Kombinatorische Optimierung erleben: In Studium und Unterricht (Mathematik erleben) (German Edition)

327 Pages·2007·3.64 MB·German

by  Stephan Hußmann

Stephan Hußmann
Brigitte Lutz-Westphal
(Hrsg.)
Kombinatorische Optimierung
erleben
Aus dem Programm
Mathematik für das Lehramt
Algorithmik für Einsteiger
von Armin P. Barth
Zahlentheorie für Einsteiger
von Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern
Algebra für Einsteiger
von Jörg Bewersdorff
Stochastik für Einsteiger
von Norbert Henze
Graphen für Einsteiger
von Manfred Nitzsche
Diskrete Mathematik für Einsteiger
von Albrecht Beutelspacher, Marc-Alexander Zschiegner
Kombinatorische Optimierung erleben
von Stephan Hußmann, Brigitte Lutz-Westphal (Hrsg.)
Stochastik einmal anders
von Gerd Fischer
Elementargeometrie
von Ilka Agricola, Thomas Friedrich
Elementare Geometrie und Algebra
von Hans-Wolfgang Henn
Geometrische Gruppentheorie
von Stefan Rosebrock
vieweg
Stephan Hußmann
Brigitte Lutz-Westphal
(Hrsg.)
Kombinatorische
Optimierung erleben
In Studium und Unterricht
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Prof. Dr. Stephan Hußmann
Universität Dortmund
Fachbereich Mathematik, IEEM
Vogelpothsweg 87
44227 Dortmund
E-Mail: [email protected]
Dr. Brigitte Lutz-Westphal
Technische Universität Berlin
Institut für Mathematik
Straße des 17. Juni 136
10623 Berlin
E-Mail: [email protected]
1. Auflage März 2007
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Lektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch | Petra Rußkamp
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-528-03216-6
Inhalt
42–einGeleitwortvonPeterGritzmann xi
Vorwort xiii
1
BrigitteLutz-Westphal
OptimalzumZiel:DasKürzeste-Wege-Problem 1
1 U-Bahn-Fahrten,SchulwegeunddieReisevonDatenpaketen . . 1
Problem1–U-Bahnfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Problem2–DenSchulwegoderdenWegzurArbeitoptimieren 2
Problem3–Datenpaketeverschicken . . . . . . . . . . . . . 3
2 DieQualderWahl:Wassolloptimiertwerden? . . . . . . . . . . 3
3 AlleMöglichkeitenprobieren:Enumeration . . . . . . . . . . . . 4
4 GraphenundGraphenisomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
GraphenundWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
DasGraphenlabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Graphenisomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 DieBreitensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ErsteIdeenfüreinen»Weg-mit-minimaler-Anzahl-von-Kanten-
Algorithmus« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
DieFroschperspektiveunddieLochblende . . . . . . . . . . 18
FormulierungderBreitensuche . . . . . . . . . . . . . . . . 20
BlättertauschundRollenspiel:ÜberprüfenderFormulierung 24
6 DerAlgorithmusvonDijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
GewichteteGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
DenAlgorithmusvonDijkstranacherfinden . . . . . . . . . 28
7 MehrüberoptimaleWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
vi Inhalt
8 Vertiefung:Korrektheitsbeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
KorrektheitsbeweisfürdieBreitensuche . . . . . . . . . . . . 35
KorrektheitsbeweisfürdenAlgorithmusvonDijkstra . . . . 37
2
BrigitteLutz-Westphal
Günstigverbunden:MinimaleaufspannendeBäume 39
1 Leitungsnetzeplanen,StraßenerneuernundComputerverkabeln 39
Problem1–Leitungenerneuern . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Problem2–Straßenbelägekostengünstigverbessern . . . . . 41
Problem3–Telefonleitungenmieten . . . . . . . . . . . . . 41
Problem4–Computernetzwerkeverkabeln . . . . . . . . . . 42
2 DasProblemmodellieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
EindeutigkeitderWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
DieAnzahlderBaumkanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
DieAnzahlderaufspannendenBäume . . . . . . . . . . . . 50
4 DieTiefensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
DerAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Korrektheitsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
DasDaumenkinoundnocheinmaldieLochblende . . . . . 56
Exkurs:Ariadne–dieersteInformatikerin . . . . . . . . . . 58
EngeVerwandte:TiefensucheundBreitensuche . . . . . . . 60
5 DieAlgorithmenvonKruskalundPrim . . . . . . . . . . . . . . 62
KostenkommeninsSpiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Zwei»gierige«Vorgehensweisen . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6 Steinerbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 Vertiefung:KorrektheitsbeweisefürdieAlgorithmenvonKruskal
undPrim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3
BrigitteLutz-Westphal
MathematikfürdieMüllabfuhr:DaschinesischePostbotenproblem 69
1 TourenplanungfürMüllabfuhr,PostzustellungundMuseen . . . 69
Problem1–Müllabfuhroptimieren . . . . . . . . . . . . . . 69
Problem2–DaschinesischePostbotenproblem . . . . . . . 70
Problem3–EinMuseumplanen . . . . . . . . . . . . . . . 71
Inhalt vii
2 ModellierungdurchGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
WelcheInformationenwerdenzurLösungderAufgabe
benötigt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
WiegenausolldasModellwerden? . . . . . . . . . . . . . . 74
3 DaschinesischePostbotenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 EulergraphenundEulertouren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
DieMüllabfuhr,dieKönigsbergerBrückenundLeonhardEuler 77
AlgorithmenfürEulertouren . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
FigurenineinemZugzeichnen . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Knotengrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
DieAnzahlderungeradenKnoten . . . . . . . . . . . . . . . 85
EinweitererBeweisfürdieAnzahlderBlätterimBaum . . . 87
MehrüberKnotengrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Matchings:WasdieMüllabfuhrmitPartnerwahlzutunhat . . . 89
7 DieLösungfürMüllautosundandereAnwendungen . . . . . . . 91
8 ThemamitVariationen:AnderePostbotenprobleme . . . . . . . 93
4
MartinGrötschel
SchnelleRundreisen:DasTravelling-Salesman-Problem 95
1 Problem1–Städtereisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
DieModellierungalsGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2 Problem2–DasBohrenvonLeiterplatten . . . . . . . . . . . . . 98
