Table Of ContentVorwort zur sechsten Auflage
Die 6. Auflage der "Tafeln höherer Funktionen" stellt eine vollständige Neubearbeitung dar. Bei der großen
Verbreitung und Anerkennung, die die Tafeln überall gefunden haben, stand diese Bearbeitung unter einer
hohen Verpflichtung. Ich habe mich bemüht, den so außerordentlich bewährten Charakter des Buches
nicht anzutasten, es dabei aber doch weiter auszubauen und dem Benutzer seinen Gebrauch nach Möglichkeit
zu erleichtern.
In diesem Bestreben habe ich den Stoff vielfach neu geordnet. Der Erklärung der Funktionen und der Bezeich
nungen habe ich etwas breiteren Raum gegönnt, als dies bisher der Fall war. Bei der Wahl der im Bereich der
höheren Funktionen immer noch uneinheitlichen Bezeichnungen habe ich mich im allgemeinen für diejenigen
entschieden, die sich heute in der Literatur überwiegend durchgesetzt haben. Um die Zuverlässigkeit der Zahlen
tafeln zu sichern, wurden sie sämtlich sorgfältig überprüft. Als wesentliche Hilfe für den Rechner wurden sie
größtenteils mit Differenzen versehen, die die lineare oder quadratische Interpolation in bequemer Weise ge
statten (vgl. dazu die Vorbemerkungen über die Einrichtung der Tafeln). Weiter ist das literaturverzeichnis
erneuert worden. Es befindet sich am Ende des Buchs (S. 300 bis 314); die Verweisung auf einen darin ent
haltenen Titel erfolgt durch Angabe des Abschnitts und der zugehörigen Nummer (z. B. IX [17]). Da sowohl
die Zahl der Lehrbücher als auch der Formelsammlungen und Tafeln über höhere Funktionen in den letzten
Jahrzehnten stark angeschwollen ist, so mußten dabei die Angaben auf einige der wichtigsten Werke beschränkt
werden. Das konnte umso eher geschehen, als für eine vollständige Orientierung über die einschlägige lite
ratur besondere Verzeichnisse existieren (vgl. S. 300).
Die in den früheren Auflagen getroffene Auswahl des Stoffes hat sich so gut bewährt, daß an ihr im großen
und ganzen festgehalten werden konnte. Doch wurde der Bedeutung, die immer neue Klassen von höheren
Funktionen für die Anwendungen gewinnen, durch zahlreiche Erweiterungen und Ergänzungen Rechnung ge
tragen. Dies betrifft fast alle Abschnitte des Buches, es sei daher nur auf einige der wesentlichsten Erweiterungen
hingewiesen: 1. Für die in Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik heute meist verwendete standardisi erte
Form der Fehlerfunktion und ihre Ableitung sind neue Tafeln aufgenommen worden. 2. Die Tafeln der
Fresnelschen Integrale sind erweitert worden. 3.ln dem Abschnitt über Elliptische Funktionen ist die
Tafel der Funktion log q unter Zugrundelegung der Dezimalteilung des Grades neu berechnet worden. Der
Tafel der Thetafunktionen ist, entsprechend einem Vorschlag von Herrn F. G. Tricomi, eine Hilfstafel bei
gefügt worden, die bis in die Nähe von (X = 900 eine bequeme Entnahme der Funktionswerte gestattet. 4. Die
bisher an verschiedenen Stellen eingestreuten Ausführungen über Hermitesche und Laguerresche Polynome
wurden in erweiterter Form in einem Abschnitt über Orthogonale Polynome zusammengefaßt und durch
entsprechende Ausführungen über Tschebyscheffsche Polynome ergänzt. S. Zahlreiche Änderungen hat der
Abschnitt über Zylinderfunktionen erfahren. Unter anderem wurde den modifizierten Zylinderfunktionen
eine gesonderte Darstellung gewidmet. Die Tafel der Wurzeln von J (x) N (k x) - J (k x) N" (x) = 0 ist neu
v v v
berechnet worden. Ferner wurde die Tafel der Struveschen Funktionen, die in den beiden letzten Auflagen
fortgefallen war, vielfachen Wünschen entsprechend wieder aufgenommen. 6. Der Abschnitt über K 0 n f lu e n te
hypergeometrische Funktionen ist im Anschluß an die bekannten Tricomischen Arbeiten neu gestaltet
worden. 7. Ein Abschnitt über Besondere Funktionen bringt neben der Planckschen Strahlungsfunktion,
der Langevinschen Funktion und den Quellenfunktionen der Wärmeleitung, die bisher in den "Tafeln elemen
tarer Funktionen" behandelt waren, neu berechnete Tafeln der für die physikalische Chemie wichtigen Planck
Einsteinschen und Debyeschen Funktionen.
