Table Of ContentPOLYGON
JEGYZETTÁR
Csákány Béla
KIS
MATEMATIKAI
SZINTÉZIS
KIS
MATEMATIKAI
SZINTÉZIS
Ez a könyv az Oktatási Minisztérium által kiírt,
Felsőoktatási Pályázatok Irodája által lebonyolított felsőoktatási
tankönyvtámogatási program támogatásával jelent meg
I T A T Á S I
x V L IN IS Z T E R IU M
Csákány Béla
KIS
MATEMATIKAI
SZINTÉZIS
POLYGON
Szeged, 2003
IP®IW(BdDRí jJHBYfMmrÁm
Szerkeszti:
Kurusa Árpád
Lektorálta:
Dr. Hajnal Péter
A MÁT. TUD. KANDIDÁTUSA
ISSN 1417—0590
Kiadja az SZTE BOLYAI INTÉZET
a POLYGON jegyzetsorozataként
Felelős vezető: Kincses János főszerkesztő
Bolyai Intézet
Szeged, Aradi vértanúk tere 1., 6720
e-mail: [email protected]
http: / / www.math. u-szeged.hu / polygon /
©Dr. Csákány Béla, 2003.
Előszó
Az utóbbi évtizedekben legalább ötszáz mai matematikatanár utolsó egye
temi vizsgáját ültem végig figyelmesen, s eközben a vizsgázók temérdek örömet és
bosszúságot szereztek nekem. Most a vizsgáztatást ideje abbahagynom; helyette
megpróbálok magam vizsgázni, remélve, hogy ezzel sokaknak segíthetek.
Ez a könyv tizennyolc fejezetből áll, amelyek kölcsönösen egyértelmű mó
don megfelelnek a szegedi matematikatanár-jelöltek sok év óta szokásos záróvizsga
tételeinek. Ezekhez járul még egy függelék a számfogalom felépítéséről, amelynek
a tartalmát — bár nem vizsgatétel — hasznos is, illik is ismerni. A fejezetek
mindegyike azt a kis előadást tartalmazza, amelyet jómagam tartanék a tekinté
lyes vizsgabizottság előtt az éppen kihúzott vizsgatételről, ha valamely csoda —
vagy rendelet — folytán holnap újból tanári záróvizsgát kellene tennem. Sajátsá
gos lenne a helyzet, s ez magyarázza a könyv furcsaságait, amelyekről a következő
bevezetésben — reményem szerint olvasóim hasznára, de mindenképpen a magam
mentségére — részletesebben is írok. Javasolom is, hogy aki idáig eljutott az olva
sásban, a bevezetést feltétlenül olvassa el, különösen akkor, ha az egész könyvet el
akarja olvasni.
Hálás vagyok záróvizsgáztató kollégáimnak, Csörgő Sándornak, Hajnal Péter
nek, Hatvani Lászlónak, Kincses Jánosnak, Megyesi Lászlónak és Totik Vilmosnak
önzetlen és alapos munkájukért, amellyel a fejezeteket elolvasták, megbírálták és
korrigálták. Hajnal Péter az elkészült teljes kéziratot is végigolvasta, s hosszú lenne
elmondani, milyen jót tettek a szövegnek az ő értő megjegyzései, javaslatai. Mivel
szakkönyv előszavának szokásos eleme a köszönetnyilvánítás, szeretném megismé
telni és aláhúzni, hogy tényleg és nagyon hálás vagyok mindnyájuknak. Speciális
köszönet illeti Juhász Rozáliát, feleségemet, a geometria-tételekről folytatott be
szélgetésekért és az ábrák elkészítéséért. Ha a szövegben mégis maradtak hibák,
az csak az én figyelmetlenségemnek vagy önfejűségemnek tulajdonítható.
Szeged, 2003. június 15-én.
