Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 1329
Hemusgegeben
im Auftrage des Ministerprasidenten Dr. Franz Meyers
von Staatssekretar Professor Or. h. c. Dr. E. h. Lea Brandt
DK 621.372.5
Dr.-Ing. Jochen Jess
Institut fur Elektrische Nachrichtentechnik
der Rhein.-Westf Techn. Hochschule Aachen
Direktor : Prof. Dr. Volker Aschoff
Katalog normierter TiefpaBiibertragungsfunktionen
mit Tschebyscheffverhalten der Impulsantwort
und der Dampfung
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
ISBN 978-3-663-06357-5 ISBN 978-3-663-07270-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07270-6
Verlags-Nr. 011329
© 1964 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Urspriinglich erschienen bei Westdeutscher Verlag, Kiiln und Opladen 1964
lnhalt
Verzeichnis der Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Einleitung ..................................................... 9
2. Grundlegende Beziehungen und Erläuterung der Problemstellung ..... 12
2.1 Systemtheoretische Begriffe und Beziehungen .................. 12
2.1.1 Duhamelsches Integral; Sprungfunktion und Übergangsfunktion;
Dirac-StoB und Impulsantwort .............................. 12
2.1.2 Übertragungsfaktor (Übertragungsfunktion) ................... 13
2.2 Eine Kennzahl zur Bewertung impulsformender Filtersysteme; Ver
such, das auftretende Optimierungsproblem durch eine Tscheby-
scheffapproximation zu lösen ................................ 15
2.2.1 Allgemeines ................................................ 15
2.2.2 Kennzahl zur Beurteilung von Impulsformern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Versuch der Optimierung durch eine Tschebyscheffapproximation . 17
3. Hinweise zur Benutzung der Zahlentabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
3.1 Kennzeichnung der Filter ................................... 20
3.2 Übersicht über die im Katalog enthaltenen Filtertypen . . . . . . . . . .. 21
3.2.1 Auswahl bezüglich n und m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
3.2.2 Staffelung der Parameter qt; qt; Ct; Ct. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 21
3.2.3 Gliederung der Tabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
4. Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 Abweichungen vom Prinzip der »optimalen Ausnutzung der Tole-
ranzschranken« ............................................ 25
4.2 Unstetigkeiten im Verlauf der Kurven M = M(qt) und in den Pol-
und Nullstellendiagrammen ................................. 35
4.3 Verzerrungen der Impulsform bei groBen qr ................... 43
4.4 SchluBfolgerungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
5. Zusammenfassung............................................... 48
6. Zahlentabellen .................................................. 51
Literaturverzeichnis ............................... ". .............. ". 139
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Verzeichnis der Forme1zeichen
unabhangige Variabie im Zeitbereich
Integrarionsvariable unter dem Faltungsinregral
Zeitfunktion
Zeitfunktion am Eingang dnes Systems
Zdtfunktion am Ausgang ein~s Systems, wenn es ein
gangsseitig durch Sl(t) erregt wird
8 (t) Sprungfunktion
0
ao(t) Sprunganrwort; Obergangsfunktion dnes Systems
8 (t) Dirac-SroR
1
al(t) Impulsantwort; kennzeichnende Zeitfunktion; Gewichtsfunk
tion dnes Systems
max al Maximum von al (t)
to Dauer dnes Rechteckimpulses
p + i(il komplexe unabhangige Variabie im Frequenzbereich
= <1
S,(p) ~ 2 (..(t)) Laplacetransformierte von Sl(t)
S,(p) ~ 2 (,,(t)) Laplacetransformierte van S2 (t)
A(p) ~ S,(p)
Obenragungsfaktor; Obertragungsfunktion
S,(p)
a. reeUe Koeffizienten des Nennerpolynoms von A(P)
bil reelIe Koeffizienten des zahlerpolynoms von A(p)
f'oo. = 0'«1. + i (iIoov komplexe Pole von A (P)
POll = 0'011 + i WOIl komplexe Nullstellen von A (P)
p«>'; p:'. konjugiert komplexes Polpaar
POll; PÖIl konjugiert komplexes Nullstellenpaar
\I; ft Indizes
n Nennergrad von A(P)
m Zahlergrad oder halber Zahlergrad von A(P)
R. = IR.I . eJ<p" Residuen der Pole von A(p)
<py = arc {R.} Winkel der Residuen
<poov = arc~.} Winkel der Pole von A(p}
poomu = <loomu + jW«Imu »Dominant-Term-Pol« (D.-T. Pol)
qt.; qt; Ct Toleranzgrölkn im Zeitbercich
q'lL; q,; c, Toleranzgrölkn im Frequenzbereich
q,~ kritische Toleranz im Frequenzbereich
w, = 2nf, Grenzfrequenz
ti; t2 Schnittstellen der lmpulsantwort al (t) mit den Toleranz
schranken
7
tg = t2 -tl Impulsdauer; )} Grenzzeit«
M = tg· fg Bewertungskennzahl
P, =c,r +1• WI =cr -+1• C-t)
Wg Wg
Mit der Grenzfrequenz
normierte GröBen
t' = t . fg
t~ = t~ - t~ = t2 . fg - tI . fg
= tg· fg = M
8
1. Einleitung
Die klassische Filtertheorie befaSt sich in ers ter Linie mit der Aufgabe, Filter
schaltungen so zu dimensionieren, daS ein vorgegebener Verlauf der Dämpfung
des Filters optimal appraximiert wird. Hierbei spielt folgende Aufgabe eine
bedeutende Rolle:
Ein Filter so11 so dimensioniert werden, daS in dem für die Obertragung eines
spektral begrenzten Signals vorgesehenen Frequenzbereich, dem DurchlaS
bereich, eine vorgegebene Maximaldämpfung nicht überschritten wird. In dem
dazu komplementären Frequenzbereich, dem Sperrbereich, so11 hingegen eine
ebenfalls vorgegebene Mindestdämpfung garantiert werden. Bei realisierbaren
Filterschaltungen können DurchlaS- und Sperrbereich nicht exakt aneinander
grenzen; vielmehr existiert immer ein Obergangsbereich, in dem die Dämpfung
von dem garantierten Maximalwert im DurchlaSbereich auf den garantierten
Mindestwert im Sperrbereich ansteigt. Die Breite dieses Obergangsbereiches ist
meist ebenfa11s vorgegeben.
