Table Of ContentМинистерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пермский государственный технический университет»
В.И. Колесниченко, В.В. Бурдин
ОБЩАЯ ФИЗИКА
Часть IV
ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛООБМЕН
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство
Пермского государственного технического университета
2011
УДК 536.24
К60
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент Г.Н. Вотинов
(Пермский государственный технический университет)
д-р физ.-мат. наук С.Ю. Хрипченко
(Институт механики сплошных сред УрО РАН)
Колесниченко, В.И.
К60 Общая физика: учеб. пособие. Ч. IV. Гидродинамика и теп-
лообмен / В.И. Колесниченко, В.В. Бурдин. − Пермь: Изд-во
Перм. гос. техн. ун-та, 2011. − 167 с.
ISBN 978-5-398-00588-2
Рассмотрены вопросы теплопроводности, физики жидкого со-
стояния, гидродинамики и теплообмена. Предлагается большое коли-
чество задач с примерами решений.
Предназначено для студентов технических вузов.
УДК 536.24
ISBN 978-5-398-00588-2 © ГОУ ВПО
«Пермский государственный
технический университет», 2011
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................................................... 5
1. Теплопередача в твердых телах...................................................... 6
1.1. Температурное поле. Закон Фурье........................................... 6
1.2. Дифференциальное уравнение теплопроводности................. 9
1.3. Краевые условия........................................................................ 13
1.4. Стационарная передача теплоты через плоскую стенку........ 14
2. Физика жидкого состояния............................................................. 20
2.1. Особенности жидкого состояния вещества............................. 20
2.2. Явления переноса в жидкостях................................................. 22
2.3. Физические свойства жидкостей.............................................. 25
2.3.1. Приближение сплошной среды....................................... 25
2.3.2. Некоторые свойства жидкостей...................................... 25
2.3.3. Вязкость жидкостей......................................................... 27
2.3.4. Неньютоновские жидкости.............................................. 29
2.4. Поверхностное натяжение. Капиллярные явления................. 30
2.4.1. Коэффициент поверхностного натяжения..................... 30
2.4.2. Граница жидкости и твердого тела................................. 33
2.4.3. Силы, возникающие на кривой поверхности
жидкости..................................................................................... 34
2.4.4. Капиллярные явления...................................................... 36
2.4.5. Зависимость коэффициента поверхностного
натяжения от температуры........................................................ 38
2.4.6. Капиллярное движение.................................................... 39
3. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена...... 40
3.1. Субстанциональная производная............................................. 40
3.2. Уравнение энергии (теплопереноса)........................................ 41
3.3. Уравнения движения................................................................. 42
3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)................................ 45
3.5. Краевые условия........................................................................ 46
4. Некоторые точные решения уравнений движения
вязкой несжимаемой жидкости........................................................... 48
4.1. Установившееся движение жидкости
между параллельными плоскостями – течение Куэтта................. 48
3
4.2. Движение жидкости в круглой трубе – течение Пуазейля.... 51
5. Свободная конвекция несжимаемой жидкости.………................ 56
5.1. Уравнения свободной конвекции............................................. 56
5.2. Конвективное течение в вертикальном слое........................... 58
6. Пограничный слой........................................................................... 62
6.1. Гидродинамический пограничный слой.................................. 62
6.2. Интегральные уравнения пограничного слоя......................... 65
6.3. Распределение скорости в пограничном слое......................... 68
6.4. Толщина пограничного слоя при обтекании пластины.......... 69
6.5. Тепловой пограничный слой.................................................... 72
6.6. Аппроксимация профиля температуры................................... 74
6.7. Толщина теплового пограничного слоя................................... 74
6.8. Коэффициент теплоотдачи....................................................... 77
7. Турбулентность................................................................................ 79
7.1. Гидродинамическая устойчивость........................................... 79
7.2. Уравнения Рейнольдса для развитого
турбулентного движения................................................................. 81
7.3. Турбулентная вязкость.............................................................. 86
7.4. Путь перемешивания Прандтля................................................ 87
7.5. Турбулентное течение жидкости около стенки...................... 88
7.5.1. Ламинарное движение..................................................... 88
7.5.2. Турбулентное движение.................................................. 89
8. Подобие и размерность................................................................... 94
8.1. Подобие течений вязкой жидкости. Числа подобия............... 94
8.2. Условия подобия физических процессов................................ 98
9. Идеальная жидкость........................................................................ 101
9.1. Уравнения Эйлера..................................................................... 101
9.2. Уравнение Громеки–Лэмба...................................................... 102
9.3. Интеграл Бернулли.................................................................... 104
9.4. Уравнение Гельмгольца. Теорема Томсона............................ 105
Задачи................................................................................................... 108
1. Теплопередача. Дифференциальное уравнение
теплопроводности............................................................................. 108
2. Физика жидкого состояния. Гидродинамика............................. 135
Список литературы.............................................................................. 165
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
В данном учебном пособии представлена IV часть курса общей
физики – «Гидродинамика и теплообмен». Авторы стремились изло-
жить без усложнений, но в то же время «без вульгаризации» некото-
рые вопросы теплопроводности, физики жидкого состояния, гидро-
динамики и теплообмена, при этом больше внимания уделять физике
рассматриваемых вопросов. Студенты, освоившие данный курс,
с большим вниманием и пониманием должны подойти к изучению
прикладных разделов гидравлики и теплопередачи.
