Table Of ContentKonjugationsklassensummen
in
endli
hen Gruppenringen
Harald Meyer
Adresse des Autors:
Harald Meyer
Universit(cid:127)at Bayreuth
Lehrstuhl IV fu(cid:127)r Mathematik
95440Bayreuth
email: Harald.Meyeruni-bayreuth.de
Diese Arbeit wurde von der Fakult(cid:127)at fu(cid:127)r Mathematik und Physik der Uni-
versit(cid:127)at Bayreuth als Dissertation zur Erlangungdes Grades eines Doktors
der Naturwissens
haften genehmigt.
D 703
1. Guta
hter Prof. Dr. W. Mu(cid:127)ller
2. Guta
hter Prof. Dr. A. Kerber
Tag der Einrei
hung: 13.05.2002
Tag des Kolloquiums: 11.07.2002
Inhaltsverzei
hnis
Vorwort v
1 Grundlagen aus der Darstellungstheorie 1
2 Bere
hnung zentral-primitiver Idempotente 9
3 Idempotentenk(cid:127)orper und Zerf(cid:127)allungsk(cid:127)orper 51
4 Das Erzeugnis einer Konjugationsklasse 71
A Zentral-primitive Idempotente in Gruppenringen von
alternierenden und symmetris
hen Gruppen 85
B Minimale Idempotentenk(cid:127)orper fu(cid:127)r Gruppen mit
Ordnung (cid:20)126 127
Literaturverzei
hnis 157
iii
iv
Vorwort
Ein grundlegender Begri(cid:11) in der Darstellungstheorie endli
her Gruppen ist
der des zentral-primitiven Idempotents. Ein zentrales Idempotent in einer
2
Algebra A ist ein Element e 6= 0 im Zentrum der Algebra, fu(cid:127)r das e = e
gilt. Die Bedeutung der zentralen Idempotente liegt darin, da(cid:25) man die
Algebra mit Hilfe der zentralen Idempotente in eine direkte Summe von
Unteralgebren zerlegen kann: Ist 1 = e1 +:::+er eine Zerlegung der 1 in
zentrale orthogonale Idempotente (d. h., es gilt eiej = 0 fu(cid:127)r i 6= j), so
l(cid:127)a(cid:25)t si
h A s
hreiben als A = Ae1 (cid:8)::: (cid:8)Aer und die Summanden Aei
sind zweiseitige Ideale. Ein zentrales Idempotent e hei(cid:25)t zentral-primitiv,
wennessi
hni
htalsSummezentralerorthogonalerIdempotentes
hreiben
l(cid:127)a(cid:25)t, also wenn es keine zentralen Idempotente f1;f2 mit f1f2 = 0 und
e = f1 +f2 gibt. Hat man daher eine zentral-primitive Zerlegung der 1,
etwa 1 = e1 +:::+er mit zentral-primitiven ei, so kann diese Zerlegung
ni
ht weiter verfeinert werden, genausowenig wie die zugeh(cid:127)orige Zerlegung
der Algebra A. Die Darstellungstheorie endli
her Gruppen bes
h(cid:127)aftigt si
h
mit dem Studium der Gruppenalgebren (= Gruppenringe) KG. Dabei ist
K ein K(cid:127)orper (man
hmal au
h ein Ring) und KG der freie K-Modul u(cid:127)ber
einerGruppeGmit derdur
hdieMultiplikationen inGund K induzierten
Ringmultiplikation.
In dieser Arbeit wird ein Verfahren zur Bere
hnung der zentral-primitiven
IdempotenteinGruppenringenKGu(cid:127)berendli
henK(cid:127)orpernK bes
hrieben,
ans
hlie(cid:25)end werden einige Folgerungen fu(cid:127)r die Gr(cid:127)o(cid:25)e von Zerf(cid:127)allungsk(cid:127)or-
pern und die Anzahl der zentral-primitiven Idempotente gezogen.
Dazu werden im ersten Kapitel no
h einmal die fu(cid:127)r den weiteren Text
wesentli
hen Begri(cid:11)e und S(cid:127)atze aus der Darstellungstheorie erl(cid:127)autert. Da-
bei werden wir au
h ganz kurz auf die herk(cid:127)ommli
hen Methoden zur Be-
re
hnung zentral-primitiver Idempotente zu spre
hen kommen. Au(cid:25)erdem
fu(cid:127)hrenwirdenBegri(cid:11)desIdempotentenk(cid:127)orpersein:IstK (cid:26)LeineK(cid:127)orper-
v
vi
erweiterung, so sind bekanntli
h die zentral-primitiven Idempotente des
Gruppenrings KG in LG im allgemeinen ni
ht mehr zentral-primitiv. Ein
K(cid:127)orperK hei(cid:25)t nun Idempotentenk(cid:127)orper fu(cid:127)r eine Gruppe G, wenn fu(cid:127)r jede
K(cid:127)orpererweiterungK (cid:26)Ldiezentral-primitivenIdempotentevonKGau
h
in LG zentral-primitiv sind.
