Iterationsverfahren Numerische Mathematik Approximationstheorie: Vortragsauszüge der Tagung über Nichtlineare Aufgaben der Numerischen Mathematik vom 17. bis 23. November 1968 der Tagung über Numerische Methoden der Approximationstheorie vom 8. bis 14. Ju

239 Pages·1970·5.504 MB·German

by  B. Brosowski, K.-H. Hoffmann, E. Schäfer, H. Weber (auth.), L. Collatz, G. Meinardus, H. Unger, H. Werner (eds.)

ISNM
INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS
INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK
SERlE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE
Editors:
Ch. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; A. Ostrowski, Montagnola; J. Todd, Pasadena;
H. Unger, Bonn; A. van Wijngaarden, Amsterdam
VOL. 15
Iterationsverfahren
Numerische Mathematik
Approximationstheorie
Vo rtragsa uszuge
der Tagung uber Nichtlineare Aufgaben der Numerischen Mathematik
vom 17. bis23. November 1968
der Tagung uber Numerische Methoden der Approximationstheorie
vom 8. bis 14. J uni 1969
und
der Tagung uber Iterationsverfahren in der Numerischen Mathematik
vom 16. bis 22. November 1969
im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald)
Herausgegeben von L. COLLATZ, G. MEINARDUS, H. UNGER und H. WERNER
1970
SPRINGER BASEL AG
ISBN 978-3-0348-5834-2 ISBN 978-3-0348-5833-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5833-5
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1970
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1970
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1970
VORWORT
Ais Bindeglied zwischen den zwei grossen sich gegenseitig befruchtenden Ge
bieten der «Reinen» und der «Angewandten» Mathematik hat sich die Funk
tionalanalysis einen festen Platz erobert und ist heute auch aus der «Numeri
schen Mathematik» nicht mehr fortzudenken. Das zeigte sich auch bei den fol
genden Arbeitstagungen am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach
(Schwarzwald) :
17. bis 23. November 1968 Tagung fiber
Nichtlineare Aufgaben der Numerischen Mathematik
(Tagungsleiter: L. COLLATZ und H. WERNER)
8. bis 14. Juni 1969 Tagung fiber
Numerische Methoden der Approximationstheorie
(Tagungsleiter: L. COLLATZ und G. MEINARDUS)
16. bis 22. November 1969 Tagung fiber
Iterationsverfahren in der Numerischen Mathematik
(Tagungsleiter: L. COLLATZ und H. UNGER)
Die hier wiedergegebenen Vortrage gaben einen Oberblick fiber einige der vielen
in neuerer Zeit entstandenen Teildisziplinen der Numerischen Mathematik.
Die Tagungsleiter und die Tagungsteilnehmer danken dem Leiter des Mathe
matischen Forschungsinstituts Oberwolfach, Herrn Prof. Dr. M. BARNER, und
allen seinen Mitarbeitern in Freiburg und in Oberwolfach dafilr. dass die Ta
gungen im gewohnten harmonischen Rahmen in der vertrauten Atmosphare des
Oberwolfacher Hauses stattfinden konnten. Ferner sei dem Birkhauser Verlag
besonders gedankt filr die gute Ausstattung dieses Buches und die stete Forde
rung.
Tagung tiber Nichtlineare Aufgaben der Numerischen Mathematik
vom 17. bis 23. November 1968
Leiter: L. COLLATZ lind H. WERNER
V ortragsauszuge
BROSOWSKJ, B., K.-H. HOFFMANN, E. SCHAFER lind H. WEBER: Stetigkeits-
siitze fUr metrische Projektionen . . . . . . . . . . . . . .. II
BROSOWSKI, B., K.-H. HOFFMANN, E. SCHAFER lind H. WEBER: Metrische
Projektionen auf Iineare TeiIriiume von CO [Q, H] . . . . . . .. 19
FREHSE, J.: Ober die Konvergenz von Differenzen- und anderen Niihe-
rungsverfahren bei nichtlinearen Variationsproblemen . . . . .. 29
LAASONEN, P.: Ober einige L6sllngsverfahren nichtlinearer Gleichungs-
systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
LANCASTER, P.: Spektraleigenschaften von Operatorfunktionen . . .. 53
MAYER, H.: Abschiitzungen fUr den Defektvektor der L6sung eines linea-
ren Gleichungssystems bei Ungenauigkeiten in den Ausgangsdaten
und numerische Auswertung dieser Abschiitzungen . . . . . .. 61
NITSCHE, J.: Konvergenz des Ritz-Galerkinschen Verfahrens bei nicht-
linearen Operatorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .. 75
NIXDORFF, K.: Nichtlineare Rechenmethoden der Peiltechnik . . . .. 83
NIXDORFF, K.: Bemerkungen zur Anwendung der harmonischen Balance 89
REIMER, M.: Semidefinite Peano-Kerne stabiler Differenzenformen. .. 91
WETTERLlNG, W.: Ober Minimalbedingungen und Newton-Iteration bei
nichtlinearen Optimierungsaufgaben 93
ZELLER, K.: Newton-Cebysev-Approximation . . . . . . . . . " 10 1
Tagung iiber Numerische Methoden der Approximationstheorie
vom 8. bis 14. Juni 1969
Leiter: L. COLLATZ und G. MEINARDUS
Vortragsauszuge
ANSELONE, P. M.: Abstract Riemann Integrals, Monotone Approxima-