Der Wunsch, den Umfang des Buches nicht zu erhöhen und damit seinen Preis in erträglichen Grenzen zu halten,
machte es notwendig, die vorgenommenen Erweiterungen durch Kürzungen an anderen Stellen auszugleichen.
So sind gegenüber der letzten Auflage die Tafeln für die Nachwirkungsfunktion und für die Induktivität von
Spulen, die inzwischen von der zuständigen Fachliteratur aufgenommen worden sind, weggefallen. Ferner ist
eine größere Anzahl von Tafeln durch Verdoppelung des Tafelschritts gekürzt worden; dank der Aufnahme der
auf den Argumentschritt 1 umgerechneten Differenzen entstand dadurch keine Unbequemlichkeit für den Be
nutzer.
VI
Bei der Neubearbeitung der Funktionentafeln durfte ich mich vielfacher Hilfe erfreuen. Den Herren W. Bader
(Stuttgart), E. Beck (Stuttgart), L. Collatz (Hamburg), O. Emersleben (Berlin), R. Grammel (Stuttgart),
K. S ch äfer (Heidelberg), G. S ch u Iz (Stuttgart) und F. G. Tri co m i (Torino) danke ich für wertvolle Anregungen
und Hinweise. Herrn F. G. Tricomi habe ich überdies für die Überlassung der von ihm berichtigten Tafel der
Laguerreschen Funktionen zu danken.
Herrn Professor H. La Bord e (Cincinnati) bin ich zu großem Dank dafür verpflichtet, daß er mir bei der Ab
fassung des englischen Textes seine freundliche Unterstützung geliehen hat. Herrn G. Fa uth (Stuttgart) und
Herrn U. Schauer (Stuttgart) habe ich für ihre Hilfe bei den Korrekturen und für wertvolle Hinweise zu
danken. Ganz besonderen Dank schulde ich meiner Frau, die einen großen Teil der mühsamen Rechenarbeit
übernommen, das Manuskript geschrieben und alle Korrekturen mitgelesen hat.
Schließlich ist es mir eine angenehme Pflicht, auch dem Teubner-Verlag meinen herzlichen Dank dafür aus
zusprechen, daß er meine Arbeit in jeder Hinsicht unterstützt und dem Buch eine ausgezeichnete Ausstattung
gegeben hat.
Stuttgart, im Februar 1960 FRIEDRICH LÖSCH
Vorwort zur siebten Auflage
Nachdem die "Tafeln höherer Funktionen" anläßlich der sechsten Auflage eine vollständige Neubearbeitung
erfahren haben, glaubte ich, bei der vorliegenden siebten Auflage auf größere Änderungen verzichten zu
können. Ich habe mich im wesentlichen darauf beschränkt, alle mir seit dem Erscheinen der sechsten Auflage
bekannt gewordenen Mängel zu beheben. Nur das literaturverzeichnis ist auch diesmal wieder völlig er
neuert und im Hinblick auf die große Zahl der in den letzten fünf Jahren erschienenen Tafeln über höhere
Funktionen beträchtlich erweitert worden. Ich glaube, damit den Benutzern des Buchs einen Dienst erwiesen
zu haben.
Für die Durchführung meiner Arbeit waren mir Hinweise der Herren R. B u I i rs c h (München), J. C. D.
Milton (Berkeley, California), K. Schäfer (Heidelberg), H. Schmidt (Würzburg) und H. C. Thacher Jr.
(Argonne, IIlinois) von großem Wert. Es sei ihnen auch an dieser Stelle für ihre freundliche Hilfe gedankt.
Ebenso gilt mein herzlicher Dank dem Teubner-Verlag, der bereitwillig auf meine Wünsche eingegangen ist
und der Ausstattung der neuen Auflage wieder die größte Sorgfalt angedeihen ließ.
