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Klausurtraining
Technische Mechanik
Klausurtraining
Technische Mechanik
Von Prof. Dr. rer. nat. habil. Heinzjoachim Franeck
Technische Universitat 8ergakademie Freiberg
m
B. G. Teubner Stutt&l!rt . Leipzig· Wiesbaden
Prof. Dr. rer. nat. habil. Heinzjoachim Franeck
Geboren 1930 in G6rlitz/Schlesien. Ab 1950 Studium des Bauingenieurwesens
an der Technischen Hochschule Dresden. Diplom 1956. Von 1956 bis 1959
wissenschaftlicher Assistent an der Bergakademie Freiberg. Promotion 1959.
Von 1959 bis 1969 wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Bergakademie Frei
berg. 1969 Habilitation in Freiberg. Von 1969 bis 1990 Hochschuldozent fOr
Kinematik und Kinetik. 1990 Ernennung zum auBerordentlichen Professor.
1992 Berufung zum Univ.-Professor fOr Festk6rpermechanik an der Techni
schen Universitat Bergakademie Freiberg. 1998 Eintritt in den Ruhestand.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz fOr diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhiiltlich
1. Auflage September 2000
Aile Rechte vorbehalten
© B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2000
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www.teubner.de
Umschlaggestaltung: Peter Pfitz, Stuttgart
ISBN-13: 978-3-519-00261-1 e-ISBN-13:978-3-322-80014-5
001: 10.1007/978-3-322-80014-5
Vorwort
Es ist eine altbekannte Tatsache, daf3 man die Technische Mechanik trotz guter
theoretischer Kenntnisse in erster Linie nur durch "Uben", also durch das Rechnen
von Aufgaben, lernen und begreifen (!) kann. Deshalb laBt der Teubner-Verlag dem
Buch Starthilfe Technische Mechanik nun den Band Klausurtraining Technische
M echanik folgen.
Selbstverstandlich habe ich der Bitte des Verlages, dieses Buch zu schreiben, gern
entsprochen. Schon bei der Arbeit an der Starthilfe Technische Mechanik drangte
es mich an vielen Stellen, das Verstandnis und die Fahigkeit zur Anwendung der
theoretischen Grundlagen der Technischen Mechanik durch praktische Beispiele zu
fOrdern und zu vertiefen. Diesem Anliegen waren damals auf rund einhundert Seiten
naturgema£ enge Grenzen gesetzt. Mit dem neuen Buch kann ich nun den Wunsch
nach ausfUhrlich vorgerechneten Beispielen erfUllen.
Die beiden Biicher Starthilfe Technische Mechanik und Klausurtraining Technische
Mechanik sind unabhangig voneinander lesbar, aber sie erganzen sich: Sowohl die
Gliederung ("Statik starrer Korper", "Statik elastischer Korper", "Kinematik und
Kinetik") als auch die verwendeten Formelzeichen und die Systematik in den Abbil
dungen entsprechen vollkommen einander. Hinsichtlich des Schwierigkeitsgrades der
ausgewahlten Aufgaben habe ich mich - bis auf wenige Ausnahmen - an leichte bis
mittelschwere Klausuraufgaben gehalten. Das ist natiirlich oft Ansichtssache, aber
ich lie£ mich bei der Auswahl der besprochenen Aufgaben von meiner Erfahrung
in den Seminaren und Priifungen zur Technischen Mechanik leiten und hoffe, dem
Studierenden mit den vorgelegten Losungen eine brauchbare und niitzliche Hilfe bei
der Klausurvorbereitung in die Hand zu geben.
Mein Dank gebiihrt den Darnen und Herren der Arbeitsgruppe Mechanik des Instituts
fUr Technische Mechanik und Maschinenelemente der TU Bergakademie Freiberg,
aus deren Sammlung viele Aufgaben und Losungen stammen. Ich danke Frau
Brigitte Kolsch fUr die sorgfci.ltige Herstellung der Abbildungen und Herrn Dr.-lng.
Hans Wulf fUr seine sachkundige und einsatzfreudige Unterstiitzung bei der Losung
programmierungstechnischer Probleme. Meinen besonderen Dank spreche ich dem
Verlag B.G. Teubner Stuttgart· Leipzig fUr die Anregung zu diesem Buch und Herrn
Jiirgen Weill fUr die freundliche und auBerst entgegenkommende Zusammenarbeit
aus.
