Table Of ContentInvariants de similitudes et rØduction de Frobenius
Marc SAGE
21 octobre 2005
Table des matiŁres
1 Endomorphismes cycliques 2
1.1 PrØliminaires (cid:150)notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Un rØsultat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 CyclicitØ et polyn(cid:244)me minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 CyclicitØ et matrices compagnons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Invariants de similitude et rØduction de Frobenius 7
2.1 Suite des invariants de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 RØduction de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Applications 10
3.1 Commutant et cyclicitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 RØduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Matrices semblables et extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Rang et degrØ du polyn(cid:244)me minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Une formule explicite pour le polyn(cid:244)me caractØristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1
1 Endomorphismes cycliques
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n non nulle. ConsidØrons f (E) un endomorphisme sur E.
2L
On cherche des x dans E tels que x;f(x);:::;fn 1(x) soit une base de E, i.e. qui donnent une reprØsen-
(cid:0)
tation "cyclique" de f.
(cid:0) (cid:1)
1.1 PrØliminaires (cid:150)notations
Soit f (E) et x E. On note respectivement :
2L 2
(cid:22) le polyn(cid:244)me minimal de f;
(cid:15) f
(cid:31) le polyn(cid:244)me caractØristique de f;
(cid:15) f
l(cid:146)ensemble des polyn(cid:244)mes en f :
f
(cid:15) L
=K[f]= P (f) ;P K[X] ;
f
L f 2 g
E l(cid:146)ensemble des polyn(cid:244)mes en f ØvaluØs en x :
x
(cid:15)
E = (x)= P (f)(x) ;P K[X] ;
x f
L f 2 g
l(cid:146)idØal de K[X] des polyn(cid:244)mes annulant f en x :
x
(cid:15) I
= P K[X] ;P (f)(x)=0 .
x
I f 2 g
est principal en tant qu(cid:146)idØal de l(cid:146)anneau principal K[X], n(cid:146)est pas rØduit (cid:224) (0) car (cid:22) (f)(x)=0, donc
Ix f
est engendrØ par un unique (cid:22) unitaire qui vØri(cid:133)e
x
P (f)(x)=0 (cid:22) P.
() x j
(cid:22) est appelØ polyn(cid:244)me minimal de x relatif (cid:224) f.
x
Remarques.
Si (cid:22) Øtait constant, on aurait 0 = (cid:22) (f) = 1(f) = Id et E = 0 , ce qui exclu vu que l(cid:146)on a supposØ
(cid:15) f f E f g
dimE 1. Il en rØsulte
(cid:21)
deg(cid:22) 1.
f (cid:21)
Puisque (cid:22) (f)(x)=0, on a toujours
(cid:15) f
x E; (cid:22) (cid:22) .
8 2 x j f
(cid:22) n(cid:146)est jamais constant si x est non nul : en e⁄et, on a les Øquivalences
(cid:15) x
deg(cid:22) =0 (cid:22) =(cid:21) pour un certain (cid:21)=0
x () x 6
(cid:22) K[X]=K[X]
() x
=K[X]
x
() I
1
x
() 2I
0=1(f)(x)=Id(x)=x.
()
Ainsi,
deg(cid:22) 1 x=0.
x (cid:21) () 6
Proposition (structure cyclique de E ).
x
E est un sous-espace vectoriel de dimension deg(cid:22) , stable par f, dont la base canonique est
x x
x;f(x);:::;fdeg(cid:22)x(cid:0)1(x) .
(cid:0) (cid:1)
DØmonstration.
Si deg(cid:22) =0, alors x=0 et E est rØduit (cid:224) 0 dont l(cid:146)unique base est . On suppose donc deg(cid:22) 1.
x x f g ; x (cid:21)
2
ConsidØrons l(cid:146)application linØaire
K[X] E
’: (cid:0)! ,
P P (f)(x)
(cid:26) 7(cid:0)!
d(cid:146)image E et de noyau .
x x
I
En factorisant canoniquement ’ selon K[X](cid:30)Ker’ Im’, on obtient
’
dimEx =dim K[X](cid:30)Ix =dim K[X](cid:30)((cid:22)x) =deg(cid:22)x.
