Kontinuumsmechanik: Elasto-, Plasto- und Kriechmechanik

433 Pages·1993·18.283 MB·German

by  Univ.-Prof. Dr.-Ing. Josef Betten (auth.)

Springer-Lehrbuch
Josef Betten
Kontinuums
mechanik
Elasto-, Plasto- und Kriechmechanik
Mit über 220 Übungsaufgaben
und vollständig ausgearbeiteten Lösungen
Mit 72 Abbildungen und 10 Tabellen
Springer-Verlag Berlin Beideiberg GmbH
Univ.-Prof. Dr.-Ing. Josefßetten
Lehr- und Forschungsgebiet
Mathematische Modelle
in der Werkstoffkunde
RWTHAachen
Augustinerbach 4
D-52062 Aachen
ISBN 978-3-540-56646-5 ISBN 978-3-662-08168-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-08168-6
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993
Un;prünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heiddberg New York 1993
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Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors
60/3020 -5 4 3 2 I 0 - Gedruckt auf säurefreiem Papier
Vorwort
Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen und Übungen hervorgegangen, die ich
seit mehr als zwanzig Jahren jeweils im Wintersemester vornehmlich fur Studie
rende ingenieurwissenschaftlicher Fachrichtungen mit abgeschlossenem
Vorexamen an der RWTH Aachen halte. Im Studiengang "Grundlagen des
Maschinenwesens" ist die Lehrveranstaltung "Elastizitäts- und Plastizitätslehre"
auch Pflichtprüfungsfach im Hauptdiplom. Als Ergänzung zu dieser Lehrveran
staltung wird von mir eine Sommervorlesung mit Übungen angeboten, in der
numerische Methoden, z.B. FEM, Übertragungsverfahren, Mehrzielmethode etc.,
behandelt werden.
Der erwähnte Studiengang wurde im Wintersemester 1969/70 an der RWTH
Aachen eingerichtet. Nach anfänglich geringen Prüfungsmeldungen ist das
Interesse an diesem Studiengang ständig gestiegen. Im Vergleich zu den anderen
Studienrichtungen der Fakultät fur Maschinenwesen gehört die Studienrichtung
"Grundlagen des Maschinenwesens" derzeit zu den zahlenmäßig stärksten Fach
richtungen.
Meine Lehrveranstaltung "Elastizitäts- und Plastizitätslehre" habe ich damals
speziell fur die Belange der erwähnten Fachrichtung angelegt, d.h., bei der Stoff
auswahl konnte ich die Vorexamenskenntnisse in Mathematik und Mechanik
voraussetzen und einen Bezug zu anderen Lehrveranstaltungen (wie Strömungs
mechanik, Tensorrechnung, numerische Mathematik) berücksichtigen. Schwie
rigkeiten ergaben sich durch die Beschränkung im Umfang der Lehrveranstaltung,
deren Stundenzahl im Rahmen der Diplomprüfungsordnung durch zwei Vorle
sungs- und zwei Übungsstunden pro Semesterwoche festgesetzt ist. Durch stän
dige Veränderungen habe ich mich bemüht, eine optimale Stoffauswahl zu finden,
die dem Studierenden einen unter den gegebenen Umständen möglichst tiefen
Einblick in die Grundlagen der modernen Kontinuumsmechanik und in praxisnahe
Aufgaben der Elasto-, Plasto- und Kriechmechanik verschaffen soll. Zur
Festigung des Stoffes werden an gegebenen Stellen Übungsaufgaben
eingeblendet, deren Lösungen in einem gesonderten Kapitel vollständig
ausgearbeitet sind.
Neben dem Zweck eines Vorlesungsmanuskriptes soll das vorliegende Buch
auch Doktoranden und bereits in der Praxis tätigen Ingenieuren bei der Behand
lung von Problemen der Elasto-, Plasto- und Kriechmechanik das
VI
Literaturstudium erleichtern und die wichtigsten Grundlagen bereitstellen. Mit
diesen Grundlagen wird auch der Anwender von FEM-Programmen konfrontiert.
So werden in der ABAQUS Version 4-6 beispielsweise die Programme
CONSTITUTIVE THEORIES, ELASTIC BEHAV IOUR, PLASTICITY
MODELS und CREEP angeboten, in denen auch große Verformungen
(geometrische Nichtlinearitäten) berücksichtigt werden können. Somit muß der
Anwender solcher FEM-Programme u.a. mit der Theorie endlicher Verzerrungen
vertraut sein, die im vorliegenden Buch ausfuhrlieh behandelt wird.
Als mathematisches Hilfsmittel wird die Tensorrechnung benutzt, ohne die wohl
kaum ein Einblick in die Grundlagen der modernen Kontinuumsmechanik ver
mittelt werden kann. In den meisten Büchern der Elasto-, Plasto- und Kriech
mechanik oder allgemein der Kontinuumsmechanik findet man eine Einfuhrung in
die Tensorrechnung. Hierauf ist jedoch im vorliegenden Buch aus Platzgründen
verzichtet worden. Im Kapitel D werden lediglich einige Grundlagen zur Tensor
rechnung in krummlinigen Koordinaten zusammengestellt. Darüber hinaus fuhre
ich Lehrveranstaltungen über Tensorrechnung im Winter- und Sommersemester
mit jeweils zwei Vorlesungs- und Übungsstunden fur Studierende des Studien
ganges "Grundlagen des Maschinenwesens" durch: In der Vorlesung
"Tensorrechnung fur Ingenieure I", die 1977 in Buchform vom Vieweg-Verlag
herausgegeben wurde, behandle ich CARTESische Tensoren, während in
"Tensorrechnung fur Ingenieure II" allgemeine Koordinatensysteme zugrunde
gelegt werden, die schiefwinklig und I oder krumrnlinig sein können, und der
"absolute Differentialkalkül" besprochen wird. Eine wesentliche Erweiterung des
Vieweg-Buches wurde 1987 vom Teubner-Verlag unter dem Titel
"Tensorrechnung fur Ingenieure" herausgegeben. Darin werden vertiefend
Tensorfunktionen behandelt, die auch Gegenstand von Vorlesungen waren, die
ich im Juli 1984 in Udine (CISM) und im Juli 1986 in Bad Honnef
(Physikzentrum) gehalten habe. An diesen Veranstaltungen waren auch meine
Kollegen BOEHLER (Grenoble), RIVLIN (Bethlehem,U.S.A.) und SPENCER
(Nottingham) beteiligt. Die "Lecture Notes" zu diesen Vorlesungen sind unter
dem Titel "Applications of Tensor Functions in Solid Mechanics" (edited by
J.P.BOEHLER) im Springer-Verlag 1987 erschienen und geben dem Leser einen
umfassenden Überblick über die Anwendungen der Tensorrechnung in der
Kontinuumsmechanik Mithin besteht ein genügend großes Angebot zum Erlernen
des Tensorkalküls.
Die wohl wichtigste Anwendung der Darstellungstheorie von Tensorfunktionen
liegt im Aufstellen von Stoffgleichungen (constitutive equations), die in der
Elasto,- Plasto- und Kriechmechanik eine zentrale Rolle einnehmen. Im Hinblick
auf den zunehmenden Einsatz von Werkstoffen, die sich nicht Iinearelastisch und
nicht isotrop verhalten oder bei denen große Verformungen auftreten, sind
Tensorfunktionen von grundlegender Bedeutung fur die Kontinuumsmechanik
Neben rein phänomenologischen Betrachtungen der klassischen Kontinuums
mechanik dürfen auch werkstoffwissenschaftliche Gesichtspunkte in einer
"Materialtheorie" nicht fehlen, da ein realer Werkstoff eine Gefugestruktur
aufweist und da sich im Werkstoff Schädigungen ausbreiten (evolutional
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equations), die beispielsweise durch Bildung von Poren an Komgrenzen
entstehen.
Trotz dieser realen Gegebenheiten kann die Materialtheorie nicht auf Methoden
der Kontinuumsmechanik verzichten. Daher ist es zu begrüßen, daß die "Gesell
schaft fur Angewandte Mathematik und Mechanik" (GAMM) auf der Jahres
tagung in Krakau am 1. April 1991 den GAMM-Fachausschuß "Materialtheorie"
unter dem Vorsitz meiner Kollegen ZIEGLER (Wien) und BRUHNS (Bochum)
eingesetzt hat, in den Kontinuumstheoretiker, Werkstoffwissenschaftler und
Festkörperphysiker berufen worden sind, um durch Vorträge, Diskussionen und
Erfahrungaustausch zwischen den einzelnen Standpunkten neue Brückenschläge
zu versuchen.
