Kleines 1x1 der Relativitätstheorie: Einsteins Physik mit Mathematik der Mittelstufe

369 Pages·2009·6.12 MB·German

by  Elvira Krusch

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Kleines 1 1 der Relativita¨tstheorie
Princeton,4.5.1936
LiebeNachwelt!
Wenn ihr nicht gerechter, friedlicher und u¨berhaupt vernu¨nftiger sein
werdet,alswirsind,bezw.gewesensind,sosolleuchderTeufelholen.
DiesenfrommenWunschmitallerHochachtunggea¨usserthabendbinich
euer(ehemaliger)
gez.AlbertEinstein
·
Gottfried Beyvers Elvira Krusch
×
Kleines 1 1 der
Relativita¨tstheorie
Einsteins Physik mit Mathematik der
Mittelstufe
2. Auflage
Dr.GottfriedBeyvers
Dr.ElviraKrusch
http://www.1x1relativitaet.de
[email protected]
1.AuflageerschienenbeiBooksonDemandGmbH,Norderstedt,2007
ISBN:978-3-540-85201-8 e-ISBN:978-3-540-85202-5
DOI:10.1007/978-3-540-85202-5
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(cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2009
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mannbenutztwerdendu¨rften.
Einbandgestaltung:eStudioCalamarS.L.,F.Steinen-Broo,Girona,Spain;DesigndesHintergrundmu-
stersvonDipl.-Ing.KlaudiusKrusch
Gedrucktaufsa¨urefreiemPapier
9 8 7 6 5 4 3 2 1
springer.com
Vorwort
WennSiegernewissenmo¨chten,
• wasesmitdemZwillingsparadoxonaufsichhat,
• woherdasGoldbzw.SilberIhresRingesoderKettchensletztlichstammt,
• warumessovielEisenaufderErdegibt,
• warum Uhren in den Bayerischen Alpen tatsa¨chlich anders laufen als in
Berlin,
• wiederHimmelimInnereneinesSchwarzenLochsaussieht
• undvielesanderemehr,
und bereit sind, einige human dargebotene Rechnungen nachzuvollziehen,
dannsolltenSieaufjedenFallweiterlesen!
Das Grundgeru¨st dieses leichtversta¨ndlichen Textes zu den Relati-
vita¨tstheorienentstandinseinerUrformzuna¨chstalsStrukturierungshilfefu¨r
dieAutorenselbst,wa¨hrendsieihreerstenBu¨cheru¨berEinsteinsWerklasen.
MitjederweiterenausgewertetenLiteraturquellestiegderSeitenumfangan,
wiederholtundkonsequentwurdedabeiunanschaulichesMaterialverworfen
undanschaulichereseingearbeitet.DasErgebnisdervielja¨hrigenBescha¨fti-
gung mit dieser Thematik ist die vorliegende Einfu¨hrung mit ihren leicht
nachvollziehbarenFormelherleitungen.
Hauptziel dieser Schrift ist es, den Leser unter Anwendung einfacher
Schulmathematik an die Spezielle Relativita¨tstheorie hinzufu¨hren (Kapitel
1)undihmersteEinblickeindieAllgemeineRelativita¨tstheoriezugewa¨hren
(Kapitel 2). Diese Theorien sind keine weltfremden Ideenkonstrukte, son-
dern za¨hlen immerhin zu den Grundpfeilern des heutigen Weltbildes und
vieler moderner Wissenschaftszweige, u.a. der Theoretischen Physik, der
Teilchenphysik,derAstrophysikundderKosmologie;außerdemistdieSpe-
zielle Relativita¨tstheorie eines der Standbeine der relativistischen Quanten-
mechanik.AuchbeiverschiedenentechnischenAnwendungensinddieRela-
tivita¨tstheorienzunehmendimSpiel,z.B.beiderKernenergieerzeugung,der
v
vi Vorwort
Strahlentherapie, der Geoda¨sie, den satellitengestu¨tzten Navigationssyste-
men(GPSundNachfolgesysteme)etc.