Die Optima11ösung dies er Aufgabe wird durch die sogenannten Cauer-Parameter
Filter geliefert. Die Betriebsdämpfung dieser Filter appraximiert den Wert Nu11
im DurchlaSbereich unter Berücksichtigung der vorgegebenen Maximaldämpfung
und die Mindestdämpfung im Sperrbereich im Tschebyscheffschen Sinne. Dabei
wird gleichzeitig die Breite des Obergangsbereiches bei vorgegebenem Aufwand
an Bauelementen minimisiert. Obwohl zur Lösung der ob en skizzierten Aufgabe
eine geschlossene Theorie existiert, ist die Dimensionierung eines Cauer-Para
meter-Filters wegen des groBen Rechenaufwandes problematisch. Daher wurde
eine graSe Menge fertig berechneter, normierter Filter von SAAL [21] in Katalog
form zusammengeste11t.
Damit ist dieser Aufgabenbereich der Filtertheorie im wesentlichen ab
geschlossen.
Mit der Entwicklung der Impulstechnik (Telegrafie, Datenübertragung) ent
standen jedoch weitere Aufgaben der Filterentwicklung. Dies drückte sich zu
nächst darin aus, daS Forderungen auch an die Phase bzw. die Gruppenlaufzeit
der Filter geste11t wurden, abgeleitet aus der Forderung nach verzerrungsfreier
Obertragung einzelner Signaie.
Letztlich wurde auch die Formung »spektral breiter« Impulse (Rechteckimpulse)
zur Obertragung über »spektral begrenzte« Kanäle als Filteraufgabe interpretiert.
Systemtheoretische Oberlegungen führten auf neuartige Forderungen an die
Dämpfung, insbesondere im DurchlaSbereich.
Besondere Schwierigkeiten brachte von Anfang an die einheitliche Beurteilung
impulsformender Filtersysteme mittels einer Kennzahl. Dies liegt vor a11em an
9
durch die erwähnte Tschebyscheffapproximation. Mangels einer geschlossenen
Theorie ist man vorläufig nicht in der Lage, Allgemeingültiges über diese These
zu sagen.
Die Arbeit bringt zunächst einen überblick über die wichtigsten Begriffe und
mathematischen Beziehungen der Systemtheorie. Daran anschlieBend wird das
SCHÜSSLERsche GütemaB für Impulsformer beschrieben. Im Hinblick auf die
Realisierung wird eine Beschränkung der zur Konkurrenz zugelassenen über
tragungsfunktionen vorgenommen. Danach wird die mehrfach erwähnte Tscheby
scheffapproximation näher erläutert.
Ein weiterer Abschnitt ist der Erläuterung der Filterkennzeichnung und der
Gliederung der Zahlentabellen gewidmet, die den Hauptabschnitt der Arbeit
bilden.
SchlieBlich werden die neu angefallenen Ergebnisse diskutiert.
Der Verfasser dankt Herrn Professor Dr.-Ing. VOLKER ASCHOFF, an dessen In
stitut die Arbeit durchgeführt wurde, auBerdem Herrn Dr.-Ing. habi!. WILHELM
SCHÜSSLER, der auf dem hier behandelten Gebiet wertvolle V orarbeiten geleistet
hat. Weiterer Dank gebührt dem Leiter des Rechenzentrums der TH Aachen,
Herrn Professor Dr. HUBERT CREMER, sowie Herrn Dr. HAUPT und vielen Mit
arbeitern des Rechenzentrums für die groBzügige Unterstützung der Arbeit. Der
Verfasser konnte auf die reichhaltige Programmbibliothek des Rechenzentrums
zurückgreifen. Dies bedeutete eine wesentliche Erleichterung der Programmie
rungsarbeiten.
