Table Of ContentLecture Notes in Economics and Mathematical Systems
(Vol. 1-15: Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics, Vol. 16-59: Lecture
Notes in Operations Research and Mathematical Systems)
Vol. 1: H. BOhlmann, H. Loeffel, E. Nievergelt, EinfUhrung in die Vol. 30: H. Noltemeier, Sensitivitatsanalyse bei diskreten linearen
Theorie und Praxis der Entscheidung bei Unsicherheit. 2. Auflage, Optimierungsproblemen. VI, 102 Seiten. 1970.
IV, 125 Seiten. 1969. Vol. 31: M. KOhlmeyer, Die nichtzentrale t-Verteilung. II, 106 Sei
Vol. 2: U. N. Bhat, A Study of the Oueueing Systems M/G/I and ten. 1970.
GI/M/1. VIII, 78 pages. 1968. Vol. 32: F. Bartholomes und G. Hotz, Homomorphismen und Re
Vol. 3: A. Strauss, An Introduction to Optimal Control Theory. duktionen linearer Sprachen. XII, i 43 Seiten. 1970. DM 18,-
Out of print Vol. 33: K. Hinderer, Foundations of Non-stationary Dynamic Pro
Vol. 4: Branch and Bound: Eine EinfUhrung. 2., geanderte Auflage. gramming with Discrete Time Parameter. VI, 160 pages. 1970.
Herausgegeben von F. Weinberg. VII, 174 Seiten. 1973.
Vol. 34: H. StOrmer, Semi-Markoff-Prozesse mit endlich vielen
Vol. 5: L. P. Hyvarinen, Information Theory for Systems Engineers. Zustanden. Theorie und Anwendungen. VII, 128 Seiten. 1970.
VII, 205 pages. 1968.
Vol. 35: F. Ferschl, Markovketten. VI, 168 Seiten. 1970.
Vol. 6: H. P. KOnzi, O. MOiler, E. Nievergelt, EinfOhrungskursus in
die dynamische Programmierung. IV, 103 Seiten. 1968. Vol. 36: M. J. P. Magill, On a General Economic Theory of Motion.
VI, 95 pages. 1970.
Vol. 7: W. Popp, EinfOhrung in die Theorie der Lagerhaltung. VI,
173 Seiten. 1968. Vol. 37: H. MOlier-Merbach, On Round-Off Errors in Linear Pro
gramming. V, 48 pages. 1910.
Vol. 8: J. Teghem, J. Loris-Teghem, J. P. Lambotte, Modeles
d'Attente M/G/I et GI/M/I Ii Arrivees et Services en Groupes. III, Vol. 38: Statistische Methoden I. Herausgegeben von E. Walter.
53 pages. 1969. VIII, 338 Seiten. 1970.
Vol. 9: E. Schultze, EinfOhrung in die mathematischen Grundlagen Vol. 39: Statistische Methoden II. Herausgegeben von E. Walter.
der Informationstheorie. VI, 116 Seiten. 1969. IV, 157 Selten. 1970.
Vol. 10: D. Hochstadter, Stochastische Lagerhaltungsmodelle. VI, Vol. 40: H. Drygas, The Coordinate-Free Approach to Gauss
269 Seiten. 1969. Markov Estimation. VIII, 113 pages. 1970.
Vol. 11/12: Mathematical Systems Theory and Economics. Edited Vol. 41 : U. Ueing, Zwei Losungsmethoden fUr nichtkonvexe Pro
by H. W. Kuhn and G. P. Szego. VIII, III, 486 pages. 1969. grammierungsprobleme. IV, 92 Seiten. 1971.
Vol. 13: Heuristische Planungsmethoden. Herausgegeben von Vol. 42: A. V. Balakrishnan, Introduction to Optimization Theory in
F. Weinberg und C. A. Zehnder. II, 93 Seiten. 1969. a Hilbert Space. IV, 153 pages. 1971.
Vol. 14: Computing Methods in Optimization Problems. V, 191 pages. Vol. 43: J. A. Morales, Bayesian Full Information Structural Analy
1969. sis. VI, 154 pages. 1971.
Vol. 15: Economic Models, Estimation and Risk Programming: Vol. 44:· G. Feichtinger, Stochaslische Modelle demographischer
Essays in Honor of Gerhard Tintner. Edited by K. A. Fox, G. V. L. Prozesse. IX, 404 Seiten. 1971.
Narasimham and J. K. Sengupta. VIII, 461 pages. 1969.