Der Wunsch nach einem Versta¨ndnis von Einsteins Theorien ist unter
naturwissenschaftlich Interessierten sehr weit verbreitet und bleibt doch
meist unerfu¨llt. Mit ein Grund dafu¨r ist, daß manche Texte zu sehr an der
Oberfla¨che bleiben, andere nur wortreiche Umschreibungen von im Kern
mathematischeinfachdarstellbarenZusammenha¨ngenliefern,wiederande-
rehingegendenLesermitvielenzuknapperla¨utertenFormelnu¨berfordern.
HierwirdnuneinMittelwegversucht:MitSchulmathematiketwaaufMittel-
stufenniveau, mit einga¨ngigen Gedankenexperimenten, mit treffenden Ana-
logienundnurdasWesentlichezeigendenAbbildungenwerdendiewichtig-
stenAspektederRelativita¨tstheorienversta¨ndlichdargestellt.
DerSpeziellenTheoriewirddieersteHa¨lftedesBuchesgewidmet,nicht
weil sie zeitlich gesehen zuerst entstanden ist, sondern weil sie sehr viel
leichter als die Allgemeine Theorie zu verstehen ist, ja sogar mit der hier
verwendeten kleinen Schulalgebra“ fast vollsta¨ndig durchdrungen wer-
”
den kann. Lediglich die Abschnitte 1.10 und 1.14 enthalten wenige einfa-
cheAnwendungenderWinkelfunktionen;dieseRechenschritteko¨nnenaber
auchohneNachteilfu¨rdasGesamtversta¨ndnisdesTextesu¨bersprungenwer-
den. Fu¨r eingefleischte Mathematikabstinenzler bietet der Abschnitt 1.17,
derauchunabha¨ngigvomRestdesBuchesgelesenwerdenkann,einealter-
nativeEinfu¨hrungindieSpezielleRelativita¨tstheorie,dieganzohneFormeln
zubewa¨ltigenist.
Auch die Textpassagen der u¨brigen Abschnitte sind meist so ausfu¨hrlich
gehalten, daß sogar Leser, die einen großen Bogen um sa¨mtliche Gleichun-
gen machen, immer noch einen ausreichenden Eindruck von den Theorien
bekommendu¨rften.NebenderErarbeitungvoninteressantenFormelnkom-
men na¨mlich Erkla¨rungen der Zusammenha¨nge und Hinweise auf astrono-
mische Bezu¨ge nicht zu kurz. Gerade am Beispiel der Schwarzen Lo¨cher
(Kapitel 3) wird deutlich, wie sehr insbesondere die Allgemeine Relati-
vita¨tstheorie das heutige Weltbild der Astrophysik beeinflußt. Zur Abrun-
dung schließt der Text mit Kapitel 4 u¨ber die verschiedenen Arten von
Rotverschiebung einschließlich einigen wichtigen kosmologischen U¨berle-
gungen.DieindenverschiedenenAbschnittenbeispielhafterwa¨hntenTypen
vonHimmelsko¨rpernwerdenimAnhangAzusammenfassendbeschrieben.
Die Fachleute aus der Theoretischen Physik mo¨gen den Autoren eini-
geVereinfachungenverzeihen;dieerscho¨pfendeDiskussionallerUmsta¨nde
fu¨r stets lu¨ckenlose Beweisfu¨hrungen wu¨rde viele Einsteiger vom Wesent-
lichen ablenken. Einige Herleitungen mu¨ssen außerdem auf quasinewton-
”
sche“Weiseerfolgen(v.a.Kapitel2).
Beisorgfa¨ltigem,ggf.wiederholtemStudiumallerAbschnitteindervor-
liegendenReihenfolgesolltewirklichjedeminteressiertenLeserderZugang
Vorwort vii
zu dieser Materie gelingen. Aber auch jemand, der evtl. nur einen Teil
des Textes nachvollziehen kann, mag dies als fu¨r sich gewinnbringend
empfinden. In diesem Sinne wu¨nschen die Autoren viel Erfolg, zahlreiche
Aha-ErlebnisseundvorallemFreudebeiderEntdeckungsreisedurchdieses
immerwiederfaszinierendeWissensgebiet.
Ergoldsbach,Mu¨nchen,2008
Dr.G.Beyvers Dipl.-Phys.Dr.E.Krusch
Hinweise:
AusPlatzgru¨ndenwerdenWo¨rterwie Leser“, Beobachter“, Astronaut“
” ” ”
etc.nurinma¨nnlicherFormverwendet.DieAutorenbittendarum,diesnicht
alsVernachla¨ssigungdesweiblichenGeschlechtsaufzufassen.DasInteresse
auchallerLeserinnenistausdru¨cklichwillkommen.