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
On remarque par ailleurs que la famille x;f(x);:::;fdeg(cid:22)x(cid:0)1(x) est libre dans Ex :
(cid:0) (cid:1)
deg(cid:22) 1 deg(cid:22) 1 deg(cid:22) 1
x(cid:0) x(cid:0) x(cid:0)
(cid:21) fi(x)=0 = (cid:21) Xi = (cid:22) (cid:21) Xi = ((cid:21) )=0
i ) i 2Ix ) x j i ) i
i=0 i=0 i=0
X X X
en prenant les degrØs.
Pour obtenir la stabilitØ, il su¢ t de remarquer que fdeg(cid:22)x(x) reste dans Vect x;f(x);:::;fdeg(cid:22)x(cid:0)1(x) , ce
qui s(cid:146)obtient en Øcrivant P (f)(x)=0.
(cid:0) (cid:1)
DØ(cid:133)nition.
Un endomorphisme f (E) est dit cyclique s(cid:146)il y a un x dans E tel que x;f(x);:::;fn 1(x) soit une
(cid:0)
2L
base de E.
(cid:0) (cid:1)
En d(cid:146)autres termes, f est cyclique ssi
x E; E =E,
x
9 2
ou encore ssi
x E; E = (x).
f
9 2 L
Proposition (structure cyclique de ).
f
L
est un sous-espace vectoriel de (E) de dimension deg(cid:22) dont la base canonique est
Lf L f
Id;f;:::;fdeg(cid:22)f(cid:0)1 .
(cid:0) (cid:1)
DØmonstration.
Comme pour E , on considŁre l(cid:146)application
x
K[X] (E)
’: (cid:0)! L ,
P P (f)
(cid:26) 7(cid:0)!
d(cid:146)image et de noyau (cid:22) , de sorte que
Lf f
(cid:0) (cid:1) dimLf =dimIm’=dim K[X](cid:30)((cid:22)f) =deg(cid:22)f.
On montre ensuite que la famille Id;f;:::;fdeg(cid:22)f(cid:0)1 est libre :
(cid:0) (cid:1)
deg(cid:22) 1 deg(cid:22) 1 deg(cid:22) 1
f(cid:0) f(cid:0) f(cid:0)
(cid:21) fi =0 = (cid:21) Xi Ker’ = (cid:22) (cid:21) Xi = ((cid:21) )=0
i ) i 2 ) f j i ) i
i=0 i=0 i=0
X X X
en prenant les degrØs.
Remarque. Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f et P un polyn(cid:244)me de K[X], on a
P f =P (f)
F F
j j
(cid:0) (cid:1)
3
(Øvaluer en un x F quelconque), d(cid:146)oø pour x F
2 2
(x)= P f (x) ; P K[X] = P (f) (x) ; P K[X] = P (f)(x) ; P K[X] = (x).
LfjF jF 2 jF 2 f 2 g Lf
(cid:8) (cid:0) (cid:1) (cid:9) n o
On en dØduit la propriØtØ
f cyclique [ x F; (x)=F].
F f
j () 9 2 L
(cid:201)tudions (cid:224) prØsent le rapport entre la cyclicitØ d(cid:146)un endomorphisme et son polyn(cid:244)me minimal.
1.2 Un rØsultat fondamental
LadeuxiŁmeremarquedesprØliminairesa¢ rmeque(cid:22) (cid:22) pourtoutvecteurx.L(cid:146)ØgalitØestenfaitatteinte.
x j f
ThØorŁme.
Il existe un x dans E tel que
(cid:22) =(cid:22) .
x f
Lemme 1.
On suppose que (cid:22) se factorise en
f
(cid:22) =P(cid:11)A
f
avec P irrØductible et A premier avec P. Alors
x E; (cid:22) =P(cid:11).
9 2 x
Lemme 2.