Stuttgart, im September 1965 FRIEDRICH LÖSCH
Preface to the sixth edition
The sixth edition of "Tables of Higher Functions" is a thoroughly revised work. With respect to the wide
spread usage and acceptance which the tables have found everywhere this revision had to be effected with a
deep feeling of obligation. I have endeavoured not to touch the much approved features of the book, on the
other hand to enlarge it, and to facilitate its usage as much as possible.
In this effort I have frequently rearranged the material. I have allotted somewhat more space than was the case
before for explaining the functions and notations. In choosing the notations which in the fjeld of higher functions
are still not uniform I have in general decided in favor of those ones which today in the literature mostly have
forced their acceptance. To ensure their reliability all tables were carefully examined. As an essential aid to
the computor the tables have been provided for the most part with differences allowing linear or quadratic
interpolation in easy manner (cf. the remarks about the arrangement of the tables). Furthermore the biblio
graphy has been renewed. It is at the end of the book (p. 300 to 314); the reference to a title contained in it
is made in giving the section and the corresponding number (e. g. IX [17]). Since the number of textbooks
as weil as collections of formulas and tables about higher fundions has greatly expanded in the past decades
the listing thereby had to be limited to some of the most important works. This could be done all the better
since for complete information about the pertinent literature special compilations exist (cf. p. 300).
VII
The choice of the material made in the former editions has proved itself so weil that it could be preserved on
the whole. However the Importance which further new c1asses of higher fundions always gain in applications
was taken into consideration by numerous extensions and supplements. This concerns almost oll sections of the
book, therefore only some of the most essential enlargements are mentioned: 1. For the standard form of the
Error Function and itsderivative most used today in probability theory and statistics new tables are appended.
2. The tables of Fresnel Integrals have been enlarged. 3.ln the section on Elliptic Functions the table of
the function log q has been newly calculated using the decimal partition of degrees. Tothe table of Th eta Fu nc
tions according to 0 proposal of Mr. F. G. Tricomi has been added an auxiliary table which allows an easy
extraction of the function values up to the neighbourhood of IX = 90°. 4. The expositions on Laguerre and
Hermite polynomials till now scattered about at different places now in enlarged form are collected in 0
section on Orthogonal Polynomials and supplemented by corresponding expositions on Tschebyscheff
polynomials. 5. The section on Bessel Functions has undergone numerous alterations. Among others 0 spe
cial chapter was devoted to the modified Bessel functions. The table of the roots of Jv(x} N)k x} -Jv(k x} N,,(x) ==-= 0
has been newly calculated. Further the table of Struve functions which in the two preceding editions had been
omitted, according to numerous wishes has again been taken up. 6. The section on Confluent Hypergeo
metric Functions has newly been written using the well-known works of Tricomi. 7. A section on Special
Functions gives besides the Planck radiation function, the Langevin function and the source functions of heat
conduction, till now treated in the "Tables of Elementary Functions," newly calculated tables of the Planck
Einstein and Debye functions.
The wish not to increase 1he size of the book and therewith to keep the price within reasonable bounds made
it necessary to compensate for the enlargements undertaken by abbreviations at other places. Thus comparing
with the last edition the tables for the after effect fundion and for the inductance of coils which meanwhile have
been taken up by the pertinent technical literature have been omitted. Further 0 great number of tables have
been shortened through the duplication of the difference of entries; thereby thanks to the taking up of the
differences reduced to the argument difference 1 no inconvenience to the user has arisen.
Much help was rendered me in the revision of the Function Tables. Messrs. W. Bad er (Stuttgart), E. Beck
(Stuttgart), L. Co" 0 tz (Hamburg), O. E m e rs leb e n (Berlin). R. G ra m me I (Stuttgart). K. Sc h ä fe r (Heidelberg),
G. Sch u I z (Stuttgart), and F. G. Tri co mi (Torino) I thank for valuable hints and suggestions. Mr. F. G. Tri co mi
I have in addition to thank for the turning over of the table of Laguerre polynomials checked by him.