Freiberg/Dresden, im Februar 2000 Heinzjoachim Franeck
Inhalt
Einfiihrung 9
Statik starrer Korper 11
1 Resultierende ebener Kriiftegruppen 11
2 Linienkriifte . . 16
3 Schwerpunkte . 20
3.1 Schwerpunkte von Flii.chen . 20
3.2 Schwerpunkte von Linien 23
4 Ebene Tragwerke. . . . . . . 24
4.1 Stiitzgrofien ebener Tragwerke . 24
4.2 DreigelenkbOgen 27
4.3 Gerber-Trager . 33
5 Ebene Fachwerke . 38
6 Schnittkriifte und Schnittmomente 44
6.1 Differentialbeziehungen 44
6.2 SchnittgroBenschaubilder . 47
7 Bewegungswiderstiinde . 54
7.1 Haftung .. 54
7.2 Seilreibung ...... 57
8 Schwach gekriimmte Seilkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58
Statik elastischer Korper 63
9 Zugbeanspruchung.. 63
10 Biegebeanspruchung 65
10.1 Flachenmomente 2. Grades 65
10.2 Spannungszustand . . 72
10.3 Verschiebungszustand 76
11 Torsion . . . . . . . . . . . 84
8 Inhalt
12 Formfulderungen . . . . . . . . . . . . . 86
12.1 Verfahren von Castigliano ..... . 86
12.2 Verfabren von Mobr/Miiller-Breslau 87
13 Festigkeitshypothesen. 95
14 Knicken ........ . 96
Kinematik und Kinetik 101
15 Kinematik der Punktmasse . 101
16 Kinetik der Punktmasse . . .106
16.1 Dynamisches Grundgesetz, Impulssatz 106
16.2 Arbeitssatz, Leistung. . . . . . . . . . 111
16.3 Potentielle Energie, Energieerhaltungssatz 114
17 Kinetik des Punktmassensystems . . . . . . . . . . . . . . .120
17.1 Schwerpunktsatz, Impulssatz, Arbeitssatz,
Energieerhaltungssatz . 120
17.2 Prinzip von D'Alembert .. 127
18 Kinetik des starren Korpers .131
18.1 Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drehimpulssatz . 131
18.2 Arbeitssatz, Energieerhaltungssatz 136
18.3 Prinzip von D'Alembert 140
19 Schwingungen ...... . .144
19.1 Freie ungedampfte Schwingungen . 144
19.2 Freie gedampfte Schwingungen 149
19.3 Erzwungene Schwingungen .. 152
Verwendete Formelzeichen 156
Literatur 159
Register 160
Einfiihrung
Die in diesem Buch vorgestellten Aufgaben und Losungen der Technischen Mechanik
entstammen entweder direkt oder entsprechend modifiziert der Aufgabensammlung
des Instituts fUr Technische Mechanik und Maschinenelemente der TU Bergakademie
Freiberg. Sie erheben nicht den Anspruch, das in den Klausuren der Technischen Me
chanik geforderte Wissen umfassend zu behandeln, da einerseits die zur Verfiigung ste
hende Seitenzahl zu einer Auswahl zwingt, andererseits sich aber auch der Charakter
der "schwierigeren"Aufgaben von Bildungseinrichtung zu Bildungseinrichtung andert,
so daB es keinen gro:6en Lehr- und Lerneffekt hatte,. nur eine bestimmte Sorte kom
plizierterer Klausuraufgaben vorzustellen. Aus diesem Grunde habe ich vorwiegend
Aufgaben gewahlt, die zu den leichteren oder hochstens mittelschweren gezahlt und
mit Hilfe einer auch nicht allzu ausfiihrlichen Formelsammlung gelost werden konnen.
Ihre Beherrschung sollte dann auch eine erfolgreiche Bearbeitung anspruchsvollerer
Probleme ermoglichen. Die Beschrankung auf ein- bzw. zweidimensionale Koordina
tensysteme gehort zu diesem Konzept. (Natfulich wird der Leser manche Darstellung
linden, die den Umfang einer Klausuraufgabe iibersteigt, die aber - wie ich hoffe -
zum allgemeinen Verstandnis beitragt.)
