Kontinuumsmechanik: Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker

309 Pages·2003·9.375 MB·German

by  Dr. Ralf Greve (auth.)

Kontinuumsmechanik
Springer- Verlag Berlin
Heidelberg GmbH
Ralf Greve
Kontinuums-
mechanik
Ein Grundkurs
fffu¨r Ingenieure und Physiker
Mit66Abbildungen
und48AufgabenmitLo¨sungen
1 3
Dr.RalfGreve
TUDarmstadt
Institutfffu¨rMechanik
Hochschulstraße1
64289Darmstadt
Deutschland
ISBN 978-3-642-62463-6 ISBN 978-3-642-55485-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-55485-8
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2003
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 2003
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Gedrucktaufsa¨urefreiemPapier SPIN10905173 55/3141/ba-543210
Vorwort
Das vorliegende Buch ist aus dem Skript zu einer zweisemestrigen Vorlesung
u¨ber Kontinuumsmechanik entstanden, die ich seit 1995 an der Technischen
Universita¨t Darmstadt halte. Es richtet sich an Studenten und Studentin-
nen der Physik, Mechanik, Ingenieur- und Geowissenschaften aller Richtun-
gen sowie der angewandten Mathematik im Hauptstudium. Fu¨r Mechani-
ker und Ingenieure stellt die Kontinuumsmechanik eine sinnvolle Erg¨anzung
zu dem Kurs u¨ber technische Mechanik im Grundstudium dar, welche es
ermo¨glicht, die vielen unterschiedlichen Aspekte der technischen Mechanik
in einem gro¨ßeren, u¨bergeordneten Zusammenhang zu sehen. Jedoch ist die
Kenntnis der technischen Mechanik keine Voraussetzung zum Versta¨ndnis
des Stoffes, was auch Physikern, Geowissenschaftlern und Mathematikern
denZugangdazuermo¨glicht.Speziellfffu¨rPhysiker,derenu¨blicheAusbildung
inklassischerMechaniksichnachmeinerErfahrung(ichza¨hlemichselbstzu
dieser Spezies) in der Regel auf die Mechanik von Punkten, Punktsystemen
und starren Ko¨rpern beschra¨nkt, ist die Kontinuumsmechanik als klassische
Feldtheorie der deformierbaren Ko¨rper eine interessante Erga¨nzung zu den
Feldtheorien der Elektrodynamik und Quantenmechanik, auch im Hinblick
auf mo¨gliche ingenieurnahe Beta¨tigungsgebiete.
Der einfffu¨hrende Charakter des Buches bringt es mit sich, dass kein An-
spruch auf eine umfassende Behandlung aller Aspekte der Kontinuumsme-
chanik erhoben wird. Statt dessen ist die Zielsetzung, die wesentlichen Ideen
und Konzepte der modernen Kontinuumsmechanik klar, versta¨ndlich und
ohne allzu fortgeschrittene Mathematik darzustellen. Weiterhin wird in den
zwei eher anwendungsorientierten Kapiteln u¨ber lineare Elastizita¨t und Hy-
drodynamikdiedirekteVerbindungzumStoffdertechnischenMechanikher-
gestellt. Fu¨r weiter fffu¨hrende Abhandlungen u¨ber die Kontinuumsmechanik
mo¨chteichaufdieumfangreicheLiteraturverweisen.Umdieha¨ufigenglisch-
sprachigen Werke dem Leser und der Leserin leichter zuga¨nglich zu machen,
habe ich diesem Buch eine Liste der wichtigsten englischen Fachausdru¨cke
beigefffu¨¨gt.
Notwendige Voraussetzungen zum Versta¨ndnis des Stoffes beschra¨nken
sich auf grundlegende Kenntnisse der ein- und mehrdimensionalen Analysis,
linearen Algebra und elementaren Newtonschen Mechanik. Daru¨ber hinaus
gehendemathematischeKonzepte,speziellTensorrechnungundTensoranaly-
VI Vorwort
sis,werdenaufdasNotwendigebeschra¨nktundimTexterkla¨rt.AusGru¨nden
derU¨bersichtlichkeitderDarstellunghabeichbeiRechnungeninIndexnota-
tiondavonabgesehen,dieseinallgemeinenkrummlinigenKoordinatendurch-
zufffu¨hren.DiesstelltkeinenVerlustanAllgemeinheitdar,denndiekartesische
IndexnotationkannjederzeitindiesymbolischeNotationu¨bersetztunddann
auf krummlinige Koordinatensysteme angewendet werden.
