Invitación a las Geometrías No Euclideanas

160 Pages·2.945 MB·Spanish

by  Ana Irene Ramirez Galarza, Guillermo Sienra Loera

Ana Irene Ramírez Galarza
Guillermo Sienra-Lorea
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I
NVITACIÓN A LAS GEOMETRÍAS

NO EUCLIDIANAS
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FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM
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Ramírez Galarza, Ana Irene, autor
(cid:3) Invitación a las geometrías no euclidianas / Ana Irene
Ramírez Galarza, Guillermo Sienra-Loera. -- 4ª. reimpresión.
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–- México, D.F.
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: Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de
(cid:3)Ciencias, 2015.
(cid:3) iv, 156 páginas : ilustraciones ; 22 cm. Incluye índice.
Bibliografía: páginas 149-152
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(cid:3) ISBN 978-968-36-8162-1
(cid:3) 1. Geometría no euclidiana. 2. Geometría hiperbólica.
(cid:3)I. Sienra-Loera, Guillermo, autor. II. Universidad Nacional
Autónoma de México. Facultad de Ciencias. III. Título.
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516.9-scdd21 Biblioteca Nacional de México
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Invitación a las geometrías no euclidianas
1ª edición, 2000
1ª reimpresión, 2002
2ª reimpresión, 2003
3ª reimpresión, 2010
4ª reimpresión, 2015

© D. R. 2009. Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias.
Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán
C. P. 04510, México, D. F.
[email protected]

ISBN: 978-968-36-8162-1

Prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier medio,
Sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales.