Beziiglich der Gliederung und Einteilung des Stoffes habe ich mich an die Start
hilfe Technische Mechanik [1] gehalten. Ich werde die in diesem Buch verwendeten
Abkiirzungen und Formeln auch hier benutzen. Da man voraussetzen darf, daB bei ei
ner Klausurvorbereitung neb en diesem Trainingsbuch auch eine Vorlesungsnachschrift
und/oder ein bzw. mehrere Lehrbiicher der Technischen Mechanik zur Verfiigung ste
hen, geniigt es meistens, notwendige allgemeine Formelnjedem Aufgabenkomplex nur
einmal voranzustellen.
Erfahrungsgema£ ist es bei der Bearbeitung einer Priifungsaufgabe zunachst erfor
derlich, diese Aufgabe stofflich richtig einzuordnen. Wahrend dies bei einem Fachwerk
oder einer Biegelinie auf der Hand liegt, fant eine Entscheidung bei Kinetik-Aufgaben
schon schwerer (Impulssatz oder Arbeitssatz? Energieerhaltungssatz oder Prinzip von
D'ALEMBERT?). Bei diesen Aufgaben werde ich mich bemiihen, entsprechende Hin
weise zu geben.
Dieses Buch setzt die engagierte Mitarbeit des Lernenden voraus, da Zwischenrech
nungen auf das fiir das Verstandnis Notwendige beschrankt sind. Auch hat es sich
als giinstig erwiesen, Aufgaben zunachst mit allgemeinen Bezeichnungen zu rechnen.
So lassen sich Dimensionspriifungen leichter durchfiihren und damit viele Fehler von
vornherein vermeiden. Dariiber hinaus ist es mitunter vorteilhaft, im Gegensatz zur
sonst iiblichen Beschrankung auf ein vernunjtiges ingenieurgemiifles Ergebnis auch
einmal mehr Stellen im Zahlenergebnis "mitzunehmen", da dann eventuell mogliche
Proben exakter erfiillt sind und somit das Vertrauen in die Losung gestarkt wird.
(Natiirlich ist es sinnlos, zum Beispiel eine Durchbiegung auf 1/1000 cm anzugeben.)
H. Franeck, Klausurtraining Technische Mechanik
© B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2000
10 Einflihrung
Abbildungen sind nur als Strichskizzen dargestellt (so schOn anzusehen und verst and
nisfOrdernd die in manchen Lehrbiichern zu findenden "realitatsnahen" Bilder auch
sind). Dem Leser werden dafiir aber bei einer Reihe von Aufgaben verschiedene
Losungswege angeboten, urn ihn zu iiberzeugen, daB ein technisches Ergebnis (zurn
Beispiel die Lage eines Flachenschwerpunktes oder die Wirkungslinie einer resultie
renden Kraft) nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhangen kann. Grafische
Losungen sind in diesem Buch nicht enthalten, da sie kaum noch in den Lehrveran
staltungen der Technischen Mechanik angeboten werden.
Die Vorgehensweise bei der Bearbeitung von Mechanik-Aufgaben lafit sich meistens
in die Losung einzelner Teilaufgaben zerlegen. Auf Grund meiner langjahrigen Lehr
erfahrungen schlage ich folgende Schritte vor:
• Einordnung des Problems in ein bestimmtes Stoffgebiet. Darauf weist bei der
Statik starrer oder elastischer Korper im Allgemeinen die Aufgabenformulierung
hin. Hochstens in der Kinetik sind mitunter Uberlegungen notig.
• Bereitstellung aller erforderlichen Formeln aus einer Formelsammlung, einem
Mechanik-Buch oder einer Vorlesungsnachschrift.
• Klarung, welche Bedeutung die in den Formeln aufgefiihrten GroBen haben, und
Priifung, welche GroBen gegeben und welche gesucht sind.
• Herstellung einer - nicht zu kleinen - iibersichtlichen Skizze, in der aIle not
wendigen GroBen und MaBe enthalten sind.
• Falls erforderlich und nicht in der Aufgabenstellung vorgeschrieben, Wahl eines
giinstig gelegenen Koordinatensystems.
• Durchfiihrung aller erforderlichen Berechnungen mit moglichst allgemeinen Be
zeichnungen. Priifung, ob bei mehreren Unbekannten die Anzahl der hinge
schriebenen Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten iibereinstimmt.