Die dem Verfahren zur Bere
hnung der zentral-primitiven Idempotente zu-
grundeliegendeIdeel(cid:127)a(cid:25)tsi
hs
hnellbes
hreiben:IstKeinendli
herK(cid:127)orper,
n
so ist au
h KG endli
h. Daher mu(cid:25) die Folge (B )n2N fu(cid:127)r jedes B 2 KG
periodis
h werden. Mit Hilfe dieser Periode lassen si
h Idempotente kon-
m+1
struieren: Ist im einfa
hsten Fall beispielsweise B =B mit
harK -m,
so re
hnet man s
hnell na
h, da(cid:25)
Xm
(cid:0)1 i
f :=m B
i=1
ein Idempotent oder 0 in KG ist. Weitere Idempotente ergeben si
h, wenn
wirin obigerFormeldiePotenzenvonB geeignetmit Einheitswurzelnmul-
tiplizieren. Ist etwa (cid:16) 2 K eine (ni
ht notwendig primitive) m-te Einheits-
wurzel in K, so ist
Xm
(cid:0)1 i i
f((cid:16))=m (cid:16) B ((cid:3))
i=1
ebenfalls Idempotent oder 0 in KG. Diese Formel l(cid:127)a(cid:25)t si
h au
h auf die
r+m r
F(cid:127)alle
harK j m und B = B mit r > 1 verallgemeinern. W(cid:127)ahlen wir
nun K gro(cid:25) genug\ { n(cid:127)amli
h so, da(cid:25) K Idempotentenk(cid:127)orper fu(cid:127)r G ist {
"
undsetzenfu(cid:127)rB dievers
hiedenenKonjugationsklassensummenvonGein,
sozeigtsi
h,da(cid:25)dieaufdieseWeisekonstruiertenIdempotenteden gesam-
tenvondenzentral-primitivenIdempotentenaufgespanntenK-Vektorraum
erzeugen.Deshalbergebensi
hdiezentral-primitivenIdempotentevonKG
als Produkt von Elementen der Form f((cid:16)) bzw. 1(cid:0)f((cid:16)). Mit Hilfe die-
ser Methode lassen si
h dann beispielsweise die zentral-primitiven Idempo-
tente in den Gruppenringen KS5;KS6 der symmetris
hen Gruppen S5;S6
bei
harK = 2 von Hand erre
hnen. Umfangrei
here, mit dem Computer
dur
hgefu(cid:127)hrte Bere
hnungen der zentral-primitiven Idempotente fu(cid:127)r einige
alternierende und symmetris
he Gruppen in den Charakteristiken 2 und 3
(cid:12)nden si
h in Anhang A.
Die obigeFormel ((cid:3)) l(cid:127)a(cid:25)t bereits einen Zusammenhang der Periodenl(cid:127)angen
+
mit Idempotentenk(cid:127)orpernerahnen. Tats(cid:127)a
hli
h stellt si
h heraus:Sind C1 ;
vii
+
:::;C
die Konjugationsklassensummenin FpG, mi 2N minimal mit
+ ri+mi + ri
(Ci ) =(Ci )
fu(cid:127)r ein ri 2 N und mi = psi (cid:1)di mit p - di und ist weiter (cid:16)i eine primi-
tive di-te Einheitswurzel in einem algebrais
hen Abs
hlu(cid:25) von Fp, so ist
Fp((cid:16)1;:::;(cid:16)
) der Idempotentenk(cid:127)orper der Charakteristik p fu(cid:127)r G mit mi-
nimaler Ordnung. Dieser minimale Idempotentenk(cid:127)orper l(cid:127)a(cid:25)t si
h also aus
den Periodenl(cid:127)angen bere
hnen. Dieser Zusammenhang erm(cid:127)ogli
ht es, mi-
nimale Idempotentenk(cid:127)orper mit dem Computer zu bere
hnen, so wurden
in Anhang B die minimalen Idempotentenk(cid:127)orper in den Charakteristiken
2, 3, 5, 7 fu(cid:127)r die Gruppen mit Ordnung (cid:20) 126 aufgelistet. Mit Hilfe die-
serBes
hreibungdesIdempotentenk(cid:127)orpersgewinnenwirau
hErkenntnisse
u(cid:127)ber die Gr(cid:127)o(cid:25)e von Idempotentenk(cid:127)orpern wie beispielsweise die folgende:
k
Ist exp(Z(G)) = p (cid:1) d mit p - d, so gilt d j jKj(cid:0)1 fu(cid:127)r jeden endli
hen
Idempotentenk(cid:127)orper der Charakteristik p fu(cid:127)r G.