Impreso y hecho en México
Contenido
1 1 Euclides, los Elementos y el m´etodo deductivo 5
1.1 Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Los Cinco Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Equivalencias del Postulado V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Algunas omisiones
en los Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Las transformaciones permitidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Pintores, ingenieros, fil´osofos 23
2.1 Reglas b´asicas de la perspectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Del arte a las matem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Los fil´osofos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Geometr´ıa El´ıptica 41
3.1 La contradicci´on que no lleg´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Algunas consideraciones
sobre la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 El Plano Proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 El Plano El´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Diferencias entre los planos
el´ıptico y euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Geometr´ıa Hiperb´olica 63
4.1 La lucha contra los beocios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Como violetas en la primavera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Los modelos del Plano Hiperb´olico . . . . . . . . . . . . . . . . 74
i
ii
4.4 Diferencias entre los planos
hiperb´olico y euclidiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5 Verificaci´on de los resultados de
Geometr´ıa Hiperb´olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 Grupos Kleinianos 97
5.1 Grupos de inversiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Un ejemplo concreto
con sus variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3 Superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Algunos desarrollos actuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6 Ap´endices 123
´IndiceAanal´ıtico 151
Introducci´on
Contaremos la historia de descubrimientos que cambiaron la forma del pen-
samiento en lo que respecta a los conceptos geom´etricos desarrollados por el
ser humano desde la antigu¨edad hasta el Renacimiento.
Estos descubrimientos tomaron forma en lo que se ha llamado Geometr´ıas
No Euclidianas.
La manera enquefuerondescubiertaslasGeometr´ıasNoEuclidianasmues-
tra claramente c´omo lo que es se impone sobre lo que se cre´ıa, un poco a
la manera en que los personajes de Pirandello1, una vez bien definidos, cobran
vida propia y se rebelan a lo que el autor ten´ıa proyectado para cada uno de
ellos.
Las Geometr´ıas No Euclidianas surgen gracias a la actividad de muchos
estudiosos de actividades aparentemente tan distintas como la Geometr´ıa, el
Arte y la L´ogica. Eso explica en parte la dificultad que el ser humano tuvo
para integrar este nuevo conocimiento a los acumulados hasta entonces.
Una de las claves que propiciaron estos descubrimientos fue el concepto de
paralelismointroducidoformalmentepor elmatem´aticogriegoEuclidesalrede-
dor del siglo III a.C. en su obra Elementos, uno de los libros m´as editados de
todos los tiempos. En el Cap´ıtulo 1 veremos que ya desde ese entonces hubo
discusiones en torno al llamado Postulado de las Paralelas, las cuales perdu-
raron hasta el siglo XIX.
Desde el punto de vista del gran ge´ometra F´elix Klein, puede decirse que
la Geometr´ıa Euclidiana estudia aquellas propiedades de los cuerpos que no
cambian cuando los desplazamos, los rotamos o los reflejamos. La descripci´on
de la propuesta euclidiana, as´ı como una obligada referencia a la propuesta de
David Hilbert para subsanar las omisiones de Euclides, es la parte central del
Cap´ıtulo 1.
1Luigi Pirandello,Seis personajes en busca de autor
1
2
La evoluci´ondela Geometr´ıafuemuypobre durante los 20 siglos siguientes
a la´epoca deEuclides,sobre todo por la faltadeconceptos fundamentalespara
todas las matem´aticascomo losde l´ımiteycontinuidad. Y tambi´enpor la falta
de una notaci´on adecuada en el A´lgebra.
Pero hubo una contribuci´on importante, no matem´atica, debida al cambio
de filosof´ıa que en todos los ´ordenes de la vida introdujo el Renacimiento.
La preocupaci´on renacentista por obtener un m´etodo para lograr una buena
representaci´on plana de escenas o cuerpos tridimensionales llev´o a los artistas
pl´asticos a precisar las nociones de punto de fuga (antecedentede los puntos al
infinito en matem´aticas) y de l´ınea del horizonte, logrando con ello establecer
las reglas del dibujo en perspectiva.
Las cualidades de un escenario que permiten reconocerlo aun cuando las
fotograf´ıas est´en tomadas desde ´angulos distintos, es decir, las que son inva-
riantes aunque la posici´on del fot´ografo cambie, son estudiadas por la llamada