To Professor H. LaBorde (Cincinnati) I am under great obligation in that he has given me his friendly help
in the composition of the English text. Mr. G. Fauth (Stuttgart) and Mr. U. Schauer (Stuttgart) I have to
thank for their help with the proofreading and for valuable suggestions. My warmest thanks go to my wife
who has undertaken 0 great deal of the laborious calculations, written the manuscript and has read oll proofs.
Finally I am obligated to the Teubner-Verlag in that it has supported my work in every aspect and has given to
the book an excellent format.
Stuttgart. February 1960 FRIEDRICH LÖSCH
Preface to the seventh edition
Since the "Tables of Higher Functions" underwent 0 thorough revision at the time of the sixth edition, I have
not held great alterations in the present seventh edition to be necessary. In the main I have been content to
remove the imperfections which have been made known to me since the publication of the sixth edition. Only
the bibliography has once more been completely renewed and. in view of the great number of tables of higher
functions which have appeared in the last five years, considerably enlarged. I hope in this to have rendered
good service to users of the book.
In the execution of my task, valuable suggestions were made by Messrs. R. Bulirsch (München), J. C. D.
Milton (Berkeley, California), K. Schäfer (Heidelberg), H. Schmidt (Würzburg) and H. C. Thacher Jr.
(Argonne, IIlinois). I would like to' thank them again here for their kind help.
I am equally grateful to the Teubner-Verlag which so readily agreed to my wishes and again took infinite
pains in the technical execution of the new edition.
Stuttgart, September 1965 FRIEDRICH LÖSCH
In haltsverzeichn is
Contents
Vorbemerkungen über die Einrichtung der Preliminary Remarks on the Arrangement of
Tafeln . . . . . . ..... the Tables
I. Die Gammafunktionen . 4 I. The Gamma Functions 4
Definitionen und Bezeichnungen 4 Definitions and Notations 4
A. Die Gammafunktion r(z) 4 A. The Gamma Function r(z) . 4
1. Darstellungen . . . . 4 1. Representations 4
2. Besondere Werte. . . 7 2. Special Values 7
3. Funktionalgleichungen 9 3. Fundional Equations 9
4. Einige Integralformeln . 9 4. Some Integral Formulas . 9
B. Die logarithmische Ableitung B. The Logarithmic Derivative
lp(Z) = r ' (z)j F(z). . 11 1p(z) = r ' (z)jr (z) . 11
1. Darstellungen . . . . 11 1. Representations 11
2. Besondere Werte. . . 11 2. Special Values 11
3. Funktionalgleichungen 11 3. Fundional Equations 11
4. Die Ableitung 1p' (z) . . 12 4. The Derivative 1p' (z) 12
C. Die unvollständigen Gammafunktionen C. The Incomplete Gamma Functions
F(a, z), y(a, z) . . . . . . . . . . . 13 F(a, z), y(a, z) . 13
11. Die Integralexponentielle und verwandte 11. The Exponential Integral and related Func-
Funktionen . . . . . . . . 17 tions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1. Die Integralexponentielle und der Inte- 1. The Exponentiallntegral and the Logarith-
grallogarithmus. . . . . . . . 17 mic Integral . . . . . . 17
2. Integralsinus und Integralcosinus 18 2. Sine and eosine Integrals 18
3. Einige Integralformeln . . . . . 22 3. Some Integral Formulas . 22
111. Die Fehlerfunktion und verwandte Funktionen 26 111. The Error Function and related Functions . 26
1. Die Fehlerfunktion t1>(z) . . . . . . 26 1. The Error Function q,(z) . . . 26
2. Die Fresnelschen Integrale C(z), S(z). 28 2. The Fresnel Integrals C(z), S(z) 28
IV. Die Riemannsche Zetafunktion 37 IV. The Riemann Zeta Function. . . 37
1. Definition und Darstellung 37 1. Definition and Representation 37
2. Besondere Werte . . . 40 2. Special Values . . . 40
