Johdatus laskettavuuteen [lecture notes]

53 Pages·2007·0.466 MB·Finnish

by  Vesa Halava, Tero Harju

JOHDATUS
LASKETTAVUUTEEN
Vesa Halava ja Tero Harju
Matematiikan laitos
Turun yliopisto
Kevät 2007
1 Johdanto
Tällä kurssilla on tarkastella laskettaavuuden teorian perusteita, lähinnä erilaisia malleja
koneille, jotka pystyvät suoriutumaan erilaisista algoritmisistatehtävistä. Näiden koneiden
eli automaattien rakenne, erityisesti muistin koko, on ratkaisevaa niiden kyvylle ratkaista
ongelmia.Laskettavuudenteoriapuolestaankartoittaaongelmaa,mitkätehtävät ovat peri-
aatteessaalgoritmisestiratkaistavissa.LaskettavuudenteorianperuspilarionTuringinkone
(automaatti sekin), joka on algoritmin käsitteen formaalinen vastike.
Aakkosto ja sanat
Σ w =
Aakkosto on jokin äärellinen epätyhjä joukko symboleja eli kirjaimia. Jono
a a ...a a ∈Σ Σ
1 2 n i
näitäkirjaimia( )onaakkoston sana.Merkitäänkaikkiensanojenjouk-
Σ∗ u·v =uv
koa :llä, jossa on määritelty sanojen tulo (eli yhdistäminen, katenaatio), .
Huomaa, että jokainen kirjain on myös sana.
w = a a ...a a ∈ Σ |w| = n
1 2 n i
Sanan ( ) pituus on . Erityisesti, tyhjä sana, jota
ε Σ∗
merkitään symbolilla ja jossa ei ole yhtään kirjainta, kuuluu joukkoon . Näin ollen
|ε|=0 w∈Σ∗ w·ε=w =ε·w
, ja kaikille sanoille on voimassa .
Esim. 1.1 Ohjelmoitaessa esimerkiksi PASCAL-kielellä aakkostona on tavallinen kirjoi-
A,B,...,a,b,... (,),[,],...
tusaakkosto,jonkakirjaiminaovat sekä .Aakkostonsuuruuson
noin 80 symbolia. Mukana on myös sananväli, joka ei ole tyhjä sana!
PASCAL-kääntäjä tulkitsee tietyt sanat `kirjaimiksi', joille se varaa muistipaikan osoit-
teet. Tällaisia ovat variaabelit (var mynumber : integer). Myös sellaiset sanat kuin be-
gin, end, for, while, ... kääntäjä tulkitsee kokonaisuuksiksi, joita se ei jaa pienem-
miksi osasiksi. Kääntäjän aakkosto on huomattavasti laajempi kuin ohjelman kirjoittajan.
Kun PASCAL-kääntäjä muokkaa ohjelman sopivaksi EXE-tiedostoksi, tavataan toisenlai-
nen aakkosto,jossaesiintyvät symbolit ovat ASCII-merkkejä,joita on 256kappaletta. (Tä-
mä ASCII-aakkosto on kuitenkin vain koodattu versio EXE-tiedostosta. Jokainen ASCII-
merkkionkahdenpituisenheksadesimaaliluvunkoodaus,jaheksadesimaalilukujenaakkosto
0,1,...,9,A,...,F
on , Todellisuudessa, kaiken kukkuraksi, koneen käyttämä aakkosto on
∧ ⊓⊔
binäärinen: `Ei,On' (cid:21) `0,1' (cid:21) ` , '.)
Σ = {a,b,c} u = aab v = acab
Esim. 1.2 Olkoon aakkosto, jolloin ja ovat sanoja. Näille
u·v =aabacab |u|=3 |v|=4 |uv|=7=|u|+|v| u·ε·v =uv
, , ja . Myös .
Toisaalta aakkostossa
∆={♥ ,...,♥ ,♦ ,...,♦ ,♠ ,...,♠ ,♣ ,...,♣ }
1 13 1 13 1 13 1 13
♥ ♥ ♠ ♠ ♠ ♦ ♣ ♦ ♥ ♠ ⊓⊔
4 4 7 7 7 1 4 3 5 2
mukavia sanoja ovat esimerkiksi ja .
u,v ∈ Σ∗ v u u = u vu
1 2
Olkoot kaksi sanaa. Tällöin on sanan osasana (tekijä), jos
u ,u ∈Σ∗ v u
1 2
joillain sanoilla . Lisäksi, edellä on :n
1 Johdanto 3
• u = ε v ≤ u v ≤ u
1
pre(cid:28)ksi (alkuosa, vasen tekijä), jos . Tällöin merkitään . Jos ja
v 6=u v <u v u
, voidaan merkintä , ja tällöin on :n aito pre(cid:28)ksi.