Вывод основных уравнений (построение математических моде-
лей процессов) сопровождается примерами, в которых сложные ис-
ходные уравнения в частных производных существенно упрощаются,
что позволяет получить аналитическое решение.
Учебное пособие содержит большое количество задач. Внима-
тельный разбор примеров решений и самостоятельное решение задач
позволит закрепить изучаемый материал.
При составлении учебного пособия необходимо было принять во
внимание некоторые обстоятельства, связанные с преподаванием фи-
зико-математических предметов в техническом вузе. В стандартном
курсе общей физики изучению закономерностей движения жидко-
стей отведено весьма скромное место. Студенты получают лишь не-
которые сведения об уравнении Бернулли, вязкости и некоторых
других свойствах жидкости. В курсе высшей математики не рассмат-
риваются элементы тензорного исчисления. В связи с этим вывод
уравнений движения Навье−Стокса дан в упрощенном, но достаточ-
но наглядном виде, так, как это предложено академиком М.А. Ми-
хеевым в учебнике «Основы теплопередачи».
Главы 1–9 написаны В.И. Колесниченко, глава 10 подготовлена
В.В. Бурдиным.
Авторы выражают благодарность А.В. Перминову за обсуждение
учебного пособия и рекомендации по его улучшению.
5
1. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
1.1. Температурное поле. Закон Фурье
Теплопроводностью называется перенос теплоты (или внутрен-
ней энергии) в телах или между ними, обусловленный переменно-
стью температуры в рассматриваемом пространстве. В чистом виде
теплопроводность характерна лишь для твердых тел.
Твердые тела рассматриваются как сплошная однородная и изо-
тропная среда, в которой не учитывается ее дискретное строение
(атомы, молекулы, ионы и т.д.). Физические свойства конкретного
вещества учитываются коэффициентами, которые определяются
опытным путем. Такой феноменологический подход правомерен,
если размеры объектов исследования существенно превышают рас-
стояния межмолекулярного взаимодействия.
Аналитическое или теоретическое исследование теплопроводно-
сти сводится к определению температурного поля, т.е. вида функции
T = f (x,y,z,t),
1
которая определяет совокупность значений температуры во всех точ-
ках тела для любого момента времени t. Наиболее общее поле, зави-
сящее от времени, является нестационарным. Оно отвечает неуста-
новившемуся тепловому режиму теплопроводности.
Если тепловой режим является установившимся, то соответст-
вующее ему температурное поле называется стационарным. В этом
случае температурное поле не зависит от времени, а является функ-
цией только пространственных координат:
∂T
T = f (x,y,z); =0.
2 ∂t
Температурное поле может быть трехмерным, двухмерным и од-
номерным. В случае простейшего одномерного стационарного тем-
пературного поля
6
∂T ∂T ∂T
T = f (x); =0; = =0.
3 ∂t ∂y ∂z
Изотермической поверхностью называется геометрическое место
точек в температурном поле, имеющих одинаковую температуру.
При пересечении изотермических поверхностей плоскостью получа-
ем на ней семейство изотерм (рис. 1.1), температуры которых отли-
чаются на ∆T. На этом рисунке nr − единичный вектор, нормальный
1
к изотермической поверхности и направленный в сторону возраста-
ния температуры Т. Наибольший перепад температуры на единицу
длины происходит в направлении нормали (оси) n.
Математически возрастание Т n
в направлении нормали характе-
ризуется векторной величиной –
градиентом температуры, направ- n
1
ленным в сторону возрастания ∆n T + ∆T
температуры: T
∂T ∆T T − ∆T
gradT =nr =nr ⋅ lim .
1 ∂n 1 ∆n→0 ∆n
Рис. 1.1
Если направление нормали n не совпадает с какой-либо коорди-
натной осью, то соответствующие проекции вектора gradT вычисля-
ются следующим образом:
(gradT) = ∂T = ∂T cos(n,x),
x ∂x ∂n
(gradT) = ∂T = ∂T cos(n, y),
y ∂y ∂n
(gradT) = ∂T = ∂T cos(n,z).
z ∂z ∂n
Для процесса распространения тепла теплопроводностью необхо-
дима неравномерность распределения температуры в теле, т.е. темпера-
турный градиент должен быть отличен от нуля в разных точках.