Pour x;y E on a l(cid:146)implication
2
(cid:22) (cid:22) =1 = (cid:22) =(cid:22) (cid:22) .
x^ y ) x+y x y
DØmonstration du thØorŁme.
On factorise (cid:22) en produit de facteurs irrØductibles :
f
r
(cid:22) = P(cid:11)i.
f i
i=1
Y
Remarquer que le produit n(cid:146)est pas vide car deg(cid:22) 1.
Par le lemme 1, pour tout i on peut trouver unfx(cid:21)dans E tel que (cid:22) =P(cid:11)i, et le lemme 2 nous a¢ rme que
i xi i
(cid:22) =(cid:22) :::(cid:22) =P(cid:11)1:::P(cid:11)r =(cid:22) ,
x1+:::+xr x1 xr 1 r f
d(cid:146)oø l(cid:146)ØlØment recherchØ.
DØmonstration du lemme 1.
Pour x E donnØ, on dispose des implications
2
x KerP(cid:11)(f) = P(cid:11)(f)(x)=0 = (cid:22) P(cid:11).
2 ) ) x j
Sijamais(cid:22) P(cid:11) 1 pourtoutxdansKerP(cid:11)(f),alorsP(cid:11) 1Aannulef surKerP(cid:11)(f);commeP(cid:11) 1As(cid:146)annule
x j (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Øgalement sur KerA(f) et que le lemme des noyaux nous donne E = KerP(cid:11)(f) KerA(f), on a (cid:133)nalement
(cid:8)
que P(cid:11) 1A annule f, d(cid:146)oø (cid:22) P(cid:11) 1A, absurde.
(cid:0) f j (cid:0)
4
(cid:22) P(cid:11)
Ainsi, il y a un x tel que x j , i.e. (cid:22) =P(cid:11) par irrØductibilitØ de P, CQFD.
(cid:26) (cid:22)x -P(cid:11)(cid:0)1 x
DØmonstration du lemme 2.
On a (cid:22) (f)(y)= (cid:22) (f)(x), donc
x+y (cid:0) x+y
0=(cid:22) (cid:22) (f)(y)=(cid:22) (cid:22) (f)(y)= (cid:22) (cid:22) (f)(x),
x+y y y x+y (cid:0) y x+y
d(cid:146)oø (cid:22) (cid:22) (cid:22) et (cid:22) (cid:22) en utilisant l(cid:146)hypothŁse de primalitØ. Par symØtrie on obtient (cid:22) (cid:22) , et on en
x j y x+y x j x+y y j x+y
dØduit (toujours par primalitØ)
(cid:22) (cid:22) (cid:22) .
x y j x+y
Par ailleurs, on a
(cid:22) (cid:22) (f)(x+y)=(cid:22) (cid:22) (f)(x)+(cid:22) (cid:22) (f)(y)=(cid:22) (f)(cid:22) (f)(x)+(cid:22) (f)(cid:22) (f)(y)=0,
x y y x x y y x x y
=0 =0
d(cid:146)oø la divisibilitØ rØciproque | {z } | {z }
(cid:22) (cid:22) (cid:22) .
x+y j x y
1.3 CyclicitØ et polyn(cid:244)me minimal
Proposition (cyclicitØ et polyn(cid:244)me minimal).
On dispose des Øquivalences
f cyclique deg(cid:22) =n (cid:22) =(cid:31) .
() f () f f
DØmonstration.
Supposonsf cyclique et soit x tel que E =E. On a alors
x
deg(cid:22) =dimE =dimE deg(cid:22) deg(cid:22) ,
x x (cid:21) f (cid:21) x
d(cid:146)oø deg(cid:22) =n, ce qui Øquivaut (cid:224) (cid:22) =(cid:31) par Cayley-Hamilton.
f f f
RØciproquement, si deg(cid:22) = n, alors par le thØorŁme prØcØdent il existe un x E tel que (cid:22) = (cid:22) = (cid:31) ,
f 2 x f f
d(cid:146)oø
dimE =deg(cid:22) =deg(cid:22) =n
x x f
et E =E.
x
1.4 CyclicitØ et matrices compagnons
Pour P polyn(cid:244)me unitaire de degrØ n, disons
P =Xn+a Xn 1+:::+a X +a ,
n 1 (cid:0) 1 0
(cid:0)
on notera (P) la matrice compagnon de P, i.e.
