Konkrete Analysis: für Studierende der Informatik

213 Pages·2008·4.66 MB·German

by  Prof. Dr. Folkmar Bornemann (auth.)

eXamen.press
eXamen.press ist eine Reihe, die Theorie und
Praxis aus allen Bereichen der Informatik für
dieHochschulausbildungvermittelt.
Folkmar Bornemann
Konkrete Analysis
für Studierende der Informatik
123
Prof.Dr.FolkmarBornemann
ZentrumMathematik-M3
TechnischeUniversitätMünchen
85747GarchingbeiMünchen
ISBN978-3-540-70845-2 e-ISBN978-3-540-70854-4
DOI10.1007/978-3-540-70854-4
eXamen.pressISSN1614-5216
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(cid:2)c 2008Springer-VerlagBerlinHeidelberg
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Vorwort
DieVorlesung„AnalysisfürInformatiker“wirdvondenBachelor-Studenten
derTechnischen UniversitätMünchen als dritteMathematikvorlesungnach
1
den„DiskretenStrukturen“ undder„LinearenAlgebrafürInformatiker“
gehört. Diese unkonventionell späte Begegnung mit den Konzepten und
TechnikenderAnalysisbringtneueHerausforderungenmitsich:Analytische
Begriffe sind bereits in den beiden vorangehenden Vorlesungen verstreut
aufgetreten (etwa der Körper der reellen Zahlen R, die Landau’sche O-
Notation, einzelne Grenzwerte und unendliche Reihen), wenn auch eher
„intuitiv“,ohne Vertiefung undEinübung; das gängige Lehrbuchmaterial
sprichtprinzipiellStudienanfängeranundbehandeltvieleThemenabovo.
Um dem Vorwissen auf der einen Seite und den (von mir antizipierten)
BedürfnissenderZielgruppeaufderanderenSeiteRechnungzutragen,habe
ichmichentschlossen,dieVorlesungneuzukonzipierenundgleichzeitig
ein Lehrbuch auszuarbeiten, welches in jenen grundlegenden Dreiklang
konkreteranalytischerWerkzeugeeinführt,mitdessenHilfesichkomplexe
quantitativeZusammenhängevereinfachenundverstehenlassen:
Abschätzung,Approximation,Asymptotik.
Das Buch richtet sich zwar in erster Linie an Studierende der Informatik,
sollteaberauchfürStudierendederMathematikundNaturwissenschaften
alswillkommeneergänzendeodervertiefendeEinführungdienenkönnen.
LeitprinzipienmeinerNeukonzeptionsind:
1. DieBetonungvonIdeenbildungundArgumentationshierarchien(von
derGraphikzumBeweis).
2. Die Bevorzugung konkreter Aufgabenstellungen (wir wollen mit den
WerkzeugenderAnalysisschließlichetwasInteressantes„ausrechnen“).
1 ImUmfangdesBuchesvonAngelikaSteger:DiskreteStrukturen1:Kombinatorik,
Graphentheorie,Algebra,2.Auflage,Springer,Berlin,2007.
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3. AusgewählteBeweisewenigerzurlogischenAbsicherungderErgebnisse,
sondernvielmehrzurEinübunganalytischerBegriffeundTechniken.
4. Der Einsatz von Computeralgebra-Systemen für rein kalkulatorische
Aufgaben;dieDiskussionihrerStärken,SchwächenundGrenzen.
5. DaswiederholteAufgreifenvonBeispielenmitsukzessiveverfeinerten
TechnikenundverändertenBlickwinkeln:„WiderdenMethodenzwang“.
6. Extrinsische Motivation mit Beispielen aus der Informatik (und nicht,
wiesooft,ausdenNatur-,Ingenieur-undWirtschaftswissenschaften).
StilundZielrichtungsindganzmaßgeblichdurch„ConcreteMathematics:A
FoundationforComputerScience“vonRonaldGraham,DonaldKnuthund
OrenPatashnik[GKP94]beeinflusst.ImgewissenSinnelässtsichmeinBuch
daherals„analytischerBegleiter“zujenemgroßartigenWerkverstehen.
Ichrategrundsätzlich,sichdenStoffauchauseinerzweiten,unabhän-
2
gigen Perspektive erklären zu lassen. Zur Vertiefung seien die Bücher
[K0¨4a, K0¨4b] von Konrad Königsberger genannt, in denen sich auch all
jeneResultatefinden,dieichhierohneBeweisundReferenzvortrage.Zur
EinführungindasComputeralgebra-SystemMapleverweiseichauf[Hec03].