DerBegri(cid:11)desIdempotentenk(cid:127)orpersistau
hdeshalbinteressant,weilAus-
sagen u(cid:127)ber Idempotentenk(cid:127)orper immer au
h Aussagen u(cid:127)ber Zerf(cid:127)allungs-
k(cid:127)orper sind. Jeder Zerf(cid:127)allungsk(cid:127)orper ist n(cid:127)amli
h zuglei
h au
h Idempoten-
tenk(cid:127)orper. Im Falle
harK - jGj gilt au
h die Umkehrung, fu(cid:127)r
harK j jGj
allerdings ni
ht, die alternierende Gruppe A4 bei Charakteristik 2 bildet
hierzueinGegenbeispiel.Bezei
hnenwirdenZerf(cid:127)allungsk(cid:127)orperderCharak-
teristik p fu(cid:127)r G mit minimaler Ordnung als minimalen Zerf(cid:127)allungsk(cid:127)orper,
so liefert der Satz von Brauer ([Pu/Di, Theorem 2.7B℄) eine Abs
h(cid:127)atzung
des minimalen Zerf(cid:127)allungsk(cid:127)orpersna
h oben, die obigeBere
hnungder mi-
nimalenIdempotentenk(cid:127)orpererm(cid:127)ogli
hteine Abs
h(cid:127)atzungna
hunten(mit
Glei
hheit im Fall
harK -jGj).
Im letzten Kapitels
hlie(cid:25)li
hwirdversu
ht,dieZahlderzentral-primitiven
Idempotente in KG im Fall p :=
harK j jGj na
h unten abzus
h(cid:127)atzen.
Dies gelingt fu(cid:127)r p-au(cid:13)(cid:127)osbare Gruppen, es stellt si
h n(cid:127)amli
h heraus, da(cid:25)
0
p-Konjugationsklassen C mit p - jCj in sol
hen Gruppen Normalteiler N
mit p - jNj erzeugen. Ist K ein Idempotentenk(cid:127)orper fu(cid:127)r die p-au(cid:13)(cid:127)osba-
re Gruppe G, so ist daher die Anzahl der zentral-primitiven Idempotente
0
von KG gr(cid:127)o(cid:25)er oder glei
h der Anzahl der Konjugationsklassen C von p-
Elementen von G, fu(cid:127)r die p - jCj gilt. Ist eine p-Sylowgruppe Normaltei-
ler in G, so kann man diese Aussage no
h pr(cid:127)azisieren: Dann ist die An-
0
zahl der zentral-primitiven Idempotente von KG glei
h der Anzahl der p-
KonjugationsklassenC vonGmit p-jCj.Daru(cid:127)berhinausgibt eseinenNor-
malteiler N von G mit p - jNj, so da(cid:25) alle zentral-primitiven Idempotente
von KG bereits in KN liegen.
viii
An dieser Stelle m(cid:127)o
hte i
h mi
h sehr herzli
h bei allen bedanken, die zum
EntstehendieserArbeitbeigetragenhaben.I
hdankeHerrnProf.Dr.Wolf-
gang Mu(cid:127)ller, der diese Arbeit betreute { die zahlrei
hen fa
hli
hen Diskus-
sionen mit ihm halfen mir sehr, meine Gedanken zu kl(cid:127)aren, und gaben oft
neue Denkanst(cid:127)o(cid:25)e. Ihm sowie Herrn Prof. Dr. Manfred Kr(cid:127)amer und Frau
KarinMu(cid:127)lleristau
hdievonMens
hli
hkeitgepr(cid:127)agteAtmosph(cid:127)areamLehr-
stuhlzuverdanken.Esma
htvielFreude,andiesemLehrstuhlzuarbeiten.
Herr Prof. Dr. Adalbert Kerber erwies si
h als eine uners
h(cid:127)op(cid:13)i
he Fund-
grube an Literaturhinweisen. Mein Dank gilt au
h Frau Britta Sp(cid:127)ath, die
si
h bereit erkl(cid:127)arte, das Manuskript zu lesen und mit ihren Vors
hl(cid:127)agen
zur besseren Verst(cid:127)andli
hkeit etli
her Passagen beitrug. S
hlie(cid:25)li
h m(cid:127)o
hte
i
h mi
h bei all denjenigen bedanken, die mi
h w(cid:127)ahrend der letzten Jahre
unterstu(cid:127)zt haben, besonders bei meinen Eltern und meiner S
hwester.