DiesogenanntealteRechtschreibungistinvielenPunkteneindeutigerals
die durch die Rechtschreibreform verordnete Schreibweise. Sie eignet sich
daher wesentlich besser zur Vermittlung des vorliegenden Stoffes und wird
imgesamtenTextverwendet.
Danksagung
Biszuseinemvielzufru¨henTodhatunsHerrPriv.-Doz.Dr.HartmutSchulz
bei der Ausarbeitung des Textes geduldig und selbstlos unterstu¨tzt. Mit sei-
ner herausragenden Fachkompetenz hat er entscheidend zur Verbesserung
desManuskriptsbeigetragen.Warummu¨ssensogroßartigeMenschendiese
Weltoftzufru¨hverlassen?
Dank gebu¨hrt auch Herrn Prof. Dr. Wolfhard Schlosser und Herrn
Priv.-Doz.Dr.Jo¨rgFrauendienerfu¨rdiekritischeDurchsichtdesTextes.
Fu¨r einige Verbesserungsvorschla¨ge bedanken wir uns ferner bei Frau
Dr.MarianneKupfer,beiHerrnDiplomphysikerDr.AlexanderUnzicker,bei
HerrnDipl.-Ing.KlausMischkeundbeiHerrncand.rer.nat.StefanGeier.
Die Abbildungen und den Computer-Satz hat Herr Dipl.-Ing. Klaudi-
us Krusch mit unvergleichlicher Genauigkeit angefertigt. Auch fu¨r die
Umschlaggestaltung und die Erstellung der Homepage danken wir ihm
herzlich.
AlshilfreichempfandenwirnichtzuletztauchdenServicedesSpringer-
Verlages.
Hinweise fu¨r Lehrer und Fortgeschrittene
Es mag einerseits vermessen erscheinen, Mittelstufenschu¨lern rotierende
Schwarze Lo¨cher oder die kosmologische Rotverschiebung nahebringen
zu wollen. Andererseits werden solche Pha¨nomene gerade auch in vielen
popula¨ren Medien aufgegriffen − leider zu oft in unsachgema¨ßer Weise.
Deshalb schien es den Autoren wu¨nschenswert, als Gegengewicht hierzu
eine etwas sachlichere Darstellung zu schaffen, ohne jedoch die Faszinati-
on der Thematik verloren gehen zu lassen. Der Leser muß natu¨rlich mehr
Zeit,KonzentrationundMu¨heinvestierenalsbeimKonsumleichtererKost:
DasBuchverstehtsichdahervorallemalsArbeitstextfu¨rInteressierte.Der
Schwierigkeitsgrad ist aber strikt der Mittelstufenmathematik und -physik
angepaßt. Etwas komplexere Themen wurden als Anha¨nge aus dem Haupt-
textausgegliedert.
ImGegensatzzumu¨blichenVorgehenerfolgtderEinstiegindieSpezielle
Relativita¨tstheorie(SRT)(Kapitel1)direktu¨berdieEinsteinschenPostulate,
nicht u¨ber den Michelson-Morley-Versuch. Dieser ist zwar fu¨r den Fortge-
schrittenen lehrreich, der Einsteiger gera¨t aber mit den dabei angenomme-
nen Rahmenbedingungen (ruhender A¨ther, variable Lichtgeschwindigkeit)
allzuleicht zuna¨chst aufs falsche Gleis“; und das Dilemma der Physik vor
”
Einsteinla¨ßtsichaucheinfacheraufzeigen.DieRechenschrittedesVersuchs
lerntderLesertrotzdemkennen:inAbschnitt1.5(Raumkontraktion),jedoch
gleichunterderrichtigenDevise:Invarianzvonc.