• u =ε
2
su(cid:30)ksi (loppuosa, oikea tekijä), jos .
w =a a ...a ∈Σ∗
1 2 n
Sanan
• wR = a a ...a (uv)R = vRuR u,v ∈ Σ∗
n n−1 1
peilikuva on sana . Tällöin kaikille .
w w =wR
Sanotaan, että on palindromi, jos .
• i wi = ww...w w0 = ε wnwm = wn+m
:s potenssi on sana . Erityisesti, , ja . Sanotaan,
i kpl
w
että on primitiivinen, jo|s {z }
w=uk =⇒u=w k =1,
ja
w k = 1
eli ei ole minkään (muun) sanan potenssi. Tässä ehto tulee käyttöön vain kun
w = ε w 6= ε w = uk =⇒
, sillä epätyhjille sanoille edeltävä ehto on yhtäpitävä ehdon
u=w
kanssa.
Σ ={a,b}
Esim. 1.3 Olkoon binäärinen aakkosto.
• v =abb w =abba v ≤w v <w vR =bba
Sana on sanan pre(cid:28)ksi, eli (jopa ), ja on sanan
wR
su(cid:30)ksi.
•
Sanavoidaanuseinesittäälyhyemmässämuodossakäyttäenpotensseja.Lisäksisulkeita
voidaanlisätäsanaan(paitsijosne ovatkirjaimiaaakkostossa!),jotta senrakennetulisi
helpommin näkyviin. Niinpä, esimerkiksi
(ab)2ba3 =ababbaaa abaaabaabb=(abaa)(abaa)(bb)=(abaa)2b2.
ja
• w =abbababba
Sana on palindromi.
• w=aaabaaaba v =abaabaaba v =(aba)3
Sana onprimitiivinen,muttasana eiole,sillä .
⊓⊔
u,v,w∈Σ∗ Σ
Lause 1.1 Olkoot sanoja aakkostossa . Tällöin
w=uv =⇒ |w|=|u|+|v|
(i) ,
|wk|=k·|w|
(ii) .
⊓⊔
Todistus. Harjoitus.
|wR| = |w| w v |wv| = |vw|
Esim. 1.4 On selvää, että , ja että kaikille sanoille ja , . Niinpä
|wvwRv3w|=3·|w|+4·|v| ⊓⊔
esimerkiksi .
u,v,w,z ∈Σ∗
Lause 1.2 Olkoot . Tällöin
uw=vw =⇒ u=v wu=wv =⇒ u=v
(i) ja ,
uw=vz =⇒ u≤v v ≤u,
(ii) joko tai
uw=vz |u|=|v| =⇒ u=v,w =z.
(iii) ja
⊓⊔
Todistus. Harjoitus.
4 1 Johdanto
Esim. 1.5 Sanoja käytetään esimerkiksi seuraavasti.
n×n
Musta-valko kuva, joka koostuu pikselistä, voidaan koo-
w ∈ {0,1}∗ n2
data binäärisanaksi , jonka pituus on . Sanan
w =a1a2...an2 ai 1
kirjain on vainjosvastaavapikselionpääl-
lä(valkoinen).Koodauksenvoitietystitehdäuseallaeritavalla.
n=3 w =001010110
Ohessa , ja kun kuva luetaan vasemmalta
oikealle ja ylhäältä alas.
w =a a ...a
1 2 n
Samointapahtumajonojavoidaankuvatasanoin.Tällöinsanassa kirjain
a t=i a=a w =4216632
i i
tarkoittaa,ettähetkellä ontapahtuman vuoro.Esimerkiksisana
voi kertoa nopanheiton silmäluvut seitsemän peräkkäisen heiton jälkeen. Nopan aakkosto
{1,2,3,4,5,6} ⊓⊔
on .
Kielet
Σ Σ∗ P(U) = {L | L ⊆ U}
Kun on aakkosto, ovat :n osajoukot kieliä. Merkitään , eli
P(U) U L Σ
on joukon kaikkien osajoukkojen joukko. Näin ollen on aakkoston kieli, jos
L∈P(Σ∗)
.