Tartalomjegyzék
Előszó..........................................................................................................................................i
Bevezetés..................................................................................................................................1
1. Kombinatorika.....................................................................................................................5
1.1. Teljes indukció.........................................................................................................5
1.2. Egyszerű összeszámlálási feladatok....................................................................7
1.3. Nevezetes számok....................................................................................................9
1.4. Binomiális tétel és egyebek................................................................................11
1.5. Gráfok.......................................................................................................................12
1.6. Gráfelméleti problémák.......................................................................................15
2. Algebrai egyenletek.........................................................................................................18
2.1. Polinom, polinomgyűrü........................................................................................18
2.2. Az alaptétel és következményei................................................. 22
2.3. Gyökképletek.........................................................................................................24
2.4. Szerkeszthetőség....................................................................................................26
3. Az egész számok.............................................................................................................28
3.1. Oszthatóság.............................................................................................................28
3.2. Az alaptétel.............................................................................................................31
3.3. Prímszámok.............................................................................................................32
3.4. Kongruenciák.........................................................................................................33
3.5. Számelméleti függvények....................................................................................35
4. Csoportok...........................................................................................................................38
4.1. Csoportműveletek.................................................................................................38
4.2. Példák.......................................................................................................................40
4.3. Csoportelméleti alapfogalmak...........................................................................41
4.4. Izomorfia.................................................................................................................45
4.5. Direkt szorzat.........................................................................................................47
5. Lineáris egyenletrendszerek..........................................................................................49
5.1. Egyenletek, egyenletrendszerek.........................................................................49
5.2. Gauss-féle elimináció............................................................................................50
5.3. Determináns...........................................................................................................52
Tartalomjegyzék iii
5.4. Vektoregyenlet, mátrixegyenlet....................................................................55
6. Lineáris algebra..........................................................................................................59
6.1. Vektor, vektortér..............................................................................................59
6.2. Bázis, dimenzió................................................................................................62
6.3. Lineáris leképezések és mátrixok..................................................................65
7. Geometriai transzformációk....................................................................................69
7.1. A síkgeometria axiómarendszere...................................................................69
7.2. Izometriák.........................................................................................................71
7.3. Hasonlóságok és affinitások............................................................................75
7.4. Térizometriák...................................................................................................77
7.5. Kollineációk.......................................................................................................78
8. Analitikus geometria................................................................................................80
8.1. Koordináták bevezetése..................................................................................80
8.2. Vektoralgebra...................................................................................................84
8.3. Alakzatok egyenletei.......................................................................................86
8.4. Baricentrikus koordináták..............................................................................88
8.5. Transzformációk leírása..................................................................................89
9. Nemeuklideszi geometriák.......................................................................................91
9.1. Projektív geometria.........................................................................................91
9.2. A projektív sík koordinátázása.....................................................................94
9.3. Kúpszeletek a projektív geometriában........................................................97
9.4. Az inverzív sík..................................................................................................99
9.5. Hiperbolikus síkgeometria............................................................................101
10. Görbék......................................................................................................................104
10.1. Kúpszeletek.....................................................................................................104
10.2. Bézier-görbék..................................................................................................109
10.3. Térgörbék........................................................................................................112
10.4. Egyebek...........................................................................................................115
11. Sorozatok, sorok....................................................................................................117
11.1. Sorozatok.........................................................................................................117
11.2. Sorok................................................................................................................120