3 Löcherbohren:DieZielfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 DerUrsprungdesTravelling-Salesman-Problems . . . . . . . . . 106
5 Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
ExakteAlgorithmen:Enumeration . . . . . . . . . . . . . . 109
ExakteAlgorithmen:GanzzahligeProgrammierung . . . . . 111
Greedy-Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ApproximationsalgorithmenfürdasSTSP . . . . . . . . . . 118
Verbesserungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6 Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
DieNichtapproximierbarkeitdesTSP . . . . . . . . . . . . . 124
ZufallunddasTSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7 LösungenundLiteraturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
viii Inhalt
5
TimoLeuders
WennesMathematikernzubuntwird:Färbeprobleme 131
1 Landkarten,Fische,HandysundBotschafter. . . . . . . . . . . . 131
Problem1–Landkartenfärbung . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Problem2–Fischgesellschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Problem3–Handynetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Problem4–Diplomatenkarussell . . . . . . . . . . . . . . . 135
Wiepasstdasalleszusammen? . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2 Ideen,BegriffeundZusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . 137
GraphenalsModelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
EinkleinerAbstecheroder:»Dabistduplatt« . . . . . . . . . 142
ReichenvierFarbendennnunimmer?Plättbarkeitund
Färbbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Wiesiehtesabernunmit4Farbenaus? . . . . . . . . . . . . 153
3 WieknacktmandieFärbungsproblemepraktisch? . . . . . . . . 154
Fingerübungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Jetztwirdeshandgreiflicher:Färbealgorithmen . . . . . . . . 157
VonderHeuristikzumAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . 164
»Vorwärts,undnichtvergessen!« . . . . . . . . . . . . . . . 165
WieauseinemBeweiseinAlgorithmuswird . . . . . . . . . 168
6
StephanHußmann
MitMathematikspielendgewinnen:KombinatorischeSpiele 171
1 MitMathematikspielendgewinnen . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Spiel1–Bridg-It . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Spiel2–Shannon-Switching-Game . . . . . . . . . . . . . . 172
Spiel3–Trianguli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Spiel4–Hex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2 SpielemitmathematischerStrategiegewinnen . . . . . . . . . . 174
Bridg-It–ZugängezurGraphentheorie . . . . . . . . . . . . 175
KanndasSpieljemalsunentschiedenenden? . . . . . . . . . 176
WiekanneinegeeigneteGewinnstrategieaussehen? . . . . . 180
Werbeginnt,dergewinnt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3 Shannon-Switching-Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4 Trianguli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5 Hex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Inhalt ix
7
StephanHußmann
Werpasstzuwem?Matchings 203
1 JobsundTanzkurse–immereineFragederrichtigenZuordnung 203
Problem1–Jobverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Problem2–Tanzkurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
2 EineEntdeckungsreisedurchdieWeltderMatchings . . . . . . . 205
AufwelcherSeitestehstdu?–ZweigeteilteGraphen . . . . . 206
3 StellenundBewerber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Jetzteinmalgierig! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Perfektmatchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
GuteNachbarschaftsverhältnisse . . . . . . . . . . . . . . . 214
Jetztwirdgeheiratet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Immerabwechselnd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
KnotenstattKanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
EineDeckevollerKnoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4 EinkurzerAusblick:MatchingsaufgewichtetenGraphen . . . . . 228
8
StephanHußmann
WievielpasstnochindieLeitung?FlüsseundNetzwerke 233
1 VonFlüssenundGewinnchancen . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Problem1–Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Problem2–Handballmeisterschaft . . . . . . . . . . . . . . 236
2 WievielWasserpasstindenFluss? . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
VieleWegeführenzumZiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
FlussundKapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
WelcheWegegibtesüberhaupt? . . . . . . . . . . . . . . . . 244
VonverschiedenenStandortenaufdasProblemschauen . . . 246
Alltagserfahrungennutzbarmachen . . . . . . . . . . . . . . 246
Netzwerkschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
VorwärtsoderRückwärts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
WielässtsicheinFlussmaximieren? . . . . . . . . . . . . . . 251
KleinsterSchnitttrifftgrößtenFluss . . . . . . . . . . . . . . 253
AufderSuchenacheinemAlgorithmus . . . . . . . . . . . . 254
3 Werwirderster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
SpieleundMannschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
x Inhalt
9
MartinGrötschel
DasProblemmitderKomplexität:P NP? 265
D
10
AndreasBriedenundPeterGritzmann
Von Ackerbauund polytopalen Halbnormen: DiskreteOptimierung für
dieLandwirtschaft 275
1 Problem–Flurbereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
2 LösungdurchcomputergestützeEnumeration? . . . . . . . . . . 278
3 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
DieNebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Geometrisch/zahlentheoretischeInterpretationderzulässigen
Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
WahlderZielfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Abstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Abstandsmaximierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
PolytopaleHalbnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
ZusammenfassungdesAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . 299
4 UmsetzunginderPraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Optimierungsvorschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
PostoptimierungvorOrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Literatur 305
Index 309