Σ ={a,b}
Esim. 1.6 Kun , niin joukot
L={ε,ab,aab,aaab,aaaab} K ={abn |n=0,1,...}
ja
Σ K
ovat kieliä aakkostossa . Tässä on ääretön kieli, jonka alkiot ovat kaikki tarkalleen
abb...b a ⊓⊔
muotoa olevat sanat (mukaanlukien sana ).
L
Kullekin kielelle määritellään Kleenen sulkeumat,
L∗ ={u u ...u |n≥0,u ∈L},
1 2 n i
L+ ={u u ...u |n≥1,u ∈L}.
1 2 n i
Nämä poikkeavat toisistaan korkeintaan tyhjän sanan osalta. (Valittaessa määritelmässä
n = 0 ε ∈ L∗ L+
, niin todetaan että välttämättä , mutta sisältää tyhjän sanan vain jos
ε ∈ L L∗ L+
.) Edellä olevista kielistä ja käytetään myös nimityksiä Kleenen tähti (tai
iteraatiosulkeuma) ja Kleenen plus (tai katenaatiosulkeuma).
Σ ={a,b}
Esim. 1.7 Olkoon aakkostona .
• L = {ab,bb} ⊆ {a,b}∗ L∗ = {ε,ab,bb,abab,abbb,bbab,ababab,...} L+ =
Kun , niin ja
L∗\{ε}
.
• L={a,aa} L∗ ={an |n≥0} L∗ ={a}∗ ⊓⊔
Kun taas , niin , eli .
Joukko-opillisia operaatioita
Kielille voidaan luonnollisesti määritellä kaikki joukko-opilliset operaatiot:
K∪L , K∩L ,
unioni leikkaus
Σ∗\L , L\K .
komplementti erotus
1 Johdanto 5
L K
Lisäksi määritellään kahden kielen ja tulo niiden sanojen tulojen unionina:
KL={uv|u∈K,v ∈L}.
L2 =LL Ln+1 =LnL L0 =
Erityisesti, , ja induktiivisesti edeten, . Erikoistapauksena vielä,
{ε}
. Niinpä Ln ={u u ...u |u ∈L}.
1 2 n i
L={w} L=w L=(w)
Kirjoitetaan usein yksisanaiselle kielelle lyhyemmin tai .
{w}∗ = w∗ = (w)∗
Esim. 1.8 (i) Voidaan kirjoittaa . Huomaa kuitenkin, että esimerkiksi
aba∗ ab(a∗) = {abai | i ≥ 0} (aba)∗ = {(aba)i |
tarkoittaa kieltä eikä suinkaan kieltä
i≥0}
.
{aba,ab}·{b,ab}={abab,abaab,abb}
(ii) .
L={anbn |n≥1} K =b∗
(iii) Olkoot ja . Tällöin
LK ={anbm |m≥n≥1} KL={bjanbn |j ≥0,n≥1}.⊓⊔
ja
Seuraavat tulokset ovat ilmeisiä tai harjoituksia.
L,K,M
Lause 1.3 Kaikille kielille on voimassa
L∗ = Ln L+ = Ln,
(i) n≥0 ja n≥1
(LK)M =L(KM),
(ii) S S
L(K∪M)=LK∪LM (K∪M)L=KL∪ML,
(iii) ja
(L∗)∗ =L∗L∗ =L∗ L∅=∅=∅L.
(iv) ja
Mor(cid:28)smit
Σ ∆ h: Σ∗ → ∆∗
Olkoot ja kaksi aakkostoa (mahdollisesti samat). Tällöin kuvaus on
mor(cid:28)smi, jos se toteuttaa seuraavan ehdon
h(uv)=h(u)h(v) u,v∈Σ∗.
kaikilla
Mor(cid:28)smi tulee täysin määrättyä, kun tunnetaan miten se kuvaa kirjaimet, koskapa jos
w =a a ...a ∈Σ∗
1 2 n
, niin
h(ε)=ε h(w)=h(a )h(a )...h(a ).