Bayreuth, im Mai 2002 Harald Meyer.
Kapitel 1
Grundlagen aus der
Darstellungstheorie
Wir beginnen mit einigen grundlegenden De(cid:12)nitionen und S(cid:127)atzen. Genau-
eres hierzu (cid:12)ndet si
h in fast allen Lehrbu(cid:127)
hern zur Darstellungstheorie
endli
her Gruppen, etwa in [Mu(cid:127)℄ oder in [Hup3℄. Do
h zun(cid:127)a
hst einige Be-
zei
hnungen, die wir in der gesamten Arbeit verwenden wollen:
1.1 Bezei
hnungen
N =f1;2;3;:::gbezei
hnet die Menge der natu(cid:127)rli
hen Zahlen ohne 0,
Fq steht fu(cid:127)r den endli
hen K(cid:127)orper mit q Elementen,
G bezei
hnet immer eine endli
he Gruppe und
p immer eine Primzahl in N,
SylpG ist die Menge der p-Sylowgruppen von G und
hb1;:::;briK steht fu(cid:127)r das Erzeugnis von b1;:::;br als K-Vektorraum
(und ist i. a. vers
hieden von dem Erzeugnis als Algebra).
Ist n2Z,so s
hreiben wir n fu(cid:127)r die Restklassevon nin Zm(wenn m
aus dem Zusammenhang hervorgeht).
Zykel in der symmetris
hen Gruppe Sn werden von links her mitein-
ander multipliziert.
1
2 Kapitel 1
Weitere Bezei
hnungen werden im Laufe dieses Kapitels eingefu(cid:127)hrt. Bevor
wiraufBegri(cid:11)ederDarstellungstheorieeingehen,wollenwirno
hkurzeinen
Satz aus der linearen Algebra erw(cid:127)ahnen, den wir mehrfa
h verwenden wer-
den. Die Grundlagen dafu(cid:127)r (cid:12)nden si
h beispielsweise in [Fi℄.
1.2 Satz
n
Sei K (cid:26)L eine K(cid:127)orpererweiterung und seien b1;:::;br 2K . Dann ist
dimKhb1;:::;briK =dimLhb1;:::;briL:
Beweis. Wir s
hreiben die Vektoren b1;:::;br in die Spalten einer Matrix
und setzen A := (b1;:::;br). Dann ist dimhb1;:::;bri = rgA. Der Rang von
A kann mit dem Gau(cid:25)s
hen Algorithmus bestimmt werden, indem A auf
Zeilenstufenformgebra
htwird.Fu(cid:127)hrenwirdenAlgorithmusu(cid:127)berK dur
h,
so erhalten wir eine Zeilenstufenform von A u(cid:127)ber K, die natu(cid:127)rli
h zuglei
h
au
hu(cid:127)berLeineZeilenstufenformvonAdarstellt.AnderZeilenstufenform
l(cid:127)a(cid:25)t si
h der Rang bekanntli
h sofort ablesen, wir erhalten also rgKA =
rgLA und damit die Behauptung.
1.3 Definition
2
Ein Element e6=0 eines Rings R hei(cid:25)t Idempotent, wenn e =e gilt. Liegt
e im Zentrum Z(R) des Rings, so nennt man e zentral. Zwei Idempotente
e;f 2R hei(cid:25)en orthogonal, wenn ef =fe=0 ist. e hei(cid:25)t zentral-primitiv,
0
wenn es kein Paarf;f von orthogonalenzentralen Idempotenten in R gibt
0
mit e = f +f . Ist e 2 R ein zentral-primitives Idempotent, so nennt man
den R-Modul Re au
h Blo
k von R.
1.4 Definition (Gruppenalgebra)
Seien K ein K(cid:127)orper und G eine endli
he Gruppe. Der freie K-Modul u(cid:127)ber
G wird mit der Multiplikation
0 10 1 0 1
X X X X
B C
kggA lggA:= ksltAg
g2G g2G g2G s;t2G
st=g
zueinerAlgebrau(cid:127)berK,dersogenanntenGruppenalgebraKG.StattGrup-
penalgebra ist au
h der Ausdru
k Gruppenring gebr(cid:127)au
hli
h.
Die n(cid:127)a
hste Bemerkung l(cid:127)a(cid:25)t si
h sofort aus [Mu(cid:127), Lemma 1.9℄ folgern:
