Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 1931
Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 513.881
(Nr. 23 der Schriften des IIM · Serie A)
Dr. rer. nat. Georgios Pantelidis
Konvergente Iterationsverfahren für flach konvexe
Banachräume
Dr. rer. nat. Eberhard Schock
Der diametrale Folgenraum eines nuklearen
lokalkonvexen Raumes
(Nr. 24 der Schriften des IIM · Serie A)
Dr. rer. nat. Cbristian Fenske
Lokales Fixpunktverhalten bei stetigen Abbildungen
in kompakten konvexen Mengen
Rhein.-Westf. Institut für Instrumentelle Mathematik Bonn ( IIM)
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH 1968
Diese Verăffentlichung enthălt die Beitrăge:
Dr. rer. nat. Georgios Pantelidis, Konvergente Iterationsverfahren fiir flach konvexe Banach
răume
Dr. rer. nat. Eberhard Schock, Der diametrale Folgeraum eines nuklearen lokalkonvexen
Raumes
Zugleich Nr. 23 der »Schriften des Rheinisch-Westfălischen Instituts fiir Instrumentelle
Mathematik an der Universităt Bonn (Serie A)«
Dr. rer. nat. Christian Fenske, Lokales Fixpunktverhalten bei stetigen Abbildungen in kom
pakten konvexen Mengen
Zugleich Nr. 24 der »Schriften des Rheinisch-Westfălischen Instituts fiir Instrumentelle
Mathematik an der Universităt Bonn (Serie A)«
ISBN 978-3-663-19608-2 ISBN 978-3-663-19650-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-19650-1
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1968
Urspriinglich erschienen bei Westdeutscher Verlag GmbH, Kiiln und Opladen 1968
Verlags-N r. 011931
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag GmhH
DK 513.881
(Nr. 23 der Schriften des IIM · Serie A)
Dr. rer. nat. Georgios Pantelidis
Rhein.-Westf. Institut für Instrumentelle Mathematik Bonn (11M)
Konvergente Iterationsverfahren für flach konvexe Banachräume
Im folgenden erweitern wir die Ergebnisse der Arbeiten von W. J. STILES [9], [10]
auf nicht notwendig strikt konvexe Banachräume. Darüber hinaus besprechen wir eine
Iterationsvorschrift, die der von HIRSCHFELD [3] für strikt und flach konvexe Banach
räume angegebenen entspricht.
Im folgenden sei E ein reeller normierter Vektorraum und E * sein starker
topalogischer Dual.
BE= {xEE; llxll ~ 1} und SE= {xEE; llxll = 1}
bzw. BE*= {!EE*; 11/11 ~ 1} und SE*= {!EE*; 11/11 = 1}
sei die Einheitskugel und Einheitssphäre von E bzw. E*. Für einen abgeschlossenen
Teilraum A von E und ein Element x E E bezeichnen wir mit
PA(x)={aoEA; llx-aoll = inf llx-all}
aeA
die Menge der Elemente bester Approximation von x durch Elemente von A. :nA(x)
sei ein beliebiges Element aus P A(x).
Eine Menge X eines linearen topalogischen Raumes E heiße eine extremale Teilmenge
einer abgeschlossenen konvexen Menge K, wenn gilt
i) X ist eine abgeschlosene konvexe Teilmenge von K,
ii) X enthält mit einem inneren Punkt eines Intervalls in K das ganze Intervall, d. h.
wenn J.x + (1-J.)y EX für x,y EKund 0 < J. < 1 dann sind x,y EX.
Eineextremale Teilmenge von K, die genau aus einem einzigen Element besteht, heiße
ein Extremalpunkt von K.
E heiße strikt konvex, wenn jedes Element von SE Extremalpunkt von BE ist.
E heiße flach konvex genau dann, wenn es zu jedem x E E \ {0} genau ein f E SE* gibt
mitf(x) = llxll·
Eine Element x E E heiße orthogonal zu einem Teilraum ACE (x j_ A) genau dann,
+
wenn II xll ~ II x kall für alle a E A und k ER, d. h. also, daß 0 E PA (x) oder
llxll = d(x, A) = inf llx-all· Eine Menge M heiße orthogonal zu A genau dann, wenn
aEA
jedes Element aus M orthogonal zu A ist. Diese Definition ist zuerst von G. BIRK
HOFF [1] gegeben. Wir bemerken noch, daß für jeden TeilraumA x-:nA(x) j_ A
ist, denn 0 EPA(X-:nA(x)).
Ferner setzen wir für eine Folge { Xt} von Elementen eines Banachraumes E
lim Xi = {x E E; es gibt eine Teilfolge {xtk} von {xt} mit lim Xik = x}.
C. KuRATOWSKI [6].
1.
Theorem 1.1. (R. C. ]AMES [4]) i) SeifE E*, f =t= 0 und sei x E E. Es gilt
lf(x)l = 11/11 · llxll genau dann, wenn x _Lj-1{0}.
ii) Ist A ein abgeschlossener Teilraum von E und x j_ A, dann existiert ein f E E * \ {0}
mit
f(x) = 11/11 ·llxll und A Cj-1{0}.
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Lemma 1.1. Sei E ein endlich dimensionaler Banachraum. Dann gilt: Für je zwei
Folgen {xn} C SE, {yn} CE und eine Folge {in} C SE* mit
fn(xn) = fnCYn) = 1, lim IIYnll = 1
gibt es eine extremale Teilmenge X von BE mit
x = lim Xnk EX und y = limynk EX
für alle konvergente Teilfolgen { Xnk} bzw. {ynk} von {x n} bzw. {yn}·
Beweis: Aus der Kompaktheit von SE folgt, daß solche konvergenten Teilfolgen
{X nk} existieren. Aus der Stetigkeit der Norm folgt, daß II xll = 1u nd IIYII = 1. Außer
dem gilt
1 = 1Xfnk(xnk) + (1-1X)fnk(Ynk) = fnk(IXXnk + (1-1X)Ynk) ~
~ II fnkll · IIIXXnk + (1 -IX).Ynkll ~ IIIXXnk + (1 -IX).Ynkll'
für alle IX mit 0 ~ IX ~ 1 und für alle nk.
Also ist 1 ~ IIIXXnk + (1-IX).Ynkll·
Wegen der Stetigkeit der Norm gilt noch
1 ~ IIIXx + (1-IX).YII ~ IXIIxll + (1-IX) IIYII = 1
also IIIXx + (1 -IX)yll = 1 für alle IX mit 0 ~IX ~ 1, d. h. x,y gehören der gleichen
extremalen Teilmenge X von BE.
Dieses Lemma ist eine Verallgemeinerung von [9] Lemma 3.2, da die extremalen Teil
mengen eines strikt konvexen normierten Raumes einpunktig sind.
Lemma 1.2. Sei E ein reflexiver flach konvexer Banachraum, A, B seien abge
schlossene Teilräume von E und X eine extremale Teilmenge von BE. Dann folgt
aus x,y EX, x j_ A undy j_ B stets
i) X l_ A und X l_ B,
ii) X l_ span (A, B) = [A, B].
Beweis: Von R. C. JAMES [4] wurde gezeigt, daß aus i) stets ii) folgt.
Nach I. SrNGER [8] ist die Menge
n
M = {jE SE*;f(x) = 1}
XEX
eine nichtleere extremale Teilmenge von BE*· Nach M. M. DAY [2], S. 112, ist E
*
flach konvex genau dann, wenn E strikt konvex ist, also besteht M nur aus einem ein
zigenElement J, d. h. also, daß nur ein f E SE* existiert, so daß f (y) = 1 für alle y E X.
Da x j_ A und R flach konvex ist, gilt nach Theorem 1.1 f (x) = 1 und A Cf -1 {0}
nur für dieses eine f Entsprechend gilt für dieses J, da y j_ B ist, f(y) = 1 und
B Cj-1{0}. Also haben wir für jedes z EX
11!11 ·llzll = 1 = f(z) = f(z + 1Xa) ~ llz + IXall
11!11 ·llzll = 1 = f(z) = f(z + ßb) ~ llz + ßbll
also llzll ~ llz + IXall und llzll ~ llz + ßbll für a E A, bEB und IX, ß ER, d. h., daß
z l_ A, z l_ B.
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Beim Beweis des folgenden Theorems folgen wir W. J. STILES [9], der entsprechende
Aussagen für den strikt konvexen Fall bewiesen hat.
Theorem 1.2. Sei E endlich dimensional und flach konvex. Für zwei gegebene Teil
räume A, B gibt es ein k E (0, 1), so daß für alle x E A
Beweis: Wir können annehmen, daß E = [A, B] ist.
Für jedes x E A gilt immer
[[nB(x)-nA(nB(x))[[ ~ [[nB(x)-x[[.
Ist x f/= P A(PB(x)), dann folgt
[[nB(x)-nA(nB(x))[[ < [[nB(x)- xj[.