Weitere Literaturangaben werden im Laufe der Lektüre angegeben. Zum
aktivenLernengehört–mankannleidernichtoftgenugdaraufhinweisen
–ganzwesentlichdieregelmäßigeBearbeitungvonÜbungsaufgaben,wie
siesichamEndeeinesjedenKapitelsfinden.DerMathematikerCarlRunge
hatdazueinmalsinngemäßdasfolgendeschöneBildgeprägt:KeinMensch
könnedasKlavierspielnurausdemBesuchvonKonzertenerlernen.
Korrektur- und Verbesserungsvorschläge nehme ich sehr gerne per E-
Mailentgegen.Ansonstenhoffeichnatürlich,dassdasExperimentmeiner
Neukonzeption einer Analysisvorlesung für Studierende der Informatik
schlussendlich„funktioniert“.VielSpaßbeiderLektüre.
München,imJuni2008 FolkmarBornemann
DiebegleitendeCDenthältdasBuchinFormeinesPDF-Dokumentsals
HypertextmitfarbigenGraphikenzurBenutzungamBildschirm.Interne
Verweise sind in blau gehalten, externe Verweise in rot. Letztere führen
etwa auf Erläuterungen von Begriffen und Sachverhalten, die ich aus der
SchuleunddenAnfängervorlesungenalsbekanntvoraussetze,sowieauf
weiterführendesMaterialundbiographischeInformationen.
2 FürdieZielgruppederInformatikstudentensindfolgendeLehrbüchergedacht,
dieichgernealsBegleitlektüreempfehle:MichaelOberguggenberger,Alexander
Ostermann:AnalysisfürInformatiker,Springer,Berlin,2006;ChristianBlatter:Inge-
nieuranalysis1&2,2.Auflage,Springer,Berlin,1996(kostenlosalsPDF-Dokumente
erhältlich).
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort........................................................... V
I Grundlagen .................................................. 1
1 ReelleZahlen............................................. 1
1.1 WarumAnalysisfürInformatiker?.................... 1
1.2 AxiomatischeCharakterisierungderreellenZahlen... 4
1.3 EinigenützlicheBezeichnungen..................... 6
1.4 RechenregelnfürSuprema.......................... 7
1.5 ArchimedizitätderreellenZahlen ................... 8
1.6 DichtheitderrationalenZahlen ..................... 8
1.7 Dezimalzahldarstellung ............................ 9
1.8 ÜberabzählbarkeitderreellenZahlen................ 11
1.9 AlgebraischeundtranszendenteZahlen ............. 12
1.10 BerechenbareZahlen ............................... 13
2 Ungleichungen:EinPrimer................................ 15
2.1 ElementareUngleichungen ......................... 15
2.2 Cauchy–Schwarz’scheUngleichung ................. 16
2.3 EuklidischeNorm.................................. 17
Aufgaben ..................................................... 19
II Grenzwerte ................................................... 21
3 Folgen ................................................... 21
3.1 KonvergenzvonFolgen............................. 21
3.2 BeschränktheitkonvergenterFolgen ................. 23
3.3 Stetigkeit:RechnenmitGrenzwerten ................ 23
3.4 MonotoneFolgen .................................. 25
3.5 BeschränkteFolgen................................. 29
3.6 Exponentialfunktion................................ 32
3.7 AllgemeineAM-GM-Ungleichung................... 35
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VIII Inhaltsverzeichnis
3.8 HarmonischeZahlen ............................... 36
4 Reihen ................................................... 39
4.1 KonvergenzvonReihen ............................ 39
4.2 Vergleichskriterien ................................. 40
4.3 AlternierendeReihen............................... 42
4.4 Konvergenzbeschleunigung......................... 44
4.5 Umordnung ....................................... 45
5 KonsequenzenderStetigkeit .............................. 48
5.1 Zwischenwertsatz .................................. 48
5.2 ExistenzvonMaximumundMinimum .............. 50
5.3 Anwendung:FundamentalsatzderAlgebra .......... 51
Aufgaben ..................................................... 54
III Differentiation................................................ 57
6 DieAbleitungeinerFunktion.............................. 57
6.1 BegriffderAbleitung ............................... 57
6.2 KalkülderAbleitungsregeln ........................ 61
6.3 HöhereAbleitungenundderSatzvonSchwarz ...... 65
6.4 DifferentiationvonReihen .......................... 67
6.5 TrigonometrischeFunktionen ....................... 69
7 AnwendungenderAbleitung.............................. 73
7.1 KurvendiskussionundMittelwertsatz ............... 73
7.2 BerechnungvonGrenzwerten....................... 78
7.3 KonvexitätunddieJensen’scheUngleichung......... 81
Aufgaben ..................................................... 85