Die interdisziplinäre Aufgabe des GAMM-Fachauschusses besteht darin, "die
physikalisch-chemisch orientierten neuesten Erkenntnisse der Materialwissen
schaften über die mathematischen Methoden der Mustererkennung und der
Funktionalanalysis mit den thermodynamisch fundierten Materialgleichungen der
Kontinuumsmechanik der Festkörperphase zu verknüpfen. Materialseitig sollen
keine Einschränkungen getroffen werden, d.h., es werden metallische und nicht
metallische Baustoffe und Verbundwerkstoffe sowie Keramiken auf allgemeiner
Basis zu behandeln sein. Die Arbeit des Fachausschusses wird darauf gerichtet
sein, den stark gesteigerten Rechenleistungen adäquate Stoffgleichungen
moderner Werkstoffe anzupassen. Als wichtiges Nebenprodukt soll in der Lehre
der Mechanik diese Abweichung vom HOOKEschen Körper entsprechend auf
bereitet einfließen" (vom Fachausschuß verfaßter Text).
Das vorliegende Buch und auch die oben erwähnten Lehrveranstaltungen
könnten ebenfalls einen Beitrag in der Lehre der Mechanik leisten.
Von der "Gesellschaft furAngewandte Mathematik und Mechanik" (GAMM)
und auch von der "Society for Industrial and Applied Mathematics" (SIAM)
werden Beiträge zur mathematischen Weiterbildung fur Ingenieure sehr begüßt.
Hierzu zählen Seminare und Lehrgänge (Kontaktstudium) in Wuppertal
(Technische Akademie) und in Düsseldorf (VDI-Bildungswerk), in denen die
praktische Anwendung der Tensorrechnung aufProblerne der Elasto-, Plasto-und
Kriechmechanik im Vordergrund steht. Im vorliegenden Buch konnten auch
Erfahrungen aus Kompaktkursen (4 0 bis 60 Std.) mit dem Thema "Mathematical
ModeHing of Materials Behaviour" berücksichtigt werden, die ich gemeinsam mit
meinen wissenschaftlichen Mitarbeitern, den Herren Eng.(M.Sc.) L. DA CosTA,
Dipl.-Math. W. HELISCH und Dipl.-lng. R. SCHUMACHER, an der Universität
Kaiserslautem (1991} und an der portugiesischen Universidade da Beira Interior
in Covilhä (1992) gehalten habe. In Kaiserslautem nahmen Studierende der
Studienrichtung "Technomathematik" und vom DAAD finanziell geförderte
Studenten aus verschiedenen Ländern ("European Consortium for Mathematics in
Industry") teil. In Portugal nahmen neben Studenten und Doktoranden auch
Ingenieure der Praxis teil. Derartige Veranstaltungen sind auch künftig geplant,
wobei das vorliegende Buch als wichtige Grundlage dient.
Allen Rezensenten und Lesern, die sich die Mühe gemacht haben, meine bis
herigen Bücher über Tensorrechnung und Kontinuumsmechanik zu begutachten,
möchte ich danken. Ihre Bemerkungen habe ich weitgehend berüchsichtigen kön-
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nen. Mein Dank gilt auch den Studenten meiner Vorlesungen, deren Kritik fiir
mich besonders wichtig und aufschlußreich ist.
Gedankt sei an dieser Stelle Herrn Dipl.-Ing. C. MEYDANLI, der mit uner
müdlicher Sorgfalt und großem Geschick die reproduktionsreife Vorlage auf
einem PC-486 erstellte. Gleichermaßen möchte ich Herrn A. HERBST, dem Leiter
des Zeichenbüros, danken, der die Bilder sorgfältig und termingerecht angefertigt
bzw. koordiniert hat.
Dem Springer-Verlag, insbesondere Frau E. BESTERMANN-BEYERLE und· Herrn
Dr. H. RIEDESEL, sei gedankt fiir die bereitwillige Aufhahme meines Manuskriptes
und die angenehme und verständnisvolle Zusammenarbeit.