Vol. 45: K. Wendler, Hauptaustauschschritte (Principal Pivoting).
Vol. 16: H. P. KOnzi und W. Oettli, Nichtlineare Optimierung: 11,64 Seiten. 1971.
Neuere Verfahren, Bibliographie. IV, 180 Seiten. 1969.
Vol. 46: C. Boucher, Lec;ons sur la theorie des automates ma
Vol. 17: H. Bauer und K. Neumann, Berechnung optimaler Steue thematiques. VIII, 193 pages. 1971.
rungen, Maximumprinzip und dynamische Optimierung. VIII, 188
Vol. 47: H. A. Nour Eldin, Optimierung linearer Regelsysteme
Seiten. 1969.
mit quadratischer Zielfunktion. VIII, 163 Seiten. 1971.
Vol. 18: M. Wolff, Optimale Instandhaltungspolitiken in einfachen
Systemen. V, 143 Seiten. 1970. Vol. 48: M. Constam, FORTRAN fOr Anfanger. 2. Auflage. VI,
148 Seiten. 1973.
Vol. 19: L. P. Hyvarinen, Mathematical Modeling for Industrial Pro
Vol. 49: Ch. SchneeweiB, Regelungstechnische stochastische
cesses. VI, 122 pages. 1970.
Optimierungsverfahren. XI, 254 Seiten. 1971.
Vol. 20: G. Uebe, Optimale Fahrplane. IX, 161 Seiten. 1970.
Vol. 50: Unternehmensforschung Heute - Ubersichtsvortrage der
Vol. 21: Th. M. Lieblin~Graphentheorie in Planungs-und Touren ZOricher Tagung von SVOR und DGU, September 1970. Heraus
problemen am Beispiel des stadtlschen StraBendlenstes. IX, gegebe'n von M. Beckmann. IV, 133 Seiten. 1971.
118 Seiten. 1970.
Vol. 51: Digitale Simulation. Herausgegeben von K. Bauknecht
Vol. 22: W. Eichhorn, Theorie der homogenen Produktionsfunk
und W. Nef. IV, 207 Seiten. 1971.
lion. VIII, 119 Seiten. 1970.
Vol. 52: Invariant Imbedding. Proceedings 1970. Edited by R. E.
Vol. 23: A. Ghosal, Some Aspects of Oueueing and Storage
Bellman and E. D. Denman. IV, 148 pages. 1971.
Systems. IV, 93 pages. 1970.
Vol. 24: G. Feichtinger, Lernprozesse in stochastlschen Automaten. Vol. 53: J. RosenmOller, Kooperative Spiele und Markte. III, 152
V, 66 Seiten. 1970. Seiten. 1971.
Vol. 25: R. Henn und O. Opitz, Konsum-und Produktionstheorie I. Vol. 54: C. C. von Weizsacker, Steady State Capital Theory. III,
11,124 Seiten. 1970. 102 pages. 1971.
Vol. 26: D. Hochstadter und G. Uebe, Okonometrische Methoden. Vol. 55: P. A. V. B. Swamy, Statistical Inference iQ Random Coef
XII, 250 Seiten. 1970. ficient Regression Models. VIII, 209 pages. 1971.
Vol. 27: I. H. Mufti, Computational Methods in Optimal Control Vol. 56: Mohamed A. EI-Hodiri, Constrained Extrema. Introduction
Problems. IV, 45 pages. 1970. to the Differentiable Case with Economic Applications. III, 130
Vol. 28: Theoretical Approaches to Non-Numerical Problem Sol pages. 1971.
ving. Edited by R. B. Banerji and M. D. Mesarovic. VI, 466 pages. Vol. 57: E. Freund, Zeitvariable MehrgroBensysteme. VIII, 160 Sei
1970. ten. 1971.
Vol. 29: S. E. Elmaghraby, Some Network Models in Management Vol. 58: P. B. Hagelschuer, Theorie der linearen Dekomposition.
Science. III, 176 pages. 1970. VII, 191 Seiten. 1971.
