan(cid:16)mlar(cid:16) yap(cid:16)l-
mad(cid:16)(cid:21)g(cid:16)ndan \evrendeki y(cid:16)ld(cid:16)zlar" ku(cid:127)mesi tam tan(cid:16)mlanmam(cid:16)(cid:24)st(cid:16)r. Mesela bir
y(cid:16)ld(cid:16)z, y(cid:16)ld(cid:16)z olmak i(cid:24)cin ne kadar bu(cid:127)yu(cid:127)k olmal(cid:16)d(cid:16)r? Ama diyelim bu tan(cid:16)mlar(cid:16)
da yapt(cid:16)k. Bu durumda, evrendeki y(cid:16)ld(cid:16)zlar ku(cid:127)mesinden s(cid:127)oz edebilir miyiz?
G(cid:127)ordu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127)mu(cid:127)z y(cid:16)ld(cid:16)zlardan s(cid:127)oz edeceksek, gene bir sorun var, (cid:24)cu(cid:127)nku(cid:127) (cid:24)su anda
g(cid:127)ordu(cid:127)g(cid:21)u(cid:127)mu(cid:127)zy(cid:16)ld(cid:16)zlar(cid:16)nbaz(cid:16)lar(cid:16)oradade(cid:21)gil,(cid:24)coktans(cid:127)onu(cid:127)pyokolmu(cid:24)slar...Ama
olsun, onlar(cid:16) da ku(cid:127)memize dahil edelim. Baz(cid:16) y(cid:16)ld(cid:16)zlar par(cid:24)calan(cid:16)p iki y(cid:16)ld(cid:16)za
d(cid:127)onu(cid:127)(cid:24)su(cid:127)rler... Baz(cid:16)lar(cid:16) da yok olurlar. Yani y(cid:16)ld(cid:16)zlar ku(cid:127)mesi de zamanla de(cid:21)gi(cid:24)se-
bilir. Oysa matematiksel nesneler zamanla de(cid:21)gi(cid:24)smezler, zamandan ba(cid:21)g(cid:16)ms(cid:16)z-
d(cid:16)rlar.
Hayattan al(cid:16)nan her ku(cid:127)me (cid:127)orne(cid:21)ginin sorunlar(cid:16) vard(cid:16)r. Sadece matematiksel
anlamda tan(cid:16)mlanm(cid:16)(cid:24)s ku(cid:127)meler sorunsuzdur. Ama biz (cid:24)cok geni(cid:24)s g(cid:127)oru(cid:127)(cid:24)slu(cid:127) olup,
enaz(cid:16)ndanbuilkb(cid:127)olu(cid:127)mde,inceeleyips(cid:16)kdokumayaca(cid:21)g(cid:16)z.Bize\ku(cid:127)me"duygu-
sunu veren her (cid:24)seyi ku(cid:127)me olarak kabul edece(cid:21)giz. Ama bu konuda da abartma-
mak laz(cid:16)m. U(cid:127)lkemizin sevilen (cid:24)sark(cid:16)c(cid:16)lar(cid:16), yak(cid:16)(cid:24)s(cid:16)kl(cid:16) oyuncular(cid:16), cennet koylar(cid:16),
ulu da(cid:21)glar(cid:16) gibi (cid:127)oznel zevkleri (cid:127)one (cid:24)c(cid:16)karan, (cid:127)ogeleri ki(cid:24)siden ki(cid:24)siye de(cid:21)gi(cid:24)sebilecek
topluluklar(cid:16) ku(cid:127)me olarak kabul etmeyece(cid:21)giz. Kitapl(cid:16)ktaki eski kitaplar, Du(cid:127)n-
ya’dakihayvanlar,Rusedebiyat(cid:16)n(cid:16)neniyiromanlar(cid:16)yadasevilensanatmu(cid:127)zi(cid:21)gi
(cid:24)sark(cid:16)lar(cid:16) ku(cid:127)me ad(cid:16)na lay(cid:16)k olmayan topluluklard(cid:16)r. O(cid:127)te yandan bir du(cid:127)zlemin
noktalar(cid:16), say(cid:16) do(cid:21)grusu u(cid:127)zerindeki 1’den ku(cid:127)c(cid:24)u(cid:127)k say(cid:16)lar ya da asal say(cid:16)lar ma-
tematiksel anlamda ku(cid:127)me olu(cid:24)stururlar.