C
0 a
0
(cid:0)
0 1 ... ... 1
(P)= .
C B ... 0 a C
BB 1 (cid:0)an(cid:0)2 CC
B (cid:0) n(cid:0)1 C
@ A
Onditqu(cid:146)unematriceA (K)estcyclique sil(cid:146)endomorphismedeKn quiluiestcanoniquementassociØ
n
2M
est cyclique.
5
Proposition (cyclicitØ et matrices compagnons).
Soit f cyclique. Alors f est semblable (cid:224) la matrice compagnon de son poly(cid:244)me minimal :
f cyclique = f (cid:22) .
) (cid:24)C f
RØciproquement,si f estsemblable(cid:224)unematricecompagnon (cid:0) (P(cid:1)),alors f estcycliquedepolyn(cid:244)meminimal
C
P :
f cyclique
[ P K[X]; f (P)] = .
9 2 (cid:24)C ) (cid:22) =P
(cid:26) f
DØmonstration.
Soit f cyclique et x E tel que E =E. On considŁre la base = x;f(x);:::;fn 1(x) de E et on note
x (cid:0)
2 B
(cid:22) =Xn+a Xn 1+:::+a X +(cid:0)a . (cid:1)
f n 1 (cid:0) 1 0
(cid:0)
On Øcrit alors
fn(x) = fn(x) 0
(cid:0)
= fn(x) (cid:22) (f)(x)
(cid:0) f
= fn(x) fn(x)+a fn 1(x)+:::+a f(x)+a x
n 1 (cid:0) 1 0
(cid:0) (cid:0)
= a fn 1(x) ::: a f(x) a x,
n 1 (cid:0)(cid:0) 1 0 (cid:1)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
d(cid:146)oø
0 a
0
(cid:0)
0 1 ... ... 1
Matf = = (cid:22) .
B BBB ... 01 (cid:0)aan(cid:0)2 CCC C(cid:0) f(cid:1)
B (cid:0) n(cid:0)1 C
@ A
Supposons rØciproquement qu(cid:146)il y a une base =(e ;:::;e ) de E et un polyn(cid:244)me P de K[X] tels que
1 n
B
0 a
0
(cid:0)
0 1 ... ... 1
Matf = (P)= .
B C BBB ... 01 (cid:0)aan(cid:0)2 CCC
B (cid:0) n(cid:0)1 C
@ A
On lit dans la matrice que f(e )=e pour i=1;:::;n 1, donc
i i+1
(cid:0)
= e ;f(e );f2(e );:::;fn 1(e ) ,
1 1 1 (cid:0) 1
B
d(cid:146)oø la cyclicitØ de f. (cid:0) (cid:1)
Remarque. LapropositionprØcØdentepermetd(cid:146)obtenirsanse⁄ortlepolyn(cid:244)meminimald(cid:146)unematrice
compagnon. En e⁄et, pour P K[X], la matrice (P) est clairement cyclique dans la base canonique de Kn,
2 C
d(cid:146)oø
(cid:22) =(cid:31) =P.
(P) (P)
C C
Nous allons (cid:224) prØsent montrer que l(cid:146)on peut toujours casser l(cid:146)espace ambiant E en sous-espaces stables sur
lesquels f est cyclique ((cid:224) l(cid:146)exemple de E ).
x
6
2 Invariants de similitude et rØduction de Frobenius
2.1 Suite des invariants de similitude
ThØorŁme (invariants de similitudes).