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Lectu re Notes
in Economics and
Mathematical Systems
Managing Editors: M. Beckmann and H. P. Kunzi
Operations Research
153
Kombinatorische
Entscheidungsprobleme:
Methoden und Anwendungen
Fortbildungskurs des Instituts
fOr Operations Research der ETH ZOrich
Herausgegeben von
Thomas M. Liebling und Max Rossler
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1978
Editorial Board
H. Albach A. V. Balakrishnan M. Beckmann (Managing Editor)
P. Dhrymes J. Green W. Hildenbrand W. Krelle
H. P. Kunzi (Managing Editor) K. Ritter R. Sato H. Schelbert
P. Schonfeld
Managing Editors
Prof. Dr. M. Beckmann Prof. Dr. H. P. Kunzi
Brown University Universitat Zurich
Providence, RI 02912/USA 8090 Zurich/Schweiz
Editors
Thomas M. Liebling
Max Rossler
Institut fUr Operations Research
Eidg. Technische Hochschule Zurich
ETH-Zentrum
CH-8092 Zurich/Switzerland
AMS Subject Classifications (1970): 90C50, 90D45, 90810, 90835,
90ClO,90C35
ISBN-13: 978-3-540-08540-9 e-ISBN-13: 978-3-642-95316-3
DOl: 10.1007/978-3-642-95316-3
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978
2142/3140-543210
VORBEMERKUNG
Bei dieser Ver6ffentlichung handelt es sich urn eine Zusaromen
stellung von Unterlagen fur einen yom Institut fur Operations
Research der ETH Zurich gehaltenen Kurs. Sie sollen einerseits
einen Ueberblick uber die Verfahren zur Behandlung verschie
dener Arten kombinatorischer Entscheidungsprobleme vermitteln
und anderseits durch die Darstellung konkreter Beispiele zu
weiteren Anwendungen anregen.
Neben bewiihrten Methoden werden Aufsiitze neueren Datums, die
noch keinen Eingang in die Lehrbuchliteratur gefunden haben, so
wie unpublizierte Arbeiten zu den vorliegenden Ueberblicksbei
triigen integriert. Entsprechende Literaturangaben gehen aus dem
Text hervor.
Herstellung des Manuskripts: Frau Maria Daniel
Inhaltsverzeichnis
1. Kombinatorische Entscheidungsprobleme: Einfuhrung
Thomas M. Liebling ..•.•••••.•.••••••..••.•.•.•.•.......•...
2. Optimierungsprobleme mit polynomial begrenzten Algorithmen
(P-Probleme)
Hansj6rg Benninger und Thomas M. Liebling ....•......•.•.... 14
3. Fallstudie 1: Optimaler Fahrplan fur eine Privatbahn
Jurg Mayer ...•...•..•.•••.•.•..•.....•.•.•................. 56
4. Fallstudie 2: Optimaler Einsatz eines betriebseigenen
Stra~entransportsystems
Jurg Mayer ........•••.•...••..•.•.•.•••.•••..•......•...... 63
5. Fallstudie 3: Maschinelle Berechnung von Fahrdistanzen
Walter Altherr und Jurg Mayer .••.•.•.....•................. 70
6. Optimierungsprobleme mit nicht polynomial begrenzten Algorithmen
(NP-Probleme)
Francisco Benito und Heinz Gr6flin ...•.........•.•.....•.•. 81
7. Interessenkonflikte
Max R6ssler ..•...........••....•.........•..•...•.....•...• 122
8. Optimierung und Aufteilung der Kosten regionaler Abwasser
verbande
Andres Polymeris •••.•....•..•.••.•...•....•.........•...... 151
9. Datenstrukturen
J6rg Waldvogel .•.......•.••......•.•.........•.•........... 170
10. Eckpunktbestimmung konvexer Polyeder
Walter Altherr .•............•.•....•.•••...•.•.•.......•.•. 184
11. Cluster-Analyse
Max R6ssler •••...••.•.•••••.•.•••....•.••.............•...• 196
AUTORENVERZElCHNIS
aus dem lnstitut fUr Operations Research der ETH Zurich:
W. Altherr, dipl. Math. ETH
Dr. F. Benito
H. Benninger, dip!. lng. ETH
Dr. H. Groflin
PD Dr. Th. M. Liebling
Dr. J. Mayer
Prof. Dr. M. Rossler
vom Seminar fUr angewandte Mathematik der ETH Zurich:
Dr. J. Waldvogel
KOMBINATORISCHE ENTSCHEIDUNGSPROBLEME: EINFUEHRUNG
Th. M. Liebling
Sehr haufig sieht man sich in der Technik, der Politik, der Wirtschaft, aber
auch im Alltagsleben vor kombinatorische Entscheidungsprobleme gestellt.
Grundsatzlich handelt es sich dabei jeweils darum, eine Variante auszuwahlen,
die sich ihrerseits aus einer endlichen Anzahl von Teilentscheidungen - typi
scherweise Ja/nein-Entscheiden - zusammensetzen kann.