Ist x EPA(PB(x)), dann gibt es zwei Möglichkeiten:
i) x E PB(x), d. h. x = nB(x), so ist PA (nB(x)) = nB (x) und wir haben
0 = [[nB(x) -nB(x)[[ ~ k JJx-xJ[ = 0
was für jedes k gilt.
ii) x f/= PB(x), dann gibt es wenigstens ein nB(x) E PB(x), so daß x E P A(nB(x)).
Aus nB(x)-PA (nB(x)) j_ A folgt x-nB(x) j_ A, x-nB(x) ist aber orthogonal
auch zu B. Da E flach konvex ist, ist x-nB(x) j_ [A, B] = E, also ist x-nB(x)
= 0, d. h. x = nB(x), also ist x E PB(x). Das ist aber ein Widerspruch, also tritt dieser
Fall nicht auf.
Wir nehmen an, es gebe eine Folge {xn} CA\ Bund eine Folge {nB(xn)}, so daß gilt
lim J[nB(xn)-nA(nB(Xn))JJ = 1
[[nB(xn)- Xn[l
Se 1. nun 1Xn = 1 , d ann 1. st
d(nB(xn), A)
J[nB(1XnXn)-nA(nB(1XnXn))J[ = 1 und lim J[nB(1XnXn)-1XnXn[l = 1.
Da nB(IXnXn)-nA(nB(IXnXn)) j_ A, gibt es einfn mit
fn(A) = 0 und fn(nB(1XnXn)-nA(nB(1XnXn))) =fn(nB(1XnXn)) = 1.
Aus diesen Gleichungen folgt, daß
fn(nB(IXnXn) -IXnXn) = fn(nB(1XnXn)) = 1.
Somit erfüllen die Folgen
{nB(IXnXn)-nA(nB(IXnXn))} und {nB(IXnXn) -IXnXn}
die Voraussetzungen des Lemma 1.1. Also konvergiert jede konvergente Teilfolge der
ersten gegen ein x, was in der gleichen extremalen Teilmengen von BE wie der Limes
der entsprechenden Teilfolge der zweiten liegt.
Aus nB(IXnXn) -nA(nB(IXnXn)) j_ A und nB(IXnXn) -IXnXn j_ B folgt, daß x j_ A
undy j_ B. Somit ist nach Lemma 1.2 x j_ [A, B] = E also x = 0, das ist ein Wider
spruch zu [[xll = 1.
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Für xEE {xn} sei eine Folge mit XtEPB(x), X2EPA(xt), xaEPB(x2), ... ,
X2n-1 E PB(X2n-2), X2n E PA (x2n-t), . · ·
Theorem 1.3. Ist E ein endlich dimensionaler Banachraum, so konvergiert jede solche
Folge {xn} gegen ein Element von An B für jedes Paar A, B von Teilräumen von E
und jedes x E E genau dann, wenn E flach konvex ist.
Dieses Theorem ist eine Verallgemeinerung des Theorems 3.2 von [9], und der Beweis
ist in Zusammenhang mit Theorem 1.2 derselbe.
2.
In diesem Abschnitt werden wir das Theorem von W. J. STILES [10] für den Fall eines
endlich dimensionalen flach konvexen, aber nicht notwendig strikt konvexen Banach
raumes betrachten, aus dem das oben genannte Theorem von STILES als Korollar folgt.
Sei x E E und {x n} eine Folge mit Xt E (/-PB)(x), x2 E (/-PA) (xt), ... ,
X2n-1 E (/-PB) (x2n-2), X2n E (/-PA) (x2n-t), ... , wobei A, B Teilräume von E
sind, dann gilt :
Theorem 2.1. Ist E ein endlich dimensionaler flach konvexer Banachraum und A, B
Teilräume von E, so gilt
lim Xt ( X- p[A,B] (x).
Beweis: Ist zunächst x rf= [A, B], dann dürfen wir annehmen, daß E = [x] EB [A, B]
ist.
Nun hat W.]. STILES [10] gezeigt, daß für jede konvergente Teilfolge {xnk} von {xn}
mit lim Xnk = y =I= Oy _l [A, B] ist.
Ist n1A,BJ (x) ein Element aus P1A,BJ (x), so kann man x in der Form
x = (x-n1A,BJ(x)) + n[A,BJ(x) = z + a + b
mit z = x-n1A, Bl (x), a E A und b E B schreiben.