Aachen, im März 1993 JosefBetten
Inhaltsverzeichnis
A Einleitung ...................................................................................................... 1
B AUgemeine Grundlagen der Kontinuumsmechanik .................................. 17
1 Kinematische Grundlagen ............................................................................... 18
1.1 Körper-und raumbezogene Darstellung von Feldgrößen und ihre materielle
Zeitableitung ..................................................................................................... 18
1.2 Verschiebungsvektor, Verschiebungsdyade und Deformationsgradient in
LAGRANGE-und EDLER-Koordinaten ................................................................ 23
1.3 Verzerrungs-und Metriktensoren ................................................................ 27
1. 4 Geometrische Deutung kleiner Verzerrungen .............................................. 34
1. 5 Anwendung des polaren Zerlegungstheorems auf den
Deformationsgradienten .................................................................................... 39
1. 6 Logarithmische Verzerrungstensoren als isotrope Tensorfunktionen ........... .44
1. 7 Zur Bestimmung der Hauptdehnungen ........................................................ 48
1.8 Gestaltänderung und Volumenänderung ...................................................... 50
1. 9 Kontinuitätsbedingung ................................................................................ 51
1.10 Zerlegung des Geschwindigkeitsgradiententensors ..................................... 53
1. 11 Kompatibilitätsbedingungen ...................................................................... 56
2 Statische Grundlagen ..................................................................................... 59
2.1 Spannungsvektor ......................................................................................... 59
2.2 CAUCHYscher Spannungstensor ................................................................... 61
2.3 MoHRsehe Spannungskreise ........................................................................ 66
2.4 Gleichgewichtsbedingungen und Bewegungsgleichungen eines Kontinuums 72
2.5 Spannungstensoren nach PIOLA-KIRCHHOFF ................................................ 74
2.6 Spannungen im schadhaften Kontinuum ...................................................... 79
X Inhaltsverzeichnis
C Stoffgleichungen ......................................................................................... 89
3 Elastisches Verhalten isotroper und anisotroper Stoffe ................................... 90
3. I Elastizitätstensor, elastisches Potential ........................................................ 92
3.2 Thermoelastizität ........................................................................................ 98
3 .3 Lösungsmethoden der Elastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 02
4 Plastisches Verhalten isotroper und anisotroper Stoffe ................................. 114
4.1 Theorie des plastischen Potentials ............................................................. 117
4.2 Konvexität von Fließbedingungen ............................................................. 119
4.3 Thermodynamische Betrachtungen ........................................................... 132
4.4 Spezielle Stoffgleichungen ........................................................................ 135
4.5 Vergleich der Theorie des plastischen Potentials mit der Darstellungstheorie
tensorwertiger Funktionen .............................................................................. 141
4.6 Charakteristikenverfahren; Gleitlinienfelder.. ............................................. 153
4.7 Elastisch-plastische Probleme ................................................................... 157
5 Kriechverhalten isotroper und anisotroper Stoffe . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . 169
5.1 Primäres Kriechverhalten.......................................................................... 169
5.2 Sekundäres Kriechverhalten ...................................................................... 170
5.3 Tertiäres Kriechverhalten .......................................................................... 178
D AUgemeine (krummlinige) Koordinaten .................................................. 185
6.1 Einige Grundlagen zur Tensorrechnung in allgemeinen Koordinaten ......... 185
6.2 Konforme Abbildungen ............................................................................. 199
E DarsteUungstheorie von Tensorfunktionen .............................................. 223
7.1 Skalarwertige Tensorfunktionen; Invariantentheorie .................................. 223
7.2 Tensorwertige Tensorfunktionen .............................................................. 229
7.2.1 Darstellung der Funktion fjj (Xpq, Yp q• Apqrs> mit symmetrischen
Argumenttensoren .......................................................................................... 232
7.2.2 Darstellung der Funktion fjj (Xpq, Yp q• Zpq) mit drei symmetrischen
Argumenttensoren zweiter Stufe ..................................................................... 233
7.2.3 Symmetrischer und nicht-symmetrischer Argumenttensor zweiter Stufe. 234
7.2.4 Trennung der Tensor-Veränderlichen ..................................................... 235
7.2.5 Interpolationsmethoden fur tensorwertige Funktionen ............................ 238
7.2.6 Darstellung über Hilfstensoren ............................................................... 238
F Lösungen der Übungsaufgaben ................................................................ 241
G Literaturverzeichnis ................................................................................. 383
Inhaltsverzeichnis XI
H Sachveneichnis ......................................................................................... 403
I Anhang ....................................................................................................... 415
A.l Eigenwertproblem .................................................................................... 415
A.2 LAGRANGEsche Multiplikatorenmethode ................................................... 420
A.3 Kombinatorik ........................................................................................... 424