Soit f (E). Il existe F ;:::;F des sous-espaces vectoriels de E non rØduits (cid:224) 0 tels que
1 r
2L f g
(i) E =F ::: F ;
1 r
(cid:8) (cid:8)
(ii) F est stable par f et f est cyclique;
(iii) eni posant (cid:22) =(cid:22) , ojnFia la suite de divisibilitØs
i fjFi
(cid:22) (cid:22) ::: (cid:22) (cid:22) =(cid:22) .
r j r(cid:0)1 j j 2 j 1 f
Par ailleurs, la suite ((cid:22) ;:::;(cid:22) ) ne dØpend que de f et non des F ; on l(cid:146)appelle la suite des invariants de
1 r i
similitude de f.
DØmonstration.
Existence.
Par rØcurrence sur n. Notons (cid:23) =deg(cid:22)f 2N(cid:3).
Soit x E tel que (cid:22) =(cid:22) et notons e =fi 1(x) pour i=1;:::;(cid:23). On sait que
2 x f i (cid:0)
E =Ke Ke ::: Ke
x 1 2 (cid:23)
(cid:8) (cid:8) (cid:8)
eststableparf envertudel(cid:146)identitØ(cid:22) (f)(x)=0(laquellemontrequef(cid:23)(x)restedansVect x;f(x);:::;f(cid:23) 1(x) ).
f (cid:0)
Cette derniŁre ØgalitØ nous permet en outre d(cid:146)Øcrire Mat f = (cid:22) , donc f est cyclique et
(cid:22) =(cid:22) . En(cid:133)n, dimE =(cid:23) 1, donc E n(cid:146)est pas rØduit(e(cid:224)1;:::0;e(cid:23).)TjoEuxt celaCfaitf de E unjEb(cid:0)xon candidat pour (cid:1)
Ffj.EIxl fautfmaintenant troxuver (cid:21)un "gentil" sxupplØmentaire de Ef sgur lequel on(cid:0)pou(cid:1)rra rxØcurrer.
1 x
ComplØtons (e ;:::;e ) en une base quelconque de E, de sorte que l(cid:146)on puisse parler des e dans cette base.
1 (cid:23) (cid:3)i
On pose successivement
F = Ke Ke ::: Ke ,
1 2 (cid:23)
(cid:8) (cid:8) (cid:8)
(cid:0) = e(cid:3)(cid:23) (cid:14)fi; i2N (cid:26)E(cid:3),
G = (cid:0) (orthogonal dual).
(cid:8)(cid:14) (cid:9)
On a dØj(cid:224) dit que F =E Øtait stable par f, et il est en outre clair que G est stable par f :
x
x2(cid:0)(cid:14) =) 8i2N; e(cid:3)(cid:23) (cid:14)fi(x)=0 =) 8i2N; e(cid:3)(cid:23) (cid:14)fi(f(x))=0 =) f(x)2(cid:0)(cid:14).
Montrons maintenant que F G=E.
(cid:8)
1 p (cid:23)
Soit y 2F \G non nul. Puisque y 2F, y s(cid:146)Øcrit pi=1(cid:21)iei oø (cid:21)(cid:20)p =(cid:20)0 (p est le plus grand indice i tel
(cid:26) 6
que (cid:21)i =0). Comme de plus y G, on a P
6 2
p p
0 = e f(cid:23) p(y)=e f(cid:23) p (cid:21) e =e (cid:21) f(cid:23) p(e )
(cid:3)(cid:23) (cid:14) (cid:0) (cid:3)(cid:23) (cid:14) (cid:0) i i! (cid:3)(cid:23) i (cid:0) i !
i=1 i=1
X X
p p p
= e (cid:21) e = (cid:21) e (e )= (cid:21) (cid:14)(cid:23) p+i =(cid:21) , absurde.
(cid:3)(cid:23) i (cid:23) p+i i (cid:3)(cid:23) (cid:23) p+i i (cid:23)(cid:0) p
(cid:0) ! (cid:0)
i=1 i=1 i=1
X X X
On veut maintenant dimF +dimG=n, ce qui Øquivaut sucessivement (cid:224)
dimE =n dimG deg(cid:22) =n dim(cid:0) dim =dimVect(cid:0).
x (cid:0) () x (cid:0) (cid:14) () Lf
On considŁre pour cela l(cid:146)application linØaire
Vect(cid:0)
’: Lf (cid:0)!