Die gestellten Probleme sind ein integraler Bestandteil des Stoffes und
daher im Unterschied zur ga¨ngigen Praxis bewusst in den laufenden Text
eingefffu¨gt. Sie stellen ein Angebot an den Leser und die Leserin dar, sich
selbst aktiv mit Papier und Bleistift mit der Materie auseinanderzusetzen,
um so ein fundierteres Versta¨ndnis zu erlangen, als es durch reine Lektu¨re
mo¨glich ist. Einige Probleme sind kurz und unkompliziert gehalten, einige
jedoch auch la¨nger und aufwa¨ndiger. Dies ist als Anreiz und nicht etwa als
Abschreckunggemeint,gelegentliches Spicken“ in denLo¨sungswegistdabei
”
durchaus legitim und im Sinne des Erfinders.
Herzlich danken mo¨chte ich an dieser Stelle Herrn Dr. Yongqi Wang und
HerrnDr.DimitriKtitarev,diemichbeimDurchfffu¨hrendervorlesungsbeglei-
tendenU¨bungenmitgroßemEinsatzunterstu¨tztunddadurchzudenimText
gestellten und durchgerechneten Problemen beigetragen haben. Desweiteren
gilt mein Dank den zahlreichen Studenten und Studentinnen, die sich fffu¨r
die Kontinuumsmechanik interessieren konnten, und deren Fragen und Be-
merkungen Eingang in die Gestaltung dieses Buches gefunden haben. Einen
speziellenDankmo¨chteichschließlichmeinemLehrerundDoktorvater,Herrn
Prof. Kolumban Hutter, aussprechen. Von ihm bin ich in die Ideen und Me-
thodendermodernenKontinuumsmechanikundThermodynamikeingefffu¨hrt
worden, und er hat mich u¨ber Jahre hinweg mit großem Einsatz auf meinem
akademischen Werdegang begleitet. Es ist mir ein Anliegen und eine große
Freude, ihm dieses Buch zu widmen.
Darmstadt, im Januar 2003 Ralf Greve
Inhaltsverzeichnis
1. Kinematik ................................................ 1
1.1 Grundlagen............................................ 1
1.1.1 Ko¨rper, Konfigurationen .......................... 1
1.1.2 Zeitableitungen, Geschwindigkeit, Beschleunigung .... 3
1.1.3 Stromlinien, Bahnlinien, Streichlinien ............... 8
1.2 Deformation ........................................... 11
1.2.1 Der Deformationsgradient ......................... 11
1.2.2 Einige kinematische Relationen .................... 12
1.2.3 Polare Zerlegung ................................. 14
1.2.4 Verzerrung ...................................... 19
1.2.5 Geometrische Linearisierung ....................... 22
1.2.6 Deformationsgeschwindigkeit....................... 24
1.3 Relative Bewegungsgro¨ßen............................... 26
1.3.1 Definition der relativen Bewegungsgro¨ßen............ 26
1.3.2 Wahl der aktuellen Konfiguration
als Referenzkonfiguration.......................... 27
1.3.3 Rivlin-Ericksen-Tensoren .......................... 29
1.4 Transformationseigenschaften
unter Euklidischen Transformationen...................... 29
1.4.1 Koordinaten- und Bezugssysteme................... 29
1.4.2 Euklidische Transformationen...................... 31
1.4.3 Objektivita¨t der Bewegungsgro¨ßen.................. 33
1.4.4 Objektive Zeitableitungen ......................... 42
1.5 Singula¨re Fla¨chen ...................................... 48
1.5.1 Definition und Eigenschaften....................... 48
1.5.2 Spru¨nge kontinuumsmechanischer Feldgro¨ßen ........ 52
1.5.3 Kompatibilita¨tsbedingungen ....................... 52
2. Bilanzgleichungen ........................................ 55
2.1 Allgemeine Volumenbilanz ............................... 55
2.1.1 Reynoldssches Transporttheorem ................... 55
2.1.2 Ableitung der allgemeinen Volumenbilanz ........... 57
2.1.3 Allgemeine Volumenbilanz in der Referenzkonfiguration 60
2.2 Allgemeine Sprungbedingung auf singula¨ren Fla¨chen ........ 61
VIII Inhaltsverzeichnis
2.2.1 Reynoldssches Transporttheorem