• Kontrolle der Dimensionen in den allgemeinen Ergebnissen.
• Ausflihrung der Zahlenrechnungen und Einschatzung der Losungen auf sinnvolle
GroBenordnungen.
• Kontrolle der Resultate {z. B. mit Hilfe der nicht genutzten Gleichgewichtsbe
dingungen oder auch anderer Rechnungsvarianten}.
AbschlieBend ein kurzer Hinweis: Ich habe mich bemiiht, (auBer in den Abbildungen
aus Platzgriinden) dimensionsbehaftete Zahlen mit einem Komma zu schreiben (also
z. B. 2,0 cm), urn diese GroBen von Faktoren {z. B. der 8 in ql2/8 } zu unterscheiden.
Dies erhOht meines Erachtens bei Zahlenrechnungen die Ubersicht (auch wenn dann
einmal eine O,OkN als Ergebnis stehen sollte).
Statik starrer Korper
1 Resultierende ebener Kraftegruppen
Aufgabe 1.1: Fiir die gegebene Kriiftegruppe sind GroBe und Lage der resultierenden
Kraft zu bestimmen (Abb. 1.1.1).
y
rTt" I' F
-------- --_.-t ~
IlL
E F I --....
~ 211 I /'1
11/
r-------c r----J IA II
z ___________ --f-J F2x x
F, Fl1
O,8m 02m O,8m 02m
Abbildung 1.1.1: Ebene Kriiftegruppe Abbildung 1.1.2: Koordinatensystem 1
FI = 100,0 kN,
F2 = 600,0 kN,
F3 = 120,0 kN
Die zur Losung dieser Aufgabe benotigten Beziehungen zur Ermittlung von GroBe
und Lage der Resultierenden der ebenen allgemeinen K riijtegruppe lauten:
n n n n
F&J = 2: Fiz = 2: F;, cos ai j FRy 2: Fiy = 2: Fi sinai,
i=1 i=1 i=1 i=1
FR = JFk+F~yj cosaR = F&J/FR j sinaR = FRy/FR,
n FRy MR
CI>MR = 2: (Fiy Xi - Fiz Yi) j Y(X) = --X---
i=1 F&J F&J·
In diesen Gleichungen stehen x- und y-Koordinaten und -Komponenten, so daB
zunachst ein X, y, z-Koordinatensystem festgelegt werden muB. Dessen Wahl ist
natiirlich vollkommen beliebig, aber man wird immer so vorgehen, daB die erforder
lichen Zahlenrechnungen moglichst einfach werden. Wir losen die Aufgabe fur zwei
verschiedene Koordinatensysteme (Abb. 1.1.2 und Abb. 1.1.5).
H. Franeck, Klausurtraining Technische Mechanik
© B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2000
12 1 Resultierende ebener Kraftegruppen
Variante 1:
i Fi Xi Yi ai cosai Sinai Fix Fiy FiyXi FixYi
N m m 0 - - N N Nm Nm
1 100,0 0,8 0,0 270 0,0 -1,0 0,0 -100,0 -80,0 0,0
2 600,0 1,0 0,0 45 0,7071 0,7071 424,3 424,3 424,3 0,0
3 120,0 1,0 0,4 0 1,0 0,0 120,0 0,0 0,0 48,0
E - - - - - - 544,3 324,3 344,3 48,0
Damit folgen die Komponenten und der Betrag der resultierenden Kraft einschlieBlich
ihres Richtungswinkels zu
3 3
Fnx = E Fix = 544,3 N j E Fiy = 324,3N,
i=l i=l
J
Fb + FAy = V544,32 + 324, 32 633, 6N,
Fnx 544,3 . FRy 324,3
FR = 633,6 = 0,8591 j smaR = FR = 633,6 = 0,5118
-+ 30,80 •
Zusammen mit dem resultierenden Moment
3 3 3
E E E
MR = (FiyXi - FixYi) = FiyXi - FixYi = 344,3 - 48,0 = 296,3 Nm
i=l i=l i=l
bildet sie die auf das Koordinatensystem 1 bezogene resultierende Wirkung der gege
benen Kriiftegruppe (Abb. 1.1.3).
y
T
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Abbildung 1.1.3: Resultierende Wirkung
der Kraftegruppe Abbildung 1.1.4: Zentrallinie