P (f) e P (f)
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:3)(cid:23) (cid:14)
7
clairementsurjective,etonmontresoninjectivitØ.Soitu Ker’nonnul:onpeuttoujoursØcrireu= p (cid:21) fi
2 i=0 i
0 p<(cid:23)
oø (cid:20) , d(cid:146)oø P
(cid:21) =0
p
(cid:26) 6
p p
0 = e u f(cid:23) p 1(x) =e (cid:21) fi+(cid:23) p 1(x) =e (cid:21) e
(cid:3)(cid:23) (cid:14) (cid:0) (cid:0) (cid:3)(cid:23) (cid:14) i (cid:0) (cid:0) ! (cid:3)(cid:23) i i+(cid:23)(cid:0)p!
i=0 i=0
(cid:0) (cid:1) X X
p p
= (cid:21) e (e )= (cid:21) (cid:14)i+(cid:23) p =(cid:21) , absurde.
i (cid:3)(cid:23) i+(cid:23) p i (cid:23) (cid:0) p
(cid:0)
i=0 i=0
X X
Ainsi ’ est un isomorphisme, d(cid:146)oø l(cid:146)ØgalitØ des dimensions
dim =dimVect(cid:0).
f
L
Dans le cas oø dimG=0, on a terminØ. Sinon, puisque (cid:22) =(cid:22) =(cid:22) , (cid:22) annule f, donc annule f ,
d(cid:146)oø (cid:22) (cid:22) = (cid:22) . Il su¢ t alors de rØcurrer en se pla(cid:231)anftjFsur lefsjEoxus-espfacefGjF (qui est bien de dimensijoGn
fG j fF f
1). j j
(cid:21)
UnicitØ.
F ;:::;F
Supposons que 1 r vØri(cid:133)ent les conditions du thØorŁme. On peut toujours supposer r s par
G1;:::;Gs (cid:20)
(cid:26)
P =(cid:22)
symØtrie. Notons Qi =(cid:22)fjFi . On veut
( j fjGj
(P ;:::;P )=(Q ;:::;Q ).
1 r 1 s
Si ce n(cid:146)est pas le cas, on peut considØrer k le plus petit indice k r tel que P = Q . Un tel k existe, sinon
0 k k 0
(cid:20) 6
on aurait (P ;:::P )=(Q ;:::;Q ), d(cid:146)oø
1 r 1 r
r r s s r s
degP = dimF =n= dimG = degQ = degP + degQ
i i j j j j
i=1 i=1 j=1 j=1 j=1 j=r+1
X X X X X X
et
s
degQ =0,
j
j=r+1
X
ce qui force s r puis s=r, d(cid:146)oø
(cid:20)
(P ;:::P )=(Q ;:::;Q )=(Q ;:::;Q ), exclu.
1 r 1 r 1 s
Ensuite, en notant (cid:25) =P (f), puisque que tous les F sont stables par f, donc par tout polyn(cid:244)me en F, a
k0 i
fortiori par (cid:25), on peut Øcrire
(cid:25)(E) = (cid:25)(F ::: F ;)=(cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F )
1 r 1 r
(cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8)
= (cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F ) [(cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F )] ;
1 (cid:8) (cid:8) k0(cid:0)1 (cid:8) k0 (cid:8) (cid:8) r
on a de mŒme
(cid:25)(E)=(cid:25)(G ) ::: (cid:25)(G ) [(cid:25)(G ) ::: (cid:25)(G )].
1 (cid:8) (cid:8) k0(cid:0)1 (cid:8) k0 (cid:8) (cid:8) s
(cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F )= 0
On va montrer qu(cid:146)en fait k0 (cid:8) (cid:8) r f g .