fffu¨r ein Volumen mit singula¨rer Fla¨che............... 61
2.2.2 Ableitung der allgemeinen Sprungbedingung ......... 61
2.2.3 Allgemeine Sprungbedingung
in der Referenzkonfiguration ....................... 62
2.3 Massenbilanz .......................................... 63
2.3.1 Massenbilanz in der Momentankonfiguration ......... 63
2.3.2 Massenbilanz in der Referenzkonfiguration........... 66
2.4 Impulsbilanz........................................... 69
2.4.1 Impulsbilanz in der Momentankonfiguration ......... 69
2.4.2 Impulsbilanz in der Referenzkonfiguration ........... 73
2.5 Drehimpulsbilanz....................................... 74
2.5.1 Drehimpulsbilanz in der Momentankonfiguration ..... 74
2.5.2 Drehimpulsbilanz in der Referenzkonfiguration ....... 76
2.5.3 Cosserat-Kontinua................................ 77
2.6 Energiebilanz .......................................... 80
2.6.1 Bilanz der kinetischen Energie ..................... 80
2.6.2 Energiebilanz und Bilanz der inneren Energie
in der Momentankonfiguration ..................... 81
2.6.3 Energiebilanz und Bilanz der inneren Energie
in der Referenzkonfiguration ....................... 84
2.7 Entropiebilanz ......................................... 85
2.8 Zum Cauchyschen Spannungstensor....................... 86
2.8.1 Hauptspannungen ................................ 87
2.8.2 Invarianten ...................................... 89
2.8.3 Zerlegung in Kugeltensor und Deviator.............. 90
2.8.4 Mohrsche Kreise ................................. 91
2.9 Zusammenfassung ...................................... 94
3. Der linear-elastische Festk¨orper........................... 97
3.1 Materialgleichungen .................................... 97
3.1.1 Hookesches Gesetz................................ 97
3.1.2 Pha¨nomenologische Einfffu¨hrung .................... 98
3.1.3 Hookesches Gesetz fffu¨r dichtebesta¨ndige Materialien... 101
3.2 Grundgleichungen der linearen Elastizita¨tstheorie........... 102
3.2.1 Naviersche Gleichung ............................. 102
3.2.2 Naviersche Gleichung fffu¨r dichtebesta¨ndige Materialien 108
3.3 Wellenausbreitung ...................................... 110
3.3.1 Herleitung der Wellengleichungen................... 110
3.3.2 Ebene P-Wellen .................................. 112
3.3.3 Ebene S-Wellen .................................. 115
3.3.4 Superposition ebener Wellen ....................... 116
3.3.5 D’Alembertsche Lo¨sung ........................... 119
3.3.6 D’Alembertsche L¨osung
bei halbunendlichem Ausbreitungsraum ............. 121
Inhaltsverzeichnis IX
3.4 Ebene Probleme........................................ 126
3.4.1 Ebener Spannungszustand, ebener Verzerrungszustand 126
3.4.2 Airysche Spannungsfunktion ....................... 128
3.5 Torsion ............................................... 132
3.5.1 Problemstellung.................................. 132
3.5.2 Lo¨sungsmethode nach de Saint-Venant .............. 133
3.5.3 Prandtlsche Torsionsfunktion ...................... 135
3.5.4 Prandtlsches Seifenhautgleichnis.................... 137
4. Hydrodynamik ........................................... 141
4.1 Fluide, Flu¨ssigkeiten und Gase ........................... 141
4.2 Ideale Flu¨ssigkeit....................................... 141
4.2.1 Eulersche Gleichung .............................. 141
4.2.2 Bernoullische Gleichung ........................... 143
4.2.3 Potentialstro¨mungen.............................. 147
4.2.4 Ebene Potentialstro¨mungen........................ 154
4.2.5 Schwerewellen.................................... 160
4.3 Newtonsche Flu¨ssigkeit.................................. 164
4.3.1 Navier-Stokessche Gleichung ....................... 164
4.3.2 Turbulenz ....................................... 173
5. Materialtheorie ........................................... 179
5.1 Allgemeine Materialgleichung ............................ 179
5.1.1 Problemstellung.................................. 179
5.1.2 Formulierung der allgemeinen Materialgleichung...... 180
5.1.3 Einfache Ko¨rper.................................. 181
5.2 Materielle Objektivita¨t.................................. 182
5.2.1 Prinzip der materiellen Objektivita¨t ................ 182
5.2.2 Explizite Form des Prinzips
der materiellen Objektivita¨t ....................... 184
5.2.3 Folgerungen ..................................... 185
5.3 Materielle Symmetrie ................................... 190
5.3.1 Homogenita¨t..................................... 190
5.3.2 Isotropie ........................................ 191
5.3.3 Isotrope Funktionale.............................. 195
5.3.4 Isotrope Funktionale in relativer Darstellung......... 197
5.3.5 Festko¨rper und Fluide ............................ 200
5.3.6 Eine allgemeine Materialgleichung fffu¨r Fluide......... 204
5.4 Materialien mit begrenztem Geda¨chtnis ................... 206
5.4.1 Definition der Materialien mit begrenztem Geda¨chtnis 206
5.4.2 Klassifizierung ................................... 206
5.4.3 Darstellungssa¨tze fffu¨r isotrope Funktionen ........... 207
5.5 Beispiele fffu¨r isotrope Materialien
mit begrenztem Geda¨chtnis .............................. 210
5.5.1 Elastischer Festko¨rper............................. 210
X Inhaltsverzeichnis
5.5.2 Viskoelastischer Festko¨rper ........................ 213
5.5.3 Thermoelastischer Festko¨rper ...................... 213
5.5.4 Elastisches (barotropes) Fluid...................... 214
5.5.5 Viskoses Fluid ................................... 214
5.5.6 Dichtebesta¨ndiges viskoses Fluid ................... 215
5.5.7 Wa¨rmeleitendes Fluid............................. 216
5.5.8 Viskoses wa¨rmeleitendes Fluid ..................... 216
6. Entropieprinzip........................................... 221
6.1 Clausius-Duhem-Ungleichung ............................ 221
6.1.1 Grundlagen...................................... 221
6.1.2 Auswertung fffu¨r ein klassisches viskoses
wa¨rmeleitendes Fluid ............................. 223
6.2 Entropieprinzip von Mu¨ller-Liu........................... 234
6.2.1 Grundlagen...................................... 234
6.2.2 Auswertung fffu¨r ein klassisches wa¨rmeleitendes Fluid .. 235
7. Mischungstheorie ......................................... 253
7.1 Kinematik............................................. 254
7.1.1 Grundlegendes ................................... 254
7.1.2 Bewegung von Mischungen ........................ 255
7.2 Bilanzgleichungen ...................................... 256
7.2.1 Massenbilanz .................................... 257
7.2.2 Impulsbilanz..................................... 260
7.2.3 Drehimpulsbilanz................................. 261
7.2.4 Energiebilanz .................................... 262
7.2.5 Entropiebilanz ................................... 265
7.3 Feldgleichungen ........................................ 266
7.3.1 Diffusionsmodelle................................. 266
7.3.2 Modelle vom Darcy-Typ........................... 267
7.3.3 Volle Beschreibung ............................... 272
Notation...................................................... 275
Literaturverzeichnis .......................................... 281
Englische Fachausdru¨cke...................................... 283
Sachverzeichnis ............................................... 297