1 2 n
ja
h: Σ → ∆∗ a ∈ Σ
Lisäksi, mikäli on annettuna kuvaus , joka kuvaa jokaisen kirjaimen
h(a) ∈ ∆∗ h h: Σ∗ → ∆∗
sanaksi , niin laajenee yksikäsitteisesti mor(cid:28)smiksi edeltävän
kaavan mukaisesti.
h: Σ∗ →∆∗ L ⊆Σ∗ K ⊆∆∗ L
Olkoot mor(cid:28)smi, ja , kieliä. Kielen mor(cid:28)nen kuva ja
K
kielen käänteismor(cid:28)nen kuva määritellään seuraavasti:
h(L)={h(u)|u∈L},
h−1(K)={v |h(v)∈K}.
6 1 Johdanto
h: {a,b,c}∗ → {a,b}∗
Esim. 1.9 Mor(cid:28)smi , joka tulee määrätyksi kirjainten kuvilla ohei-
sesti,
h(a)=aba, h(b)=ε, h(c)=bb,
h(ac)=ababb=h(abbbbbc) L={bbaba}
toteuttaa seuraavat yhtäsuuruudet: . Kun , niin
h−1(L)=b∗cb∗ab∗ (={bicbjabk |i,j,k≥0}).
⊓⊔
Mor(cid:28)smisiirtäämukaellensananrakenteenkuvasanaan,jakielenrakenteenkuvakieleen.
Voidaanmyösajatella,ettämor(cid:28)smiluokirjaimillesisäisenrakenteen,taiettäsetarkentaa
sen objektin ominaisuuksia, jota kirjain esittää.
p ∈ Σ∗
1
Esimerkiksi hahmontunnistuksessa on annettuna sana eli hahmo , ja ky-
w ∈ ∆∗ p w u
sytään sisältääkö sana hahmon : onko olemassa :n osasana ja mor(cid:28)smi
h: Σ∗ →∆∗ h(p)=u
niin, että .
Hahmontunnistuksen motivaatio on käytännön ongelmissa kuten kuvien (Röntgenku-
vien, digitalisoitujen kuvien) selventämisessä ja pakkaamisessa, tai digitalisoidun puheen
virheenkorjauksessa(jolloinepämääräistyneetsanatyritetäänhahmottaaoikeiksisanoiksi).
Tunnetusti aivot suorittavat sekä visuaalista että verbaalista hahmontunnistusta. Erityi-
siä automaattejaja kielioppeja käytetäänhahmontunnistuksessakoodausteorianjamonien
muiden matemaattisten työvälineiden ohella. Sanojen kombinatoriikka hahmontunnistuk-
sessa kuuluu teorianperusteisiin, ja jonäissäperusteissa tavataanhyvin vaikeitaongelmia.
p = aa w ∈ ∆∗ p
Esim. 1.10 Kun , niin sisältää hahmon tarkalleen silloin kun sillä on
u2 w = abacacb p w =
osasana, joka on neliö . Esimerkiksi, sisältää hahmon , koskapa
ab·(ac)2·b h(a) = ac h(b) = b h(c) = c
(ja siten , , on vaaditunlainen mor(cid:28)smi). Toisaalta
w =abacabca p
on neliövapaa, eli se ei sisällä hahmoa .
|∆| = 2
Helppona harjoituksena todetaan: Jos , niin on vain äärellinen määrä sano-
p = a2 |∆| ≥ 3
ja, jotka välttävät hahmon . Sensijaan, jos , niin on olemassa äärettömän
w ∈ ∆∗
monta neliövapaata sanaa . Itseasiassa Thue konstruoi vuosisadan alussa äärettö-
ω =a a a ... ∆={a,b,c}
1 2 3
män neliövapaansanan aakkostossa . Tätävarten määritellään
Thue-Morse mor(cid:28)smiehdoista
h(a)=abc, h(b)=ac, h(c)=b.
h(a),h2(a),...,hi(a),... abc, abcacb, abcacbabcbac,...
Nyt sanat ovatneliövapaita: .(Har-
⊓⊔
joitus: induktiolla.)
Konstruktioista
Automaatteja koskevaongelmanratkaisutilannekoostuu tavallisesti konstruktiosta jato-
distuksesta (vrt. ohjelma (cid:21) sen oikeellisuuden todistaminen, geometrinen ratkaisu (cid:21) sen
todistus). Tietysti on hyvä olla myös ongelma.
Ihannetapauksessa
(i) konstruktio-osassaetsitäänjaesitetäänratkaisu,jokatälläkurssillaonyleensäalgoritmi,
automaatti, tai kielioppi, ja
1
pattern re
ognition
1 Johdanto 7
(ii) todistusosassa osoitetaan pitävästi (käyttäen induktiota tai muita matemaattisia päät-
telysääntöjä),ettäkonstruoituratkaisuonongelmanvaatimaratkaisu,eliettäsetoimii
oikein.