11
2. Grundlegende Beziehungen und Erläuterung
der Problemstellung
2.1 Systemtheoretische Begriffe und Beziehungen
2.1.1 Duhamelsches lntegral,. Sprungfunktion und Übergangsfunktion,. Dirac-Stojf
und lmpulsantwort
Es sollen vierpolige Systeme betrachtet werden mit jeweils einem Eingangs- und
einem Ausgangsklemmenpaar. Die Systeme sollen die Bedingungen der Linearität,
Stabilität und Zeitinvarianz erfüllen1• Die ein System erregende Funktion am
Eingang werde mit SI (t) bezeichnet, die als Reaktion darauf am Ausgang er
scheinende Zeitfunktion mit S2(t). Der Zusammenhang zwischen beiden wird
durch das Duhamelsche Integral2 gegeben:
t
S2(t) = J SI(") a~(t - .. ) d .. + SI(t) . ao( + 0) (2.1)
o
Hierin ist ao(t) die sogenannte »Sprungantwort« oder »Übergangsfunktion« des
Systems. ao(t) entsteht am Ausgang des betrachteten Systems, wenn es am Ein
gang durch die Sprungfunktion Ilo(t) er regt wird. Ilo(t) ist seinerseits definiert
durch
0 fürt<O
Slollo(t) = { (2.2)
SlO für t ;:;;:; 0
SlO ist dimensionsbehaftet und hat die Dimension der physikalischen GröGe, die
den Sprung ausführt (bei einem Spannungssprung z. B. Volt).
+
ao( 0) ist der Grenzwert der Übergangsfunktion, wenn man t von positiven
Werten aus gegen Nulliaufen läGt.
Die Gl. (2.1) läGt sich unter Verwendung des Faltungssymbols auch so schreiben :
(2.3)
Im FalIe a (+ 0) = 0 stellt a~ (t) gleichzeitig die Antwort des Systems dar, wenn
es eingangsseitig durch einen Dirac-StoG III (t) erregt wird. III (t) wird durch die
folgende Gleichung gegeben:
S11lll (t) = lim S11 [Ilo (t) - Ilo (t - to)] (2.4)
to
to~O
1 Dcflnitionen der Linearität, Stabilität und Zeitinvarianz z. B. bei WUNSCl! [2] oder
ABELE [22].
2 Hier ist stillschweigend vorausgesetzt worden, daB alle Zeitvorgänge zu einem Zcit
punkt t =1= - 00 beginnen und daB dieser Zeitpunkt willkürlich als Zeitnullpunkt
gewählt werden kann.
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Sn hat dabei die Dimension der physikalischen GröBe »Impuls« (z. B. bei einem
Spannungsimpuls die Dimension Vs).
Wir schreiben für a~(t) auch al (t). Man nennt diese Funktion im aUgemeinen
»Impulsantwort«, »kennzeichnende Zeitfunktion« oder »Gewichtsfunktion«.
2.1.2 Übertragungsfaktor (Übertragungsfunktion)
Durch Anwendung der Laplacetransformation auf Gl. (2.1) bzw. Gl. (2.3) ge
langt man zu dem Begriff des »Übertragungsfaktors« oder der »Übertragungs
funktion«. Man findet:
E {S2(t)} = E {sI (t)} . [E {a~(t)} + ao( + 0)] (2.5)
oder mit:
E {SI (t)} = Sl(P); E {S2(t)} = S2(P)
E{a~(t)} + ao(+ 0) = A(p)
S2(P) = A(P) . Sl(P) (2.6)
A(P) ist der Übertragungsfaktor des Systems. Wie WUNSCH [22] beweist, darf
man den Übertragungsfaktor unter Anwendung der komplexen Wechselstrom
rechnung aus der Netzwerkkonfiguration zwischen den Eingangs-und Ausgangs
klemmen berechnen. Man erhält so A(j cu), also Real-und Imaginärteil bzw. Betrag
und Phase des Übertragungsfaktors längs der imaginären Achse der komplexen
p-Ebene. A(p) in dem Rest der p-Ebene kann man erhalten, indem man in dem
gefundenen Ausdruck für A(j cu) jcu durch p ersetzt.
1
log . bezeichnet man als die Dämpfung, - arc {A (j cu)} als die Phase
[A(J cu) [
und - d arc{A(j cu)} als die Gruppenlaufzeit des Systems bei der Frequenz cu.
dcu
Die Übertragungsfaktoren von Vierpolen aus idealen SpuIen, Kondensatoren,
Widerständen und Transformatoren sind rationale Funktionen in p mit reeUen
Koeffizienten:
Lm
bIL pIL
A(P) = ::.;..IL_:_O __ (2.7)
L
avpv
v~O
Nach dem Vietaschen Wurzelsatz lassen sich Zähler- und Nennerpolynom in
Linearfaktoren zerlegen:
m
L
(p - POlL)
A (P) = K . IL,-;_l_ __ (2.8)
L
(p - Poov)
v~l
13