11.3. Hatványsorok, függvénysorok......................................................................121
12. Függvények.............................................................................................................127
12.1. A függvény fogalma.......................................................................................127
12.2. Elemi függvények..........................................................................................129
12.3. Függvény határértéke...................................................................................131
12.4. Függvény grafikonja......................................................................................132
12.5. Folytonosság...................................................................................................133
IV Tartalomjegyzék
13. Differenciálás...........................................................................................................137
13.1. Differenciálhányados.......................................................................................137
13.2. Függvénydiszkusszió......................................................................................142
13.3. Parciális és totális differenciálás..................................................................145
14. Integrálás..................................................................................................................148
14.1. Határozott integrál.................................................................. 148
14.2. Határozatlan integrál.....................................................................................151
14.3. Lebesgue-integrál............................................................................................154
14.4. Többváltozós függvény integrálja................................................................156
15. Mérték........................................................................................................................160
15.1. Jordán-mérték..................................................................................................160
15.2. Terület, térfogat..............................................................................................162
15.3. Lebesgue-mérték..............................................................................................166
15.4. ívhossz, felszín.................................................................................................168
16. Valószínűség.............................................................................................................171
16.1. Valószínűségi kísérlet......................................................................................171
16.2. Valószínűségi mező..........................................................................................172
16.3. A valószínűségi mező általános fogalma.....................................................175
16.4. A nagy számok törvénye...............................................................................178
16.5. Véletlen változók.............................................................................................179
17. Halmazok.................................................................................. 184
17.1. Alapfogalmak...................................................................................................184
17.2. Számosság.........................................................................................................185
17.3. Rendezett halmazok........................................................................................190
17.4. Antinómiák.......................................................................................................192
18. Matematikai logika................................................................................................195
18.1. Nyelvek és struktúrák.....................................................................................195
18.2. ítéletkalkulus....................................................................................................199
18.3. Függvény kalkulus........................................................................... 201
18.4. Egyebek.............................................................................................................203
Számok.............................................................................................................................206
1. Természetes számok.......................................................................................206
2. Egész és racionális számok............................................................................208
3. Valós számok....................................................................................................210
4. Komplex számok.............................................................................................213
Név- és tárgymutató...................................................................................................217
Bevezetés
Elterjedt és nem teljesen alaptalan vélekedés, hogy a matematikához istenadta
tehetség kell. Azokban, akik matematikatanárnak készülnek, ez bizonyára megvan,
hiszen ha nem lettek volna jó feladatmegoldók az iskolában, aligha merték volna ezt
a pályát választani. Hogy ez a sok gyerekben meglévő, és az élet minden területén
kamatoztatható adottság minél előbb kibontakozzék, annak nem elhanyagolható
feltétele — habár nem szükséges és nem is elegendő — hogy a matematikát olyan
tanártól tanulják, aki ki tudja fejleszteni a bennük lappangó tehetséget. Könyvünk
szeretne segíteni abban, hogy erre felkészült tanárok tanítsák a matematikát.
E magas célja mellett van egy földhözragadtabb is: összefoglalni, szintetizálni
az egyetemen hallott matematikai anyagot, hogy a tanárjelölt megfelelően elren
dezett tudás birtokában mehessen el az utolsó egyetemi megmérettetésre, a záró
vizsgára. Ezt a szintézist a hallgató nem kaphatja meg az egyes féléves előadások
során, és nincsenek külön szintetizáló előadások sem. Könyvünk azok számára lesz
a leghasznosabb, akik maguk is megpróbálkoznak a szintézissel, végiggondolják,
miről beszélhetnének a 18 vizsgatétel kapcsán, s utána szembesítik elképzeléseiket
a könyv fejezeteivel. Akinek erre nem jut ereje, vagy ideje, azon a könyv még
mindig segíthet. Persze, többet segít annak, aki nem az utolsó két hétben próbálja
memorizálni a tartalmát, hanem legalábbis a záróvizsga előtti félév során rendsze
resen tanulmányozza. Reménykedem azonban, hogy a könyv még azok számára
is nyújt kapaszkodót, akik csak azért jutottak el a záróvizsgáig, mert a vizsga-
eredmény olyan véletlen változó, amelynek nagy a szórása. Belőlük is válhat jó
matematikatanár.
Bárki megkérdezhetné: hát ennyi az egész, amit egy leendő középiskolai ta
nárnak tudnia kell? Hiszen ezt a kétszáz oldalt „be lehet vágni” tíz nap alatt, aztán
el lehet menni vizsgázni belőle. Attól tartok, hogy ez nem így van. Ez a könyv főleg
azoknak szól, akik a tartalmát, vagy annak legalább 90 százalékát, egyszer vagy
kétszer, kollokviumra vagy szigorlatra készülve részletekben már meggondolták,
megtanulták, aztán, meglehet, nagy részét el is felejtették. De a tudás nem vész
el, csak lapul az agysejtek szövetében. A könyv egyik célja, hogy ezt a rejtőzködő
tudást életre keltse.