Liegt eine eindeutige Bewertung der zur Wahl stehenden Varianten vor, so steht
man vor einem Optimierungsproblem und die Auswahl bietet keine konzeptuellen
Schwierigkeiten. Sind hingegen verschiedene Interessen im Spiel, so gilt es zu
nachst, die resultierenden Konflikte zu erkennen und sie anschliessend so zu lasen,
dass eine akzeptable Kompromissvariante entsteht. Derartige Interessen kannen
etwa in Form von - manchmal inkommensurablen - Bewertungen der Varianten
durch die verschiedenen involvierten Instanzen zum Ausdruck kommen oder lassen
sich als Forderungen an die Varianten beschreiben. 1m allgemeinen wird beides
vorkommen, ohne immer explizite genannt zu werden, und der Entscheidungspro
zess wird schliesslich eine mehr oder weniger befriedigende Lasung hervorbringen.
Eine der grossen dabei auftretenden Schwierigkeiten ergibt sich durch die meist
astronomische Anzahl prinzipiell zur Verfiigung stehender Varianten, deren
exhaustive Prufung dann selbst mit modernsten Rechenanlagen undenkbar wird.
Die Bewaltigung dieser Schwierigkeit mit geeigneten Hilfsmitteln ist nebst der
Angabe von mathematischen Formulierungsmaglichkeiten Hauptthema des vor
liegenden Kurses.
Als Einfiihrungsbeispiel sei ein von Gale und Shapley formuliertes und gelastes
Problem beschrieben. Es solI sowohl die Austragung von Interessenkonflikten
wie auch die Vermeidung der sog. kombinatorischen Explosion illustrieren.
Das Hochzeitenproblem von Gale und Shapley: In einer aus n Mannern und n Frauen
bestehenden Gemeinschaft weiss jedes Mitglied, welche Person des anderen
Geschlechts es am liebsten, zweitliebsten, usw. als Partner hatte. Dies wird
- 1. 2 -
bei der Partnerwahl i. a. zu Interessenkonflikten fuhren, die es durch eine
moglichst gute Paarbildung zu 16sen gilt. Wann werden Interessenkonflikte be
seitigt und was heisst moglichst gut? Nicht wunschenswert ist bestimmt eine
im folgenden Sinne instabile Paarbildung: es gibt einen Mann und eine Frau,
welche einander den ihnen zugewiesenen Partnern vorziehen und daher geneigt
sind, diese zu verlassen.
Gale und Shapley zeigen nun eine Moglichkeit der Paarbildung auf, die nicht nur
im obigen Sinne stabil ist, sondern zudem "Mann-optimal", d. h. jeder Mann
erhalt die fUr ihn bestmogliche Wahl unter allen stabilen Paarbildungen.
Die Mann-optimale stabile Paarbildung wird folgendermassen ermittelt: Zunachst
macht jeder Mann der von ihm bevorzugten Frau einen Antrag. Darauf merkt
sich jede Frau, die mindestens einen Antrag erhalten hat, den von ihr darunter
bevorzugten Mann vor und lehnt aIle anderen definitiv ab.
Nun machen die zuruckgewiesenen Manner den an zweiter Stelle ihrer Praferenzen
liste stehenden Frauen ihre Aufwartung, worauf sich die Frauen den von ihnen
darunter bevorzugten Mann (inkl. denjenigen der letzten Runde) vormerken und
aile anderen zuruckweisen ... uSW. ... Solcherart wiederholt man Antrage und
Vormerkungen, bis jede Frau einen Antrag erhalten hat. Dies muss nach
spates tens n 2 -2n + 2 solcher Phasen eingetreten sein, da, solange irgend eine
Frau ausgelassen wurde, stets neue Antrage und Abweisungen vorkommen wer-
den und kein Mann derselben Frau mehr als einen Antrag macht. Nun liegt die
gesuchte Losung vor, wie man leicht zeigen kann.
Nicht immer lassen sich bei allgemeinen Entscheidungsproblemen stabile Losun
gen von Interessenkonflikten finden und schon gar nicht mit einem im Vergleich
zur moglichen Variantenzahl (im vorliegenden Beispiel sind es n! ) sehr geringen
Aufwand. Beide Fragestellungen sind Gegenstand intensiver Forschung.