IV Integration ................................................... 87
8 DasIntegraleinerFunktion ............................... 87
8.1 BegriffdesbestimmtenIntegrals .................... 87
8.2 StammfunktionenundderHauptsatz................ 92
8.3 ComputergestütztesymbolischeIntegration.......... 95
8.4 VertauschungvonIntegrationundGrenzwerten......103
9 AnwendungendesIntegrals...............................108
9.1 Ungleichungen.....................................108
9.2 AbschätzungenvonSummenundReihen............109
9.3 ProduktdarstellungderSinusfunktion ...............113
Aufgaben .....................................................117
V Potenzreihen ................................................. 121
10 EntwicklungvonFunktioneninPotenzreihen .............. 121
10.1 DieTaylor’scheFormel ............................. 121
10.2 PotenzreihenimKomplexen ........................127
10.3 KalkülderPotenzreihen ............................129
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Inhaltsverzeichnis IX
10.4 DieBernoulli’schenZahlen .........................132
11 ErzeugendeFunktionenvonZahlenfolgen..................136
11.1 Beispiel1:DasGeldwechselproblem.................136
11.2 Beispiel2:AlternierendePermutationen .............139
Aufgaben .....................................................143
VI Differentialgleichungen.......................................147
12 Anfangswertprobleme ....................................148
12.1 ErsteBeispiele:ZurückführungaufIntegrale .........148
12.2 ExistenzundEindeutigkeit ......................... 151
12.3 GleichungenhöhererOrdnung......................154
12.4 ComputergestützteLösung:numerisch/symbolisch ..158
13 AnwendungenvonDifferentialgleichungen.................162
13.1 Koeffizientenabschätzungfür„armeLeute“..........162
13.2 Funktionalgleichungen .............................166
Aufgaben .....................................................169
VII Asymptotik................................................... 171
14 ZweiasymptotischeTricks ................................172
14.1 Bootstrapping......................................172
14.2 TradingTails.......................................176
15 Euler–Maclaurin’scheSummenformel......................182
15.1 DerOperatorkalkülvonLagrange...................182
15.2 DieSummenformelmitRestglied ...................186
15.3 StrategienzurAnwendungderSummenformel ......188
15.4 HarmonischeZahlenunddieEuler’scheKonstante...189
15.5 DieStirling’scheFormel ............................192
Aufgaben .....................................................195
Literaturverzeichnis ...............................................197
Stichwortverzeichnis ..............................................199
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I
Grundlagen
1 Reelle Zahlen
1.1 WarumAnalysisfürInformatiker?
DiedreigrundlegendenMathematikvorlesungeneinesInformatikstudien-
gangs – Diskrete Strukturen, Lineare Algebra und Analysis – ließen sich
einheitlicherwiefolgtbezeichnen:diskrete,lineareundkontinuierlicheStruk-
turen.(Statt„diskret“könntemanauch„digital“,statt„kontinuierlich“dann
entsprechend„analog“sagen.)
NunliegtderEinwandnahe,dassdigitaleComputerdochnurmitdis-
kreten,endlichenObjektenarbeitetenunddahereineBeschäftigungmitkon-
tinuierlichenStrukturenfürdiemeistenInformatikereigentlichverzichtbar
seindürfte.(EtlichePhysikersindderAnsicht,dassdasganzeUniversum
diskret und endlich ist. Manche sprechen gar vom "‘rechnenden Raum"’.
AlsomüsstederEinwandauchfürdieNatur-undIngenieurwissenschaften
gelten...)WarumalsoAnalysisfürInformatiker?
MeineeinfacheEntgegnunglautet:WeilAnalysisnebeneinemwertvol-
lenTraininginAbstraktionundBegriffsbildungauchfürInformatikerein
enormnützlichesWerkzeugdarstellt. „Diskret“kannnämlichsehrdicht(=
fastkontinuierlich)sein,odersehenSieetwadieeinzelnenPixelvonausbe-
lichtetenDigitalfotos?Und„endlich“kannsehrgroßsein.DerÜbergangins
KontinuierlicheistschlichtwegeinsehrpraktischerSchritt,ummitsolchen
Fällenbequemerumzugehen.IchwilldafürzweiBeispielegeben.
Beispiel. In Abb. 1 sehen Sie, wie aus einem Digitalfoto überlagerter Text
„herausgerechnet“wird.(DerFachausdruckfürsolchesHerausrechnenvon
zerstörtenBildflächenlautet„ImageInpainting“.)EinbesondersschnellerAl-
gorithmushierfürstammtganzfrischausmeinereigenenForschung[BM07]
–undbenutztfortgeschritteneWerkzeugederAnalysis.DerArbeitsablauf
wardabeiungefährfolgender:
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