7
Согласно гипотезе Фурье количество теплоты dQ, проходящее
через элемент изотермической поверхности dS за промежуток време-
ни dt, пропорционально температурному градиенту:
∂T
dQ=−λ dS⋅dt,
∂n
где λ – коэффициент теплопроводности (Вт/(м·К)), физический па-
раметр вещества, характеризующий способность проводить теплоту.
Введем вектор плотности теплового потока
dQ ∂T
qr= nr =−λ nr ,
dS⋅dt 1 ∂n 1
который направлен вдоль нормали к изотермической поверхности в
сторону убывания температуры (знак минус), так как теплота всегда
передается от более горячих частей тела к холодным. Размерность
величины q в СИ: джоуль на квадратный метр в секунду (ватт на
квадратный метр) – Дж/(м2·с) = Вт/м2. Плотность теплового потока
равна количеству теплоты, которое переносится через единичную
площадку в единицу времени при условии, что площадка ориентиро-
вана перпендикулярно направлению распространения теплоты.
Основной закон теплопроводности можно сформулировать так:
плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры.
Закон Фурье в декартовой системе координат может быть запи-
сан следующим образом:
qr=q ir+q rj +q kr=−λ∂T ir+∂T rj +∂T kr, (1.1)
x y z ∂x ∂y ∂z
r r r
где i, j,k – единичные векторы или орты декартовой системы коор-
динат.
Формула (1.1) с использованием математического оператора
«набла» ∇:
∂ r ∂ r ∂ r
∇=grad= i + j + k,
∂x ∂y ∂z
8
приобретает более компактный вид:
qr=−λ∇T =−λgradT . (1.2)
Полное количество теплоты, прошедшее за конечное время t че-
рез заданную поверхность S,
t ∂T
Q=−∫ ∫λ dSdt .
∂n
S 0
Здесь поверхность S перпендикулярна нормали n.
Опыты показывают, что для многих материалов зависимость λ(t)
является линейной (t – температура, °C):
λ(t)=λ (1+b⋅t),
0
где значение λ берется при температуре t = 0 °C, постоянные b опре-
0
деляются для разных веществ опытным путем.
Пример. Рассмотрим изменение коэффициента теплопроводно-
сти с температурой для некоторых веществ.
1. Сталь углеродистая 30: λ = 50,2 Вт/(м·К) при t = 100 °C; λ =
= 29,3 Вт/(м·К) при t = 600 °C, т.е. с повышением температуры коэф-
фициент λ уменьшается.
2. Латунь (90 % Cu; 10 % Zn): λ = 102 Вт/(м·К) при t = 0 °C; λ =
= 195 Вт/(м·К) при t = 600 °C, т.е. значение λ возрастает с повышени-
ем температуры.
3. Асбест: λ=0,087+0,24⋅10−3t, Вт/(м·К).
1.2. Дифференциальное уравнение теплопроводности
В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводно-
сти положен закон сохранения энергии.
Выделим в твердом теле элементарный объем dV =dx⋅dy⋅dz
в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. Пусть, для просто-
ты, грани параллелепипеда будут параллельны координатным плос-
костям (рис. 1.2). Элементарный промежуток времени обозначим dt.
Тогда можно записать
9
dQ=dQ +dQ , (1.3)
1 2
где dQ – изменение внутренней энергии
вещества, содержащегося в dV за dt; dQ –
1
количество теплоты, введенное в dV за dt
путем теплопроводности; dQ – количест-
2
во теплоты, которое за dt выделилось в dV
за счет внутренних источников: химиче-
ских реакций, фазовых переходов, нагрева
проводников, по которым течет электри-
Рис. 1.2
ческий ток и т.д.
Теперь более подробно рассмотрим члены уравнения (1.3).
1. dQ . Количество теплоты, подводимое к грани dydz объема dV
1
за время dt в направлении оси 0х, обозначим dQ ; отводимое от про-
x
′
тивоположной грани в том же направлении − dQ . Запишем выраже-
x
ния для этих величин:
dQ =q dydzdt; dQ′ =q′dydzdt,
x x x x
тогда
dQ =dQ −dQ′ =(q −q′)dydzdt . (1.4)
x1 x x x x
Функция q′ является непрерывной и на интервале dx может
x
быть разложена в ряд
∂q
q′ =q + x dx+...
x x ∂x
Подставим разложение, в котором оставлены первые два члена,
в предыдущее уравнение (1.4) и получим
∂q ∂q
dQ =− x dxdydzdt =− x dVdt.
x1 ∂x ∂x
Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подво-
димое к dV через соответствующие пары других граней элементарно-
го объема. Суммируя, получим
10