Birku(cid:127)me(cid:127)ogeleritaraf(cid:16)ndanbelirlenir,yaniayn(cid:16)(cid:127)ogeleriolanikiku(cid:127)mee(cid:24)sittir
ve farkl(cid:16) (cid:127)ogelere sahip ku(cid:127)meler farkl(cid:16) ku(cid:127)melerdir:
Ku(cid:127)me E(cid:24)sitli(cid:21)gi O(cid:127)nermesi: Ayn(cid:16) (cid:127)ogelere sahip iki ku(cid:127)me e(cid:24)sittir.
Bu(cid:127)onermeyiku(cid:127)mee(cid:24)sitli(cid:21)ginintan(cid:16)m(cid:16)olarakalg(cid:16)layabilirsiniz.Bu(cid:127)onermeye
g(cid:127)ore bir ku(cid:127)me (cid:127)ogeleri taraf(cid:16)ndan belirlenir. Gene bu (cid:127)onermeye g(cid:127)ore, e(cid:21)ger iki
ku(cid:127)me birbirine e(cid:24)sit de(cid:21)gilse, o zaman ku(cid:127)melerden birinde di(cid:21)gerinde olmayan
bir (cid:127)oge vard(cid:16)r. (cid:127)orne(cid:21)gin e(cid:21)ger x, K ku(cid:127)mesinin bir (cid:127)ogesiyse ama L ku(cid:127)mesinin bir
(cid:127)ogesi de(cid:21)gilse, o zaman kesinlikle K ku(cid:127)mesi L ku(cid:127)mesine e(cid:24)sit olamaz.
8 1.Ku¨melerveO¨geleri
Amadikkat,\ayn(cid:16)say(cid:16)da(cid:127)ogesiolanku(cid:127)melere(cid:24)sittir"de(cid:21)gil,\ayn(cid:16)(cid:127)ogeleresa-
hip iki ku(cid:127)me e(cid:24)sittir" dedik. Ayn(cid:16) say(cid:16)da (cid:127)ogeye sahip iki ku(cid:127)me e(cid:24)sit olmayabilir,
(cid:127)orne(cid:21)gin sizin s(cid:16)n(cid:16)fta da di(cid:21)ger (cid:24)subede de 24 (cid:127)o(cid:21)grenci olabilir ama sizin s(cid:16)n(cid:16)f(cid:16)n
(cid:127)o(cid:21)grencilerinden olu(cid:24)san ku(cid:127)me di(cid:21)ger(cid:24)subenin (cid:127)o(cid:21)grencilerinden olu(cid:24)san ku(cid:127)meye e(cid:24)sit
de(cid:21)gildir.