Geometr´ıaAf´ın. Lasperipeciasdelosartistasensubu´squedadelasreglasdela
perspectivayelcaminoquedichasreglas debieronrecorrerhasta transformarse
en conceptos matem´aticos, ser´an el tema del Cap´ıtulo 2.
Los primeros resultados en Geometr´ıas No Euclidianas fueron obtenidos
por dos estudiosos de la l´ogica, Saccheri y Lambert. En los Cap´ıtulos 3 y
4, presentaremos al lector modelos de las Geometr´ıas El´ıptica e Hiperb´olica
(respectivamente), que le permitir´an desarrollar la intuici´on adecuada a cada
caso.
La parte dram´atica de la historia de las Geometr´ıas El´ıptica e Hiperb´olica
fue lograr la declaraci´on de su existencia por los cient´ıficos m´as reconocidos
de entonces, pues exist´ıa la convicci´on de que la u´nica Geometr´ıa era la Eucli-
diana, y parte del discurso de fil´osofos muy respetados se hab´ıa interpretado
en ese sentido. A la dificultad de entender el planteamiento matem´atico debi´o
an˜adirse elmiedoa los beocios, seguidores a ultranza de los fil´osofos menciona-
dos.
Una vez extendida la noci´on de Geometr´ıa, y habiendo superado el con-
cepto euclidiano del espacio, se plantea su desarrollo a trav´es de los trabajos
de Bernhard Riemann, y su unificaci´on a trav´es de las ideas de Klein, quien
define a la Geometr´ıa como el estudio de los invariantes bajo un grupo de
transformaciones.
En el Cap´ıtulo 5, con la herramienta de los cap´ıtulos anteriores, desarro-
llaremos algunos aspectos de la propuesta de Klein y veremos lo fruct´ıfera que
result´o para las matem´aticas.
3
Elu´ltimocap´ıtulo,denominadoAp´endices,incluyealgunos c´alculosoejem-
plos t´ecnicos pero no demasiado complicados.
Las figuras de cada cap´ıtulo tienen una numeraci´on independiente, pero
cuando son mencionadas en otro, anteponemos el nu´mero del cap´ıtulo al que
pertenecen.
Y para los lectores que deseen profundizar en alguno de los temas, hemos
incluidounabibliograf´ıadisponibleenlasbibliotecasdenuestrasuniversidades,
entre las que se encuentran nuestras fuentes.
Las direcciones en que esperamos recibir comentarios y sugerencias son:
Ana Irene Ram´ırez Galarza
[email protected]
Cub´ıculo 204, Departamento de Matem´aticas, Facultad de Ciencias
Ciudad Universitaria, CP 04510, D.F.
Guillermo Sienra Loera
[email protected]
Cub´ıculo 124, Departamento de Matem´aticas, Facultad de Ciencias
Ciudad Universitaria, CP 04510, D.F.
4
AGRADECIMIENTOS
A nuestros colegas y amigos Juan Jos´e Rivaud, Patricia Souza, Oscar Palmas,
Alejandro Illanes, Le´on Kushner, Ricardo Berlanga y Gerardo Hern´andez (en
ordencronol´ogicodecolaboraci´on),por tenerlapacienciadeleernosyhacernos
sugerenciasquemejoraron laprimeraversi´on,ya Rodolfo SanAgust´ınpor una
correci´on incluida en la segunda edici´on.
A Gabriela Sangin´es y Leonardo Espinosa, del IMUNAM, por su ayuda para
imprimir algunas partes durante la huelga.
Y al Comit´e Editorial de Aportaciones Matem´aticas de la SMM, por hacerse
cargo del arbitraje a petici´on del Comit´e Evaluador del PAPIME.
Este libro fue financiado por el Programa de Apoyos Institucionales para el
Mejoramiento de la Ensen˜anza de la UniversidadNacional Aut´onoma de M´ex-
ico; los dibujos por computadora estuvieron a cargo de Juan Pablo Romero y
Bertha Zavala, el disen˜o tipogr´afico fue realizado por Guilmer Ferdinand Gon-
zalez Fern´andez, y el disen˜o de la cubierta fue realizado por Ang´elica Mac´ıas.
1
Elementos
1 Euclides, los y el
m´etodo deductivo
El camino que debi´o recorrer la Geometr´ıa para adquirir un car´acter propio,
es an´alogo al de muchas otras ramas de la ciencia.
Primero respondi´o a una necesidad pr´actica, la de “medir la tierra”, ya
fuera para restituir a los agricultores egipcios la extensi´on que pose´ıan antes
de la ben´efica inundaci´on anual de sus tierras por el Nilo, o para dividir entre
nuevos poseedores alguna propiedad.
Por conveniencia para todos, los terrenos sol´ıan tener formas m´as o menos
regulares y hacia el an˜o 3 000 a.C., las civilizaciones mesopot´amica y egipcia
registran ya algunas recetas obtenidas en forma emp´ırica,no siemprecorrectas
y nunca justificadas, para calcular el ´area de algunas figuras elementalescomo
rect´angulos, c´ırculos y trapecios.
Para el´area deunc´ırculocondi´ametrod, losegipciosempleabanlaf´ormula
A = (8d/9)2, que equivale a aproximar π por 256/81, es decir, 3.1605, lo cual
es razonable puesto que π no tiene una expresi´on decimal finita, ni siquiera
peri´odica, por ser un nu´mero irracional.
En cambio, un ejemplo en que la f´ormula s´olo es v´alida en casos muy
particulares es la utilizada para un paralelogramo, es decir, un cuadril´atero
cuyos lados opuestos: a y c, b y d, son paralelos.
c c c
c b b
d b d b
d
a
d a
a a
Figura 1.1: Cuadril´ateros con lados congruentes y ´areas distintas.
5