(cid:25)(G ) ::: (cid:25)(G )= 0
(cid:26) k0 (cid:8) (cid:8) s f g
Soit i un indice tel que k i r.
0
(cid:20) (cid:20)
Par hypothŁse, P ::: P P , donc P P , d(cid:146)oø successivement
r j j k0+1 j k0 i j k0
(cid:22) P = P f =0 = P (f) =0 = (cid:25) =0 = dim(cid:25)(F )=0.
fjFi j k0 ) k0 jFi ) k0 jFi ) jFi ) i
(cid:0) (cid:1)
Soit maintenant i un indice tel que 1 i<k .
0
(cid:20)
Toujours par hypothŁse, f est cyclique, donc est semblable (cid:224) (cid:22) = (P ), et de mŒme f
jFi C fjFi C i jGi (cid:24)
C(Qi)=C(Pi) car (P1;:::;Pk0(cid:0)1)=(Q1;:::;Qk0(cid:0)1). On en dØduit (cid:16) (cid:17)
f f = P f P f = (cid:25) (cid:25) = rg(cid:25) =rg(cid:25) = dim(cid:25)(F )=dim(cid:25)(G ).
jFi (cid:24) jGi ) k0 jFi (cid:24) k0 jGi ) jFi (cid:24) jGi ) jFi jGi ) i i
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
8
En reprenant les deux "cassages" de (cid:25)(E) ci-dessus
(cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F ) [(cid:25)(F ) ::: (cid:25)(F )]
1 (cid:8) (cid:8) k0(cid:0)1 (cid:8) k0 (cid:8) (cid:8) r
(cid:25)(E)=(cid:12) mŒme dimension =0 ,
(cid:12)
(cid:12)(cid:12) (cid:25)|(G1)(cid:8):::{(cid:8)z (cid:25)(Gk0(cid:0)1})(cid:8)[|(cid:25)(Gk0)(cid:8){:z::(cid:8)(cid:25)(Gs})]
(cid:12)
(cid:12) z }| {
on obtient (cid:12)
dim[(cid:25)(G ) ::: (cid:25)(G )]=0 = dim(cid:25)(G )=0 = (cid:25) =0
k0 (cid:8) (cid:8) s ) k0 ) jGk0
= P f =0 = (cid:22) P = Q P .
) k0 jGk0 ) fjGk0 j k0 ) k0 j k0
(cid:16) (cid:17)
Un argument symØtrique nous donnerait l(cid:146)autre sens, d(cid:146)oø l(cid:146)ØgalitØ P =Q qui contredirait la dØ(cid:133)nition
k0 k0
de k .
0
2.2 RØduction de Frobenius
ThØorŁme (rØduction de Frobenius).
Si (cid:22) ;:::;(cid:22) est la suite des invariants de similitude de f, il existe une base de E oø
1 r B
((cid:22) )
C 1
Matf =0 ... 1.
B ((cid:22) )
B C r C
@ A
De plus :
(cid:22) =(cid:22)
f 1 .
(cid:31) =(cid:22) :::(cid:22)
(cid:26) f 1 r
DØmonstration.
La rØduction dØcoule directement du thØorŁme prØcØdent et du fait qu(cid:146)un endomorphisme cyclique est sem-
blable (cid:224) la matrice compagnon de son polyn(cid:244)me minimal.
Pour obtenir le polyn(cid:244)me caractØristique, il su¢ t d(cid:146)Øcrire
(cid:31) =(cid:31) =(cid:31) :::(cid:31) =(cid:22) :::(cid:22) par construction de la matrice compagnon.
f ((cid:22) ) ((cid:22) ) ((cid:22) ) 1 r
C 1 C 1 C r
0 ... 1
B C
B ((cid:22) ) C
BB C r CC
@ A
Corollaire (caractØrisation des classes de similitudes).
Deux endomorphismes sont semblables ssi ils ont la mŒme suite d(cid:146)invariants de similitude.
Lemme.
Soit f (E), ’ (E) et g = ’f’ 1. On se donne F un sous-espace vectoriel de E stable par f.