Fast alle Formelherleitungen beginnen mit einem Gedankenexperiment,
obwohl die meisten Beziehungen der SRT auch direkt aus der Lorentz-
Transformation ableitbar wa¨ren. Fu¨r den Anfa¨nger ist es aber viel anschau-
licher, wenn er jeweils mit einem Gedankenexperiment starten kann und
sieht, wie daraus dann Gleichungen entwickelt werden. Auch die Lorentz-
Transformation selbst wird mit einem Gedankenexperiment erarbeitet, da
der u¨bliche Weg ( Wir nehmen folgenden linearen Ansatz...“) fu¨r den Neu-
”
ling wenig durchsichtig ist. Einige Gleichungsumformungen, die nur Platz
eingenommen ha¨tten, ohne den Leser neue Prinzipien zu lehren, wurden
ix
x Hinweisefu¨rLehrerundFortgeschrittene
weggelassen.Gleichesgiltfu¨r Pru¨fungsaufgaben“,diesewu¨rdenvieleEin-
”
steiger doch nur frustrieren. Enthalten sind aber einige Beispielrechnungen
undvieleHinweise,diedenLeserzumSelberrechnenanregensollen.
DieAllgemeineRelativita¨tstheorie(ART)(Kapitel2)unddieSchwarzen
Lo¨cher (Kapitel 3) ko¨nnen hier naturgema¨ß nur beschreibend erkla¨rt wer-
den,oftmittelsAnalogien.Letzterewerdenabernurdorteingesetzt,wosie
physikalischgerechtfertigtsind.
In Kapitel 4 werden kosmologische Zusammenha¨nge (bereits unter
Beru¨cksichtigungdesaktuellenWeltmodells)auseinerzumTeilungewohn-
ten Perspektive geschildert, die aber doch wissenschaftlich abgesichert ist
(vgl. z.B. Publications of the Astronomical Society of Australia 2004, 21,
97-109).
Das Literaturverzeichnis ist nicht als Empfehlungsliste anzusehen, son-
dern als Zusammenstellung der verwendeten Quellen. Literaturempfehlun-
gensindaufdiesemGebieteinschwierigesUnterfangen,daderNutzeneines
bestimmten Werkes ganz empfindlich von den Mathematikkenntnissen des
Lesersabha¨ngt.EinVersuchseidennochgewagt:
• Fu¨rdieSRTkann EineFormelvera¨ndertdieWelt“vonH.Fritzschemp-
”
fohlen werden; leicht zu lesen ist auch Spacetime Physics“ von Taylor
”
undWheeler.
• Einfache, aber doch korrekte Darstellungen der ART sind leider extrem
du¨nn gesa¨t. Empfohlen werden kann Exploring Black Holes“ von Tay-
”
lorundWheeler;GrundkenntnissederDifferential-undIntegralrechnung
sindaberhierfu¨rno¨tig.
• Fu¨r kosmologisch Interessierte ist Cosmology“ (2. Auflage, 2000) von
”
E.R.HarrisondasNonplusultra.
Fu¨rwen,außerdemschonerwa¨hntenMittelstufenschu¨ler,istdasBuchsonst
nochgeeignet?
Eventuell auch fu¨r den hochmotivierten Hauptschu¨ler und fu¨r jedermann
mitausreichendenAlgebra-Kenntnissen.Vielleichtko¨nnenaucheinigeStu-
dentenderNaturwissenschaftenTeiledesTextesalspropa¨deutischeLektu¨re
nutzen.
Falls den Autoren nach Drucklegung noch Fehler im Text bekannt
werden, erfolgt deren Vero¨ffentlichung unter www.1x1relativitaet.de. Die
Leserko¨nnenihrerseitseventuelleFehlermeldungenandiedortangegebene
E-Mail-Adresserichten.
Verzeichnis der verwendeten Gro¨ßen
und Abku¨rzungen
Verwendete Gro¨ßen
Allgemein:c Lichtgeschwindigkeit
m
imVakuum =2,99792458·108
s
m3
G Gravitationskonstante =6,674·10−11
kg·s2
π KreiszahlPi = 3,1416
h PlanckschesWirkungs-
quantum = 6,6261·10−34J·s
km/s
H Hubble-Konstante = 71±4
0
Mpc
Erde: g Erdfallbeschleunigung,
m
Mittelwert =9,807
s2
R Erdradius,Mittelwert = 6371km
E
M Erdmasse = 5,974·1024kg
E
ρ DichtederLuft
L
kg
(0◦C,1013hPa) = 1,293
m3
Sonne: R RadiusderSonne = 695500km
S
M MassederSonne =1,989·1030kg
S
R(cid:3) Schwarzschild-Radius = 2,954km
S
xi