Lassen sich die einzelnen zur Auswahl stehenden Losungen eines kombinatori
schen Entscheidungsproblems vollstandig ordnen (d. h. durch eine Zahl bewerten),
so spricht man von einem kombinatorischen Optimierungsproblem (KO-Problem),
wobei es gilt, die wertvollste Variante zu eruieren. Als Gegenstuck zum Hoch
zeitenproblem von Gale und Shapley, das kein KO-Problem darstellt,
genauer, ein KO-Problem mit vielen Zielfunktionen, sei hier das gewohnliche
2
- 1. 3 -
Zuordnungsproblem genannt. Statt mit Mannern und Frauen sei es durch n Arbei
ten und n Arbeiter illustriert, wobei eine Zuordnung von Arbeit i zu Arbeiter j
den Wert c .. hat. Gesucht ist eine Zuordnung aller Arbeiten zu Arbeitern, so
lJ
dass der Gesamtwert maximal ist. Dieses Optimierungsproblem besitzt eben-
falls n! Losungen, und es existieren Verfahren, so die sog. ungarische Methode
von Kuhn, welche die optimale Losung mit polynomialem Rechenaufwand zu er
mitteln gestatten.
Die Aufgabe lasst sich mit Hilfe eines sog. bipartiten Graphen veranschaulichen.
Arbeiten
c ..
lJ
Arbeiter
Abb.1: Vollstandiger bipartiter Graph G = (S, T, E): Knotenmengen S (Arbeiten),
--- T (Arbeiter). Kantenmenge E; nur Knoten aus verschiedenen Mengen sind
verbunden.
Eine Zuordnung ist eine Kantenwahl, so dass jeder Knoten von genau
einer Kante bertihrt wird. (In der Zeichnung Z. B. die stark ausgezogenen
Kanten. )
Die Aufgabe lasst sich als ganzzahliges lineares Programm formulieren:
Sei =! 1: Arbeit i wird Arbeiter j zugeordnet
xij 0: sonst
I(xij: i E S} = 1: JET ( I)
I (xij: JET) = 1: iES ( 2)
xijE [0,1} i ES, JET ( 3)
z= I(c .. x .. : iES, JET} = max! (4)
lJ lJ
3
Ersetzt man (3) durch Nicht-NegativWitsbedingungen x .. ~ 0, i ES, JET, so ent-
IJ
steht ein gewohnliches lineares Programm, das jedoch automatisch ganzzahlige
Optimal-Basislosungen liefert. Diese und noch weitere besondere Eigenschaften
machen das gewohnliche Zuordnungsproblem zu einem sog. gu tartigen kombinato
rischen Optimierungsproblem.
Solche gutartigen Probleme werden als P-Probleme bezeichnet. Zu ihrer Losung
existieren namlich Algorithmen, deren Rechenaufwand hochstens polynomial in
der Grosse des zur Speicherung der geeignet kodierten Problemdaten anwachst.
Algorithmen dieser Art sollen polynomial genannt werden.
1m Gegensatz dazu gibt es die nicht gutartigen kombinatorischen Optimierungs
probleme. Es sind Aufgaben, wofUr noch keine polynomialen Algorithmen bekannt
sind. Eine grosse Klasse solcher Aufgaben, namlich die sog. NP-vollstandigen
Probleme, lassen sich mit polynomialen Algorithmen ineinander tiberftihren,
woraus folgt, dass, falls man eines davon polynomial 15sen kann, man auch aIle
anderen polynomial losen kann. Erstes Beispiel solcher Probleme ist das sog.
quadratische Zuordnungsproblem. Es handelt sich dabei urn ein Zuordnungspro
blem, definiert durch die Bedingungen (1), (2) und (3), wobei man statt (4) die
quadratische Zielfunktion
(5)
maximieren will.
Eine Anwendung des quadratischen Zuordnungsproblems ist z. B. das Lay-Out
Problem in einer Werkhalle. Man denke sich n Maschinen und n mogliche Stand
orte daftir. Die Koeffizienten cijk e geben den durch die Standortwahl j ftir
Maschine i und e fUr Maschine j dargestellten Wert an.
Es sind bis jetzt ein Beispiel eines "gutartigen" Interessenkonflikts, eines poly
nomial losbaren und eines bis jetzt noch nicht polynomial losbaren Optimierungs
problems gegeben worden. Was unterscheidet denn die gutartigen von den bos
artigen Problemen? Diese Frage, von Edmonds aufgeworfen, entfachte eine
rege Forschungstatigkeit und ftihrte zur bahnbrechenden Arbeit von Karp, worin
eine ganze Sammlung NP-vollstandiger Probleme identifiziert wird. Neuere
Arbeiten erganzen diese Sammlung und machen die Entdeckung eines polynomia-
4