tions, and Generalizations of Korovkin's Theorem 107
CHENEY, E. W. and K. PRICE: Minimal Interpolating Projections 115
COLLATZ, L.: Approximationstheorie und Anwendllngen. . . . 123
GILBERT, R. P.: Integral Operator Methods for Approximating Solu-
tions of Dirichlet Problems . . . . . . . . . . . . . 129
HAUSSMANN, W.: Mehrdimensionale Hermite-Interpolation 147
LOCHER, F., und K. ZELLER: Approximation auf GiUerpunkten 161
LUPAS, A.: On the Approximation by Linear Positive Operators 167
SMITH, L. B.: Using Interactive Graphical Computer Systems on Appro-
ximation Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 177
Tagung fiber Iterationsverfahren in der Numerischen Mathematik
vom 16. bis 22. November 1969
Leiter: L. COLLATZ und H. UNGER
Vortragsauszfige
DORING, B.: Ein Satz fiber eine von Grebenjuk betrachtete Klasse von
Iterationsverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . .. 195
GEKELER, E.: Relaxation bei einer Klasse nichtIinearer Gleichungs-
systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
NIETHAMMER, W.: Konvergenzbeschleunigung bei einstufigen Itera-
tionsverfahren durch Summierungsmethoden. . . . . . . . .. 235
WACKER, H. J.: Eine Losungsmethode zur Behandlung nichtlinearer
Randwertprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245
Tagung
fiber NichtHneare Aufgaben
der Numerischen Mathematik
17. bis 23. November 1968
Leiter: L.Collatz und H. Werner
11
STETIGKEITSSATZE FUR METRISCHE PROJEKTIONEN
von B. Brosowski, K. -H. Hoffmann, E. Schafer, H. Weber in Munchen
Es seien Rein normierter linearer Raum und V eine nichtleere Teilmenge
von R. Wir betrachten die folgende Approximationsaufgabe: Zu einem gege
benen Element f aus R bestimme man ein Element v 0 aus V derart,
daB gilt
Ilf-v II = inf Ilf-v II·
o vEV
Jedes Element v 0 aus V mit dieser Eigenschaft heiBt eine Minimallosung
fUr f bezuglich V.
Wir setzen E(f, V):= inf Ilf-v II und definieren durch
vEV
die Abbildung
--~) UI(V).
Dabei bezeichnet UI (V) die Menge der abgeschlossenen Teilmengen von V.
Man nennt die Abbildung Pv die zu V gehorige metrische Projektion. In
der vorliegenden Arbeit untersuchen wir Stei.igkeitseigenschaften dieser Ab
bildung.
Stetigkeitseigenschaften derartiger mengenwertiger Abbildungen sind auch
fUr numerische Fragen von Interesse. Betrachten wir zunachst den bekann
ten Fall, daB fUr jedes f aus R die Menge PV(f) genau ein Element ent-
12 B. Brosowski, K. -H. Hoffmann, E. Schafer und H. Weber
halt (d. h. V ist eine Tschebyscheff-Menge). Man kann dann Pv als Abbil
dung von R in V auffassen, die im allgemeinen nicht stetig ist (vgl. WERNER
[llJ). Will man fUr ein Element 1 aus Reine Minimallosung beziiglich V
bestimmen, so muJ3 man in der Praxis haufig eine beste Approximierende fUr
1 111-1 II
ein Element beziiglich V bestimmen, wobei < E ist und E im
Prinzip beliebig klein gemacht werden kann. Wenn die Abbildung P V stetig
ist, so unterscheidet sich fUr hinreichend kleines E auch P V (7) nur wenig
von P V (I). Nun hat man heute auch Konstruktionsverfahren zur Bestimmung
von Minimallosungen, selbst wenn die Approximationsaufgabe nicht eindeutig
losbar ist. Es sei hier das Verfahren von TOEPFER CloJ fUr die Tscheby
scheff-Approximation genannt, das sich nach einem Vorschlag von LAURENT
[8J auf beliebige reelle normierte Raume verallgemeinern laJ3t.
Es erhebt sich dann wie im Fall der Tschebyscheff-Mengen die Frage nach der
Stetigkeit der nun im allgemeinen mengenwertigen Abbildung PV•
Stetigkeitsbegriffe fUr mengenwertige Abbildungen sind schon seit langem be
kannt. Ma n definiert nach HAHN [7 J:
1. Die Abbildung P V heiJ3t 1:0 -stetig oder oberhalb stetig in 1 E R, wenn fUr
jede offene Menge U C V mit PV(I) C U eine offene Menge W mitl E W
existiert, so daJ3 mit g E W auch PV(g) C U gilt.
2. Die Abbildung Pv heif3t 1:u -stetig oder unterhalb stetig in 1 E R, wenn
fUr jede offene Menge U C V mit P V (I) n U 'I" eine offene Menge W
mit 1 E W existiert, so daf3 mit g E W auch PV(g) n U 'I" gilt.
3. 1st die Abbildung Pv sowohl1:o - als auch 1:u -stetig, so heif3t Pv eine 1:s-
stetige Abbildung.
Wie der folgende Satz von SINGER [9J zeigt, ist die Bedingung der 1:0 -Stetig
keit von P V nicht sehr einschrankend.
SATZ 1: [st V eine approximativ-kompakte Teilmenge1) von R, so ist Pv eine
1:0 -stetige Abbildung.
Jedoch ist im allgemeinen Pv selbst fUr lineare Teilraume nicht 1:s -stetig. Die
jenigen reellen normierten Raume, bei denen die metrische Projektion fUr gewis
se approximativkompakte Teilmengen stets 1:s -stetig ist, werden im folgenden
Satz charakterisiert.
SA T Z 2: FUr einen reellen normierten Raum R sind die lolgenden Aussagen