Hieraus folgt dann:
Xt = x-nB(x) = z + a-nB(Z + a)
+ +
X2 = z-nn(z a)-nA(z-nn(z a))
Xn =z-an-bn, mit anEA,bnEB,
Insbesondere ist Xnk =z-ank-bnk und
lim Xnk = y = z-c,
wobei c = lim (ank + bnk) E [A, B] ist.
z
Da E flach konvex ist, _l lA, BJ und [A, B] eine Hyperebene, gibt es genau ein
jEE* mit
f (z) = II f II II zll und [A , B] = f -1{0}.
Weil c E [A, B] folgt dann ausy = z-c f(y) = f(z).
Wie oben bemerkt, ist auch y _l [ A, B], also ist auch If (y) I = II f II · II zll und damit
f(y) = II! II ·IIYII = f(z) = II! II · llzll,
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woraus
IIYII = llzll = d(x, [A, B])
folgt.
Nun ist für jede reelle Zahloc mit 0 ~ oc ~ 1
II J II ·llocy + (1 -oc) zll ~f(ocy + (1-oc) z) = ocf(y) + (1 -oc)f(z)
= II f II (oc IIYII + (1-oc) llzll) = II f II · IIYII = II f II • llzll.
woraus
llocy + (1 -oc) zll = IIYII = llzll = d(x, [A, B])
folgt.
y z
Dies heißt aber, daß und zur gleichen extremalen Teilmenge von der Kugel BE(O, d)
(der Kugel mit Mittelpunkt 0 und Radius d = d(x, [A, B])) gehören.
Nun ist z E x-P[A,BJ(x), und da [A,B] eine Hyperebene ist, ist x-P[A,B](x) eine
extremale Teilmenge von BE(O, d), und aus der flachen Konvexität von E folgt weiter,
z
daß x-P[A,B](x) die einzige maximale extremale Teilmenge von BE(O, d) ist, di~
enthält, woraus y E x-PrA, B] (x) folgt.
Ist aber x E [A, B], dann liegt auchy E [A, B]. Insbesondere ist dann x-P[A,BJ(x)
= {0}.
Wäre y =!= 0, dann ist nach dem Beweis von W. J. STILES [10] y j_ [A, B] und da
y E [A, B] folgty = 0, womit ein Widerspruch hergeleitet ist. In diesem Fall ist also
lim Xi = 0,
womit alles gezeigt ist.
Korollar 2.1. (W. J. STILES [10]) Ist E ein endlich dimensionaler strikt und flach
konvexer Banachraum, dann gilt für jedes x E E
=
limxi x-P[A,B](x).
Beweis: Dies folgt unmittelbar aus obigem Theorem, da 1. jede Teilfolge von { xi}
enthält eine konvergente Teilfolge (wegen Kompaktheit) und 2. x-P[A,BJ(x) ein
punktig ist.
Literaturverzeichnis
[1] BrRKHOFF, G., Orthogonality in linear metric spaces. Duke Math. J. 1 (1935), 169-172.
[2] DAY, M. M., Normed linear spaces. Berlin 1958.
[3] HrRSCHFELD, R. A., On best approximation in normed vector spaces li. Nieuw Archief
voor Wiskunde (3), VI (1958), 99-107.
[4] }AMES, R. C., Orthogonality and linear functionals in normed linear spaces. Trans. Amer.
Math. Soc. 61 (1947), 265-292.
[5] KLEE, V., On a problern of Hirschfeld. Nieuw Archief voor Wiskunde (3), XI (1963),
22-26.
[6] KuRATOWSKr, C., Topologie I. Warszawa 1952.
[7] NEUMANN, J. VON, On rings of operators, Reduction Theory. Annals of Math. 50 (1949),
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[8] SrNGER, I., Sur quelques theod:mes de W. W. Rogosinski et S. I. Zoukhovitzky. Rev.
Math. pures et appl. 3 (1958), 117-130.
[9] STILES, W. J., Closest-point maps and their products. Nieuw Archief voorWiskunde (3),
XIII (1965), 19-29. _ ,
[10] STILES, W. J., A solution to Hirschfeld's problem. Nieuw Archief voor Wiskunde (3),
XIII (1965), 116-119.
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DK 513.881
(Nr. 23 der Schriften IIM · Serie A)
Dr. rer. nat. Eberhard Schock
Rhein.-Westf. Institut für Instrumentelle Mathematik Bonn ( IIM)
Der diametrale Folgenraum eines nuklearen lokalkonvexen Raumes