Birkitapdasayfalardanolu(cid:24)sanbirku(cid:127)meolarakg(cid:127)oru(cid:127)lebilir,amasayfalar(cid:16)n
s(cid:16)ras(cid:16) (cid:127)onemli oldu(cid:21)gundan kitab(cid:16) sayfalardan olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me olarak g(cid:127)ormek
pek do(cid:21)gru bir bak(cid:16)(cid:24)s a(cid:24)c(cid:16)s(cid:16) olmaz, (cid:24)cu(cid:127)nku(cid:127) bir (cid:127)onceki sayfada de(cid:21)gindi(cid:21)gimiz gibi
bir ku(cid:127)me (cid:127)ogelerini s(cid:16)ralamaz, olas(cid:16) s(cid:16)ralamalar(cid:16)n(cid:16) dikkate almaz. Bir tomar
k^a(cid:21)g(cid:16)d(cid:16) bir k^a(cid:21)g(cid:16)t ku(cid:127)mesi olarak g(cid:127)ormek daha do(cid:21)gru olur. Bir ba(cid:24)ska deyi(cid:24)sle bir
listeyle bir ku(cid:127)me aras(cid:16)nda bir fark vard(cid:16)r: Liste s(cid:16)ralanm(cid:16)(cid:24)st(cid:16)r, birinci, ikinci,
sonuncu (cid:127)ogesi vard(cid:16)r, ama bir ku(cid:127)menin birinci, ikinci (cid:127)ogesi yoktur. Bir s(cid:127)ozlu(cid:127)k
bu konuda daha a(cid:24)c(cid:16)klay(cid:16)c(cid:16) bir (cid:127)ornek olabilir. Bir s(cid:127)ozlu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127) kelimeler ku(cid:127)mesi
olarak g(cid:127)ormek hi(cid:24)c do(cid:21)gru de(cid:21)gildir, (cid:24)cu(cid:127)nku(cid:127) s(cid:127)ozlu(cid:127)kte kelimeler alfabetik olarak
s(cid:16)ralanm(cid:16)(cid:24)slard(cid:16)r, oysa bir ku(cid:127)menin (cid:127)ogelerinin herhangi bir s(cid:16)ras(cid:16) yoktur. Daha
da dramatik bir (cid:127)ornek bir romand(cid:16)r. Bir roman herhalde bir kelimeler ku(cid:127)mesi
de(cid:21)gildir, (cid:24)cu(cid:127)nku(cid:127) bir romanda kelimeler s(cid:16)ralanm(cid:16)(cid:24)slard(cid:16)r, u(cid:127)stelik ayn(cid:16) kelime
birka(cid:24)c kez ge(cid:24)cebilir. Ku(cid:127)meyi, (cid:127)ogelerini karmakar(cid:16)(cid:24)s(cid:16)k bir (cid:24)sekilde ve her (cid:127)ogeyi
tek bir defa i(cid:24)ceren bir (cid:24)cuval olarak du(cid:127)(cid:24)su(cid:127)nebilirsiniz.
Ev ahalisi (cid:127)orne(cid:21)gimize geri d(cid:127)onelim. Teyzeniz sizin evde ya(cid:24)sam(cid:16)yor, demek
ki teyze, K ku(cid:127)mesinde de(cid:21)gil. Teyzeyi T har(cid:12)yle g(cid:127)osterelim. A(cid:24)sa(cid:21)g(cid:16)da T’nin
(yani teyzenin), K ku(cid:127)mesine g(cid:127)ore konumu g(cid:127)osteriliyor:
K
A
B
D
E
C
T
Birku(cid:127)medeayn(cid:16)(cid:127)ogebirkac(cid:24)defa g(cid:127)osterilebilirama bu,ku(cid:127)meyide(cid:21)gi(cid:24)stirmez.
(cid:127)orne(cid:21)gin,
fA; B; C; D; Eg ile fA; A; B; B; B; C; D; Eg
ku(cid:127)meleri birbirine e(cid:24)sittir. Sa(cid:21)gdaki ku(cid:127)mede A ve B (cid:127)ogeleri bir nedenden birkac(cid:24)
defa g(cid:127)osterilmi(cid:24)s, ama bu sakarl(cid:16)k ku(cid:127)menin de(cid:21)gi(cid:24)smesine neden olmaz. Sadelik
a(cid:24)c(cid:16)s(cid:16)ndan bir ku(cid:127)mede her (cid:127)ogeyi bir defa yazmakta yarar var tabii. Bir ba(cid:24)ska
(cid:127)ornek:
fA; D; B; E; C; Ag = fC; A; B; D; B; C; D; Eg:
Tabii en zarif ve en kullan(cid:16)(cid:24)sl(cid:16) yaz(cid:16)l(cid:16)m, (cid:127)ogeler birer defa ve belli bir s(cid:16)rayla,
(cid:127)orne(cid:21)gin alfabetik s(cid:16)rayla yaz(cid:16)larak elde edilir. I_ki (cid:127)ornek:
fC; E; B; Ag ile fA; B; C; Eg