Useinonmahdollista(jaainahyvinsuotavaa),ettäongelmapalautetaantuttuun ongel-
maanjasentunnettuunratkaisuun,jolloinkonstruktio-osasaattaajäädäpoisjatodistusosa
voi olla helppo.
Ratkaisun oikeellisuuden tarkempi todistaminen vaatii monasti pitkän `teknisen' esi-
tyksen. Pahimmassa tapauksessa pitkä tekninen todistus ei anna ratkaisun toimivuudesta
selkeää kuvaa. Niinpä (tällä kurssilla) ongelmanratkaisu koostuu yleensä konstruktiosta ja
perusteluista:konstruktioonliitetääntarpeellisenyksityiskohtainenselvityssentoimivuu-
desta.
2 Äärelliset automaatit
DFA
Äärellinenautomaattikoostuusyöttönauhasta,lukupäästäjakeskusmuistista.Keskusmuis-
ti on äärellinen joukko sisäisiä tiloja. Automaatti toimii seuraavasti:
• q
A
Alku: Automaatti on alkutilassa , ja lukee syöttönauhan ensimmäistä kirjainta va-
semmalta lukien.
•
Askel:Automaattisiirtyyuuteentilaanjalukemaanseuraavaakirjaintasyöttönauhalta.
Uusi tila riippuu vain luetusta kirjaimesta ja vanhasta tilasta.
•
Loppu: Kun annettu sana on kokonaanluettu, automaattihyväksyy sen vain jos se on
lopputilassa.
...
✻
q
0
q q
k 1
✙
g q
i 2
...
A=
1
Formaalisemmin äärellinen deterministinen automaatti eli DFA on viisikko
(Q,Σ,δ,q ,F),
0
missä
• Q
on äärellinen joukko tiloja,
• Σ
on syöttöaakkosto,
• δ: Q×Σ →Q
on transitiofunktio,
• q
0
on alkutila, ja
• F
on lopputilojen joukko.
δ A δ(q,a) = p A q
Transitiofunktio määrää :n askeleet. Jos , niin ollessaan tilassa luke-
a p
massa kirjainta , siirtyy tilassa lukemaan seuraavaa kirjainta.
A
Automaatin toimintaa kuvataan sen tilagraa(cid:28)lla, missä on nuoli
a
q −−→p
δ(q,a) = p
tilasta toiseen jos ja vain jos . Lisäksi, asetetaan nuoli johtamaan alkutilaan, ja
johtamaan pois jokaisesta lopputilasta:
−→q q −→ (q ∈F).
A
1
deterministi
(cid:28)niteautomaton
2 Äärelliset automaatit 9
A
Kun on DFA, voidaan kirjoittaa myös
A=(Q ,Σ ,δ ,q ,F ),
A A A A A
jolloin koko viisikkoa ei tarvitse erikseen esitellä, koska indeksi kertoo mihin automaattiin
komponentti kuuluu.
δ =δ δ: Q×Σ∗ →Q
A
Kuvaus laajennetaan kuvaukseksi ehdoista
δ(q,ε)=q , δ(q,wa)=δ(δ(q,w),a)
w ∈ Σ∗ a ∈ Σ δ A
kaikille sanoille ja kaikille kirjaimille . Tällöin kertoo miten DFA toimii
δ(q,w) A
syöttösanoilla,toisin sanoen, on setila, johon päätyylähtiessäänlukemaansanaa
w q
tilassaw =. a a ...a δ (q ,a ) = q i = 1,2,...,n q −−ai→ q
1 2 n A i i i+1 i i+1
Jos ja kullakin , eli , niin
δ(q ,w)=q
1 n+1
. Tämä voidaan esittää myös graa(cid:28)sesti:
w
q −−→q .
1 n+1
A q q
1 n+1
Sanotaan,ettäautomaatin laskutilasta tilaan onjonoyhteensopiviatransitioita:
q −−a−1→q −−a−2→...−−a−n→q .
1 2 n+1
q =q q ∈F
1 A n+1
Jos edellä on alkutila ja jokin lopputila, on lasku hyväksyvä.
A
DFA:n tunnistama eli hyväksymä kieli on
L(A)={w∈Σ∗ | δ (q ,w)∈F }.