2 Bevezetés
Matematika záróvizsgán a diákok nagy többsége — szerencsére — életében
egyszer esik át, ezért az esemény titokzatosnak látszik: mit kell ott tudni, hogyan
zajlik az egész? Néhány gyakran feltett kérdésre itt is válaszolhatunk. Minek a
bizonyítását kérdezhetik a záróvizsgán? Ritka eset, hogy bizonyítást kérdeznek, s
ha igen, akkor is csak olyan egyszerű és alapvető dolgokét, mint pl. azét, hogy
végtelen sok prímszám van. Azt viszont értékelni szokták, ha a vizsgázó nevezetes
összefüggések ismertetésekor, amelyek bizonyításának történetesen létezik egy-két
mondatban összefoglalható alapgondolata, ezeket a mondatokat minden külön ké
rés nélkül elmondja. Ebből baj nem lehet; olyan vizsgáztatóval még nem ültem
együtt, aki erre így reagálna: „Igen? Akkor fejtse csak ki ezt teljes részletesség
gel!”. Az a megjegyzés elképzelhető, hogy „hát erre nem egészen pontosan tetszik
emlékezni... mi a következő dolog, amiről beszélni akar?” Hogy még ez se fordul
jon elő, sok jelentős tétel kimondása után egy-két (de legfeljebb három) mondatban
utalunk a bizonyítás ötletére. Ha egy állításról ebben a könyvben csak annyit ol
vashatunk, hogy „igazolható”, akkor az állítás igazolását komoly vizsgáztató — aki
még világosban szeretne hazaérni — nem fogja kérni.
A matematika egyetemi tananyagban szereplő fejezeteit többféleképpen le
het és szokás tárgyalni. Semmi sem biztosítja, hogy az olvasó tanára ugyanazt a
felépítést használta, mint e könyv szerzője. (Azt sem, hogy ugyanazokat a jelölé
seket használta.) Ne aggódjunk emiatt. Mint Pascal írta Fermatnak, „az igazság
ugyanaz Toulouse-ban, mint Párizsban”; a különböző felépítések'és jelölések mögött
ugyanaz a matematikai igazság áll. Gyakran a kissé különböző definíciók mögött is:
egy kedves kollégám pl. a 0-t természetes számnak tekinti, én meg nem. Ezt sem
egymástól, sem az esetleg más véleményen levő diáktól nem szoktuk rossz néven
venni.
Bizonyos ismereteinket — pl. a vektorokra vonatkozókat — több vizsgaté
tellel kapcsolatban is „bevethetjük”. Ezek egyik-másika könyvünkben is többször
szerepel, néha több oldalról megközelítve.Sok esetben hivatkozunk egy másik vizs
gatételre, amelyben az éppen tárgyalt összefüggés ugyancsak előfordul.
Az általános és középiskolák szokásos matematika-anyagára esetenként mint
iskolai matematikára utalunk. Az „iskolai” jelző nem fejez ki sem lebecsülést, sem
elismerést — azért van rá szükségünk, hogy a záróvizsga anyagának és a leendő
tanár által megtanítandó anyagnak a kapcsolataira rámutassunk. Mindenképpen
célszerű záróvizsga előtt az általános és középiskolai anyagot is feleleveníteni (a
számokra vonatkozó ismereteket pedig a könyv függelékében átnézni — ha valakiről
a záróvizsgán derül ki, hogy nem tud komplex számokkal számolni, reménytelen
azzal védekeznie, hogy „az nem vizsgatétel”). Az iskolai tananyagot illetően a jelen
könyv nem nyújt segítséget; ki-ki szedje elő iskolai tankönyveit. Ugyancsak hasznos
lehet Varga Tamás Matematika című lexikonjának forgatása (Műszaki Könyvkiadó,