(cid:0)
2 L 2 GL
Alors :
(i) ’(F) est stable par g;
(ii) f cyclique = g cyclique;
F ’(F)
(iii) (cid:22)j =(cid:22) .) j
g’(F) fF
j j
DØmonstration du lemme.
(i) Supposons f(F) F. Alors
(cid:26)
g(’(F))=g’(F)=’f’ 1’(F)=’f(F) ’(F),
(cid:0)
(cid:26)
F
(cid:26)
donc ’(F) est stable par g. |{z}
9
(ii) Supposons f cyclique. Par la derniŁre remarque des prØliminaires, il y a un x F (mieux que
F 0
x E) tel que j 2
0
2
F = (x ).
f 0
L
En remarquant que pour P K[X] on a
2
’(P (f(x ))) = ’ P (f)(x )=’ P ’ 1g’ (x )= ’ ’ 1P (g)’ (x )
0 0 (cid:0) 0 (cid:0) 0
(cid:14) (cid:14) (cid:14)
= [P (g)’](x )=P (g)(’(x )),
0 (cid:0) 0 (cid:1) (cid:2) (cid:3)
on dispose des Øquivalences
y ’(F) x F; y =’(x)
2 () 9 2
x (x); y =’(x)
f
() 9 2L
P K[X]; y =’(P (f(x )))
0
() 9 2
P K[X]; y =P (g)[’(x )]
0
() 9 2
y (’(x )),
g 0
() 2L
d(cid:146)oø ’(F)= (’(x )), et g cyclique.
g 0 ’(F)
(iii) SoLit P K[X]. Ejn Øcrivant
2
P g =P (g) =P ’f’ 1 =’P (f)’ 1 ,
’(F) ’(F) (cid:0) ’(F) (cid:0)’(F)
j j j j
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
on a par Øquivalences
P g =0 y ’(F); P g (y)=0
’(F) ’(F)
j () 8 2 j
(cid:0) (cid:1) () 8x2F; ’P (f(cid:0))’(cid:0)’1(F(cid:1)) (’(x))=0
j
x F; ’hP (f)(x)=0i
() 8 2
’ P f =0
F
() (cid:14) j
P f =0 car ’ est inversible,
F(cid:0) (cid:1)
() j
desortequelespolyn(cid:244)mesannulateursdeg sont(cid:0)lesm(cid:1)Œmesqueceuxdef ;parconsØquent,lesgØnØrateurs
’(F) F
unitaires de ces idØaux co(cid:239)ncident, i.e. (cid:22) j =(cid:22) , CQFD. j
g’(F) fF
j j
DØmonstration du corollaire.
Soient f et g deux endomorphismes semblables, mettons g = ’f’ 1 oø ’ isomorphisme. ConsidØrons des
(cid:0)
F ;:::;F associØs (cid:224) f comme dans le thØorŁme. En posant G =’(F ), on a
1 r i i
E =’(E)=’(F ::: F )=’(F ) ::: ’(F )=G ::: G .
1 r 1 r 1 r
(cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8)
Par ailleurs, le lemme nous dit que les G sont stables par g, que les g sont cycliques et que (cid:22) = (cid:22) .
Comme d(cid:146)autre part on a (cid:22) = (cid:22) (deuxiendorphismes semblables ontjGmiŒme polyn(cid:244)me minimal)g,jGdiu derfnjFieir
g f
point on dØduit
(cid:22) (cid:22) ::: (cid:22) (cid:22) =(cid:22) .
gjGr j gjGr(cid:0)1 j j gjG2 j gjG1 g
Par l(cid:146)unicitØ du thØorŁme, les (cid:22) =(cid:22) sont les invariants de similitudes de g, d(cid:146)oø le rØsultat.
Le sens rØciproque est triviagljGeni appflijFqiuant la rØduction de Frobenius.
3 Applications
3.1 Commutant et cyclicitØ
On note Commf le commutant d(cid:146)un endomorphisme f :
Commf = u (E); uf =fu .
f 2L g
10