A A A A
L A L=L(A)
2
Kieli on säännöllinen eli tunnistuva , jos on olemassaDFA , jolεla . Erityi-
q q ∈F q −−→q
A A A A
sesti, jos alkutila on myös lopputila , niin tyhjä lasku on hyväksyvä,
ε∈L(G)
ja tässä tapauksessa .
A q (=q ) F ={q }
1 A A 4
Esim. 2.1 OheisenDFA:n alkutilaon jasilläonvainyksilopputila, .
a b a b
P = q −−→ q −−→ q −−→ q −−→ q abab ∈ L(A)
1 3 2 2 4
Lasku on hyväksyvä, ja siten . Tässä
esimerkissä on helpohkoa todeta, että
L(A)={aa}∪{abanb|n≥0}∪{banb|n≥0}
L(A) = aa∪(ab∪b)a∗b. q
5
eli lyhyemmin säännöllisenä ilmauksena Huomaa, että tila on
⊓⊔
roskatila, johon jouduttaessa ei ole pääsyälopputilaan.
✲q1 b ✲q2 a
❦
✒
a b b q5❦ a,b
✒
❄ ❄ a,b
q ✲q ✲
3 a 4
2
regular, re
ognizable
10 2 Äärelliset automaatit
FA eli yleistetty äärellinen automaatti
A
Deterministisessä automaatissa jokaiselle sanalleon tarkalleen yksi lasku alkutilastaläh-
tien. (Toki kaikki sanat eivät välttämättä johda lopputilaan). Tässä mielessä DFA on aina
täydellinen. Jättämällä joitain transitioita pois (sellaiset jotka eivät koskaan voi johtaa
lopputilaan) saadaan `epätäydellinen' eli osittainen DFA.
q
5
Esim. 2.2 Kun edeltävästä esimerkistä jätetään roskatila ja sitä koskettavat transitiot
pois, saadaan osittainen DFA, jonka toiminta on tarkalleen sama kuin alkuperäisen, eli se
⊓⊔
hyväksyy saman kielen.
Epädeterministisyys sallii vaihtoehtojaniin, että sanallevoi ollauseita erilaisia laskuja,
joista joku tai jotkut ovat hyväksyviä.
A = (Q,Σ,σ,I,F)
Yleistetty äärellinen automaatti eli FA on viisikko , joka eroaa
I σ
DFA:n määrittelystä sikäli, että on alkutilojen joukko ja on äärellinenmoniarvoinen
kuvaus, σ: Q×Σ∗ →P(Q).
σ σ(q,w)6=∅
Edellä `äärellinen' tarkoittaa, että on määritelty (eli ) vain äärellisen monelle
(q,w) σ =σ p∈σ(q,w) A
A
parille . Tässä on transitiorelaatio ja on :n transitio.
p∈σ(q,w)
Kutakin FA:ta vastaa myös tilagraa(cid:28), missä transitio esitetään nuolena
w
q −−→p.
✻
✲q1 b ✲q2 ba
❦
✣
Esim. 2.3 OheisellaFA:llaonkaksilopputilaa
q q q
1 4 1
ja .Ainutalkutila onsiismyöslopputila. ab a b
w = aabbb
Tämä automaatti hyväksyy sanan
✢ ❄
kq1äy−t−at→äeqn3p−o−albk→uaq1 −−b→q2 −−b→q4. ⊓⊔ q3 a ✲q4✲
σ
FA:ssa voi siis olla useita alkutiloja, ja transitiorelaatio voi lukea sanoja (ei vain
w
kirjaimia) ja kuvata saman sanan samassa tilassa useampaan eri tilaan. Täεmä yleistys
q −−→p
sallii myös tapauksen, jossa luetaan tyhjä sana siirryttäessä tilasta toiseen: .
A
FA :n hyväksymä kieli on
L(A)={w∈Σ∗ | w}
A on jokin hyväksyvä lasku sanalle
w ∈L(G) i=0,1,...,n
eli jos ja vain jos on olemassa jono transitioita ( )
q ∈σ (w ,q ) (w =w w ...w )
i+1 A i i 0 1 n
q ∈I q ∈F
0 A n+1 A
alkutilasta lopputilaan .
A=(Q,Σ,σ,I,F)
FA on epädeterministinen äärellinen automaatti eli NFA, jos
p∈σ(q,w) w∈Σ
jokainen transitio lukee yhden kirjaimen, eli .