3. Funktionalgleichungen . 40 3. Functional Equations. 40
V. Elliptische Integrale . . . 43 V. Elliptic Integrals. . . . 43
Definitionen und Bezeichnungen 43 Definitions and Notations 43
A. Zurückführung elliptischer Integrale auf A. Reduction of Elliptic Integrals to the Nor-
die Normalform . . . . . . . . . 44 mal Form . . . . . . . . . . . 44
1. Allgemeine Bemerkungen . . . . 44 1. General Remarks ........ 44
2. Reelle Reduktion auf F(q;, k), E(g;, k) 44 2. Real Reduction to F(g;, k), E(q;, k) .. 44
3. Reduktion einiger spezieller Integrale. 45 3. Reduction of some special Integrals . 45
Inhaltsverzeichnis Contents IX
B. Unvollständige Normalintegrale 47 B. Incomplete Normal Integrals. 47
1. Darstellungen . . . . 48 1. Representations 48
2. Funktionalgleichungen 49 2. Functional Equations 49
3. Tafeln ....... 49 3. Tables ..... . 49
C. Vollständige Normalintegrale 62 C. Complete Normal Integrals 62
1. Darstellungen . . . . 62 1. Representations 62
2. Funktionalgleichungen 64 2. Functional Equations 64
3. Tafeln ....... 66 3. Tables ..... . 66
VI. Elliptische Funktionen . . . . . . 72 VI. Elliptic Functions . . . . . 72
Definitionen und Bezeichnungen 72 Definitions and Notations 72
A. Jacobische elliptische Funktionen 72 A. Jacobi Elliptic Functions . 72
1. Die Jacobische Amplitude . . 72 1. The Jacobi Amplitude. 72
2. Die Jacobischen Funktionen sn u, cn u, 2. The Jacobi Functions sn u, cn u, dn u . 73
dn u . . . . . . . . 73
3. Besondere Werte. . . . . 74 3. Special Values . . . . . 74
4. Funktionalgleichungen 75 4. Functional Equations .. 75
5. Die Jacobische Zetafunktion 79 5. The Jacobi Zeta Function 79
B. Weierstraßsche elliptische Funktionen . 79 B. Weierstrass Elliptic Functions. 79
1. Die Weierstraßschen Funktionen ~ u, 1. The Weierstrass Functions ~u, Cu, (TU 79
Cu, au . . . . . . . 79
2. Darstellungen . . . . . . . . . 80 2. Representations . . . . . . . . . 80
3. Funktionalgleichungen . . . . . 81 3. Functional Equations . . . . . . . 81
4. Der Zusammenhang zwischen Jacobi 4. The Relation between Jacobi and Weier-
schen und Weierstraßschen Funktionen 81 strass Functions . 81
C. Die Thetafunktionen . . . . . 82 C. The Theta Functions . 82
1. Definition und Darstellung 82 1. Definition and Representation 82
2. Besondere Werte. . . . . 82 2. Special Values . . . . 82
3. Funktionalgleichungen 85 3. Functional Equations .... 85
4. Zusammenhang mit elliptischen Funk 4. Relations with Elliptic Functions and
tionen und elliptischen Integralen. Mo Elliptic Integrals. Modular Fundion . . 86
dulfunktion . . . . . . . . . . . . 86
VII. Orthogonale Polynome 96 VII. Orthogonal Polynomials ..... 96
A. Die Tschebyscheffschen Polynome 96 A. The Tschebyscheff Polynomials . 96
B. Die Laguerreschen Polynome . . 98 B. The Laguerre Polynomials . . . 98
C. Die Hermiteschen Polynome (Funktionen C. The Hermite Polynomials (Functions of the
des parabolischen Zylinders). . . . . . 101 parabolic Cylinder) .......... 101
VIII. Die Kugelfunktionen . . . . . . . . .. 110 VIII. The Legendre Functions ... 110
1. Definitionen und Bezeichnungen. . .. 110 1. Definitions and Notations 110
2. Legendresche Funktionen 1. und 2. Art 111 2. Legendre Functions of the 1st and 2nd
3. Zugeordnete Legendresche Funktionen Kinds . . . . . . . . . . 111
1.und2.Art ............ 114 3. Legendre associated Functions of the 1st
4.lntegraldarstellungen . . . . . . .. 118 and 2 nd Kinds . . . . . . . 114
5. Besondere Werte. Asymptotisches Ver- 4. Integral Representations . . . 118
halten . . . . . . . . 118 5. Special Values. Asymptotic Behaviour 118
6. Funktionalgleichungen . . . . . . .. 119 6. Functional Equations. . . . . . . . 119
